第8章 第5节 第1课时 椭圆及其简单几何性质（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版）

第五节　椭　圆 第一课时　椭圆及其简单几何性质 课标解读 1．了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用． 2．经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质． 3．通过椭圆的学习，进一步体会数形结合的思想． 4．了解椭圆的简单应用． [对应学生用书P196] 1．椭圆的定义 平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合或(轨迹)叫作椭圆．这两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点间的距离|F1F2|叫作椭圆的焦距． 2．椭圆的简单几何性质 焦点的 位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准 方程 ＋＝1 (a>b>0) ＋＝1 (a>b>0) 范围 －a≤x≤a且 －b≤y≤b －b≤x≤b且 －a≤y≤a 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b，0)，B2(b，0) 轴长 短轴长为2b，长轴长为2a 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 对称性 对称轴：x轴和y轴，对称中心：原点 离心率 e＝(0<e<1) a，b，c 的关系 a2＝b2＋c2 3.直线与椭圆的位置判断 将直线方程与椭圆方程联立，消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与椭圆相交⇔Δ>0；直线与椭圆相切⇔Δ＝0；直线与椭圆相离⇔Δ<0. 4．弦长公式 设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则|AB|＝|x1－x2|＝ 或|AB|＝|y1－y2|＝ ， k为直线斜率且k≠0. (1)焦点在x轴上⇔标准方程中x2项的分母较大；焦点在y轴上⇔标准方程中y2项的分母较大． (2)离心率表示椭圆的扁平程度．当e越接近于1时，c越接近于a，从而b＝越小，因此椭圆越扁． 1．判断正误 (1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．(　　×　　) (2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．(　　×　　) (3)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆．(　　√　　) (4)＋＝1(a>b>0)与＋＝1(a>b>0)的焦距相同．(　　√　　) 2．直线y＝x＋1与椭圆＋＝1的位置关系是(　　) A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断 A　解析：(方法一)　联立直线与椭圆的方程得 消去y得9x2＋10x－15＝0，Δ＝100－4×9×(－15)＞0，所以直线与椭圆相交． (方法二)　直线过点(0，1)，而0＋＜1，即点(0，1)在椭圆内部，所以可推断直线与椭圆相交． 3．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于，则椭圆C的方程是(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 答案：D 4．(2023·重庆模拟)已知椭圆C：16x2＋4y2＝1，则下列结论正确的是(　　) A．长轴长为 B．焦距为 C．短轴长为 D．离心率为 D　解析：把椭圆方程16x2＋4y2＝1化为标准方程可得＋＝1，所以a＝，b＝，c＝， 则长轴长2a＝1，焦距2c＝，短轴长2b＝，离心率e＝＝，故选D. 5．已知椭圆＋＝1(m>0)的离心率e＝，则m的值为 ． 答案：3或 6．若方程＋＝1表示椭圆，则m满足的条件是 ． 　解析：由方程＋＝1表示椭圆， 知解得m＞且m≠1． [对应学生用书P197] 1．如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是(　　) A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 A　解析：由条件知|PM|＝|PF|， ∴|PO|＋|PF|＝|PO|＋|PM|＝|OM|＝R>|OF|， 点P的轨迹是以O，F为焦点的椭圆． 2．过椭圆4x2＋y2＝1的一个焦点F1的直线与椭圆交于A，B两点，则A与B和椭圆的另一个焦点F2构成的△ABF2的周长为(　　) A．2 B．4 C．8 D．2 B　解析：∵椭圆方程变形为＋＝1， ∴椭圆长轴长2a＝2，∴△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝4a＝4. 3．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为(　　) A．13 B．12 C．9 D．6 C　解析：由椭圆的定义可知|MF1|＋|MF2|＝6， 所以由基本不等式，得 |MF1|·|MF2|≤()2＝9， 当且仅当|MF1|＝|MF2|＝3时等号成立． 故|MF1|·|MF2|的最大值为9. 4．(2023·佛山模拟)已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1，1)是一定点，则|PA|＋|PF|的最大值为 ，最小值为 ． 答案：6＋　6－　解析：椭圆方程化为＋＝1，设F1是椭圆的右焦点，则F1(2，0)， ∴|AF1|＝， ∴|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF1|＋6， 又－|AF1|≤|PA|－|PF1|≤|AF1|(当P，A，F1共线时等号成立)， ∴6－≤|PA|＋|PF|≤6＋. 5．已知点P(x，y)在椭圆＋＝1上，F1，F2是椭圆的两个焦点，若△PF1F2的面积为18，则∠F1PF2的余弦值为 ． 