第7章 第2节 空间点、直线、平面的位置关系（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版）

第二节　空间点、直线、平面的位置关系 课标解读 1．借助长方体，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义． 2．了解可以作为推理依据的基本事实和定理． 3．能运用基本事实、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题． [对应学生用书P151] 1．与平面有关的基本事实及推论 (1)与平面有关的三个基本事实 基本 事实 内容 图形 符号 基本 事实 1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线⇒存在唯一的α使A，B，C∈α 基本 事实 2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α 基本 事实 3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l 三点不一定能确定一个平面．当三点共线时，过这三点的平面有无数个，所以必须是不在一条直线上的三点才能确定一个平面．(2)基本事实1的三个推论 推论 内容 图形 作用 推论 1 一条直线和该直线外一点确定一个平面 确定平面的依据 推论 2 两条相交直线确定一个平面 推论 3 两条平行直线确定一个平面 2.空间点、直线、平面之间的位置关系 直线与直线 直线与平面 平面与平面 平行关系 图形 语言 符号 语言 a∥b (a∩b＝∅) a∥α (a∩α)＝∅ α∥β (α∩β＝∅) 相交关系 图形 语言 符号 语言 a∩b＝A a∩α＝A α∩β＝l 独有关系 图形 语言 — 符号 语言 a，b是 异面直线 a⊂α — (1)两条异面直线不能确定一个平面；(2)不能把异面直线误解为分别在不同平面内的两条直线. 3．基本事实4和等角定理 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 等角定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 4．异面直线所成的角 已知两条异面直线a，b，过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，这时a′，b′共面，我们把a′与b′所成的不大于90°的角称为异面直线a，b所成的角(或夹角).其范围是． 1．判断正误 (1)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．(　　×　　) (2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．(　　√　　) (3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．(　　×　　) (4)若直线a不平行于平面α，且a⊄α，则α内的所有直线与a异面．(　　×　　) 2．下列命题错误的是(　　) A．三角形确定一个平面 B．四边形确定一个平面 C．平行四边形可确定一个平面 D．梯形可确定一个平面 答案：B 3．(多选)α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，若m⊄α，n⊂α，且A∈m，A∈α，则m，n的位置关系可能是(　　) A．垂直 B．相交 C．异面 D．平行 ABC　解析：依题意，m∩α＝A，n⊂α， ∴m与n可能异面、相交(垂直是相交的特例)，一定不平行． 4．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小为(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° C　解析：连接B1D1，D1C(图略)，则B1D1∥EF，故∠D1B1C即为所求的角．又B1D1＝B1C＝D1C，∴△B1D1C为等边三角形，∴∠D1B1C＝60°. 5.如图，在三棱锥A­BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则 (1)当AC，BD满足条件 时，四边形EFGH为菱形； (2)当AC，BD满足条件 时，四边形EFGH为正方形． 答案：(1)AC＝BD　(2)AC＝BD且AC⊥BD 解析：(1)∵四边形EFGH为菱形， ∴EF＝EH. ∵EF綊AC，EH綊BD， ∴AC＝BD. (2)∵四边形EFGH为正方形， ∴EF＝EH且EF⊥EH. ∵EF綊AC，EH綊BD， ∴AC＝BD且AC⊥BD. 6．如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面的对数为 ． 答案：3　解析：平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB，CD，EF和GH在原正方体中，显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行．故互为异面直线的有且只有3对． [对应学生用书P152] 1．如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是(　　) D 　解析：A，B，C中四点一定共面，D中四点不共面． 2．在三棱锥A­BCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点．如果EF∩HG＝P，则点P(　　) A．一定在直线BD上 B．一定在直线AC上 C．在直线AC或BD上 D．不在直线AC上，也不在直线BD上 B　解析：如图所示，因为EF⊂平面ABC，HG⊂平面ACD，EF∩HG＝P，所以P∈平面ABC，P∈平面ACD.