第2章 第9节 函数模型及其应用（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版）

第九节　函数模型及其应用 课标解读 1．了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异，理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的含义． 2．通过收集、阅读一些现实生活、生产实际等数学模型，会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，了解函数模型在社会生活中的广泛应用． [对应学生用书P46] 1．指数、对数、幂函数模型性质比较 性质 函数 y＝ax (a>1) y＝logax (a>1) y＝xn (n>0) 在(0，＋∞) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象 的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同 值的比较 存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax 2.几种常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 与指数函数相关的模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 与对数函数相关的模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 与幂函数相关的模型 f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0) 1．判断正误 (1)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大.(　　×　　) (2)某商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若九折出售，则每件还能获利．(　　×　　) (3)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xa(a>0)和y＝logax(a>1)的增长速度．(　　√　　) (4)在选择实际问题的函数模型时，必须使所有的数据完全符合该函数模型．(　　×　　) 2．在某个物理实验中，测得变量x和变量y的几组数据，如下表： x 0.50 0.99 2.01 3.98 y －0.99 －0.01 0.98 2.00 则对x，y最适合的拟合函数是(　　) A．y＝2x B．y＝x2－1 C．y＝2x－2 D．y＝log2x D　解析：根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B，C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意． 3．设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为(　　) 答案：D 4．(多选)(2023·山东青岛模拟)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2019年1月至2021年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图． 根据该折线图，下列结论正确的是(　　) A．月接待游客量逐月增加 B．年接待游客量逐年增加 C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月 D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 BCD　解析：由题图可知，2019年8月到9月的月接待游客量在减少，则A错误．其余选项全部正确． 5．(2023·山东兖州一中月考)某商店每月按出厂价每瓶3元购进一种饮料，根据以前的统计数据，若零售价定为每瓶4元，每月可销售400瓶；若零售价每降低(升高)0.5元，则可多(少)销售40瓶，在每月的进货当月销售完的前提下，为获得最大利润，销售价应定为(　　) A．3.75元/瓶 B．7.5元/瓶 C．12元/瓶 D．6元/瓶 D　解析：设每瓶销售价定为x元，利润为y元，则y＝(x－3)·＝80(x－3)·(9－x)＝－80(x－6)2＋720(x≥3)，所以当x＝6时，y取得最大值． 6．(2023·广东仲元中学月考)当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了．若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它至少要经过 个“半衰期”． 答案：10　解析：设该死亡生物体内原有的碳14的含量为1，则经过n个“半衰期”后的含量为， 由<，得n≥10. 所以，若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它至少需要经过10个“半衰期”． [对应学生用书P47] 1．(2023·福建龙岩一中月考)如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部有一个排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T.若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h＝f(t)的图象大致是(　　) B　解析：水匀速流出，所以鱼缸水深h先降低快，中间降低缓慢，最后降低速度又越来越快． 2．(2023·江苏连云港模拟)某“跑团”为了解团队每月跑步的平均里程，收集并整理了2022年1月至2022年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程(单位：千米)的数据．绘制了下面的折线图． 根据折线图，下列结论正确的是(　　) A．月跑步平均里程的中位数为6月份对应的平均里程数 B．月跑步平均里程逐月增加 C．月跑步平均里程高峰期大致在8月和9月 D．1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳 D　解析：由折线图知，月跑步平均里程的中位数为5月份对应的平均里程数，A错误；月跑步平均里程不是逐月增加的，B错误；月跑步平均里程高峰期大致在9月和10月，C错误，故选D. 3．