第7章 第1节 基本立体图形及其表面积、体积（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版）

第七章　立体几何 第一节　基本立体图形及其表面积、体积 课标解读 1．利用实物、计算机软件等观察空间图形，认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构． 2．知道球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题． 3．能用斜二测画法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合)的直观图． [对应学生用书P144] 1．空间几何体的结构特征 (1)多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相平行 且全等 多边形 互相平行 且相似 侧棱 平行且相等 相交于一点， 但不一定相等 延长线 交于一点 侧面 形状 平行四边形 三角形 梯形 (1)要掌握棱柱、棱锥各部分的结构特征，计算问题往往转化到一个三角形中进行解决． (2)台体可以看成是由锥体截得的，但一定要知道截面与底面平行．(2)旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 母线 互相平行 且相等， 垂直 于底面 相交于 一点 延长线交 于一点 轴截面 矩形 等腰 三角形 等腰梯形 圆面 侧面 展开图 矩形 扇形 扇环 旋转体要抓住“旋转”这一特点，弄清底面、侧面及展开图的形状． 2．直观图 (1)画法：常用斜二测画法． (2)规则：①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴、y′轴所在平面垂直． ②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半． 画直观图要注意平行、长度两个要素． 3．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 侧面展开图 侧面积公式 圆柱 S圆柱侧＝2πrl 圆锥 S圆锥侧＝πrl 圆台 S圆台侧＝π(r1＋r2)l 4.柱、锥、台、球的表面积和体积 几何体 名称 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝S底h 锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝S底h 台体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 球 S＝4πR2 V＝πR3 求旋转体的侧面积时需要将曲面展开为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面积之和． 1．判断正误 (1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．(　　×　　) (2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．(　　×　　) (3)棱台是由平行于底面的平面截棱锥所得的平面与底面之间的部分．(　　√　　) (4)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS.(　　×　　) 2．已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为(　　) A．2 B．2 C．4 D．4 B　解析：设圆锥的母线长为l，因为该圆锥的底面半径为，侧面展开图为一个半圆，所以2π×＝πl，解得l＝2. 3．体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为(　　) A．12π B．π C．8π D．4π A　解析：由题意可知正方体的棱长为2，其体对角线为2即为球的直径，所以球的表面积为4πR2＝(2R)2π＝12π. 4．如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且4个顶点A，B，C，D在同一个平面内．如果四边形ABCD是边长为30 cm的正方形，那么这个八面体的表面积是(　　) A．225 cm2 B．1 000 cm2 C．1 800 cm2 D．(900＋2 000) cm2 答案：C 5．对24小时内降水在平地上的积水厚度(mm)进行如下定义： 0～10 10～25 25～50 50～100 小雨 中雨 大雨 暴雨 小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，则这一天的雨水属于哪个等级(　　) A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨 B　解析：由相似关系可得，雨水形成的小圆锥的底面半径r＝＝50(mm)，故V小圆锥＝×π×502×150＝503π(mm3)，从而可得积水厚度h＝＝＝12.5(mm)，属于中雨． 6．在直观图(如图所示)中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2 cm，则在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCO为 ，面积为 cm2. 答案：矩形　8　解析：由斜二测画法的规则可知，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCO是一个长为4 cm，宽为2 cm的矩形，所以四边形ABCO的面积为8 cm2. [对应学生用书P146] 1．(多选)下列命题中正确的是(　　) A．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形 B．在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 C．