第8章 第2节 两条直线的位置关系与距离公式（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版）

第二节　两条直线的位置关系与距离公式 课标解读 1．能根据斜率判定两条直线平行或垂直． 2．能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标． 3．探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离． [对应学生用书P184] 1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行 对于两条不重合的直线l1：y＝k1x＋b1和l2：y＝k2x＋b2(其中b1≠b2)，l1∥l2⇔k1＝k2．特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2平行． (2)两条直线垂直 对于两条不重合的直线l1：y＝k1x＋b1和l2：y＝k2x＋b2，l1⊥l2⇔k1·k2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直． 2．两直线的交点 一般地，对于两条不重合的直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，我们可以用直线的斜率(斜率存在时)或法向量先定性判断两条直线是否相交，若相交，则依据直线方程的概念可知，两条直线l1，l2交点的坐标就是两个方程的公共解．因此，可通过求解方程组得到两条直线l1，l2的交点坐标． 3．平面直角坐标系中的距离公式 (1)两点间的距离公式 在平面直角坐标系中，若两点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由勾股定理可得A，B两点间的距离公式|AB|＝． (2)点到直线的距离公式 在平面直角坐标系中，有一点P(x0，y0)，直线l：Ax＋By＋C＝0，则点P到直线l的距离公式d＝(其中A，B不全为0). (3)两平行线间的距离公式 两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝(其中A，B不全为0，且C1≠C2). 4．对称问题 (1)点P(x0，y0)关于点A(a，b)的对称点为P′(2a－x0，2b－y0). (2)设点P(x0，y0)关于直线y＝kx＋b的对称点为P′(x′，y′)，则有可求出x′，y′. 应用点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式时应注意： (1)将方程化为最简的一般形式． (2)利用两平行线之间的距离公式时，应使两直线方程中x，y的系数分别对应相等． 1．判断正误 (1)当直线l1和l2斜率都存在时，k1＝k2⇒l1∥l2.(　　×　　) (2)如果两条直线l1和l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1．(　　×　　) (3)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为.(　　×　　) (4)已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，若直线l1⊥l2，则A1A2＋B1B2＝0.(　　√　　) 2．与直线3x－4y＋5＝0关于y轴对称的直线方程为(　　) A．3x＋4y－5＝0 B．3x＋4y＋5＝0 C．3x－4y＋5＝0 D．3x－4y－5＝0 答案：A 3．(多选)等腰直角三角形ABC的直角顶点为C(3，3)，若点A的坐标为(0，4)，则点B的坐标可能是(　　) A．(2，0) B．(0，2) C．(4，6) D．(6，4) AC　解析：设B(x，y)，根据题意可得 即 解得或 所以B(2，0)或B(4，6). 4．平行线3x＋4y－9＝0和6x＋8y＋2＝0之间的距离是(　　) A． B．2 C． D． 答案：B 5．若直线l1：x＋y－1＝0与直线l2：x＋a2y＋a＝0平行，则实数a＝ ． 答案：1 6．(2023·武汉质检)若直线ax＋4y－2＝0与直线2x－5y＋b＝0垂直，垂足为(1，c)，则a＋b＋c＝ ． 答案：－4　解析：∵直线ax＋4y－2＝0与直线2x－5y＋b＝0垂直，∴－×＝－1，∴a＝10， ∴直线ax＋4y－2＝0的方程为5x＋2y－1＝0. 将点(1，c)的坐标代入上式可得5＋2c－1＝0，解得c＝－2. 将点(1，－2)的坐标代入方程2x－5y＋b＝0， 得2－5×(－2)＋b＝0，解得b＝－12， ∴a＋b＋c＝10－12－2＝－4. [对应学生用书P186] 1．(2024·四川成都模拟)已知直线l1：x＋y＋m＝0，l2：x＋m2y＝0.则“l1∥l2”是“m＝1”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 B　解析：由题意，直线l1：x＋y＋m＝0，l2：x＋m2y＝0，因为l1∥l2，可得m2＝1，解得m＝±1，所以“l1∥l2”是“m＝1”的必要不充分条件． 2．(多选)(2023·江苏常州模拟)已知直线l1：x＋my－1＝0，l2：(m－2)x＋3y＋3＝0，则下列说法正确的是(　　) A．若l1∥l2，则m＝－1或m＝3 B．若l1∥l2，则m＝3 C．若l1⊥l2，则m＝－ D．若l1⊥l2，则m＝ BD　解析：若l1∥l2则1×3－m(m－2)＝0，解得m＝3或m＝－1， 当m＝－1时，l1：x－y－1＝0，l2：x－y－1＝0，l1与l2重合， ∴m＝－1(舍去)，故m＝3，故A错误，B正确； 若l1⊥l2，则1×(m－2)＋m×3＝0，解得m＝，故C错误，D正确． 3．已知过点A(－2，m)和点B(m，4)的直线为l1，直线2x＋y－1＝0为l2，直线x＋ny＋1＝0为l3.若l1∥l2，l2⊥l3，则实数m＋n的值为(　　) A．－10 B．－2 C．0 D．8 A　解析：由题意可得直线l1，l2，l3的斜率存在，可分别设为k1，k2，k3，∵l1∥l2，即k1＝k2，∴＝－2(m≠－2)，解得m＝－8(经检验，l1与l2不重合).