第7章 第4节 直线、平面垂直的判定与性质（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版）

第四节　直线、平面垂直的判定与性质 课标解读 借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系． [对应学生用书P163] 1．直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义 如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，那么称直线l与平面α垂直，记作l⊥α. “任意一条直线”与“所有直线”是同义的，但与“无数条直线”不同，定义的实质是直线与平面内的所有直线都垂直． (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定 定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 性质 定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 线面垂直的判定定理中平面内的两条直线必须是相交的. 2．平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定 定理 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 性质 定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据．要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可． 1．判断正误 (1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.(　　×　　) (2)垂直于同一个平面的两平面平行．(　　×　　) (3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．(　　×　　) (4)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.(　　×　　) 2．(多选)若平面α⊥平面β，且α∩β＝l，则下列命题中正确的是(　　) A．平面α内的直线必垂直于平面β内的任意一条直线 B．平面α内的已知直线必垂直于平面β内的无数条直线 C．平面α内的任一条直线必垂直于平面β D．过平面α内任意一点作交线l的垂线，则此垂线必垂直于平面β BD　解析：A项，如图①，a⊂α，b⊂β，且a，b与l都不垂直，则a，b不一定垂直，故A错误； B项，如图②，a⊂α，作b⊥l，则b⊥α，则β内所有与b平行的直线都与a垂直，故B正确； C项，如图③，a⊂α，但a与l不垂直，则a与β不垂直，故C错误； D项，如图④，由两平面垂直的性质定理可知D正确． 3．(多选)下列命题正确的是(　　) A．过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面垂直 B．过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面平行 C．过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线垂直 D．过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线平行 答案：AC 4．(多选)已知直线a，b与平面α，β，γ，能使α⊥β的充分条件是(　　) A．α⊥γ，β∥γ B．α∩β＝a，b⊥a，b⊂β C．a∥β，a∥α D．a∥α，a⊥β 答案：AD 5．已知直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a与c的位置关系为 ． 答案：平行、相交或异面　解析：若a，b，c在同一个平面内，由题设条件可得a∥c；若在空间中，则直线a与c的位置关系不确定，平行、相交、异面都有可能． 6．在三棱锥P­ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O. (1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的 心． (2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的 心． 答案：(1)外　(2)垂　解析：(1)如图1，连接OA，OB，OC，OP， 在Rt△POA，Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PB＝PC，所以OA＝OB＝OC，即O为△ABC的外心． 　　　　 图1　　　　　　　　 　 　图2 (2)如图2，延长AO，BO，CO分别交BC，AC，AB于H，D，G.因为PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P，所以PC⊥平面PAB. 又AB⊂平面PAB，所以PC⊥AB. 因为PO⊥AB，PO∩PC＝P，所以AB⊥平面PGC. 又CG⊂平面PGC，所以AB⊥CG，即CG为△ABC边AB上的高．同理可证BD，AH分别为△ABC边AC，BC上的高，即O为△ABC的垂心． [对应学生用书P164] 1．(多选)已知a，b表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，下列说法正确的是(　　) A．若a⊥α，b⊥β，α∥β，则a∥b B．若a⊥α，b⊥β，a⊥b，则α⊥β C．若a⊥α，a⊥b，α∥β，则b∥β D．若α∩β＝a，a∥b，则b∥α或b∥β ABD　解析：若a⊥α，α∥β，则a⊥β，又b⊥β，所以a∥b，故A正确；若a⊥α，a⊥b，则b⊂α或b∥α，所以存在直线m⊂α，使得m∥b，又b⊥β，所以m⊥β，所以α⊥β，故B正确；若a⊥α，a⊥b，则b⊂α或b∥α，又α∥β，所以b⊂β或b∥β，故C错误；若α∩β＝a，a∥b，则b∥α或b∥β，故D正确． 2．(多选)在三棱锥S­ABC中，∠SBA＝∠SCA＝90°，△ABC是斜边AB＝a的等腰直角三角形，下列结论正确的是(　　) A．