第7章 微专题系列之数学探究——确定球心巧解“切”“接”问题（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版）

微专题系列之数学探究——确定球心巧解“切”“接”问题 [对应学生用书P149] 球与其他几何体的切接问题，是近几年高考的热点，这种题目几乎在各省高考试题中都有涉及，主要考查直观想象和逻辑推理的核心素养． 解决与球有关的切、接问题，其通法是作截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题的思维流程是 　　　　　　　　　　　　　　　　 类型1　由球的定义确定球心 若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球．也就是说如果一个定点到一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体外接球的球心． 1．长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点； 2．正三棱柱的外接球的球心是上、下底面中心连线的中点； 3．直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的中点； 4．正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到． 【例1】 若正三棱柱ABC­A′B′C′的底面边长为2，侧棱长为1，其顶点都在同一个球面上，则球的表面积为 ． [思维过程] 明确目标→求球的表面积． 提取信息→已知正三棱柱的底面边长和侧棱长． 建立联系→确定球心位置，构造直角三角形，利用勾股定理求球的半径，从而求球的表面积． 思路导引→如图，H′，H分别为上、下底面的中心，HH′的中点O即为外接球的球心． 由题意得， 在Rt△OAH中，AH＝，OH＝， 则外接球的半径R＝OA＝ ＝， 表面积S＝4πR2＝. 答案： 【练1】 已知直三棱柱ABC­A1B1C1的所有顶点都在球O的球面上，AB＝AC＝，∠BAC＝120°，AA1＝2，则球O的表面积为 ． 答案：12π　解析：设△ABC和△A1B1C1的外心分别为D，E，则三棱柱外接球的球心为DE的中点O，连接OC，CD，设外接球的半径为R，△ABC外接圆的半径为r， 在△ABC中，AB＝AC＝，∠BAC＝120°， 由余弦定理得BC＝＝， 由正弦定理可得2r＝＝2，所以r＝， 在△OCD中，OC2＝OD2＋CD2，则R2＝r2＋1＝3， 所以球O的表面积S＝4πR2＝12π. 类型2　构造长方体或正方体确定球心 1．正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体； 2．同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体； 3．若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补形成长方体或正方体； 4．若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补形成长方体或正方体． 【例2】 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的体积是 ． [思维过程] 明确目标→求三棱锥外接球的体积． 提取信息→三棱锥三个侧面两两垂直且侧棱长均为. 建立联系→补形为正方体，确定球心，求出外接球半径，从而求外接球的体积． 思路导引→三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为， 则可将三棱锥补形成正方体．从而其外接球的直径为3，半径为， 故所求外接球的体积V＝×()3＝. 答案： 【练2】 如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，将△ADE，△EBF，△FCD分别沿DE，EF，FD折起，使得A，B，C三点重合于点A′，若四面体A′EFD的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积为(　　) A．8π B．6π C．11π D．5π B　解析：由题意可知△A′EF是等腰直角三角形，且A′D⊥平面A′EF.三棱锥的底面A′EF扩展为边长为1的正方形，即为正四棱柱，三棱锥的外接球与正四棱柱的外接球是同一个球，正四棱柱的对角线的长度就是外接球的直径，直径为＝. ∴球的半径为，∴球的表面积为4π·()2＝6π.故选B. 类型3　由球的性质确定球心 【例3】 正三棱锥A­BCD内接于球O，且底面边长为，侧棱长为2，则球O的表面积为 ． [思维过程] 明确目标→求球的表面积． 提取信息→正三棱锥内接于球O，底面边长及侧棱长均已知． 建立联系→设出外接球的半径，确定球心位置，构造直角三角形，利用勾股定理求解外接球的半径，进而求体积． 思路导引→如图，设三棱锥A­BCD的外接球的半径为r，M为正△BCD的中心，因为BC＝CD＝BD＝， AB＝AC＝AD＝2，AM⊥平面BCD，所以DM＝1，AM＝，又OA＝OD＝r， 所以(－r)2＋1＝r2，解得r＝， 所以球O的表面积S＝4πr2＝. 答案： 【练3】 已知正三棱锥的高为1，底面边长为2，内有一个球与四个面都相切，则棱锥的内切球的半径为 ． 答案：－1　解析：如图，在正三棱锥P­ABC中，过点P作PD⊥平面ABC于点D，连接AD并延长交BC于点E，连接PE，∵△ABC是正三角形，∴AE是BC边上的高和中线，D为△ABC的中心． ∵AB＝2， ∴S△ABC＝3，DE＝1，PE＝，∴S△PBC＝×2×＝.∵PD＝1，∴三棱锥的体积V＝×3×1＝. 设内切球半径为R， 又V＝VO­ABC＋VO­PBC＋VO­PAC＋VO­PAB＝S△ABC·R＋3×S△PBC·R＝(＋)R＝，可得R＝－1． 学科网（北京）股份有限公司 $$