第8章 第6节 双曲线（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版）

第六节　双曲线 课标解读 1．了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用． 2．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它的简单几何性质． 3．通过双曲线的学习，进一步体会数形结合的思想． [对应学生用书P203] 1．双曲线的定义 平面内到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合(或轨迹)叫作双曲线．这两个定点F1，F2叫作双曲线的焦点，两个焦点间的距离|F1F2|叫作双曲线的焦距．其数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0. (1)若a<c，则集合P为双曲线； (2)若a＝c，则集合P为两条射线； (3)若a>c，则集合P为空集． 2．双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 －＝1 (a>0，b>0) －＝1 (a>0，b>0) 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a， y∈R x∈R，y≤－a 或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a，0)， A2(a，0) A1(0，－a)， A2(0，a) 性质 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞) 实虚轴 线段A1A2叫作双曲线的实轴，它的长度|A1A2|＝2a；线段B1B2叫作双曲线的虚轴，它的长度|B1B2|＝2b；a叫作双曲线的实半轴长，b叫作双曲线的虚半轴长 a，b，c 的关系 c2＝a2＋b2 在双曲线的标准方程中，看x2项与y2项的系数的正负，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，则焦点在y轴上，即“焦点位置看正负，焦点随着正的跑”． 1．判断正误 (1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．(　　×　　) (2)方程－＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．(　　×　　) (3)双曲线方程－＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是－＝0，即±＝0.(　　√　　) (4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.(　　√　　) 2．(多选)方程－＝1表示双曲线，则m的取值范围是(　　) A．m>－1 B．m<－2 C．m>－2 D．m<－1 答案：AB 3．(多选)已知双曲线的渐近线方程是y＝±x，虚轴长为4，则双曲线的标准方程为(　　) A．－＝1 B．－＝1 C．y2－＝1 D．x2－＝1 答案：BC 4．设P是双曲线－＝1上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝(　　) A．1 B．17 C．1或17 D．以上均不对 B　解析：根据双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝8⇒|PF2|＝1或|PF2|＝17.又|PF2|≥c－a＝2，故|PF2|＝17. 5．与椭圆＋＝1有公共焦点，且离心率e＝的双曲线的渐近线方程为 ． 答案：y＝±x 6．坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的离心率为 ． 答案：2或 [对应学生用书P204] 1．P是双曲线－＝1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x－2y＝0，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝6，则|PF2|＝(　　) A．9 B．2 C．10 D．2或10 D　解析：∵双曲线的方程为－＝1， ∴b2＝9，即b＝3. 又∵双曲线的一条渐近线方程为3x－2y＝0， ∴＝，即a＝2， ∴||PF1|－|PF2||＝4.∵|PF1|＝6， ∴|6－|PF2||＝4，即|PF2|＝2或10. 2．(2024·湖南长沙模拟)已知定点F1(－2，0)，F2(2，0)，N是圆O：x2＋y2＝1上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹是(　　) A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 B　解析：如图，连接ON，由题意可得|ON|＝1，且N为MF1的中点，又O为F1F2的中点， 所以|MF2|＝2.