第7章 第5节 空间向量及其运算（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版）

第五节　空间向量及其运算 课标解读 1．在平面直角坐标系的基础上，了解空间直角坐标系，感受建立空间直角坐标系的必要性，会用空间直角坐标系刻画点的位置． 2．借助特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式． 3．经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念． 4．经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程． 5．了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示． 6．掌握空间向量的线性运算、数量积及其坐标表示． [对应学生用书P168] 1．空间向量的有关概念 名称 定义 空间向量 在空间中，具有大小和方向的量 相等向量 方向相同且模相等的向量 相反向量 方向相反且模相等的向量 共线向量 (或平行向量) 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 共面向量 能平移到同一平面内的向量 2.空间向量的有关定理 (1)共线向量基本定理：空间两个向量a，b(b≠0)共线的充要条件是存在唯一的实数λ，使得a＝λb． (2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb． (3)空间向量基本定理：如果向量a，b，c是空间三个不共面的向量，p是空间任意一个向量，那么存在唯一的三元有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc． {a，b，c}叫作空间的一组基，其中a，b，c都叫作基向量． 3．空间向量的数量积 (1)两向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫作向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是[0，π]，若〈a，b〉＝，则称a与b互相垂直，记作a⊥b.规定：零向量与任意向量垂直． (2)两向量的数量积：已知两个空间向量a，b，把|a||b|cos 〈a，b〉叫作a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉． (3)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)(λ∈R)； ②交换律：a·b＝b·a； ③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c. (4)投影向量与投影数量 ①已知两个非零向量a，b，在空间任取一个点O，作＝a，＝b，过点B作直线OA的垂线，垂足为点B1，称向量OB1为向量b在向量a方向上的投影向量，其长度等于||b|cos 〈a，b〉|． ②若用a0表示与向量a(a≠0)同方向的单位向量，则向量b在向量a方向上的投影向量为OB1＝|b|cos 〈a，b〉a0. 因此，称|b|cos 〈a，b〉为投影向量OB1的数量，简称为向量b在向量a方向上的投影数量． 4．空间向量运算的坐标表示及其应用 设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2). 向量表示 坐标表示 数量 积 a·b x1x2＋y1y2＋z1z2 共线 a＝λb(b≠0，λ∈R) x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2 垂直 a⊥b⇔a·b＝0 x1x2＋y1y2＋z1z2＝0 模 |a| 夹角 〈a，b〉(a≠0，b≠0) cos 〈a，b〉＝ 5.直线的方向向量和平面的法向量 (1)直线的方向向量：设点A，B是直线l上不重合的任意两点，称为直线l的方向向量． (2)平面的法向量：如果一条直线l与一个平面α垂直，那么就把直线l的方向向量n叫作平面α的法向量，则n⊥α. 6．空间位置关系的向量表示 设向量l，m分别是直线l，m的方向向量，n1，n2分别是平面α，β的法向量，则 (1)l∥m或l与m重合⇔l∥m； (2)l∥α或l⊂α⇔l⊥n1； (3)α∥β或α与β重合⇔n1∥n2； (4)l⊥m⇔l⊥m； (5)l⊥α⇔l∥n1； (6)α⊥β⇔n1⊥n2． 1．判断正误 (1)直线的方向向量是唯一确定的．(　　×　　) (2)若直线a的方向向量和平面α的法向量平行，则a∥α.(　　×　　) (3)若{a，b，c}是空间的一个基底，则a，b，c中至多有一个零向量．(　　×　　) (4)若a·b<0，则〈a，b〉是钝角．(　　×　　) 2．如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，AC与BD的交点为M.设A1B1＝a，A1D1＝b，A1A＝c，则下列向量中与D1M相等的是(　　) A．－a＋b＋c B．a＋b＋c C．a－b＋c D．－a－b＋c 答案：C 3．(多选)若{a，b，c}构成空间的一个基底，则下列向量共面的是(　　) A．b＋c，b，b－c B．a，a＋b，a－b C．a＋b，a－b，c D．a＋b，a＋b＋c，c 答案：ABD 4．