∵l2⊥l3，即k2·k3＝－1，∴2×1＋1×n＝0，解得n＝－2，∴m＋n＝－10. 4．(2023·荆门模拟)数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线，已知△ABC的顶点A(2，0)，B(1，2)，且|AC|＝|BC|，则△ABC的欧拉线的方程为(　　) A．x－2y－4＝0 B．2x＋y－4＝0 C．4x＋2y＋1＝0 D．2x－4y＋1＝0 D　解析：由题设，可得kAB＝＝－2， 且AB的中点为， ∴AB的垂直平分线的斜率k＝－＝， 故AB的垂直平分线方程为y＝＋1＝＋， ∵|AC|＝|BC|，则△ABC的外心、重心、垂心都在AB的垂直平分线上， ∴△ABC的欧拉线的方程为2x－4y＋1＝0. 1．(2023·北京清华附中模拟)已知点P与点(3，4)的距离不大于1，则点P到直线3x＋4y＋5＝0的距离最小值为(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 B　解析：设点P(x，y)，则点P到点(3，4)的距离为(x－3)2＋(y－4)2≤1，圆心(3，4)到3x＋4y＋5＝0的距离为d＝＝6，则点P到直线3x＋4y＋5＝0的距离最小值为6－1＝5. 2．(多选)(2024·济南调研)已知直线l1：2x＋3y－1＝0和l2：4x＋6y－9＝0，若直线l到直线l1的距离与到直线l2的距离之比为1∶2，则直线l的方程为(　　) A．2x＋3y－8＝0 B．4x＋6y＋5＝0 C．6x＋9y－10＝0 D．12x＋18y－13＝0 BD　解析：设直线l：4x＋6y＋m＝0，m≠－2且m≠－9， 直线l到直线l1和l2的距离分别为d1，d2， 由题意知d1＝，d2＝. 因为＝，所以＝， 即2|m＋2|＝|m＋9|，解得m＝5或m＝－，即直线l为4x＋6y＋5＝0或12x＋18y－13＝0. 3．若两平行直线3x－2y－1＝0，6x＋ay＋c＝0之间的距离为，则c的值是 ． 答案：2或－6　解析：依题意知，＝≠，解得a＝－4，c≠－2，即直线6x＋ay＋c＝0可化为3x－2y＋＝0. 又两平行线之间的距离为，即＝，解得c＝2或c＝－6. 4．(2023·湖州模拟)已知点P(4，a)到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范围是 ． 答案：[0，10]　解析：由题意得，点P到直线的距离为＝. 又≤3，即|15－3a|≤15，解得0≤a≤10， 所以a的取值范围是[0，10]. 考向1　中心对称问题 【例1】 过点P(0，1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为 ． 答案：x＋4y－4＝0　解析：设l1与l的交点为A(a，8－2a).由题意知，点A关于点P的对称点B(－a，2a－6)在l2上，把点B的坐标代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4，0)，P(0，1)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0. 【练1】 直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点N，则直线2x＋3y－6＝0关于点N对称的直线方程为(　　) A．2x＋3y－12＝0 B．2x＋3y＋12＝0 C．2x－3y＋12＝0 D．2x－3y－12＝0 B　解析：由ax＋y＋3a－1＝0可得a(x＋3)＋y－1＝0.令可得x＝－3，y＝1，所以N(－3，1).设直线2x＋3y－6＝0关于点N对称的直线方程为2x＋3y＋c＝0(c≠－6)，则＝，解得c＝12或c＝－6(舍去).故所求直线方程为2x＋3y＋12＝0. 考向2　轴对称问题 【例2】 (1)已知点A的坐标为(－4，4)，直线l的方程为3x＋y－2＝0，则点A关于直线l的对称点A′的坐标为 ． (2)直线2x－y＋3＝0关于直线x－y＋2＝0对称的直线方程是 ． 答案：(1)(2，6)　(2)x－2y＋3＝0　解析：(1)设点A′的坐标为(x，y)， 由题意可知解得 所以点A′的坐标为(2，6). (2)设所求直线上任意一点P(x，y)， 点P关于x－y＋2＝0的对称点为P′(x0，y0)， 由得 因为点P′(x0，y0)在直线2x－y＋3＝0上， 所以2(y－2)－(x＋2)＋3＝0，即x－2y＋3＝0. 【练2】 (2023·福建上杭一中月考)已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2).求： (1)点A关于直线l的对称点A′的坐标； (2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程； (3)直线l关于点A对称的直线l′的方程． 解：(1)设A′(x，y)，由l：2x－3y＋1＝0， 得y＝x＋.则 解得即A′. (2)在直线m上取一点，如M(2，0)，则M(2，0)关于直线l的对称点必在m′上．设对称点为M′(a，b)， 则 解得即M′. 设m与l的交点为N，则由 得N(4，3).又m′经过点N(4，3)， 故km′＝＝， ∴由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0. (3)(方法一)　在l：2x－3y＋1＝0上任取两点， 如P(1，1)，N(4，3)， 则P，N关于点A的对称点P′，N′均在直线l′上． 易知P′(－3，－5)，N′(－6，－7)，由两点式可得l′的方程为2x－3y－9＝0. (方法二)　设Q(x，y)为l′上任意一点， 则Q(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为Q′(－2－x，－4－y). ∵Q′在直线l上，∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0， 即直线l′的方程为2x－3y－9＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $$