江西省南昌二十八中教育集团2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试卷

2023-2024学年江西省南昌二十八中教育集团八年级（下）期中数学试卷 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列计算结果正确的是(    ) A. B. C. D. 2.下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是(    ) A. 3，4，5 B. 6，8，10 C. 1，3， D. 5，12，13 3.在如图的网格中，每个小正方形的边长为1，A、B、C三点均在正方形格点上，则下列结论错误的是(    ) A. B. C. D. 点A到直线BC的距离是2 4.下列二次根式中，最简二次根式是(    ) A. B. C. D. 5.如图，在矩形ABCD中，，连接AC，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线MN分别交AD，BC于点E，下列结论：①四边形AECF是菱形；②；③；④若AF平分，则其中正确结论的个数是(    ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 6.将一张正方形纸片按如图步骤，通过折叠得到图④，再沿虚线剪去一个角，展开铺平后得到图⑤，其中FM，GN是折痕．若正方形EFGH与五边形MCNGF的面积相等，则的值是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 7.如图，在中，，点D是斜边AB的中点，DE平分，，则DE的长是______. 8.使用手机支付宝付款时，常常需要用到密码.嘉淇学完二次根式后，突发奇想，决定用“二次根式法”来产生密码.如，对于二次根式，计算结果为13，中间加一个大写字母X，就得到一个六位密码“169X13”.按照这种产生密码的方法，则利用二次根式产生的六位密码是______. 9.图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．在中，若直角边，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长图乙中的实线是______. 10.已知的整数部分为a，小数部分为b，则______. 11.将1、、、按下列方式排列.若规定表示第m排从左向右第n个数，则与表示的两数之积是______. 12.已知在平面直角坐标系中、、点P在x轴上运动，当点P与点A、B、C三点中任意两点构成直角三角形时，点P的坐标为______. 三、计算题：本大题共1小题，共6分。 13.在数学活动课上，老师带领学生去测河宽．如图，某学生在点A处观测到河对岸水边处有一点C，并测得，在距离A点30米的B处测得，求河宽结果可带根号 四、解答题：本题共10小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 14.本小题6分 计算： ； 15.本小题6分 如图，在中，，过点C的直线，D为AB边上一点，过点D作，交直线MN于E，垂足为F，连接CD， 求证：； 当D为AB的中点时，判断四边形BECD的形状，并说明理由. 16.本小题6分 如图，已知正七边形ABCDEFG，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图． 在图1中，画出一个以AB为边的平行四边形； 在图2中，画出一个以AF为边的菱形． 17.本小题6分 阅读下列解题过程，根据要求回答问题： 化简： 解：原式① ② ③ ④ 上面解答过程是否正确？若不正确，请指出是哪几步出现了错误？ 请你写出你认为正确的解答过程. 18.本小题8分 在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为10米的高台A，利用旗杆顶部的绳索，划过到达与高台A水平距离为17米，高为3米的矮台B， 求高台A比矮台B高多少米？ 求旗杆的高度OM； 玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度 19.本小题8分 【定义】若一个直角三角形中两边的平方差等于另一个直角三角形两边的平方差，则称这两个直角三角形为“勾股三角形”.在正方形ABCD中，G为AB上一点. 如图1，连接DG，CG，于点H，图中有______对“勾股三角形”；分别是哪几对？ 如图2，以CG为边作矩形CGFE，若点D在EF上，，，求DE的长提示：连接 20.本小题8分 如图，在四边形ABCD中，，，，，动点P从点D出发，沿线段DA的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点P运动到点A时，点Q随之停止运动．设运动的时间为秒 当时，求的面积； 若四边形ABQP为平行四边形，求运动时间t； 当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？ 21.本小题9分 如图，C为线段BD上的一个动点，分别过点B，D在BD两侧作，，连接AC，已知，，，设 用含x的代数式表示的长. 