平面α的法向量为n＝(1，－1，2)，＝(2，0，－1)，那么直线AB与平面α的关系是 ． 答案：AB∥α或AB⊂α　解析：因为·n＝0，所以⊥n，则AB∥α或AB⊂α. 5．已知A，B，C三点不共线，点O为平面ABC外任意一点，若点M满足＝＋＋，则点M (填“属于”或“不属于”)平面ABC. 答案：属于　解析：∵＝＋＋＝ ＋＋(－)＝ ＋＋， 又＋＋＝1， ∴M，A，B，C四点共面． 即点M∈平面ABC. 6．设μ，ν分别是两个不同平面α，β的法向量，μ＝(－2，2，5)，当ν＝(3，－2，2)时，α与β的位置关系为 ；当ν＝(4，－4，－10)时，α与β的位置关系为 ． 答案：α⊥β　α∥β [对应学生用书P170] 1．(多选)(2023·威海调研)如图所示，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且AP＝3PN，＝，设＝a，＝b，＝c，则下列等式成立的是(　　) A．＝b－c B．＝b＋c－a C．＝b－c－a D．＝a＋b＋c BD　解析：对于A，利用向量的平行四边形法则，＝＋＝b＋c，A错误； 对于B，利用向量的平行四边形法则和三角形法则，得＝－＝－＝(＋)－＝＋－＝b＋c－a，B正确； 对于C，因为点P在线段AN上，且AP＝3PN，所以＝＝(b＋c－a)＝b＋c－a，C错误； 对于D，＝＋＝a＋b＋c－a＝a＋b＋c，D正确． 2．在空间四边形ABCD中，＝(－3，5，2)，＝(－7，－1，－4)，点E，F分别为线段BC，AD的中点，则的坐标为(　　) A．(2，3，3) B．(－2，－3，－3) C．(5，－2，1) D．(－5，2，－1) B　解析：因为点E，F分别为线段BC，AD的中点， 设O为坐标原点，所以＝－， ＝(＋)，＝(＋). 所以＝(＋)－(＋)＝ (＋)＝[(3，－5，－2)＋(－7，－1，－4)]＝(－4，－6，－6)＝(－2，－3，－3). 3．(2023·广东惠州模拟)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点F是侧面CDD1C1的中心，若＝x＋y＋zAA1，则x－y＋z等于(　　) A． B．1 C． D．2 B　解析：连接DF，DC1， ＝＋＝＋(DD1＋D1C1)＝ ＋(AA1＋A1B1)＝ ＋(AA1＋)＝ ＋＋AA1， 则x＝1，y＝，z＝，则x－y＋z＝1． 考向1　共线向量定理的应用 1．已知a＝(λ＋1，0，2)，b＝(6，2μ－1，2λ)，若a∥b，则λ与μ的值可以是(　　) A．2， B．－， C．－3，2 D．2，2 A　解析： ∵a∥b，∴b＝ka(k∈R)， 即(6，2μ－1，2λ)＝k(λ＋1，0，2)，∴解得或 2．(多选)(2023·武汉质检)下列说法中正确的是(　　) A．|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件 B．若，共线，则AB∥CD C．A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若＝＋＋，则P，A，B，C四点共面 D．若P，A，B，C为空间四点，且有＝＋(，不共线)，则λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充要条件 CD　解析：由|a|－|b|＝|a＋b|，可得向量a，b的方向相反，此时向量a，b共线，反之，当向量a，b同向时，不能得到|a|－|b|＝|a＋b|，所以A错误； 若，共线，则AB∥CD或A，B，C，D四点共线，所以B错误； 由A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若＝＋＋，因为＋＋＝1，可得P，A，B，C四点共面，所以C正确； 若P，A，B，C为空间四点，且有＝＋(，不共线)，当λ＋μ＝1时，即μ＝1－λ，可得－＝λ(＋)，即＝，所以A，B，C三点共线，反之也成立，即λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充要条件，所以D正确． 考向2　共面向量定理的应用 3．已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足＝(＋＋). (1)判断，，三个向量是否共面； (2)判断点M是否在平面ABC内． 解：(1)由已知＋＋＝3， ∴－＝(－)＋(－)， 即＝＋＝－－， ∴，，共面． (2)由(1)知，，共面且过同一点M， ∴四点M，A，B，C共面，从而点M在平面ABC内． 4．如图所示，已知斜三棱柱ABC­A1B1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满足＝kAC1，＝k(0≤k≤1).判断向量是否与向量，AA1共面． 解：∵＝kAC1，＝k， ∴＝＋＋＝ kC1A＋＋k＝k(C1A＋)＋＝ k(C1A＋B1C1)＋＝kB1A＋＝－kAB1＝ －k(AA1＋)＝(1－k)－kAA1， ∴由共面向量定理知向量与向量，AA1共面． 【例1】 如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，计算： (1)·；(2)·. 