第7章 微专题系列之数学探究——立体几何中的动态问题(二)（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版）

微专题系列之数学探究——立体几何中的动态问题(二) [对应学生用书P179] 1．立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断、求轨迹的长度及动角的范围等． 2．一般是根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹(还可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程). 【例】 (2023·山西晋中模拟)如图，在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，点P为线段A1C上的动点(P不与A1，C重合)，点M，N分别为线段A1C1，CC1的中点，则下列说法中正确的是 .(填序号) ①A1P⊥BC1； ②三棱锥M­B1NP的体积随P点位置的变化而变化； ③PD1＋PC1的最小值为； ④∠APD1的取值范围是(，]. [思维过程] 明确目标→由动点问题，考查立体几何中的综合问题． 提取信息→在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，点M，N分别为线段A1C1，CC1的中点． 建立联系→①可以根据线面垂直的性质可得证，②可以先证明A1P∥平面B1MN，得到三棱锥M­B1NP的体积为定值来判断正误，③可通过Rt△A1AC≌Rt△A1D1C，得到PA＝PD1进而可以判断正误，④可用余弦定理来求得其范围． 思路导引→由题易知，BC1⊥平面A1B1CD，而A1P⊂平面A1B1CD，所以A1P⊥BC1，①正确；在△A1C1C中，点M，N分别为线段A1C1，CC1的中点，所以MN∥A1P，因为A1P⊄平面B1MN，而MN⊂平面B1MN，所以A1P∥平面B1MN，所以点P到平面B1MN的距离为定值，且△B1MN的面积为定值，所以三棱锥M­B1NP的体积为定值，②错误；易知Rt△A1AC≌Rt△A1D1C，所以PA＝PD1，所以PD1＋PC1＝PA＋PC1≥AC1＝，③正确；设AP＝D1P＝x，易知x的取值范围为[，)，则cos ∠APD1＝＝＝1－∈[－，)，所以∠APD1的取值范围是(，]，④正确． 答案：①③④ 【练】 在平面四边形ABCD中，AD＝AB＝，CD＝CB＝，且AD⊥AB，现将△ABD沿对角线BD翻折成△A′BD，则在△A′BD折起至转到平面BCD的过程中，直线A′C与平面BCD所成最大角的正切值为(　　) A．2 B． C． D． D　解析：取BD的中点O，则A′B＝A′D，BC＝CD， 所以A′O⊥BD，CO⊥BD. 又A′O，CO⊂平面A′OC，所以BD⊥平面A′OC.又BD⊂平面BCD，所以平面BCD⊥平面A′OC，因此A′在平面BCD的射影在直线OC上，即∠A′CO为直线A′C与平面BCD所成角．因为AD＝AB＝，CD＝CB＝，且AD⊥AB，所以A′O＝1，OC＝2， 所以sin ∠A′CO＝sin ∠OA′C＝sin ∠OA′C≤，即∠A′CO的最大值为，因此直线A′C与平面BCD所成最大角的正切值为tan ＝，故选D. 学科网（北京）股份有限公司 $$