当点C满足什么条件时，的值最小？ 根据中的结论，请构图求出代数式的最小值. 22.本小题9分 已知，▱AOBC的一边OB在平面直角坐标系的x轴上，点 如图1，点，求OA的长； 如图2，当OA在y轴上时，AB的中垂线EF分别交AC，AB，OB于点E，D， ①求证：四边形AFBE是菱形； ②若点，动点P，Q分别从点A，B以1，的速度同时出发匀速运动，动点P自停止，Q自停止.请问是否存在▱APBQ，若存在，求出点P，Q的坐标；若不存在，请说明理由. 23.本小题12分 某研究性学习小组在探究矩形的折纸问题时，将一块直角三角板的直角顶点绕矩形的对角线的交点O旋转①②③，图中的M，N分别为直角三角形的直角边与矩形ABCD的边CD，BC的交点.解决问题：该学习小组成员意外的发现图①三角板一直角边与OD重合中，此时发现BN，CD，CN这三条线段之间满足以下的数量关系：，请你说明理由. 类比探究：在图③中三角板一边与OC重合，直接写出BN，CD，CN这三条线段之间所满足的数量关系______.在图②中，试探究BN，CN，CM，DM这四条线段之间的数量关系，写出你的结论，并说明理由. 拓展延伸：将矩形ABCD改为边长为1的正方形ABCD，直角三角板的直角顶点绕O点旋转到图④，两直角边与AB，BC分别交于M，N，直接写出BN，CN，CM，DM这四条线段之间所满足的数量关系不需要证明 答案和解析 1.【答案】C  【解析】解：A、与不是同类二次根式无法合并，故A错误； B、，故B错误； C、，故C正确； D、，故D错误． 故选： 直接根据二次根式的运算法则计算即可得到答案． 本题主要考查的是二次根式的运算和化简，掌握其运算法则是解决此题关键． 2.【答案】C  【解析】解：A、，故是直角三角形，故A选项不符合题意； B、，故是直角三角形，故B选项不符合题意； C、，故不是直角三角形，故C选项符合题意； D、，故是直角三角形，故D选项不符合题意． 故选： 根据勾股定理的逆定理，即可求得． 本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断，掌握勾股定理的逆定理是解决本题的关键．【 3.【答案】C  【解析】解：由题意可得， ，故选项A正确； ， ， ， 是直角三角形，，故选项B正确； ，故选项C错误； 作于点D， 则， 即， 解得，， 即点A到直线BC的距离是2，故选项D正确； 故选： 根据题意和题目中的数据，利用勾股定理，可以得到AB、BC、AC的值，然后即可判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题． 本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 4.【答案】A  【解析】解：A、是最简二次根式，符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选： 根据最简二次根式的定义进行解题即可． 本题考查最简二次根式，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 5.【答案】C  【解析】解：根据题意知，EF垂直平分AC， 在和中， ， ≌， ， ， 即四边形AECF是菱形， 故①结论正确； ，， ， ， 故②结论正确； ， 故③结论不正确； 若AF平分，则， ， ， ， 故④结论不正确； 故选： 根据题意分别证明各个结论来判断即可． 本题主要考查长方形的综合题，熟练掌握长方形的性质，基本作图，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键． 6.【答案】A  【解析】【分析】 本题主要考查了剪纸问题、正方形的性质以及折叠的性质，由剪纸的过程得到图形中边的关系是解题关键． 连接HF，设直线MH与AD边的交点为P，根据剪纸的过程以及折叠的性质得且正方形EFGH的面积正方形ABCD的面积，从而用a分别表示出线段GF和线段MF的长即可求解． 【解答】 解：连接HF，设直线MH与AD边的交点为P，如图： 由折叠可知点P、H、F、M四点共线，且， 设正方形ABCD的边长为2a， 则正方形ABCD的面积为， 若正方形EFGH与五边形MCNGF的面积相等 由折叠可知正方形EFGH的面积正方形ABCD的面积， 正方形EFGH的边长 故选： 7.【答案】2  【解析】解：，点D是斜边AB的中点， ， 平分， ， 是的中位线， ， 故答案为： 根据直角三角形斜边上的中线性质可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得，最后利用三角形的中位线定理进行计算即可解答． 本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质、三角形的中位线定理，熟练掌握直角三角形斜边上的中线，以及三角形的中位线定理是解题的关键． 8.【答案】121X11  【解析】解：， 产生的六位数密码是121X11， 故答案为： 先求出的值，再根据题意即可得出结论． 本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知算术平方根的意义是解答此题的关键． 