存在每个面都是直角三角形的四面体 D．棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等 BC　解析：A不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；B正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；C正确，如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中的三棱锥C1­ABC，四个面都是直角三角形；D不正确，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱的延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等． 2．如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，C′D′＝2 cm，则原图形是(　　) A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．一般的平行四边形 C　解析：如图，在原图形OABC中，应有OD＝2O′D′＝2×2＝4(cm)，CD＝C′D′＝2 cm， 所以OC＝＝＝6(cm)， 所以OA＝OC，所以四边形OABC是菱形． 3．(2023·山东日照模拟)如图，一立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为4 m，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P处．若该小虫爬行的最短路程为4m，则圆锥底面圆的半径等于 m. 答案：　 解析：圆锥顶点记为O，把圆锥侧面沿母线OP展开成如图所示的扇形， 由题意OP＝4，PP′＝4， 则cos ∠POP′＝＝－， 又∠POP′为△POP′一内角， 所以∠POP′＝. 设底面圆的半径为r，则2πr＝×4， 所以r＝. 考向1　空间几何体的表面积 【例1】 (1)(2023·河南周口模拟)如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，直线A1C与侧面AA1B1B所成的角为30°，则该三棱柱的侧面积为(　　) A．4＋4 B．4＋4 C．12 D．8＋4 (2)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为(　　) A．12π B．12π C．8π D．10π (1)A　(2)B　解析：(1) 连接A1B.因为AA1⊥底面ABC，则AA1⊥BC，又AB⊥BC，AA1∩AB＝A，所以BC⊥平面AA1B1B，所以直线A1C与侧面AA1B1B所成的角为∠CA1B＝30°.又AA1＝AC＝2，所以A1C＝2，BC＝.又AB⊥BC，则AB＝，则该三棱柱的侧面积为2×2＋2×2＝4＋4. (2)设圆柱的轴截面的边长为x，则由x2＝8，得x＝2，可知圆柱母线长为2，底面半径为. ∴S圆柱表＝2S底＋S侧＝2×π×()2＋2π××2＝12π. 【练1】 (2023·南京质检)如图所示，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2，AD＝2，则四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积为 ． 答案：(60＋4)π　解析：由题意可得，四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体为圆台上面挖去一个圆锥的组合体．如图，过C作CE⊥AD交AD的延长线于E，过C作AB的垂线，垂足为F. 则∠EDC＝180°－∠ADC＝45°， EC＝CD·sin 45°＝2，ED＝CD·cos 45°＝2， CF＝AE＝4，BF＝AB－AF＝3，BC＝＝5. 故圆台的上底面半径r＝2， 下底面半径R＝5，高h2＝4，母线长l2＝5. 圆锥底面半径r＝2，高h1＝2，母线长l1＝2. 所以圆台侧面积 S1＝π(R＋r)l2＝π(5＋2)×5＝35π， 圆锥侧面积 S2＝×2πr×l1＝×2π×2×2＝4π， 圆台下底面面积S3＝πR2＝25π. 故该几何体的表面积 S＝S1＋S2＋S3＝35π＋4π＋25π＝(60＋4)π. 考向2　空间几何体的体积 【例2】 (1)如图所示，已知三棱柱ABC­A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1­ABC1的体积为(　　) A． B． C． D． (2)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何？”其意思为“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积是多少？”(已知1丈为10尺)(　　) A．12 000立方尺 B．11 000立方尺 C．10 000立方尺 D．9 000立方尺 (3)(2022·八省联考)圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面半径分别为4和5，则该圆台的体积为 ． 思维 导引 学科 素养 本题主要考查直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养 思路 点拨 (1)转化三棱锥B1­ABC1的顶点与底面，利用等积转化法求解； (2)由题意画出图形，将不规则几何体切割为规则几何体求体积； (3)画出图形分析，直接利用公式求体积 (1)A　(2)C　(3)61π　解析：(1)易知三棱锥B1­ABC1的体积等于三棱锥A­B1BC1的体积，又三棱锥A­B1BC1的高为，底面积为，故其体积为××＝. (2)过上棱两端点向底面作垂面，则垂面与上棱垂直，两垂面将几何体分成两个四棱锥和一个直三棱柱，如图所示， 则三棱柱的体积V1＝×3×2×2＝6，四棱锥的体积V2＝×1×3×2＝2，易知两个四棱锥大小相等，∴V＝V1＋2V2＝10(立方丈)＝10 000(立方尺). (3)圆台的下底面半径为5，故下底面在外接球的大圆上，如图所示， 设球的球心为O，圆台上底面的圆心为O′，则圆台的高OO′＝＝＝3.