第8章 第3节 圆的方程（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版）

第三节　圆的方程 课标解读 1．回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程． 2．能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题． [对应学生用书P190] 1．圆的定义和圆的方程 定义 平面内到定点的距离等于定长的所有点的集合或(轨迹) 方程 标准 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心C(a，b) 半径为r 一般 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0) 圆心C (－，－) 半径r＝ 2.点与圆的位置关系 平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系： (1)|MC|>r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔M在圆外； (2)|MC|＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上； (3)|MC|<r⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔M在圆内． 1．判断正误 (1)方程x2＋y2＝a2表示半径为a的圆．(　　×　　) (2)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆．(　　×　　) (3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.(　　√　　) 2．(2022·北京卷)若直线2x＋y－1＝0是圆(x－a)2＋y2＝1的一条对称轴，则a＝(　　) A． B．－ C．1 D．－1 A　解析：由题可知圆心为(a，0)，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线2x＋y－1＝0上，即2a＋0－1＝0，解得a＝.故选A. 3．圆心为点C(8，－3)，且过点A(5，1)的圆的方程是(　　) A．(x－8)2＋(y＋3)2＝5 B．(x＋8)2＋(y－3)2＝5 C．(x＋8)2＋(y－3)2＝25 D．(x－8)2＋(y＋3)2＝25 答案：D 4．(多选)(2023·广东梅州模拟)已知圆M的一般方程为x2＋y2－8x＋6y＝0，则下列说法正确的是(　　) A．圆M的圆心坐标为(4，－3) B．圆M被x轴截得的弦长为8 C．圆M的半径为25 D．圆M被y轴截得的弦长为6 ABD　解析：圆M的一般方程为x2＋y2－8x＋6y＝0，则(x－4)2＋(y＋3)2＝25，圆M的圆心坐标为(4，－3)，半径为5，显然C不正确，ABD均正确． 5．当m∈ 时，方程x2＋y2－4x＋2my＋2m2－2m＋1＝0表示圆，半径最大时，圆的一般方程为 ． 答案：(－1，3)　x2＋y2－4x＋2y＋1＝0 [对应学生用书P191] 1．(2024·贵州贵阳模拟)“a<8”是“方程x2＋y2＋2x＋4y＋a＝0表示圆”的(　　) A.充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 B　解析：(方法一)　因为方程x2＋y2＋2x＋4y＋a＝0表示圆，所以22＋42－4a＞0，解得a<5，所以“a<8”是“a＜5”的必要不充分条件． (方法二)　方程x2＋y2＋2x＋4y＋a＝0表示圆，即(x＋1)2＋(y＋2)2＝5－a表示圆，则需5－a＞0，解得a<5， 所以“a<8”是“a<5”的必要不充分条件． 2．(2022·全国乙卷)过四点(0，0)，(4，0)，(－1，1)，(4，2)中的三点的一个圆的方程为 ． 答案：(x－2)2＋(y－3)2＝13或(x－2)2＋(y－1)2＝5或＋＝或＋(y－1)2＝ 解析：依题意设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，若过点(0，0)，(4，0)，(－1，1)， 则解得 所以圆的方程为x2＋y2－4x－6y＝0， 即(x－2)2＋(y－3)2＝13； 若过点(0，0)，(4，0)，(4，2)， 则解得 所以圆的方程为x2＋y2－4x－2y＝0， 即(x－2)2＋(y－1)2＝5； 若过点(0，0)，(4，2)，(－1，1)， 则解得 所以圆的方程为x2＋y2－x－y＝0， 即＋＝； 若过点(－1，1)，(4，0)，(4，2)， 则解得 易得D2＋E2－4F>0， 所以圆的方程为x2＋y2－x－2y－＝0， 即＋(y－1)2＝. 3．古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲线论》中有一个著名的几何问题：在平面上给定两点A(－a，0)，B(a，0)，动点P满足＝λ(其中a和λ是正常数，且λ≠1)，则P的轨迹是一个圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”，该圆的半径为 . 答案：　解析：设P(x，y)，由动点P满足＝λ(其中a和λ是正常数，且λ≠1)， 所以＝λ， 化简得x2＋x＋a2＋y2＝0， 即＋y2＝－a2， 所以该圆半径r＝＝. 