第7章 微专题系列之数学探究——立体几何中的动态问题(一)（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版）

微专题系列之数学探究——立体几何中的动态问题(一) [对应学生用书P167] 立体几何中的动态问题，主要包括：空间动点轨迹的判断、求轨迹的长度及动角的范围等． 【例】 如图，在长方形ABCD中，AB＝，BC＝1，点E为线段DC上一动点，现将△ADE沿AE折起，使点D在平面ABC内的射影K在直线AE上，当点E从D运动到C，则点K所形成轨迹的长度为(　　) A． B． C． D． [思维过程] 明确目标→求点K运动形成的轨迹的长度． 提取信息→已知长方形的边长，将△ADE沿AE折起，点D在平面ABC内的射影K在直线AE上，点E从D运动到点C. 建立联系→根据图形的翻折过程中变与不变的量和位置关系知，若连接D′K， 则∠D′KA＝90°，得到K点的轨迹是以AD′为直径的圆上一弧，根据长方形的边长得到圆的半径，求得此弧所对的圆心角的弧度数，利用弧长公式求出轨迹长度． 思路导引→由题意，将△AED沿AE折起，使平面AED⊥平面ABC，在平面AED内过点D作DK⊥AE，K为垂足．连接D′K，由翻折的特征知， ∠D′KA＝90°，故K点的轨迹是以AD′为直径的圆上的一段弧，根据AD′＝BC＝1知圆半径是.如图，当E与C重合时， △D′AK∽△CAD′，故AK＝＝. 取O为AD′的中点，在Rt△AKD′中，OK＝OA＝1，所以△OAK是正三角形． 故∠KOA＝，所以∠KOD′＝， 其所对的弧长为×＝. 答案：C 【练】 如图，在四棱锥P­ABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD为正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP＝MC，则点M在正方形ABCD内的轨迹是(　　) A　解析：根据题意可知PD＝DC，则点D符合“M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP＝MC”，设AB的中点为N，连接PN，NC(图略)，根据题目条件可知△PAN≌△CBN，则PN＝CN，点N也符合“M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP＝MC”，故动点M的轨迹肯定过点D和点N，可排除B，C，而到点P与到点C的距离相等的点的轨迹是线段PC的垂直平分面，线段PC的垂直平分面与平面AC的交线是一条直线．故选A. 学科网（北京）股份有限公司 $$