9.【答案】76  【解析】解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x， 则， 解得：， “数学风车”的周长是： 故答案为： 由题意可知为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由AC延伸一倍，从而求得风车的一个轮子，进一步求得四个． 本题考查了勾股定理在实际情况中的应用，并注意利用题中隐含的已知条件来解答此类题． 10.【答案】7  【解析】解：根据题意得，， 原式 故答案为 由于，则可得到，，代入所求得式中得到，然后利用平方差公式进行计算即可． 本题考查了二次根式的化简求值：先根据已知条件把所求的代数式变形，然后利用整体的思想求值．也考查了无理数的估算． 11.【答案】  【解析】解：由图可知1、、、四个数字循环排列，第m排有m个数， 表示第个数，表示第个数． ，， 表示的数为，表示的数为， 与表示的两数之积是 故答案为： 由题意得出该排列方式为1、、、四个数字循环排列，再求出表示第112个数，表示第4959个数，从而可求出表示的数为，表示的数为，最后计算乘法即可． 本题考查数字类规律探索，二次根式的乘法，理解题意，掌握规律是解决问题的关键． 12.【答案】，，  【解析】解：点P、A、B在x轴上， 、A、B三点不能构成三角形． 设点P的坐标为 当为直角三角形时， ①，易知点P在原点处坐标为； ②时，如图， ， ， 解得，， 点P的坐标为； 当为直角三角形时， ①，易知点P在原点处坐标为； ②时， ，， ， 点P的坐标为 综上所述点P的坐标为，， 因为点P、A、B在x轴上，所以P、A、B三点不能构成三角形．再分和两种情况进行分析即可． 本题考查了勾股定理及其逆定理，涉及到了数形结合和分类讨论思想．解题的关键是不重复不遗漏的进行分类． 13.【答案】解：设CD为xm ，，即为等腰直角三角形， ， ，， ， 根据勾股定理可得：， 解得 答：河宽CD为  【解析】设河宽为未知数，那么可利用勾股定理和等腰直角三角形用河宽表示出AD、DB，让就能求得河宽． 本题考查了等腰直角三角形及勾股定理的应用，解决本题的关键是利用所求线段表示出题中唯一给出的线段的长度． 14.【答案】解： ；   【解析】先去绝对值符号，再把各根式化为最简二次根式，合并同类二次根式即可； 先算乘法，完全平方公式，再算加减即可． 本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键． 15.【答案】证明：， ， ， ， ， ， 四边形ADEC是平行四边形， ； 四边形BECD是菱形， 理由：为AB中点， ， ， ， ， 四边形BECD是平行四边形， ，D为AB中点， ， 四边形BECD是菱形．  【解析】根据垂直定义可得，从而可得，进而可得四边形ADEC是平行四边形，然后利用平行四边形的性质可得，即可解答； 根据线段的中点定义可得，从而利用等量代换可得，进而可得四边形BECD是平行四边形，然后利用直角三角形斜边上的中线性质可得，从而根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可解答． 本题考查了平行四边形的性质与判定，菱形的判定，直角三角形斜边上的中线，平行线的性质，熟练掌握平行四边形的性质与判定，以及菱形的判定是解题的关键． 16.【答案】解：连接AF、BE、CG，CG交AF于M，交BE于四边形ABNM是平行四边形． 连接AF、DF，延长DC交AB的延长线于M，四边形AFDM是菱形．   【解析】本题考查复杂作图、平行四边形的判定、菱形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 由有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，判定四边形ABNM是平行四边形． 先由有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，得四边形AFDM是平行四边形，再由有一组对边相等的平行四边形是菱形，得四边形AFDM是菱形． 17.【答案】解：上面解答过程不正确，第②步出现错误； 原式   【解析】直接利用二次根式的性质分析得出答案； 利用二次根式的性质化简得出答案． 此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键． 18.【答案】解：米 如图： 作，， ， ， 在和中，， ≌， ，， 即， ， ， 则， 所以，， 所以， ≌， ， 由勾股定理得， 答：玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN为  【解析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键． 由题意直接可得． 作，，可证≌，可得，，则，且可求，，即可求OM的长． 根据勾股定理可求，即可求MN的长． 19.