【例1】 (1)点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任意一点连线的中点的轨迹方程是(　　) A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4 C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 (2)已知圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝9，过点A(2，3)作圆C的任意弦，则这些弦的中点P的轨迹方程为 ． 答案：(1)A　(2)(x－)2＋(y－2)2＝ 解析：(1)设圆上任意一点为(x1，y1)，中点为(x，y)， 则即 代入x2＋y2＝4， 得(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4， 化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1． (2)设P(x，y)，圆心C(1，1). 因为P点是过点A的弦的中点，所以⊥. 又因为＝(2－x，3－y)，＝(1－x，1－y). 所以(2－x)·(1－x)＋(3－y)·(1－y)＝0， 所以点P的轨迹方程为(x－)2＋(y－2)2＝. 【变式】 若将本例(2)中点A(2，3)换成圆上的点B(1，4)，其他条件不变，则这些弦的中点P的轨迹方程为 ． 答案：(x－1)2＋(y－)2＝　解析：设P(x，y)， 圆心C(1，1). 当点P与点B不重合时，因为P点是过点B的弦的中点，所以⊥. 又因为＝(1－x，4－y)，＝(1－x，1－y). 所以(1－x)·(1－x)＋(4－y)·(1－y)＝0. 所以点P的轨迹方程为(x－1)2＋(y－)2＝； 当点P与点B重合时，点P满足上述方程． 综上所述，点P的轨迹方程为(x－1)2＋(y－)2＝. 【练1】 (2023·江苏盐城模拟)已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2，0)，B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点． (1)求线段AP中点的轨迹方程； (2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程． 解：(1)设线段AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知点P坐标为(2x－2，2y). 因为点P在圆x2＋y2＝4上， 所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.化简得(x－1)2＋y2＝1． 故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1． (2)设线段PQ的中点为N(x，y). 在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|. 设O为坐标原点，连接ON(图略)， 则ON⊥PQ， 所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝ |ON|2＋|BN|2， 所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4. 故线段PQ中点的轨迹方程为 x2＋y2－x－y－1＝0. 考向1　斜率型、距离型、截距型最值问题 【例2】 (2023·江苏盐城模拟)已知M(x，y)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2，3). (1)求|MQ|的最大值和最小值； (2)求的最大值和最小值； (3)求y－x的最大值和最小值． 解：(1)由圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0， 可得(x－2)2＋(y－7)2＝8， ∴圆心C的坐标为(2，7)，半径r＝2. 又|QC|＝＝4， ∴|MQ|max＝4＋2＝6， |MQ|min＝4－2＝2. (2)可知表示直线MQ的斜率k. 设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)， 即kx－y＋2k＋3＝0. ∵直线MQ与圆C有交点， ∴≤2， 可得2－≤k≤2＋， ∴的最大值为2＋，最小值为2－. (3)设y－x＝b，则x－y＋b＝0. 当直线y＝x＋b与圆C相切时，截距b取到最值， ∴＝2， ∴b＝9或b＝1． ∴y－x的最大值为9，最小值为1． 考向2　利用对称性求最值 【例3】 已知A(0，2)，点P在直线x＋y＋2＝0上，点Q在圆C：x2＋y2－4x－2y＝0上，求|PA|＋|PQ|的最小值． 思维 导引 学科 素养 本题主要考查逻辑推理、数学运算等核心素养 思路 点拨 求出点A关于直线的对称点B，将问题转化为求点B与圆心的距离问题 解：圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5， 则圆心C(2，1)，半径r＝. 设A关于直线x＋y＋2＝0的对称点B(a，b)， 则解得∴B(－4，－2)， 连接A′C交圆C于Q，∴|PA|＋|PQ|的最小值是|BC|－r＝－＝2. 【练2】 (1)已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为(　　) A．5－4 B．－1 C．6－2 D． (2)(2023·湘潭质检)设点P(x，y)是圆x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2，0)，B(－2，0).则·的最大值为 ． 答案：(1)A　(2)12　解析：(1)圆心C1(2，3)，C2(3，4)， 作C1关于x轴的对称点C1′(2，－3)， 连接C1′C2与x轴交于点P， 此时|PC1|＋|PC2|取得最小值，则|PM|＋|PN|也取得最小值， 为|C1′C2|－1－3＝5－4. (2)由题意得＝(2－x，－y)， ＝(－2－x，－y)， 所以·＝x2＋y2－4， 由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程x2＋(y－3)2＝1， 故x2＝－(y－3)2＋1， 所以·＝－(y－3)2＋1＋y2－4＝6y－12. 易知2≤y≤4，所以当y＝4时，·的值最大，最大值为6×4－12＝12. 课时作业(四十四)　圆的方程 [基础保分练] 1．圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的圆心坐标和半径分别为(　　) A．(4，－6)，16 B．(2，－3)，4 C．(－2，3)，4 D．(2，－3)，16 C　解析：将圆的一般方程化为标准方程得(x＋2)2＋(y－3)2＝16，则圆心坐标为(－2，3)，半径为4. 2．(2023·云南昆明模拟)若点A，B在圆O：x2＋y2＝4上，弦AB的中点为D(1，1)，则直线AB的方程是(　　) A．x－y＝0 B．x＋y＝0 C．x－y－2＝0 D．x＋y－2＝0 D　解析：因为直线OD的斜率kOD＝1，所以直线AB的斜率kAB＝－1，所以直线AB的方程是y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0. 3．已知半径为1的圆经过点(3，4)，则其圆心到原点的距离的最小值为(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 A　解析：如图所示， 半径为1的圆经过点(3，4)，可得该圆的圆心轨迹为以(3，4)为圆心，1为半径的圆，连接OB，A在OB上且AB＝1，此时圆心到原点的距离最小，由OB＝5，得OA＝4，即圆心到原点的距离的最小值是4. 4．(多选)(2023·广东韶关模拟)已知△ABC的三个顶点为A(－1，2)，B(2，1)，C(3，4)，则下列关于△ABC的外接圆圆M的说法正确的是(　　) A．圆M的圆心坐标为(1，3) B．圆M的半径为 C．圆M关于直线x＋y＝0对称 D．点(2，3)在圆M内 ABD　解析：设△ABC的外接圆圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 则解得 所以△ABC的外接圆圆M的方程为x2＋y2－2x－6y＋5＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝5.故圆M的圆心坐标为(1，3)，圆M的半径为，因为直线x＋y＝0不经过圆M的圆心(1，3)，所以圆M不关于直线x＋y＝0对称．因为(2－1)2＋(3－3)2＝1<5，故点(2，3)在圆M内． 5．(多选)若实数x，y满足x2＋y2＋2x＝0，则下列关于的判断正确的是(　　) A．的最大值为 B．的最小值为－ C．的最大值为 D．的最小值为－ CD　解析：由x2＋y2＋2x＝0得(x＋1)2＋y2＝1，表示以(－1，0)为圆心，1为半径的圆，表示圆上的点(x，y)与点(1，0)连线的斜率，所以设＝k，即kx－y－k＝0，当直线kx－y－k＝0与圆相切时，k取到最值．此时＝1，得k＝±.所以的最大值为，最小值为－. 6．(2022·全国甲卷) 设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3，0)和(0，1)均在⊙M上，则⊙M的方程为________________． 答案：(x－1)2＋(y＋1)2＝5　解析：∵点M在直线2x＋y－1＝0上， ∴设点M为(a，1－2a)，又因为点(3，0)和(0，1)均在⊙M上， ∴点M到两点的距离相等且为半径R， ∴＝＝R， a2－6a＋9＋4a2－4a＋1＝5a2，解得a＝1， ∴M(1，－1)，R＝， ⊙M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5. 7．(2023·湖南衡阳八中月考)已知圆C的圆心在x轴上，并且经过点A(－1，1)，B(1，3)，若M(m，)在圆C内，则m的取值范围为________． 答案：(0，4)　解析：设圆心为C(a，0)，由|CA|＝|CB|， 得(a＋1)2＋12＝(a－1)2＋32，解得a＝2. 半径r＝|CA|＝＝. 故圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10. 由题意知(m－2)2＋()2<10，解得0<m<4. 8．古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出了圆的另一种定义：平面内，到两个定点A，B距离之比是常数λ(λ>0，λ≠1)的点M的轨迹是圆．若两定点A，B的距离为3，动点M满足|MA|＝2|MB|，则M点的轨迹围成区域的面积为________． 答案：4π　解析：以A点为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系(图略)，则可取B(3，0). 设M(x，y)，依题意有，＝2，化简整理得，x2＋y2－8x＋12＝0，即(x－4)2＋y2＝4，圆的面积为4π. 9．在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得的线段长为2，在y轴上截得的线段长为2. (1)求圆心P的轨迹方程； (2)若P点到直线y＝x的距离为，求圆P的方程． 