因为点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，由垂直平分线的性质可得|PM|＝|PF1|， 所以||PF2|－|PF1||＝||PF2|－|PM||＝ |MF2|＝2<|F1F2|， 所以由双曲线的定义可得，点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线． 3．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为 ． 答案：2　解析：不妨设点P在双曲线的右支上， 则|PF1|－|PF2|＝2a＝2， 在△F1PF2中，由余弦定理，得 cos ∠F1PF2＝＝， ∴|PF1|·|PF2|＝8， ∴S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|·sin 60°＝2. 4．已知F是双曲线－＝1的左焦点，A(1，4)，P是双曲线右支上的一动点，则|PF|＋|PA|的最小值为 ． 答案：9　解析：由题意知a＝2，b＝2，c＝4，F(－4，0)，设右焦点H(4，0)，则|PF|＋|PA|＝2a＋|PH|＋|PA|≥2a＋|AH|＝4＋＝4＋5＝9. 1．已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是(　　) A．(－1，3) B．(－1，) C．(0，3) D．(0，) A　解析：因为双曲线的焦距为4，所以c＝2，即m2＋n＋3m2－n＝4，解得m2＝1．又由所给方程表示双曲线得(1＋n)(3－n)>0，解得－1<n<3. 2．双曲线－＝1过点(，)，离心率为2，则双曲线的方程为(　　) A．－y2＝1 B. x2－＝1 C．－＝1 D. －＝1 B　解析：由双曲线离心率e＝＝2，a2＋b2＝c2，得c＝2a，b＝a，将点(，)代入双曲线方程，得－＝＝1，故a2＝1，b2＝3，故双曲线方程为x2－＝1． 3．(2023·佛山调研)已知F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线上一点，PF2与x轴垂直，∠PF1F2＝30°，且虚轴长为2，则双曲线的标准方程为(　　) A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．x2－＝1 D　解析：由题意可知|PF1|＝， |PF2|＝，2b＝2， 由双曲线的定义可得－＝2a， 即c＝a. 又b＝，c2＝a2＋b2， ∴a＝1，∴双曲线的标准方程为x2－＝1． 4．(2022·全国甲卷) 若双曲线y2－＝1(m>0)的渐近线与圆x2＋y2－4y＋3＝0相切，则m＝ ． 答案：　解析：双曲线y2－＝1的渐近线为y＝±，即x±my＝0， 不妨取x＋my＝0，圆x2＋y2－4y＋3＝0，即x2＋＝1，所以圆心为，半径r＝1， 依题意圆心到渐近线x＋my＝0的距离d＝＝1，解得m＝或m＝－(舍去). 考向1　双曲线离心率的值(或范围) 【例1】 (1)(2023·山东泰安一模)若双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线被圆x2＋y2－4y＋2＝0所截得的弦长为2，则双曲线C的离心率为(　　) A． B． C．2 D． (2)已知点F是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是(　　) A．(1，＋∞) B．(1，2) C．(2，1＋) D．(1，1＋) (1)C　(2)B　解析：(1)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x， 由对称性，不妨取y＝x，即bx－ay＝0. 又圆x2＋y2－4y＋2＝0化为x2＋(y－2)2＝2， 则其圆心的坐标为(0，2)，半径为. 圆心(0，2)到渐近线bx－ay＝0的距离d＝＝1， 又由点到直线的距离公式， 可得＝＝＝d＝1，所以e＝2. (2)若△ABE是锐角三角形，只需∠AEF＜45°， 在Rt△AFE中，|AF|＝，|FE|＝a＋c， 则＜a＋c，即b2＜a2＋ac，∴2a2－c2＋ac＞0， ∴e2－e－2＜0，解得－1＜e＜2，又e＞1，则1＜e＜2. 【练1】 (2023·山东潍坊一模)如图，某建筑物白色的波浪形屋顶像翅膀一样漂浮，建筑师通过双曲线的设计元素赋予了这座建筑以轻盈，极简和雕塑般的气质，该建筑物外形弧线的一段可以近似看成焦点在y轴上的双曲线－＝1(a>0，b>0)上支的一部分．已知该双曲线的上焦点F到下顶点的距离为36，F到渐近线的距离为12，则该双曲线的离心率为(　　) A． B． C． D． B　解析：焦点F(0，c)到渐近线y＝x，即ax－by＝0的距离d＝＝b＝12，又由题知解得所以e＝＝＝. 