第7章 微专题系列之数学探究——建立空间直角坐标系的方法与技巧（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版）

微专题系列之数学探究——建立空间直角坐标系的方法与技巧 [对应学生用书P173] 建立坐标系最重要的条件就是线面垂直(即z轴)，对于x，y轴的选取，如果没有已知线段垂直，可以以垂足所在的某一条直线为坐标轴，然后作这条轴的垂线来确定另一条轴． 【例】 如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，∠ABC＝60°，CF⊥平面ABCD，且CF＝1，建立适当的直角坐标系并确定各点坐标． [思维过程] 明确目标→建立适当的直角坐标系，并确定各点坐标． 提取信息→四边形ABCD为梯形，AB∥CD, AD＝DC＝CB＝1, ∠ABC＝60°，CF⊥平面ABCD，CF＝1． 建立联系→已知CF⊥平面ABCD，在平面ABCD内找过点C的两条相互垂直的直线，进而可由三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系．根据题中具体数据写出各点坐标． 思路导引→(方法一：以BC为y轴)　连接AC，由题意可知∠ADC＝120°， ∴在△ADC中，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC cos ∠ADC＝3，∴AC＝. 由AC＝，BC＝1， ∠ABC＝60°，可得AB＝2，∠ACB＝90°， ∴AC⊥BC. ∵CF⊥平面ABCD，AC，BC⊂平面ABCD， ∴CF⊥AC，CF⊥BC， 以C为坐标原点， CA，CB，CF所在直线分别为x，y，z轴建立空间直 角坐标系． 则C(0，0，0)，B(0，1，0)，A(，0，0)， D(，－，0)，F(0，0，1). (方法二：以CD为y轴)　过C作CD的垂线CM交AB于M， ∵CF⊥平面ABCD，∴CF⊥CD，CF⊥CM， 以C为坐标原点，CM，DC，CF所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系． 计算可得CM＝，AB＝2， ∴A(，－，0)，B(，，0)，C(0，0，0)， D(0，－1，0)，F(0，0，1). 【练】 如图，已知四棱锥P­ABCD的底面是菱形，对角线AC，BD交于点O，OA＝4，OB＝3，OP＝4，且OP⊥平面ABCD，点M为PC的三等分点(靠近P)，建立适当的直角坐标系并求各点坐标． 解：以O为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则P(0，0，4)，B(3，0，0)，C(0，4，0)，A(0，－4，0)，D(－3，0，0)，M(0，，). 学科网（北京）股份有限公司 $$