第2章 第8节 函数与方程（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版）

第八节　函数与方程 课标解读 1．了解函数零点与方程解的关系． 2．了解函数零点存在定理． 3．在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律． 4．比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义． [对应学生用书P43] 1．函数的零点 (1)概念：使得f(x0)＝0的数x0称为方程f(x)＝0的解，也称为函数f(x)的零点.f(x)的零点就是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标． (2)函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系： 函数的零点的本质是方程f(x)＝0有实数解，因此，函数的零点不是点，而是一个实数．例如函数f(x)＝x＋1，当f(x)＝x＋1＝0时，仅有一个实数解x＝－1，所以函数f(x)＝x＋1仅有一个零点－1． 2．函数零点存在定理 若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续的曲线，并且在区间端点的函数值一正一负，即f(a)·f(b)<0，则在开区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即在区间(a，b)内相应的方程f(x)＝0至少有一个解． 函数零点存在定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件． 3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点个数的关系 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数 y＝ax2＋ bx＋c (a>0) 的图象 与x轴 的交点 (x1，0)， (x2，0) (x1，0) (或(x2，0)) 无交点 零点个数 2 1 0 4.函数模型 函数 模型 指数型 函数模型 y＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 对数型 函数模型 y＝mlogax＋n(m，a，n为常数，m≠0，a>0且a≠1) 幂函数 型模型 y＝axα＋b(a，b为常数，a≠0) 1．判断正误 (1)若函数f(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有f(a)·f(b)<0.(　　×　　) (2)用二分法可求所有函数的零点．(　　×　　) (3)用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用．(　　√　　) 2．(多选)(2023·陕西渭南模拟)已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表： x 1 2 3 4 5 6 7 f(x) －4 －2 1 4 2 －1 －3 在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为(　　) A．(1，2) B．(2，3) C．(5，6) D．(5，7) BCD　解析：由所给的函数值表知，f(1)f(2)>0，f(2)f(3)<0，f(5)f(6)<0， f(5)f(7)<0，∴f(x)在区间(2，3)，(5，6)，(5，7)内各至少有一个零点． 3．设f(x)在区间[a，b]上是连续的单调函数，且f(a)·f(b)<0，则方程f(x)＝0在闭区间[a，b]内(　　) A．至少有一实根 B．至多有一实根 C．没有实根 D．必有唯一实根 答案：D 4．(2023·湖北黄冈中学月考)函数f(x)＝2sin x－sin 2x在[0，2π]的零点个数为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 B　解析：由2sin x－sin 2x＝0， 得sin x＝0或cos x＝1． 又x∈[0，2π]，由sin x＝0，得x＝0，π，2π. 由cos x＝1，得x＝0，2π. ∴f(x)＝0有三个实根0，π，2π，即f(x)在[0，2π]上有三个零点． 5．(必修第一册·P156T13改编)若函数f(x)＝24ax2＋4x－1在区间(－1，1)内恰有一个零点，则实数a的取值范围是 ． 答案：∪(－，) 6．(2023·山东聊城一中月考)函数f(x)＝x·2x－kx－2在区间(1，2)内有零点，则实数k的取值范围是 ． 答案：(0，3)　解析：令f(x)＝0，∴x·2x－kx－2＝0，即k＝2x－， 即y＝k与φ(x)＝2x－，x∈(1，2)的图象有交点． 又φ(x)＝2x－在(1，2)上单调递增， 且φ(1)＝0，φ(2)＝3. 所以0＜k＜3. [对应学生用书P44] 1．(多选)(2023·山东菏泽一中质检)函数f(x)＝ex－x－2必有零点的区间为(　　) A．(－2，－1) B．(－1，0) C．(0，1) D．(1，2) AD　解析：f(－2)＝>0，f(－1)＝－1<0， f(0)＝－1<0，f(1)＝e－3<0，f(2)＝e2－4>0， 因为f(－2)·f(－1)<0，f(1)·f(2)<0， 所以f(x)在(－2，－1)和(1，2)内存在零点． 2．设函数f(x)＝x－ln x，则函数y＝f(x)(　　) A．在区间(，1)，(1，e)内均有零点 B．在区间(，1)，(1，e)内均无零点 C．在区间(，1)内有零点，在区间(1，e)内无零点 D．