思维 导引 学科 素养 本题主要考查逻辑推理、数学运算等学科素养 思路 点拨 (1)选择基底，用基底向量表示，； (2)用基底表示，后再进行数量积运算 解：设＝a，＝b，＝c， 则|a|＝|b|＝|c|＝1， 〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°. (1)＝＝c－a，＝－a， 所以·＝(c－a)·(－a)＝ －a·c＋a2＝－＋＝. (2)＝＋＋＝ ＋(－)＋(－)＝ －＋＋＝－a＋b＋c， ＝－＝c－a. 所以·＝(－a＋b＋c)·(c－a)＝ a2－a·b＋b·c＋c2－a·c＝ －＋＋－＝. 【练1】 (2023·湖北襄阳一中模拟)如图所示，在四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°. (1)求AC1的长； (2)求证：AC1⊥BD； (3)求BD1与AC夹角的余弦值． (1)解：记＝a，＝b，AA1＝c， 则|a|＝|b|＝|c|＝1， 〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°， ∴a·b＝b·c＝c·a＝. |AC1|2＝(a＋b＋c)2＝ a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝ 1＋1＋1＋2×＝6， ∴|AC1|＝，即AC1的长为. (2)证明：∵AC1＝a＋b＋c，＝b－a， ∴AC1·＝(a＋b＋c)·(b－a)＝ a·b＋|b|2＋b·c－|a|2－a·b－a·c＝0， ∴AC1⊥，∴AC1⊥BD. (3)解：BD1＝b＋c－a，＝a＋b， ∴|BD1|＝，||＝， BD1·＝(b＋c－a)·(a＋b)＝ b2－a2＋a·c＋b·c＝1， ∴cos 〈BD1，〉＝＝， ∴AC与BD1夹角的余弦值为. 【例2】 (2023·深圳外国语学校月考)如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝AD，设E，F分别为PC，BD的中点． (1)求证：EF∥平面PAD； (2)求证：平面PAB⊥平面PDC. 证明：(1)如图，取AD的中点O，连接OP，OF. 因为PA＝PD， 所以PO⊥AD. 因为侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO⊂平面PAD， 所以PO⊥平面ABCD. 又O，F分别为AD，BD的中点，所以OF∥AB. 又ABCD是正方形，所以OF⊥AD. 因为PA＝PD＝AD，所以PA⊥PD，OP＝OA＝. 以O为原点，OA，OF，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 则A，F，D， P，B，C. 因为E为PC的中点，所以E. 易知平面PAD的一个法向量为＝， 因为＝， 且·＝·＝0， 又因为EF⊄平面PAD，所以EF∥平面PAD. (2)因为＝，＝(0，－a，0)， 所以·＝·(0，－a，0)＝0， 所以⊥，所以PA⊥CD. 又PA⊥PD，PD∩CD＝D，PD，CD⊂平面PDC， 所以PA⊥平面PDC. 又PA⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PDC. 【练2】 (2022·全国乙卷)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC的中点，则(　　) A．平面B1EF⊥平面BDD1 B．平面B1EF⊥平面A1BD C．平面B1EF∥平面A1AC D．平面B1EF∥平面A1C1D A　解析：在正方体ABCD­A1B1C1D1中， AC⊥BD且DD1⊥平面ABCD， 又EF⊂平面ABCD，所以EF⊥DD1， 因为E，F分别为AB，BC的中点， 所以EF∥AC，所以EF⊥BD， 又BD∩DD1＝D， 所以EF⊥平面BDD1， 又EF⊂平面B1EF， 所以平面B1EF⊥平面BDD1，故A正确； 如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 设AB＝2， 则B1，E，F，B，A1，A，C，C1， 则＝，EB1＝，＝，DA1＝，AA1＝，＝，A1C1＝， 设平面B1EF的法向量为m＝， 则有， 可取m＝， 同理可得平面A1BD的法向量为n1＝， 平面A1AC的法向量为n2＝， 平面A1C1D的法向量为n3＝， 则m·n1＝2－2＋1＝1≠0， 所以平面B1EF与平面A1BD不垂直，故B错误； 因为m与n2不平行， 所以平面B1EF与平面A1AC不平行，故C错误； 因为m与n3不平行， 所以平面B1EF与平面A1C1D不平行，故D错误． 【练3】 (2022·山东枣庄模拟)如图所示，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，过点E作EF⊥PB于点F.求证： (1)PA∥平面EDB； (2)PB⊥平面EFD. 证明：以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系D­xyz. 设DC＝a. (1)连接AC交BD于点G，连接EG. 依题意得A(a，0，0)，P(0，0，a)，C(0，a，0)，E. 因为底面ABCD是正方形，所以G为AC的中点， 故点G的坐标为， 所以＝(a，0，－a)，＝， 则＝2，故PA∥EG. 又EG⊂平面EDB，PA⊄平面EDB， 所以PA∥平面EDB. (2)依题意得B(a，a，0)，所以＝(a，a，－a). 又＝， 故·＝0＋－＝0，所以PB⊥DE， 由题可知EF⊥PB，且EF∩DE＝E， 所以PB⊥平面EFD. 学科网（北京）股份有限公司 $$