第8章 微专题系列之数学应用——活用抛物线焦点弦的四个结论（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版）

微专题系列之数学应用——活用抛物线焦点弦的四个结论 [对应学生用书P211] 设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 (1)x1·x2＝； (2)y1·y2＝－p2； (3)|AB|＝x1＋x2＋p＝(α是直线AB的倾斜角)； (4)＋＝为定值(F是抛物线的焦点). 【例】过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|等于(　　) A．4 B． C．5 D．6 [思维过程] 明确目标→求弦长|AB|. 提取信息→直线l过抛物线焦点，且满足“|AF|＝2|BF|”． 建立联系→(方法一)　将直线方程与抛物线方程联立利用焦点弦长为定值；(方法二)利用结论(3)求解；(方法三)利用结论(4)求解． 思路导引→(方法一：一般解法)　易知直线l的斜率存在，设为k， 则其方程为y＝k(x－1). 由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，则xA·xB＝1，① 因为|AF|＝2|BF|，由抛物线的定义得xA＋1＝2(xB＋1)，即xA＝2xB＋1，② 由①②解得xA＝2，xB＝，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋p＝. (方法二：应用结论(3))　由对称性不妨设点A在x轴的上方，如图，设A，B在准线上的射影分别为D，C，作BE⊥AD于E， 设|BF|＝m，直线l的倾斜角为θ， 则|AB|＝3m， 由抛物线的定义知|AD|＝|AF|＝2m， |BC|＝|BF|＝m， |AE|＝|AD|－|BC|＝m， 所以cos θ＝＝，所以sin θ＝， 所以sin2θ＝.又y2＝4x，知2p＝4. 故利用弦长公式|AB|＝＝. (方法三：应用结论(4))　因为|AF|＝2|BF|， 所以＋＝＋＝＝＝1， 解得|BF|＝，|AF|＝3， 故|AB|＝|AF|＋|BF|＝. 答案：B 【练】如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且|AF|＝4，则线段AB的长为(　　) A．5 B．6 C． D． C　解析：如图，设l与x轴交于点M， 过点A作AD⊥l交l于点D， 由抛物线的定义知，|AD|＝|AF|＝4， 由F是AC的中点， 知|AF|＝2|MF|＝2p， 所以2p＝4，解得p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x. (方法一)　设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则|AF|＝x1＋＝x1＋1＝4， 所以x1＝3，可得y1＝2，所以A(3，2)， 又F(1，0)，所以直线AF的斜率k＝＝， 所以直线AF的方程为y＝(x－1)， 代入抛物线方程y2＝4x得3x2－10x＋3＝0， 所以x1＋x2＝，|AB|＝x1＋x2＋p＝. (方法二)　设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则|AF|＝x1＋＝x1＋1＝4， 所以x1＝3，又x1x2＝＝1， 所以x2＝，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝3＋＋2＝. (方法三)　因为＋＝，|AF|＝4， 所以|BF|＝，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝4＋＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$