解：(1)设P(x，y)，圆P的半径为r， 则y2＋2＝r2，x2＋3＝r2. ∴y2＋2＝x2＋3，即y2－x2＝1. ∴P点的轨迹方程为y2－x2＝1. (2)设P点的坐标为(x0，y0)， 则＝，即|x0－y0|＝1. ∴y0－x0＝±1，即y0＝x0±1. ①当y0＝x0＋1时，由y－x＝1， 得(x0＋1)2－x＝1，∴∴r2＝3. ∴圆P的方程为x2＋(y－1)2＝3； ②当y0＝x0－1时，由y－x＝1， 得(x0－1)2－x＝1，∴∴r2＝3. ∴圆P的方程为x2＋(y＋1)2＝3. 综上所述，圆P的方程为x2＋(y±1)2＝3. 10．已知点A(－3，0)，B(3，0)，动点P满足|PA|＝2|PB|. (1)若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程； (2)若点Q在直线l1：x＋y＋3＝0上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求QM的最小值． 解：(1)设点P的坐标为(x，y)， 则＝2， 化简可得(x－5)2＋y2＝16，所以曲线C的方程为(x－5)2＋y2＝16. (2)由(1)知，曲线C是以点(5，0)为圆心，4为半径的圆，如图所示． 由题意知直线l2是此圆的切线， 连接CQ，则|QM|＝＝， 当QM最小时，CQ最小， 此时CQ⊥l1，|CQ|＝＝4， 则|QM|的最小值为＝4. [技能提分练] 11．(2023·重庆八中月考)点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，|PA|＝1，则点P的轨迹方程是(　　) A．(x－1)2＋y2＝4 B．(x－1)2＋y2＝2 C．y2＝2x D．y2＝－2x B　解析：∵|PA|＝1， ∴点P到圆心(1，0)的距离恒为， 设P(x，y)， ∴由两点间的距离公式，得(x－1)2＋y2＝2. 12．(多选)(2023·江苏盐城模拟)设有一组圆Ck：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，下列命题正确的是(　　) A．不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上 B．所有圆Ck均不经过点(3，0) C．经过点(2，2)的圆Ck有且只有一个 D．所有圆的面积均为4π ABD　解析：圆心坐标为(k，k)，k∈R，在直线y＝x上，A正确； 令(3－k)2＋(0－k)2＝4， 化简得2k2－6k＋5＝0， ∵Δ＝36－40＝－4<0， ∴方程2k2－6k＋5＝0无实数根，∴B正确； 由(2－k)2＋(2－k)2＝4， 化简得k2－4k＋2＝0， ∵Δ＝16－8＝8>0，有两个不相等实根， ∴经过点(2，2)的圆Ck有两个，C错误； 由圆的半径为2，得圆的面积为4π，D正确． 13．(多选)已知圆C关于y轴对称，经过点(1，0)且被x轴分成两段，弧长比为1∶2，则圆C的方程为(　　) A．x2＋(y＋)2＝ B．x2＋(y－)2＝ C．(x－)2＋y2＝ D．(x＋)2＋y2＝ AB　解析：由已知可得圆心在y轴上，且被x轴所分得的劣弧所对圆心角为， 设圆心的坐标(0，a)，半径为r， 则r sin ＝1，r cos ＝|a|，解得r＝， 即r2＝，|a|＝，即a＝±， 故圆C的方程为x2＋(y±)2＝. 14．(2023·武汉模拟)已知两点A(0，－3)，B(4，0)，若点P是圆C：x2＋y2－2y＝0上的动点，则△ABP的面积的最小值为________． 答案：　解析：求△ABP面积的最小值，即求P到直线AB距离的最小值，即为圆心到直线AB的距离减去半径． 直线AB的方程为＋＝1， 即3x－4y－12＝0， 圆x2＋y2－2y＝0，即x2＋(y－1)2＝1， 圆心为(0，1)，半径为1， ∵圆心到直线AB的距离为 d＝＝， ∴P到直线AB的最小值为－1＝， ∵|AB|＝5， △ABP面积的最小值为×5×＝. 15．在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限，半径为2的圆C与直线y＝x相切于坐标原点O. (1)求圆C的方程； (2)求C上是否存在异于原点的点Q，使Q到定点F(4，0)的距离等于线段OF的长？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 解：(1)设圆C的圆心为C(a，b)， 则圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝8. 因为直线y＝x与圆C相切于原点O， 所以O点在圆C上，且OC垂直于直线y＝x， 于是有解得或 由于点C(a，b)在第二象限，故a<0，b>0， 所以圆C的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝8. (2)假设存在点Q符合要求， 设Q(x，y)，则有 解得x＝或x＝0(舍去). 所以存在点Q(，)，使Q到定点F(4，0)的距离等于线段OF的长． [素养拉分练] 16．已知圆C：(x－2)2＋y2＝1及点A(0，2)，点P，Q分别是直线x＋y＝0和圆C上的动点，则|PA|＋|PQ|的最小值为__________． 答案： 3　解析：作出点A关于直线x＋y＝0的对称点A′，如图， 设点A′(x0，y0)， 则有 解得 即A′(－2，0)，而C(2，0)， 由圆的性质知，圆外点P与圆C上点Q距离|PQ|满足|PQ|≥|PC|－1(当且仅当Q是线段PC与圆C的交点时取等号)，连接A′C交直线x＋y＝0于点O，P为直线x＋y＝0上任意一点， 连接PA，PA′，PC(线段PC交圆C于点Q)， 则(|PA|＋|PQ|)min＝|PA|＋|PC|－1＝|PA′|＋|PC|－1≥|A′C|－1＝3，当且仅当点P在线段A′C上，即与点O重合时取等号，所以|PA|＋|PQ|的最小值为3. 学科网（北京）股份有限公司 $$