(2023·湖北武汉调研)为研究西南高寒山区一种常见树的生长周期中前10年的生长规律，统计显示，生长4年的树高为米，如图所示的散点图，记录了样本树的生长时间t(单位：年)与树高y(单位：米)之间的关系．请你据此判断，在下列函数模型：①y＝2t－a；②y＝a＋log2t；③y＝t＋a；④y＝＋a中(其中a为正的常数)，生长年数与树高的关系拟合最好的是 (填写序号)，估计该树生长8年后的树高为 米． 答案：②　　解析：由散点图的走势，知模型①不合适． 由曲线过点，易得后三个模型的解析式分别为②y＝＋log2t；③y＝t＋；④y＝＋，当t＝1时，代入②，③，④中，易知拟合最好的是②.将t＝8代入②式，得y＝＋log28＝(米). 【例1】 (2023·百师联盟联考)随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势．某医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台．每生产x台，需另投入成本G(x)万元，且G(x)＝ 由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． (1)写出年利润W(x)万元关于年产量x台的函数解析式(利润＝销售收入－成本)； (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 解：(1)由题意可得，当0<x≤40时， W(x)＝200x－(2x2＋80x)－300＝－2x2＋120x－300； 当40<x≤100时，W(x)＝200x－(201x＋－2 100)－300＝－＋1 800， 所以W(x)＝ (2)若0<x≤40，W(x)＝－2(x－30)2＋1 500， 所以当x＝30时，W(x)max＝1 500(万元). 若40<x≤100， W(x)＝－＋1 800≤－2＋1 800＝－120＋1 800＝1 680(万元)， 当且仅当x＝，即x＝60时， W(x)max＝1 680万元． 因为1 680>1 500，所以该产品的年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1 680万元． 【练1】 (2023·湖南益阳质检)我们检测视力时会发现对数视力表中有两列数据，分别是小数记录与五分记录，如图所示(已隐去数据)，其部分数据如下表： 小数 记录x 0.1 0.12 0.15 0.2 … ？ … 1．0 1．2 1．5 2.0 五分 记录y 4.0 4.1 4.2 4.3 … 4.7 … 5.0 5.1 5.2 5.3 现有如下函数模型：①y＝5＋lg x，②y＝5＋lg ，x表示小数记录数据，y表示五分记录数据，请选择最合适的模型解决如下问题：小明同学检测视力时，医生告诉他视力为4.7，则小明同学的小数记录数据约为(参考数据：10－0.3≈0.5，5－0.22≈0.7，10－0.1≈0.8)(　　) A．0.3 B．0.5 C．0.7 D．0.8 B　解析：由题中数据可知，当x＝1时，y＝5，两个函数模型都符合； 当x＝0.1时，由y＝5＋lg x，得y＝5＋lg 0.1＝4，与表中的数据符合，而y＝5＋lg ＝5.1，与表中的数据不符，所以选择模型y＝5＋lg x更合适， 此时令y＝4.7，则lg x＝－0.3，所以x＝10－0.3≈0.5. 【例2】 (1)(2023·湖北宜昌夷陵中学月考)某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，税率为R%(即每销售100元征税R元)，若每年销售量为(30－R)万件，要使附加税不少于128万元，则R的取值范围是(　　) A．[4，8] B．[6，10] C．[4%，8%] D．[6%，10%] (2)(2023·贵州毕节一中月考)2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆．嫦娥五号返回舱之所以能达到如此高的再入精度，主要是因为它采用弹跳式返回弹道，实现了减速和再入阶段弹道调整，这与“打水漂”原理类似(如图所示).现将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为100 m/s，这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的90%，若要使石片的速率低于60 m/s，则至少需要“打水漂”的次数为(参考数据：ln 0.6≈－0.511，ln 0.9≈－0.105)(　　) A.4 B．5 C．6 D．7 (1)A　(2)C　解析：(1)根据题意，要使附加税不少于128万元，需×160×R%≥128， 整理得R2－12R＋32≤0，解得4≤R≤8， 即R∈[4，8]. (2)设石片第n次“打水漂”时的速率为vn， 则vn＝100×0.90n－1． 由100×0.90n－1<60， 得0.90n－1<0.6， 则(n－1)ln 0.90<ln 0.6， 即n－1>≈≈4.87，则n>5.87， 故至少需要“打水漂”的次数为6. 【练2】 (多选)(2023·江苏徐州一中月考)已知一容器中有A，B两种菌，且在任何时刻A，B两种菌的个数乘积均为定值1010，为了简单起见，科学家用PA＝lg nA来记录A菌个数的资料，其中nA为A菌的个数．现有以下几种说法，其中正确的是(参考数据：lg 2≈0.3)(　　) A．PA≥1 B．PA≤10 C．若今天的PA值比昨天的PA值增加1，则今天的A菌个数比昨天的A菌个数多10 D．假设科学家将B菌的个数控制为5万，则此时5<PA<5.5 BD　解析：当nA＝1时，PA＝0，故A错误； 又nA·nB＝1010且nA，nB∈N*， ∴nA≤1010，∴PA≤lg 1010＝10，故B正确； 若PA＝1，则nA＝10；若PA＝2， 则nA＝100，故C错误； 设B菌的个数为nB＝5×104， ∴nA＝＝2×105， 则PA＝lg nA＝5＋lg 2. 又lg 2≈0.3，∴5<PA<5.5，D正确． 【练3】 (2023·山东滨州模拟)某同学设想用“高个子系数k”来刻画成年男子的高个子的程度，他认为，成年男子身高160 cm及其以下不算高个子，其高个子系数k应为0；身高190 cm及其以上的是理所当然的高个子，其高个子系数k应为1，请给出一个符合该同学想法、合理的成年男子高个子系数k关于身高x(单位：cm)的函数关系式为 ． 答案：k＝(只要写出的函数满足在区间[160，190]上单调递增，且过点(160，0)和(190，1)即可．答案不唯一) 解析：由题意知函数k(x)在[160，190]上单调递增， 设k(x)＝ax＋b(a>0)，x∈[160，190]， 由解得 所以k(x)＝x－， 所以k＝ 学科网（北京）股份有限公司 $$