【答案】2  【解析】解：图中由2对“勾股三角形”，分别是和，和，理由如下： 四边形ABCD为正方形， ，， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ，即， ， 根据“勾股三角形”的定义得：和是一对“勾股三角形”； 于点H， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ， 根据“勾股三角形”的定义得：和是一对“勾股三角形”； 故答案为： 连接DE，如下图所示：   四边形ABCD为正方形， ，， 在中，，， 由勾股定理得：， ， 在中，由勾股定理得：， 设， 四边形CGFE为矩形， ，， ， 和是一对“勾股三角形”； 即， ， 解得： 故 根据正方形性质得，，在中，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得：，根据“勾股三角形”的定义得和是一对“勾股三角形”；在中，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得：，根据“勾股三角形”的定义得：和是一对“勾股三角形”，由此可得出答案； 连接DE，先求出，则，进而得，设，根据矩性质得，，则，和是一对“勾股三角形”，则，即，据此解出x可得DE的长． 此题主要考查了正方形和矩形的性质，勾股定理的应用，理解正方形和矩形的性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键． 20.【答案】解：过点P作于M，则四边形PDCM为矩形． ， ， 把代入得到：； 当四边形ABQP是平行四边形时，， 即， 解得：， 当时，四边形ABQP是平行四边形． 由图可知，，，若以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况： ①若，在中，，由得，解得； ②若，在中，，由得，即， 此时，， 所以此方程无解， ③若，由得得，不合题意，舍去 综上所述，当或时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形．  【解析】若过点P作于M，则四边形PDCM为矩形，得出，由，可知：； 当四边形ABQP为平行四边形时，，即，可将t求出； 本题应分三种情况进行讨论，①若，在中，由，，将各数据代入，可将时间t求出； ②若，在中，由，，将数据代入，可将时间t求出； ③若，，，将数据代入，可将时间t求出． 本题主要考查四边形综合题，注意梯形的性质、平行四边形的性质及勾股定理的应用．在解题时，应注意分情况进行讨论，防止在解题过程中出现漏解现象． 21.【答案】解：，， ， ，， ， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ； 两点之间，线段最短， 当C在AE上时，值最小； 构图如下，其中，，，设， ， 同理得， 由两点之间，线段最短可知，当C在AE上时，值最小，即最小，最小值为AE的长， 过点E作交AB延长线于F，则四边形BFED是矩形， ，， ， ， 的最小值为  【解析】先求出，再利用勾股定理分别求出AC，CE的长，然后求和即可得到答案； 根据两点之间，线段最短可知当C在AE上时，值最小； 仿照题意构图其中，，，设，根据利用勾股定理求出AE的长即可得到答案． 本题主要考查了勾股定理，两点之间，线段最短，矩形的性质与判定，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 22.【答案】解：点， ； ①证明：四边形AOBC是平行四边形， ， 是AB的中垂线， ， ， ，， ≌， ， 又， 四边形AFBE是平行四边形， ， 四边形AFBE是菱形； ②解：是AB的中垂线， ， 平行四边形AFBE是菱形， ， 点，点， ，， ， ， ， ， ， 当点P在OF上时，点Q在CE上时，四边形APBQ为平行四边形， ， 设运动时间为t秒， ， ， ， ， 点，点  【解析】由两点距离公式可求解； ①由“AAS”可证≌，可得，可得结论； ②先证平行四边形AFBE是菱形，可得，由勾股定理可求，，由平行四边形的性质可求解． 本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 23.【答案】  【解析】解：图①连接DN， 四边形ABCD是矩形， ，， ， ， ， 根据勾股定理：， ； 连接AN，如图③， 四边形ABCD是矩形， ，， ， ， ， 根据勾股定理：， ， 故答案为：； ， 理由如下：如图②，延长MO交AB于E，连接NE、NM， 四边形ABCD是矩形， ，， ， ，， ≌， ，， ， ， ， ，， ^， 即； 根据正方形的性质知：，，， 为直角三角板的直角， 可知：， 可得：， ≌， ， 又， ， 在和中， 根据勾股定理：，， 故可得： 作辅助线，连接DN，在中，根据勾股定理可得：，再根据ON垂直平分BD，可得：，从而可证：； 作辅助线，连接AN，可证，根据勾股定理即可作答；作辅助线，延长MO交AB于点E，可证：≌，，在和中，根据勾股定理和对应边相等，可得：； 先推出≌，在和中，根据勾股定理即可求解． 本题考查了图形的旋转变化，在勾股定理、矩形、正方形的特殊性质及三角形全等的判定等四边形的综合问题，解题的关键是理解题意，并作辅助线． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$