据此可得圆台的体积V＝×3×(52＋5×4＋42)＝61π. 【练2】 一件刚出土的珍贵文物要在博物馆大厅中央展出，如图，需要设计各面是玻璃平面的无底正四棱柱将其罩住，罩内充满保护文物的无色气体．已知文物近似于塔形，高1．8米，体积0.5立方米，其底部是直径为0.9米的圆形，要求文物底部与玻璃罩底边至少间隔0.3米，文物顶部与玻璃罩上底面至少间隔0.2米，气体每立方米1 000元，则气体的费用最少为(　　) A．4 500元 B．4 000元 C．2 880元 D．2 380元 B　解析：因为文物底部是直径为0.9米的圆形，文物底部与玻璃罩底边至少间隔0.3米，所以由正方体与圆的位置关系可知，底面正方形的边长为0.9＋2×0.3＝1．5(米).又文物高1．8米，文物顶部与玻璃罩上底面至少间隔0.2米，所以正四棱柱的高为1．8＋0.2＝2(米)，则正四棱柱的体积V＝1．52×2＝4.5(立方米).因为文物的体积为0.5立方米，所以罩内空气的体积为4.5－0.5＝4(立方米).因为气体每立方米1 000元，所以气体的费用最少为4×1 000＝4 000(元). 【练3】 (2022·全国甲卷)甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和V乙．若＝2，则＝(　　) A． B．2 C． D． C　解析：设母线长为l，甲圆锥底面圆半径为r1，乙圆锥底面圆半径为r2， 则＝＝＝2，所以r1＝2r2. 又＋＝2π， 则＝1， 所以r1＝l，r2＝l， 所以甲圆锥的高h1＝＝l， 乙圆锥的高h2＝＝l， 所以＝＝＝. 【练4】 (2023·新课标Ⅰ卷)在正四棱台ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，AA1＝，则该棱台的体积为 ． 答案：　解析：如图所示，设点O1，O分别为正四棱台ABCD­A1B1C1D1上、下底面的中心，连接B1D1，BD，则点O1，O分别为B1D1，BD的中点，连接O1O，则O1O即正四棱台ABCD­A1B1C1D1的高，过点B1作B1E⊥BD，垂足为E，则B1E＝O1O.因为AB＝2，A1B1＝1，所以OB＝，O1B1＝，所以BE＝OB－OE＝OB－O1B1＝.又AA1＝，所以BB1＝，B1E＝＝＝，所以O1O＝，所以V正四棱台ABCD­A1B1C1D1＝×(22＋12＋)×＝. 考向1　“相切”问题 【例3】 已知正四面体P­ABC的表面积为S1，此四面体的内切球的表面积为S2，则＝ ． 思维 导引 学科 素养 本题主要考查逻辑推理、数学运算等核心素养 思路 点拨 利用结论“正四面体的内切球的半径为正四面体高的”这一结论可快速求内切球的半径 答案：　解析：设正四面体的棱长为a，则正四面体的高为a，表面积为S1＝4××a2＝a2，其内切球半径r为正四面体高的，即r＝×a＝a，因此内切球表面积为S2＝4πr2＝，则＝＝. 【变式】 若将本例中的条件“正四面体”改为“棱长为4的正方体”，则此正方体外接球的体积为 ，内切球的体积为 ． 答案：32π　　解析：由题意可知，此正方体的体对角线长即为其外接球的直径，正方体的棱长即为其内切球的直径．设该正方体外接球的半径为R，内切球的半径为r.又正方体的棱长为4，故其体对角线长为4，从而V外接球＝πR3＝π×(2)3＝32π，V内切球＝πr3＝π×23＝. 【练5】 (2023·衡阳联考)设圆锥的顶点为A，BC为圆锥底面圆O的直径，点P为圆O上的一点(异于B，C)，若BC＝4，三棱锥A­PBC的外接球的表面积为64π，则该圆锥的体积为 ． 答案：24π或8π　解析：如图所示． ∵BP⊥PC，AO⊥平面PBC， ∴三棱锥A­PBC的外接球球心M在AO上，又球M的表面积为64π， ∴r外＝4，在Rt△MOB中， BM＝4，BO＝2， ∴MO＝2，MA＝4，∴AO＝6或AO＝2， ∴V圆锥＝×π××6＝24π或V圆锥＝×π××2＝8π. 考向2　“相接”问题 【例4】 设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为9，则三棱锥D­ABC体积的最大值为(　　) A．12 B．18 C．24 D．54 B　解析：由等边△ABC的面积为9可得AB2＝9，所以AB＝6，所以等边△ABC的外接圆的半径为r＝AB＝2.设球的半径为R，球心到等边△ABC的外接圆圆心的距离为d，则d＝＝＝2.所以三棱锥D­ABC高的最大值为2＋4＝6，所以三棱锥D­ABC体积的最大值为×9×6＝18. 【变式】 若本例中的条件变为“直三棱柱ABC­A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上”，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，求球O的表面积． 解：将直三棱柱补形为长方体ABEC­A′B′E′C′，则球O是长方体ABEC­A′B′E′C′的外接球， ∴体对角线BC′的长为球O的直径．因此2R＝＝13，故S球＝4πR2＝169π. 【练6】 (2022·全国乙卷)已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为(　　) A． B． C． D． C　解析：设该四棱锥底面为四边形ABCD，四边形ABCD所在小圆半径为r，设四边形ABCD对角线夹角为α， 则S四边形ABCD＝·AC·BD·sin α≤·AC·BD≤·2r·2r＝2r2(当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立)， 即当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为2r2.又r2＋h2＝1， 则V四棱锥O­ABCD＝·2r2·h＝≤＝， 当且仅当r2＝2h2，即h＝时等号成立． 学科网（北京）股份有限公司 $$