又因为平面ABC∩平面ACD＝AC，所以P∈AC. 3．(2024·山东日照实验中学月考)如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E，F分别是AB，AA1的中点，连接D1F，CE.求证： (1)E，C，D1，F四点共面； (2)CE，D1F，DA三线共点． 证明：(1)如图所示，连接CD1，EF，A1B， ∵E，F分别是AB，AA1的中点， ∴EF∥A1B，且EF＝A1B. 又∵A1D1∥BC，A1D1＝BC， ∴四边形A1BCD1是平行四边形， ∴A1B∥CD1，∴EF∥CD1， ∴EF与CD1能够确定一个平面ECD1F， 即E，C，D1，F四点共面． (2)由(1)知EF∥CD1，且EF＝CD1， ∴四边形CD1FE是梯形， ∴CE与D1F必相交，设交点为P， 则P∈CE，且P∈D1F. ∵CE⊂平面ABCD，D1F⊂平面A1ADD1， ∴P∈平面ABCD，且P∈平面A1ADD1． 又∵平面ABCD∩平面A1ADD1＝AD， ∴P∈AD， ∴CE，D1F，DA三线共点． 【例1】 (1)(2023·江苏常熟调研)已知在长方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是长方形A1B1C1D1与长方形BCC1B1的中心，则下列说法正确的是(　　) A．直线MN与直线A1B是异面直线 B．直线MN与直线DD1相交 C．直线MN与直线AC1是异面直线 D．直线MN与直线A1C平行 (2)如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝2ED，CF＝2FA，则EF与BD1的位置关系是(　　) A．相交但不垂直 B．相交且垂直 C．异面 D．平行 (1)C　(2)D　解析：(1)如图，因为M，N分别是长方形A1B1C1D1与长方形BCC1B1的中心，所以M，N分别是A1C1，BC1的中点，所以直线MN与直线A1B平行，所以A错误； 因为直线MN经过平面BB1D1D内一点M，且点M不在直线DD1上， 所以直线MN与直线DD1是异面直线，所以B错误； 因为直线MN经过平面ABC1内一点N，且点N不在直线AC1上， 所以直线MN与直线AC1是异面直线，所以C正确； 因为直线MN经过平面A1CC1内一点M，且点M不在直线A1C上，所以直线MN与直线A1C是异面直线，所以D错误． (2) 如图，连接D1E并延长，与AD交于点M，由A1E＝2ED，可得M为AD的中点． 连接BF并延长，交AD于点N.因为CF＝2FA，可得N为AD的中点，所以M，N重合，所以EF和BD1共面，且＝，＝，所以＝，所以EF∥BD1． 【练1】 已知空间三条直线l，m，n，若l与m异面，且l与n异面，则(　　) A．m与n异面 B．m与n相交 C．m与n平行 D．m与n异面、相交、平行均有可能 D　解析：在如图所示的长方体中，m，n1都与l异面，但是m∥n1，所以A，B错误；m，n2都与l异面，且m，n2也异面，所以C错误． 【练2】 (多选)(2024·福州质检)四棱锥P­ABCD的所有棱长都相等，M，N分别为PA，CD的中点，下列说法正确的是(　　) A．MN与PD是异面直线 B．MN∥平面PBC C．MN∥AC D．MN⊥PB ABD　解析：如图所示，取PB的中点H，连接MH，HC， 由题意知，四边形MHCN为平行四边形，且MN∥HC，所以MN∥平面PBC，设四边形MHCN确定平面α，又D∈α，故M，N，D共面，但P∉平面α，D∉MN，因此MN与PD是异面直线，故A，B说法均正确． 若MN∥AC，由于CH∥MN，则CH∥AC， 事实上AC∩CH＝C，C说法错误； 因为PC＝BC，H为PB的中点，所以CH⊥PB，又CH∥MN，所以MN⊥PB，D说法正确． 【例2】 在正方体ABCD­A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为(　　) A． B． C． D． D　解析：(方法一)　如图，连接BC1，A1C1，易知AD1∥BC1，所以直线PB与AD1所成的角即为直线PB与BC1所成的角，即∠PBC1．不妨设该正方体的棱长为2a，则BC1＝2a，PC1＝PB1＝a，PB＝＝a，所以BC＝PC＋PB2，所以∠C1PB＝90°， 则sin ∠PBC1＝＝＝，所以∠PBC1＝. (方法二)　如图，连接A1B，BC1，A1C1，易证四边形ABC1D1为平行四边形，所以AD1∥BC1，因此∠PBC1为异面直线PB与AD1所成的角．易知△A1BC1为等边三角形，所以∠A1BC1＝.在正方形A1B1C1D1中，因为P是B1D1的中点，所以P是A1C1的中点，所以∠PBC1＝∠A1BC1＝. 【练3】 在四面体ABCD中，BC＝BD＝CD＝2，AB＝2，N是棱AD的中点，CN＝，则异面直线AB与CN所成的角为(　　) A． B． C． D． A　解析：取BD的中点为M，连接MN，CM，又N是AD的中点，则MN∥AB，所以∠MNC(或其补角)就是异面直线AB与CN所成的角．在△MNC中，MN＝AB＝，CN＝，CM＝＝，所以△MNC为等边三角形，故∠MNC＝，即异面直线AB与CN所成的角为. 【练4】 (2023·衡水检测)如图，在圆锥SO中，AB，CD为底面圆的两条直径，AB∩CD＝O，且AB⊥CD，SO＝OB＝3，SE＝SB，则异面直线SC与OE所成角的正切值为(　　) A． B． C． D． D　解析：如图，过点S作SF∥OE，交AB于点F，连接CF，则∠CSF(或其补角)为异面直线SC与OE所成的角． ∵SE＝SB，∴SE＝BE. 又OB＝3，∴OF＝OB＝1． ∵SO⊥OC，SO＝OC＝3， ∴SC＝3. ∵SO⊥OF，∴SF＝＝. ∵OC⊥OF，∴CF＝. ∴在等腰△SCF中， tan ∠CSF＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$