异面直线SB与AC所成的角为90° B．直线SB⊥平面ABC C．平面SBC⊥平面SAC D．点C到平面SAB的距离是a ABC　解析：由题意知AC⊥平面SBC，故AC⊥SB，故A正确；再根据SB⊥AC，SB⊥AB，可得SB⊥平面ABC，平面SBC⊥平面SAC，故B，C正确；取AB的中点E，连接CE(图略)，可证得CE⊥平面SAB，故CE的长度即为点C到平面SAB的距离，为a，故D不正确． 考向1　线面垂直的判定与性质 【例1】 如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB＝5，AC＝6，点E，F分别在AD，CD上，AE＝CF＝，EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D′EF的位置，OD′＝.求证：D′H⊥平面ABCD. 思维 导引 学科 素养 本题主要考查直观想象、逻辑推理、数学运算等学科素养 思路 点拨 利用线面垂直的判定定理证明．折叠后EF⊥D′H，再通过勾股定理证明D′H⊥OH，进而证明D′H⊥平面ABCD 证明：由已知得AC⊥BD，AD＝CD. 又由AE＝CF，得＝，故AC∥EF，因此EF⊥HD，从而EF⊥D′H. 由AB＝5，AC＝6，得DO＝BO＝＝4. 由EF∥AC，得＝＝，所以OH＝1，D′H＝DH＝3. 于是D′H2＋OH2＝32＋12＝10＝D′O2， 故D′H⊥OH. 又D′H⊥EF，而OH∩EF＝H，且OH，EF⊂平面ABCD，所以D′H⊥平面ABCD. 【练1】 (2023·深圳模拟)如图所示，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明： (1)CD⊥AE； (2)PD⊥平面ABE. 证明：(1)在四棱锥P­ABCD中， ∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD， ∴PA⊥CD. ∵AC⊥CD，PA∩AC＝A， ∴CD⊥平面PAC. 又AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE. (2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°， 可得AC＝PA. ∵E是PC的中点，∴AE⊥PC. 由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C， ∴AE⊥平面PCD. 又PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD. ∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB. 又∵AB⊥AD且PA∩AD＝A， ∴AB⊥平面PAD. 又PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD. 又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE. 考向2　面面垂直的判定与性质 【例2】 (2023·衡水中学模拟)如图，四棱锥P­ABCD的底面ABCD为直角梯形，AB∥DC，∠ABC＝90°，∠PAB＝120°，DC＝PC＝2，PA＝AB＝BC＝1． (1)证明：平面PAB⊥平面PBC； (2)求四棱锥P­ABCD的体积． 思维 导引 学科 素养 本题主要考查直观想象、逻辑推理、数学运算等学科素养 思路 点拨 (1)利用勾股定理证明BC⊥PB，进而利用面面垂直的判定定理证明； (2)利用面面垂直的性质定理，求出点P到平面ABCD的距离，进而再求体积 (1)证明：在△PAB中，由PA＝AB＝1，∠PAB＝120°，得PB＝. 因为PC＝2，BC＝1，PB＝， 所以PB2＋BC2＝PC2，即BC⊥PB. 因为∠ABC＝90°，所以BC⊥AB. 又PB∩AB＝B，PB，AB⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB. 又BC⊂平面PBC，所以平面PAB⊥平面PBC. (2)解：在平面PAB内，过点P作PE⊥AB，交BA的延长线于点E，如图所示． 由(1)知BC⊥平面PAB. 因为BC⊂平面ABCD， 所以平面PAB⊥平面ABCD. 又平面PAB∩平面ABCD＝AB，PE⊥AB， 所以PE⊥平面ABCD. 因为在Rt△PEA中，PA＝1，∠PAE＝60°， 所以PE＝. 因为底面ABCD是直角梯形， 所以四棱锥P­ABCD的体积为VP­ABCD＝××(1＋2)×1×＝. 【练2】 (2022·全国乙卷)如图，四面体ABCD中，AD⊥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，E为AC的中点． (1)证明：平面BED⊥平面ACD； (2)设AB＝BD＝2，∠ACB＝60°，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求三棱锥F­ABC的体积． (1)证明：由于AD＝CD，E是AC的中点， 所以AC⊥DE. 由于所以△ADB≌△CDB， 所以AB＝CB，故AC⊥BE. 由于DE∩BE＝D，DE，BE⊂平面BED， 所以AC⊥平面BED. 由于AC⊂平面ACD，所以平面BED⊥平面ACD. (2)解：依题意AB＝BD＝BC＝2，∠ACB＝60°，△ABC是等边三角形， 所以AC＝2，AE＝CE＝1，BE＝， 由于AD＝CD，AD⊥CD，所以△ACD是等腰直角三角形，所以DE＝1． 又DE2＋BE2＝BD2，所以DE⊥BE. 因为AC∩BE＝E，AC，BE⊂平面ABC， 所以DE⊥平面ABC. 因为△ADB≌△CDB，所以∠FBA＝∠FBC， 因为所以△FBA≌△FBC， 所以AF＝CF，所以EF⊥AC. 由于S△AFC＝·AC·EF，所以当EF最短时，△AFC的面积为最小值． 过E作EF⊥BD，垂足为F， 在Rt△BED中，·BE·DE＝·BD·EF， 解得EF＝， 所以DF＝＝，BF＝2－DF＝， 所以＝. 过F作FH⊥BE，垂足为H，则FH∥DE， 所以FH⊥平面ABC，且＝＝， 所以FH＝， 所以VF­ABC＝·S△ABC·FH＝××2××＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$