答案：　解析：椭圆＋＝1的两个焦点为F1(0，－8)，F2(0，8)， 由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝20， 两边平方得|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1||PF2|＝202， 由余弦定理得 |PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos ∠F1PF2＝ |F1F2|2＝162， 两式相减得2|PF1||PF2|(1＋cos ∠F1PF2)＝144. 又S△PF1F2＝|PF1||PF2|sin ∠F1PF2＝18， 所以1＋cos ∠F1PF2＝2sin ∠F1PF2， 解得cos ∠F1PF2＝. 1．(多选)(2023·山东枣庄模拟)已知椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，则这个椭圆的标准方程可以为(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 BD　解析：因为椭圆的长轴长为10， 其焦点到中心的距离为4， 所以解得a＝5，b2＝25－16＝9. 所以当椭圆的焦点在x轴上时， 椭圆的标准方程为＋＝1； 当椭圆的焦点在y轴上时，椭圆的标准方程为＋＝1． 2．(2022·全国甲卷) 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若BA1·BA2＝－1，则C的方程为(　　) A.＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋y2＝1 B　解析：因为离心率e＝＝＝，解得＝，b2＝a2，A1，A2分别为椭圆C的左右顶点， 则A1，A2，B为上顶点，所以B(0，b). 所以BA1＝(－a，－b)，BA2＝(a，－b)，因为BA1·BA2＝－a2＋b2＝－1， 将b2＝a2代入，解得a2＝9，b2＝8，故椭圆C的方程为＋＝1． 3．(2022·四川南充三模)古希腊数学家阿基米德用“逼近法”得到椭圆面积的4倍除以圆周率等于椭圆的长轴长与短轴长的积．已知椭圆C的中心在原点，焦点F1，F2在y轴上，其面积为8π，过点F1的直线l与椭圆C交于点A，B且△F2AB的周长为32，则椭圆C的方程为(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 B　解析：∵焦点F1，F2在y轴上， ∴可设椭圆标准方程为＋＝1(a＞b＞0)， 由题意可得＝2a×2b＝4ab， ∴S＝abπ＝8π，即ab＝8， ∵△F2AB的周长为32，∴4a＝32，则a＝8， ∴b＝，故椭圆C的方程为＋＝1． 考向1　求椭圆的离心率的值(范围) 【例1】 (2023·新课标Ⅰ卷)设椭圆C1：＋y2＝1(a>1)，C2：＋y2＝1的离心率分别为e1，e2，若e2＝e1，则a＝(　　) A． B． C． D． A　解析：(方法一：直接求解法)　由已知得e1＝，e2＝＝，因为e2＝e1，所以＝×，得a＝. (方法二：选项代入验证法)　若a＝，则e1＝＝＝，又e2＝，所以e2＝e1，所以a＝符合题意． 【练1】 (2023·杭州模拟)过椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点作x轴的垂线，交C于A，B两点，直线l过C的左焦点和上顶点．若以AB为直径的圆与l存在公共点，则C的离心率的取值范围是(　　) A．(0，] B．[，1) C．(0，] D．[，1) A　解析：由题设知，直线l：＋＝1，即bx－cy＋bc＝0，以AB为直径的圆的圆心为(c，0)，根据题意，将x＝c代入椭圆C的方程，得y＝±，即圆的半径r＝.又圆与直线l有公共点，所以≤，化简得2c≤b，平方整理得a2≥5c2，所以e＝≤.又0＜e＜1，所以0＜e≤. 【练2】 (2023·安徽舒城中学三模)若椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，该圆的圆心是椭圆中心，则称这个圆为蒙日圆．若椭圆C：＋＝1(a2＞4)的蒙日圆的半径为2，则椭圆C的离心率为 ． 答案：　解析：过P(a，2)可作椭圆C的两条互相垂直的切线x＝a和y＝2，∴P(a，2)在蒙日圆上，∴＝2，解得a2＝8， ∴椭圆C的离心率e＝＝＝＝. 考向2　与椭圆性质有关的最值问题 【例2】 (1)设B是椭圆C：＋y2＝1的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值为(　　) A． B． C． D．2 (2)如图，焦点在x轴上的椭圆＋＝1(b>0)的离心率e＝，F，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点，则·的最大值为 ． 答案：(1)A　(2)4　解析：(1)由题意知B(0，1). 设点P的坐标为(x，y)(－1≤y≤1)， 则|PB|＝.　① 由＋y2＝1，得x2＝5(1－y2).　② 把②代入①，得|PB|＝＝(－1≤y≤1).易知当y＝－时，|PB|max＝. (2)由题意知a＝2，因为e＝＝， 所以c＝1，所以b2＝a2－c2＝3. 故椭圆方程为＋＝1． 设点P的坐标为(x0，y0)， 所以－2≤x0≤2，－≤y0≤. 因为F(－1，0)，A(2，0)， ＝(－1－x0，－y0)，＝(2－x0，－y0)， 所以·＝x－x0－2＋y＝x－x0＋1＝(x0－2)2.则当x0＝－2时，·取得最大值4. 【练3】 P为椭圆＋＝1上任意一点，EF为圆N：(x－1)2＋y2＝4的任意一条直径，则·的取值范围是(　　) A.[0，15] B．[5，15] C．[5，21] D．(5，21) C　解析：由题意知圆N的圆心N(1，0)恰好是椭圆的右焦点， 因为·＝(＋)·(＋)＝ (＋)·(－)＝2－2＝||2－4. 因为a－c≤||≤a＋c，即3≤||≤5， 所以·的取值范围是[5，21]. 【练4】 (2023·深圳调研)已知点P(0，1)，椭圆＋y2＝m(m>1)上两点A，B满足＝2，则当m＝ 时，点B横坐标的绝对值最大． 答案：5　解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由＝2，得即x1＝－2x2，y1＝3－2y2.因为点A，B在椭圆上，所以得y2＝m＋，所以x＝m－(3－2y2)2＝－m2＋m－＝－(m－5)2＋4≤4，所以当m＝5时，点B横坐标的绝对值最大，最大值为2. 学科网（北京）股份有限公司 $$