第8章 第1节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版）

第八章　解析几何 第一节　直线的倾斜角与斜率、直线的方程 课标解读 1．在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素． 2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式． 3．根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、截距式、两点式及一般式). [对应学生用书P180] 1．直线的倾斜角 (1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l首次重合时所成的角，称为直线l的倾斜角，通常倾斜角用α表示． (2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0． (3)范围：直线的倾斜角α的取值范围是[0，π)． 2．直线的斜率 (1)定义：称k＝(其中x1≠x2)为经过不同两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线l的斜率． (2)计算公式 ①经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率k＝＝tan α. ②若k是直线l的斜率，则v＝(1，k)是它的一个方向向量；若直线l的一个方向向量的坐标为(x，y)，其中x≠0，则它的斜率k＝. 3．直线方程的五种形式 名称 几何条件 方程 适用条件 斜截 式 纵截距、斜率 y＝kx＋b 与x轴不垂 直的直线 点斜 式 过一点、斜率 y－y0＝ k(x－x0) 两点 式 过两点 ＝ 与两坐标轴均不垂直的直线 截距 式 纵、横截距 ＋＝1 不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线 一般 式 — Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0) 所有直线 “截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．应注意过原点的特殊情况是否满足题意． 1．判断正误 (1)直线的倾斜角越小，其斜率就越小．(　　×　　) (2)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.(　　×　　) (3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．(　　×　　) (4)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)·(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．(　　√　　) 2．设直线l的方程为x sin θ－y＋2＝0，则直线l的倾斜角α的范围是(　　) A．[0，π] B．[0，] C．[，] D．[0，]∪[，π) 答案：D 3．如果A·C<0且B·C<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：C 4．(多选)下列说法正确的是(　　) A．有的直线斜率不存在 B．若直线l的倾斜角为α，且α≠90°，则它的斜率k＝tan α C.若直线l的斜率为1，则它的倾斜角为 D．截距可以为负值 答案：ABD 5．直线x＝－2与直线x－y＋1＝0的夹角为 ． 答案：　解析：由于直线x＝－2的斜率不存在，倾斜角为，直线x－y＋1＝0的斜率为，倾斜角为，故夹角为. 6．过点P(2，3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 ． 答案：3x－2y＝0或x＋y－5＝0 [对应学生用书P181] 1．若图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则(　　) A．k1＜k2＜k3 B．k3＜k1＜k2 C．k3＜k2＜k1 D．k1＜k3＜k2 D　解析：直线l1的倾斜角α1是钝角，故k1＜0.直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2＞α3，所以0＜k3＜k2，因此k1＜k3＜k2. 2．(2024·青岛模拟)已知点A(1，3)，B(－2，－1).若直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，则k的取值范围是(　　) A．k≥ B．k≤－2 C．k≥或k≤－2 D．－2≤k≤ D　解析：直线l：y＝k(x－2)＋1经过定点P(2，1)， ∴kPA＝＝－2，kPB＝＝. 又直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB相交， ∴－2≤k≤. 3．直线l经过A(3，1)，B(2，－m2)(m∈R)两点，则直线l的倾斜角α的取值范围是 ． 答案：)　解析：直线l的斜率k＝＝1＋m2≥1，所以k＝tan α≥1．又y＝tan α在(0，)上是增函数，所以≤α<. 1．(多选)(2023·广东湛江模拟)过点(－3，1)且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程可能是(　　) A．x＋3y＝0 B．x＋y＋2＝0 C．x－y＋2＝0 D．x－3y＝0 AB　解析：当截距均为0时，设直线的方程为y＝kx，将点(－3，1)的坐标代入得k＝－，此时直线的方程为x＋3y＝0；当截距均不为0时，设直线的方程为＋＝1，将点(－3，1)的坐标代入得a＝－2，此时直线的方程为x＋y＋2＝0. 2．(2024·重庆凤鸣山中学月考)已知A(－1，1)，B(3，1)，C(1，3)，则△ABC的边BC上的高所在的直线方程为(　　) A．x＋y＝0 B．x－y＋2＝0 C．x＋y＋2＝0 D．x－y＝0 B　解析：因为B(3，1)，C(1，3)，所以kBC＝＝－1，故BC边上的高所在直线的斜率k＝1，又高线经过点A(－1，1)，所以其所在的直线方程为x－y＋2＝0. 3．(2023·江苏扬州模拟)经过两条直线l1：x＋y＝2，l2：2x－y＝1的交点，且直线的一个方向向量v＝(－3，2)的直线方程为 ． 答案：2x＋3y－5＝0　解析：联立解得 ∴直线过点(1，1). ∵直线的方向向量v＝(－3，2)， ∴直线的斜率k＝－， 则直线的方程为y－1＝－(x－1)， 即2x＋3y－5＝0. 考向1　直线过定点问题 【例1】 已知k∈R，写出以下动直线所过的定点坐标： (1)若直线方程为y＝kx＋3，则直线过定点 ； (2)若直线方程为y＝kx＋3k，则直线过定点 ； (3)若直线方程为x＝ky＋3，则直线过定点 . 答案：(1)(0，3)　(2)(－3，0)　(3)(3，0) 解析：(1)当x＝0时，y＝3，所以直线过定点(0，3). (2)直线方程可化为y＝k(x＋3)，故直线过定点(－3，0). (3)当y＝0时，x＝3，所以直线过定点(3，0). 考向2　与直线方程有关的最值问题 【例2】 已知直线l过点M(2，1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，求直线l的方程． 思维 导引 学科 素养 本题主要考查逻辑推理、数学运算等核心素养 思路 点拨 (方法一)设直线方程的点斜式，分别求出A，B两点的坐标，进而表示出三角形的面积，再利用基本不等式求最值，从而求出直线l的方程． (方法二)设出直线方程的截距式，利用直线过定点，得到定值，利用基本不等式求出三角形面积的最小值后再求直线l的方程 解：(方法一)　设直线l的方程为y－1＝k(x－2)(k<0)， 则A(2－，0)，B(0，1－2k)， S△AOB＝(1－2k)·(2－)＝ ≥ ×(4＋4)＝4，当且仅当－4k＝－， 即k＝－时，等号成立．故直线l的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0. (方法二)　设直线l：＋＝1，且a>0，b>0.因为直线l过点M(2，1)，所以＋＝1，则1＝＋≥2 ，故ab≥8，故S△AOB的最小值为×ab＝×8＝4，当且仅当＝＝时取等号，此时a＝4，b＝2，故直线l：＋＝1，即x＋2y－4＝0. 【变式】 在本例条件下，当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程． 解：由本例方法二知，＋＝1，a>0，b>0， 所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)(＋)＝3＋＋≥3＋2， 当且仅当＝，即a＝2＋，b＝1＋时等号成立，所以当|OA|＋|OB|取最小值时，直线l的方程为x＋y－2－＝0. 【练】 (2024·南京一中月考)已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R). (1)证明：直线l过定点； (2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围； (3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值，并求此时直线l的方程． (1)证明：直线l的方程可化为k(x＋2)＋(1－y)＝0， 令解得 ∴无论k取何值，直线l总经过定点(－2，1). (2)解：由方程知，当k≠0时，直线在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线l不经过第四象限，则有解得k>0； 当k＝0时，直线l的方程为y＝1，符合题意，故k的取值范围是[0，＋∞). (3)解：由题意可知k≠0，再由l的方程， 得A，B(0，1＋2k). 依题意得解得k>0. ∵S＝·|OA|·|OB|＝··|1＋2k|＝·＝≥ ×(2×2＋4)＝4， 当且仅当4k＝，即k＝时等号成立， ∴Smin＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $$