第8章 第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版）

第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系 课标解读 1．能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系． 2．能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题． [对应学生用书P193] 1．直线与圆的位置关系及判断 直线：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)，圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2个 1个 0个 判定方法 几何法：设圆心到直线的距离d＝ d<r d＝r d>r 代数法：由 消元得到一元二次 方程的判别式Δ Δ>0 Δ＝0 Δ<0 图形 2.圆与圆的位置关系及判断 (1)用几何法判断圆与圆的位置关系 已知两圆C1：(x－x1)2＋(y－y1)2＝r，C2：(x－x2)2＋(y－y2)2＝r，则圆心距d＝|C1C2|＝． 则两圆C1，C2有以下位置关系： 位置 关系 外离 外切 相交 内切 内含 圆心距 与半径 的关系 d> r1＋r2 d＝ r1＋r2 |r1－r2| <d< r1＋r2 d＝ |r1－r2| d< |r1－r2| 图示 公切线 4 3 2 1 0 (2)用代数法判定圆与圆的位置关系已知两圆：C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0， C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0， 将方程联立 消去y(或x)得到关于x(或y)的一元二次方程，则 ①判别式Δ>0时，C1与C2相交． ②判别式Δ＝0时，C1与C2外切或内切． ③判别式Δ<0时，C1与C2外离或内含． 1．判断正误 (1)若直线平分圆的周长，则直线一定过圆心.(　　√　　) (2)若两圆相切，则有且只有一条公切线．(　　×　　) (3)从两圆的方程中消掉二次项后得到二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．(　　×　　) (4)过圆O：x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0x＋y0y＝r2.(　　√　　) 2．(多选)直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－1＝0有两个不同交点的一个充分不必要条件是(　　) A．0<m<1 B．－1<m<0 C．m<1 D．－3<m<1 答案：AB 3．直线l：3x－y－6＝0被圆C：x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦AB的长为(　　) A． B． C． D． 答案：A 4．圆O1：x2＋y2－2y＝0与O2：x2＋y2－4＝0的位置关系是 ． 答案：内切　解析：圆O1的圆心为(0，1)，半径为1，圆O2的圆心为(0，0)，半径为2，则|O1O2|＝＝1，|O1O2|＝2－1＝1，所以圆O1与圆O2的位置关系是内切． 5．已知圆C：x2＋y2＝9，过点P(3，1)作圆C的切线，则切线方程为 ． 答案：x＝3或4x＋3y－15＝0 6．圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦的长为 ． 答案：2 [对应学生用书P194] 1．直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是(　　) A．相交 B．相切 C．相离 D．不正确 A　解析：直线l：mx－y＋1－m＝0过定点(1，1)，点(1，1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，所以直线l与圆相交． 2．(多选)(2023·山东临沂模拟)已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0.则以下几个命题正确的有(　　) A．直线l恒过定点(3，1) B．直线l与圆C相切 C．直线l与圆C相交 D．直线l与圆C相离 AC　解析：将直线l的方程整理为x＋y－4＋m(2x＋y－7)＝0， 由解得 则无论m为何值，直线l过定点(3，1)，定点在圆内，故直线l与圆C相交，故AC正确． 3．(2024·广东佛山模拟)若圆x2＋y2＝r2(r＞0)上恒有4个点到直线l：x－y－2＝0的距离为1，则实数r的取值范围是(　　) A．(＋1，＋∞) B．(－1，＋1) C．(0，－1) D．(0，＋1) A　解析：计算得圆心到直线l的距离为＝＞1，如图． 直线l：x－y－2＝0与圆相交，l1，l2与l平行，且与直线l的距离为1，故可以看出，圆的半径应该大于圆心到直线l2的距离＋1． 【例1】 (1)已知圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4与圆C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1相外切，则ab的最大值为(　　) A． B． C． D． (2)(2023·安徽泗县一中模拟)已知圆C1：x2＋y2－kx＋2y＝0与圆C2：x2＋y2＋ky－2＝0的公共弦所在直线恒过点P(a，b)，且点P在直线mx－ny－2＝0上，则mn的取值范围是(　　) A．