在区间(，1)内无零点，在区间(1，e)内有零点 D　解析：当x∈(，e)时，函数图象连续不断， 且f′(x)＝－＝<0， 所以函数f(x)在(，e)上单调递减． 又f()＝＋1>0，f(1)＝>0， f(e)＝e－1<0，所以函数f(x)有唯一的零点在区间(1，e)内． 3．(2024·湖北武昌实验中学月考)若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(　　) A．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内 C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内 A　解析：∵a<b<c，∴f(a)＝(a－b)(a－c)>0， f(b)＝(b－c)(b－a)<0， f(c)＝(c－a)(c－b)>0， 又曲线y＝f(x)是连续不断的，∴由函数零点存在定理可知，在区间(a，b)，(b，c)内分别存在一个零点；又函数f(x)是二次函数，∴最多有两个零点，因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c)内． 4.(2023·浙江绍兴模拟)若函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x＋1)＝－f(x)，且x∈[－1，1]时，f(x)＝1－x2，已知函数g(x)＝则函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－6，6]内的零点个数为(　　) A．14 B．13 C．12 D．11 C　解析：因为f(x＋1)＝－f(x)， 所以函数y＝f(x)(x∈R)是周期为2的函数， 因为x∈[－1，1]时，f(x)＝1－x2， 所以作出它的图象，则y＝f(x)的图象如图所示．(注意拓展它的区间) 再作出函数g(x)＝的图象， 容易得出交点为12个． 5．(2023·福建泉州模拟)设定义域为R的函数f(x)＝则关于x的函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点的个数为(　　) A．3 B．5 C．6 D．7 D　解析：根据题意，令2f2(x)－3f(x)＋1＝0， 得f(x)＝1或f(x)＝. 作出f(x)的图象(如下图所示). 由图象可得当f(x)＝1和f(x)＝时，分别有3个和4个交点， 故关于x的函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点的个数为7. 考向1　由函数零点个数求参数问题 【例1】 (2023·湖北九市联盟质量检测)若函数f(x)＝恰有3个零点，则实数a的取值范围为 ． 答案：(－1，0)∪[1，4)　解析：设g(x)＝ 由题意得f(x)有3个零点，等价于g(x)的图象与直线y＝a有3个交点． g′(x)＝ ∴g(x)的极大值为g(－2)＝4，极小值为g(1)＝－1， 又g(0)＝0，03－3×0＋1＝1， 故可作出此函数的图象，如图所示， ∴a∈(－1，0)∪[1，4). 【练1】 设函数f(x)＝ (1)若a＝1，则f(x)的最小值为 ； (2)若f(x)恰有2个零点，则实数a的取值范围是 ． 答案： (1)－1　(2))∪[2，＋∞) 解析：(1)若a＝1，则f(x)＝作出函数f(x)的图象如图所示，由图可得f(x)的最小值为－1． (2)当a≥1时，要使f(x)恰有2个零点，需满足21－a≤0，即a≥2；当a<1时，要使f(x)恰有2个零点，需满足解得≤a<1．综上，实数a的取值范围为)∪[2，＋∞). 考向2　由函数零点所在区间求参数问题 【例2】 (2023·辽宁沈阳模拟)已知函数f(x)满足f(x)＝f(3x)，当x∈[1，3)，f(x)＝ln x，若在区间[1，9)内，函数g(x)＝f(x)－ax有三个不同零点，则实数a的取值范围是(　　) A．(，) B．(，) C．(，) D．(，) 思维 导引 学科 素养 本题主要考查直观想象、逻辑推理等核心素养 思路 点拨 首先求出函数f(x)在区间[1，9)内的解析式并画出其图象，再画出函数y＝ax的图象，通过图象分析满足在[1，9)内有零点的条件从而求出a的取值范围 B　解析：函数f(x)满足f(x)＝f(3x)， 当x∈[1，3)，f(x)＝ln x， 故f(x)＝ 令g(x)＝f(x)－ax＝0，∴f(x)＝ax， 画出函数图象，如图所示， 当直线y＝ax与f(x)＝ln (3≤x＜9)相切时，f′(x)＝， 设切点为(x0，y0)，则＝， ∴y0＝1，∴ln ＝1，∴x0＝3e， 此时a＝k＝，当直线经过点(9，ln 3)时，a＝k＝. 综上所述，a∈(，). 【练2】 (2023·北京顺义模拟)已知函数f(x)＝3x－.若存在x0∈(－∞，－1)，使得f(x0)＝0，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，) B．(0，) C．(－∞，0) D．(，＋∞) B　解析：由f(x)＝3x－＝0， 可得a＝3x－， 令g(x)＝3x－，其中x∈(－∞，－1)， 由于存在x0∈(－∞，－1)，使得f(x0)＝0， 则实数a的取值范围即为函数g(x)在(－∞，－1)上的值域． 因为函数y＝3x，y＝－在区间(－∞，－1)上均单调递增，所以函数g(x)在(－∞，－1)上单调递增． 当x∈(－∞，－1)时， g(x)＝3x－<3－1＋1＝， 又g(x)＝3x－>0， 所以函数g(x)在(－∞，－1)上的值域为. 因此实数a的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $$