第7章 微专题系列之数学建模——与平行相关的探索性问题（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版）

微专题系列之数学建模——与平行相关的探索性问题 [对应学生用书P161] 开放探索性问题是高考的常考命题点，而立体几何中有关线面平行的开放探索性问题是命题的一个热点，主要涉及对条件或结论不完备的开放性问题的探究，重点考查逻辑推理、直观想象与数学运算的核心素养． 【例】 (2023·云南昆明一中模拟)在如图所示的五面体ABCDFE中，△ADF是正三角形，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝，EF∥平面ABCD，AB＝2EF＝2，点M为BC中点． (1)在直线CD上是否存在一点G，使得平面EMG∥平面BDF，请说明理由； (2)请在下列两个条件中任选一个，求该五面体ABCDEF的体积． ①cos ∠BDF＝；②EM＝2. [思维过程] 明确目标→(1)判断直线CD上是否存在一点G使得平面EMG∥平面BDF；(2)选择一个条件求五面体的体积． 提取信息→五面体的一个面是正三角形，一个面是菱形，∠ABC＝，EF∥平面ABCD，AB＝2EF＝2，点M为BC中点． 建立联系→(1)易证四边形OMEF是平行四边形，则有OF∥EM，取CD的中点G，根据中位线得GM∥BD，由面面平行的判定定理即可证得平面EMG∥平面BDF；(2)选择①由cos ∠BDF＝，求得BF＝，五面体ABCDEF可由三棱柱ADF­BCP截去三棱锥E­BCP得到；选择②有OF＝EM＝2，可证FN⊥平面ABCD，求体积时同①. 思路导引→(1)连接AC交BD于点O， 连接OM，OF，取CD的中点G， 连接GM，GE. 因为EF∥平面ABCD， EF⊂平面ABEF， 平面ABEF∩平面ABCD＝AB， 所以EF∥AB. 因为OM∥AB∥EF， OM＝AB＝EF， 所以四边形OMEF是平行四边形， 所以OF∥EM. 因为EM⊄平面BDF， OF⊂平面BDF， 所以EM∥平面BDF. 因为点G与点M分别为CD与BC的中点， 所以GM∥BD. 因为GM⊄平面BDF， BD⊂平面BDF， 所以GM∥平面BDF. 又GM∩EM＝M， GM，EM⊂平面EMG， 所以平面EMG∥平面BDF. (2)选择①：在△BDF中， BD＝DF＝2，cos ∠BDF＝， 所以BF＝， 取AD的中点N，连接FN，BN， 在△BNF中，BN＝FN＝，BF＝， 所以BN⊥FN. 因为△ABD是正三角形，所以BN⊥AD. 因为AD∩FN＝N，所以BN⊥平面ADF. 因为BN⊂平面ABCD， 所以平面ADF⊥平面ABCD. 如图，五面体ABCDFE可由三棱柱ADF­BCP截去三棱锥E­BCP得到． 所以V五面体ABCDFE＝V三棱柱ADF­BCP－V三棱锥E­BCP＝ V三棱柱ADF­BCP＝·S△ADF·BN＝ ××2××＝. 选择②：由(1)有OF＝EM＝2，取AD的中点N，连接FN，ON，BN， 在△ONF中，FN＝，ON＝1，OF＝2， 所以ON⊥FN. 因为△ADF是正三角形，所以AD⊥FN. 因为AD∩ON＝N， 所以FN⊥平面ABCD，所以平面ADF⊥平面ABCD. 因为△ABD是正三角形，所以BN⊥AD. 因为平面ADF∩平面ABCD＝AD， BN⊂平面ABCD， 所以BN⊥平面ADF. 下同①，略． 【练】 (2023·广东梅州调研)如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，P，Q分别为对角线BD，CD1上的点，且＝＝. (1)求证：PQ∥平面A1D1DA； (2)若R是AB上的点，的值为多少时，能使平面PQR∥平面A1D1DA？请给出证明． (1)证明：如图，连接CP并延长，与DA的延长线交于M点，连接MD1，因为四边形ABCD为正方形， 所以BC∥AD， 故△PBC∽△PDM， 所以＝＝. 又因为＝＝， 所以＝＝， 所以PQ∥MD1． 又MD1⊂平面A1D1DA，PQ⊄平面A1D1DA， 故PQ∥平面A1D1DA. (2)解：当的值为时，能使平面PQR∥平面A1D1DA.如图，证明如下： 因为＝，即＝，故＝， 所以PR∥DA. 又DA⊂平面A1D1DA，PR⊄平面A1D1DA， 所以PR∥平面A1D1DA. 又PQ∥平面A1D1DA，PQ∩PR＝P，PQ，PR⊂平面PQR， 所以平面PQR∥平面A1D1DA. 学科网（北京）股份有限公司 $$