考向2　双曲线的渐近线问题 【例2】 (1)点(3，0)到双曲线－＝1的一条渐近线的距离为(　　) A． B． C． D． (2)(2022·全国甲卷)记双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为e，写出满足条件“直线y＝2x与C无公共点”的e的一个值 ． 答案：(1)A　(2)2(满足1<e≤皆可) 解析：(1)双曲线－＝1的渐近线方程是3x±4y＝0.由点到直线的距离公式，得点(3，0)到渐近线3x±4y＝0的距离为＝. (2)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，所以C的渐近线方程为y＝±x， 结合渐近线的特点，只需0<≤2，即≤4， 可满足条件“直线y＝2x与C无公共点”， 所以e＝＝≤＝， 又因为e>1，所以1<e≤.故可填2(答案不唯一，只要1＜e≤即可). 【练2】 (2022·北京卷)已知双曲线y2＋＝1的渐近线方程为y＝±x，则m＝ . 答案：－3　解析：对于双曲线y2＋＝1，所以m<0，即双曲线的标准方程为y2－＝1， 则a＝1，b＝，又双曲线y2＋＝1的渐近线方程为y＝±x， 所以＝，即＝，解得m＝－3. 考向3　与双曲线有关的最值和范围问题 【例3】 已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点．若MF1·MF2<0，则y0的取值范围是(　　) A．(－，) B．(－，) C．(－，) D．(－，) A　解析：因为F1(－，0)，F2(，0)， 所以MF1·MF2＝(－－x0，－y0)·(－x0，－y0)＝x＋y－3<0，又因为－y＝1， 代入可得3y－1<0，解得－<y0<. 【练3】 (2023·山东泰安一模)已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们一个公共点，且∠F1PF2＝，椭圆、双曲线的离心率分别为e1，e2，则e＋e的最小值为 ． 答案：1＋　解析：由题意，可设椭圆的长半轴为a1，双曲线的实半轴为a2，由椭圆和双曲线的定义可知，|PF1|＋|PF2|＝2a1，|PF1|－|PF2|＝2a2，则|PF1|＝a1＋a2，|PF2|＝a1－a2，又∠F1PF2＝60°，由余弦定理可得(2c)2＝(a1＋a2)2＋(a1－a2)2－2(a1＋a2)(a1－a2)cos 60°，整理得4c2＝a＋3a，即＋＝4，则＋＝1， 所以e＋e＝(e＋e)≥ 1＋2＝ 1＋.当且仅当e＝e时，等号成立．所以e＋e的最小值为1＋. 【例4】 (2023·江苏南京模拟)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，且经过A(0，2). (1)求双曲线C的方程； (2)若过点B(2，0)的直线交双曲线C于x轴下方不同的两点P，Q，设P，Q中点为M，求三角形BOM面积的取值范围． 思维 导引 学科 素养 本题主要考查逻辑推理、数学运算等核心素养 思路 点拨 (1)利用待定系数法求双曲线方程； (2)设直线方程为x－2＝my(m≠0)，联立方程消元，利用根与系数的关系求出m的取值范围，求出点M的纵坐标，再表示出三角形BOM的面积，利用函数的单调性求范围 解：(1)由题意得＝，＝1，c2＝a2＋b2，解得a＝b＝2. 所以双曲线C的方程为y2－x2＝4. (2)设直线PQ的方程为x－2＝my(m≠0)与双曲线C方程联立 得(1－m2)y2－4my－8＝0， 设P，Q两点的纵坐标为y1，y2， 则解得1＜m＜. 设点M的纵坐标为y0， 由点M为PQ的中点，得y0＝＝. 所以S△OBM＝|OB|·|y0|＝×2×＝＝，1＜m＜， 易知在(1，)上单调递减，故三角形BOM面积的取值范围为(2，＋∞). 【练4】 (2023·广东惠州模拟)已知双曲线C：－＝1的离心率为，点P(4，)在C上． (1)求双曲线C的方程； (2)设过点(1，0)的直线l与双曲线C交于M，N两点，问在x轴上是否存在定点Q，使得·为常数，若存在，求出Q点坐标及此常数的值；若不存在，说明理由． 解析：(1)由题意得， 解得a2＝4，b2＝1． 所以双曲线C的方程为－y2＝1． (2)假设存在定点Q.设定点Q(t，0)， 当直线斜率不为0时，设直线l的方程为x＝my＋1， 联立得(m2－4)y2＋2my－3＝0. ∴m2－4≠0，且Δ＝4m2＋12(m2－4)＞0， 解得m2＞3且m2≠4. 设M(x1，y1)，N(x2，y2)， ∴y1＋y2＝－，y1y2＝－， ∴x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2＝＋2＝， x1x2＝(my1＋1)(my2＋1)＝m2y1y2＋m(y1＋y2)＋1＝－－＋1＝－＝－4－， ·＝(x1－t，y1)·(x2－t，y2)＝(x1－t)·(x2－t)＋y1y2＝x1x2－t(x1＋x2)＋t2＋y1y2＝－4－＋t·－＋t2＝－4＋t2＋， 由·为常数，得8t－23＝0，即t＝， 此时·＝. 当直线l斜率为0时，·＝. ∴在x轴上存在定点Q，使得·为常数． 学科网（北京）股份有限公司 $$