(－∞，1] B．(，1] C．[，＋∞) D．(－∞，] 思维 导引 学科 素养 本题主要考查逻辑推理等核心素养 思路 点拨 (1)利用圆与圆相切的几何条件求解； (2)先求出公共弦所在直线方程，求出直线所过定点P的坐标，再将点P坐标代入直线mx－ny－2＝0，进而求mn的取值范围 (1)C 　(2)A　解析：(1)由已知得圆心C1(a，－2)，圆心C2(－b，－2)， 由两圆外切可知|a＋b|＝3， 故a2＋2ab＋b2＝9， 所以4ab≤9，即ab≤，当且仅当a＝b时取等号． 即ab的最大值为. (2)由圆C1：x2＋y2－kx＋2y＝0与圆C2：x2＋y2＋kx－2＝0，得圆C1与圆C2的公共弦所在直线方程为k(x＋y)－2y－2＝0，求得定点P(1，－1)，又P(1，－1)在直线mx－ny－2＝0上，m＋n＝2，即n＝2－m，∴mn＝(2－m)m＝－(m－1)2＋1，∴mn的取值范围是(－∞，1]. 【变式】 若将本例(1)中的条件“外切”变为“相交”，则公共弦所在的直线方程为 ． 答案：(2a＋2b)x＋3＋b2－a2＝0　解析：由题意得，把圆C1，圆C2的方程都化为一般方程，得圆C1：x2＋y2－2ax＋4y＋a2＝0，① 圆C2：x2＋y2＋2bx＋4y＋b2＋3＝0，② 由②－①，得(2a＋2b)x＋3＋b2－a2＝0， 即(2a＋2b)x＋3＋b2－a2＝0为所求公共弦所在的直线方程． 【练1】 (2024·福州调研)已知圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0与圆C2：x2＋y2－2x＋10y－24＝0相交于A，B两点．公共弦|AB|的长为 ，经过A，B两点且面积最小的圆的方程为 ． 答案：2　(x＋2)2＋(y－1)2＝5　解析：由两圆的方程作差可得x－2y＋4＝0. ∴圆C1与圆C2的公共弦AB所在的直线方程为x－2y＋4＝0， 联立 解得或 不妨设A(－4，0)，B(0，2)， ∴|AB|＝＝2， 以AB为直径的圆即为面积最小的圆． ∴(x＋2)2＋(y－1)2＝5. 考向1　直线与圆相交问题 【例2】 (1)已知圆x2＋y2－6x＝0，过点(1，2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 (2)已知直线x－y＋8＝0和圆x2＋y2＝r2(r>0)相交于A，B两点．若|AB|＝6，则r的值为 ． 答案：(1)B　(2)5　解析：(1)将圆的方程x2＋y2－6x＝0化为标准方程(x－3)2＋y2＝9，设圆心为C，则C(3，0)，半径r＝3.设点(1，2)为点A，过点A(1，2)的直线为l，因为(1－3)2＋22＜9，所以点A(1，2)在圆C的内部，则直线l与圆C必相交，设交点分别为B，D.易知当直线l⊥AC时，直线l被该圆所截得的弦的长度最小，设此时圆心C到直线l的距离为d， 则d＝|AC|＝＝2， 所以|BD|min＝2＝2＝2， 即弦的长度的最小值为2. (2)依题意得，圆心(0，0)到直线x－y＋8＝0的距离d＝＝4，因此r2＝d2＋()2＝25，又r>0，所以r＝5. 【练2】 (2023·天津模拟)已知圆心为(1，m)的圆与x轴相切，且与直线x－2y＝0相交于A，B两点，若|AB|＝4，则实数m＝ ． 答案：3或－7　解析：因为圆心为(1，m)的圆与x轴相切，所以圆的半径为|m|，圆心到直线的距离d＝，根据垂径定理得到|m|2＝4＋d2，所以m2＝4＋，解得m＝3或m＝－7. 考向2　直线与圆相切问题 【例3】 (1)(2023·山东临沂模拟)已知圆的方程为x2＋y2＝1，则在y轴上截距为的切线方程为(　　) A．y＝x＋ B．y＝－x＋ C．y＝x＋或y＝－x＋ D．x＝1或y＝x＋ (2)(2022·新高考Ⅰ卷)写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程 . 答案：(1)C　(2)y＝－x＋或y＝x－或x＝－1 解析：(1)在y轴上截距为且斜率不存在的直线显然不是切线，故设切线方程为y＝kx＋，则＝1，所以k＝±1，故所求切线方程为y＝x＋或y＝－x＋. (2)圆x2＋y2＝1的圆心为O，半径为1，圆(x－3)2＋(y－4)2＝16的圆心O1为(3，4)，半径为4， 两圆圆心距为＝5，等于两圆半径之和，故两圆外切，如图， ①当切线为l时，因为kOO1＝， 所以kl＝－，设方程为y＝－x＋t(t>0)， O到l的距离d＝＝1，解得t＝， 所以l的方程为y＝－x＋； ②当切线为m时，设直线方程为kx＋y＋p＝0， 其中p>0，k<0， 由题意得 解得所以m的方程为y＝x－； ③当切线为n时，易知切线方程为x＝－1． 【练3】 (2024·湖北襄阳模拟)点P为射线x＝2(y≥0)上一点，过P作圆x2＋y2＝3的两条切线，若两条切线的夹角为90°，则点P的坐标为(　　) A．(2，1) B．(2，2) C．(2，) D．(2，0) C　解析：如图所示， 设两个切点为A，B，连接OA，OB，OP，则OA⊥AP，OB⊥BP，|OA|＝|OB|，|AP|＝|BP|，AP⊥BP， 故四边形OAPB为正方形， 则|OP|＝， 又xP＝2，则yP＝，所以点P的坐标为(2，). 学科网（北京）股份有限公司 $$