第8章 第5节 第3课时　直线与椭圆（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版）

第二课时　直线与椭圆 [对应学生用书P200] 1．(多选)直线y＝kx－k＋与椭圆＋＝1的位置关系可能为(　　) A．相交 B．相切 C．相离 D．一定相交 AB　解析：∵直线y＝kx－k＋＝k(x－)＋，∴该直线恒过定点(，).而点(，)在椭圆上，所以该直线与椭圆＋＝1可能相切也可能相交． 2．已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1．试问当m取何值时，直线l与椭圆C： (1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点． 解：将直线l的方程与椭圆C的方程联立 得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.* Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144. (1)当Δ>0，即－3<m<3时，方程*有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解． 这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点． (2)当Δ＝0，即m＝±3时，方程*有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解． 这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点． (3)当Δ<0，即m<－3或m>3时，方程*没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点． 考向1　与弦长有关的问题 【例1】 已知椭圆M：＋＝1(a>b>0)的离心率为，焦距为2.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B. (1)求椭圆M的方程； (2)若k＝1，求|AB|的最大值． 解：(1)由题意得解得a＝，b＝1． 所以椭圆M的方程为＋y2＝1． (2)设直线l的方程为y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2). 由得4x2＋6mx＋3m2－3＝0， Δ＝48－12m2>0，∴m2<4，即－2<m<2. 所以x1＋x2＝－，x1x2＝. |AB|＝＝ ＝. 当m＝0，即直线l过原点时，|AB|最大，最大值为. 【练1】 (2024·临沂模拟)已知椭圆E：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过原点的直线l与E交于A，B两点，且AF1，BF2都与x轴垂直，则|AB|＝ ． 答案：　解析：由题意得c2＝a2－b2＝4－3＝1，因为直线l过原点，且交椭圆E于A，B两点，所以A与B关于原点对称，又AF1，BF2都与x轴垂直， 所以设A(－1，y1)，B(1，－y1)， 则|AB|＝＝. 又点A在椭圆E上， 所以＋＝1，得y＝， 则|AB|＝＝. 考向2　中点弦问题 【例2】 已知P(1，1)为椭圆＋＝1内一定点，经过P引一条弦，使此弦被P点平分，则此弦所在的直线方程为 ． 答案：x＋2y－3＝0　解析：(方法一)　易知此弦所在直线的斜率存在， ∴设其方程为y－1＝k(x－1)， 弦所在的直线与椭圆相交于A，B两点，两点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2). 由得， (2k2＋1)x2－4k(k－1)x＋2(k2－2k－1)＝0， ∴x1＋x2＝，又∵x1＋x2＝2， ∴＝2，解得k＝－. 经检验，k＝－满足题意． 故此弦所在的直线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0. (方法二)　易知此弦所在直线的斜率存在，∴设斜率为k，弦所在的直线与椭圆相交于A，B两点，两点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则＋＝1，①　＋＝1，② ①－②得＋＝0， ∵x1＋x2＝2，y1＋y2＝2， ∴＋y1－y2＝0，∴k＝＝－. 经检验，k＝－满足题意． ∴此弦所在的直线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0. 【练2】 (2023·济宁模拟)已知椭圆C：＋＝1，过点P(1，)的直线交椭圆C于A，B两点，若P为AB的中点，则直线AB的方程为(　　) A．3x－2y－2＝0 B．3x＋2y－4＝0 C．3x＋4y－5＝0 D．3x－4y－1＝0 B　解析：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由中点坐标公式可得 所以 由 ①－②得＋＝0， 即＝－， 即·＝kAB＝－， 所以kAB＝－， 因此直线AB的方程为y－＝－(x－1)， 即3x＋2y－4＝0. 【例3】 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，e＝，其中F是椭圆的右焦点，焦距为2，直线l与椭圆C交于点A，B，线段AB的中点横坐标为，且＝λ(其中λ>1). (1)求椭圆C的标准方程； (2)求实数λ的值． 思维 导引 学科 素养 本题主要考查逻辑推理、数学运算等核心素养 思路 点拨 (1)由离心率及焦距求出a，b，确定椭圆标准方程； (2)由＝λ可知A，B，F三点共线，由此知直线AB过焦点F，设出直线的方程并与椭圆方程联立，求出k2，确定直线AB方程，求出A，B两点坐标后利用向量相等确定λ的值 解：(1)由椭圆的焦距为2，知c＝1，又e＝，∴a＝2，故b2＝a2－c2＝3， ∴椭圆C的标准方程为＋＝1． (2)由＝λ，可知A，B，F三点共线， 设点A(x1，y1)，点B(x2，y2).则x1＋x2＝. 若直线AB⊥x轴，则x1＝x2＝1，不符合题意； 当AB所在直线l的斜率k存在时，设l的方程为y＝k(x－1). 由得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0.① Δ＝64k4－4(4k2＋3)(4k2－12)＝144(k2＋1)>0. ∵∴x1＋x2＝＝2×＝，∴k2＝. 将k2＝代入方程①，得4x2－2x－11＝0， 解得x＝. 又＝(1－x1，－y1)，＝(x2－1，y2)，＝λ， 即1－x1＝λ(x2－1)，λ＝， 又λ>1，∴λ＝. 【练3】 (2023·山东临沂一模)已知椭圆C：＋＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，直线x＝被C截得的线段长为. (1)求C的方程； (2)若A和B为椭圆C上在x轴同侧的两点，且，求四边形ABF1F2面积的最大值及此时λ的值． 解：(1)∵e＝＝，∴＝，∴c2＝a2， ∴b2＝a2－c2＝a2－a2＝a2， ∴椭圆的标准方程为x2＋3y2＝a2， ∴⇒y＝±， 由题可知2＝，解得a2＝3， ∴C的方程为＋y2＝1． 延长BF1，AF2交椭圆于C，D，根据椭圆的对称性可知，四边形ABCD为平行四边形，且四边形ABF1F2面积为四边形ABCD面积的一半． 由题知，BF1斜率不为零，故设BF1方程为x＝my－， 得(m2＋3)y2－2mx－1＝0，① 设B(x1，y1)，C(x2，y2)，∵Δ>0， ∴y1＋y2＝，y1y2＝， 故|BC|＝·|y1－y2|＝， O到BF1的距离d＝， S四边形ABF1F2＝SABCD＝S四边形ABCD＝×4S△OBC＝2××|BC|·d＝|BC|·d＝·＝2·＝2·＝2·≤2·＝， 当且仅当＝，即m＝±1时取等号， ∴当m＝±1时，四边形ABF1F2面积最大为. 根据对称性，不妨取m＝1时，方程①化为4y2－2y－1＝0，解得y＝， 由对称性可知|AF2|＝|CF1|，故λ＝＝＝或， ∴λ＝＝2＋或λ＝＝2－， 综上，四边形ABF1F2面积最大为，此时λ＝2±. 学科网（北京）股份有限公司 $$