第2章 第7节 函数图象（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版）

第七节　函数图象 课标解读 1．会画一些函数的图象，理解图象的作用． 2．会运用函数图象理解和研究函数的性质、解决方程解的个数与不等式解的问题． [对应学生用书P39] 1．利用描点法作函数图象的方法步骤 2．利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换 “左加右减，上加下减”，左加右减只针对x本身，与x的系数无关，上加下减指的是在f(x)整体上加减． (2)伸缩变换 y＝f(ax). y＝af(x). (3)对称变换 ①y＝f(x)y＝－f(x)． ②y＝f(x)y＝f(－x)． ③y＝f(x)y＝－f(－x)． ④y＝ax(a>0，且a≠1)y＝logax(a>0，且a≠1). 图象变换的注意点：在解决函数图象的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的x，y变换”的原则，写出每一次变换所得图象对应的解析式，这样才能避免出错． (4)翻折变换 ①y＝f(x)y＝|f(x)|． ②y＝f(x)y＝f(|x|)． 1．判断正误 (1)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同．(　　×　　) (2)函数y＝af(x)与y＝f(ax)(a>0且a≠1)的图象相同．(　　×　　) (3)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于原点对称．(　　×　　) (4)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．(　　√　　) (5)将函数y＝f(－x)的图象向右平移1个单位长度得到函数y＝f(－x－1)的图象．(　　×　　) 2．(多选)(2023·山东日照实验中学模拟)若函数y＝ax＋b－1(a＞0，且a≠1)的图象经过第一、三、四象限，则下列选项中正确的有(　　) A．a＞1 B．0＜a＜1 C．b＞0 D．b＜0 AD　解析：因为函数y＝ax＋b－1(a＞0，且a≠1)的图象经过第一、三、四象限，所以其大致图象如图所示． 由图象可知函数为增函数，所以a＞1，当x＝0时，y＝1＋b－1＝b＜0，故选AD. 3．(2023·山东临沂一中模拟)函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得到的图象与函数y＝ex的图象关于y轴对称，则f(x)＝(　　) A．ex+1 B．ex-1 C．e-x+1 D．e-x-1 D　解析：依题意f(x)的图象可由y＝ex的图象关于y轴对称后，再向左平移1个单位长度得到． ∴y＝ex y＝e-xy＝e-(x+1)＝e-x-1， ∴f(x)＝e－x－1． 4．(2023·北京密云区8月开学考试)已知函数f(x)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式可能为(　　) A．f(x)＝－x＋1 B．f(x)＝＋x－1 C．f(x)＝x ln x－x＋1 D．f(x)＝x ln x＋x－1 C　解析：对于A，f(x)＝－x＋1，有f(e)＝－e＋1<0，不合题意，排除A；对于B，f(x)＝＋x－1，f＝－e＋－1<0，不合题意，排除B；对于C，f(x)＝x ln x－x＋1，f(e)＝e－e＋1>0，f＝－ －＋1>0，C符合题意；对于D，f(x)＝x ln x＋x－1，f＝－ ＋－1<0，不合题意，排除D.故选C. 5．若关于x的方程|x|＝a－x只有一个解，则实数a的取值范围是 ． 答案：(0，＋∞) 6．(2023·山东菏泽一中月考)已知函数f(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝logf(x)的定义域是 ． 答案：(2，8]　解析：当f(x)>0时，函数g(x)＝logf(x)有意义，由函数f(x)的图象知满足f(x)>0时，x∈(2，8]. [对应学生用书P40] 作出下列函数的图象： (1)y＝()|x|；(2)y＝|log2(x＋1)|； (3)y＝；(4)y＝x2－2|x|－1． 解：(1)作出y＝()x(x≥0)的图象，将y＝()x(x≥0)y轴右侧的图象以y轴为对称轴翻折到y轴的左侧，再将原来y轴左侧图象删掉，右侧不变，即得y＝()|x|的图象，如图中实线部分． (2)将函数y＝log2x的图象向左平移1个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|log2(x＋1)|的图象，如图中实线部分． (3)因为y＝＝2＋，故函数图象可由y＝的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图． (4)因为y＝且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，即得函数y＝x2－2|x|－1的图象，如图． 【例1】 (1)(2022·全国甲卷)函数y＝(3x－3－x)cos x在区间[－，]的图象大致为(　　) (2)(2023·天津高考)函数f(x)的图象如下图所示，则f(x)的解析式可能为(　　) A．f(x)＝ B．f(x)＝ C．f(x)＝ D．f(x)＝ (1)A　(2)D　解析：(1)令f(x)＝cos x， x∈， 则f＝cos ＝ －(3x－3－x)cos x＝－f(x)， 所以f(x)为奇函数，排除B，D； 又当x∈时，3x－3－x>0，cos x>0， 所以f(x)>0，排除C.故选A. (2)由题图可知函数f(x)的图象关于y轴对称，所以函数f(x)是偶函数．对于A，f(x)＝，定义域为R，f(－x)＝＝－f(x)，所以函数f(x)＝是奇函数，所以排除A；对于B，f(x)＝，定义域为R，f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以函数f(x)＝是奇函数，所以排除B；对于C，f(x)＝，定义域为R，f(－x)＝＝f(x)，所以函数f(x)＝是偶函数，又x2＋2＞0，ex＋e-x＞0，所以f(x)＞0恒成立，不符合题意，所以排除C；分析知，选项D符合题意，故选D. 【练1】 (2023·江苏淮安协作体考试)函数f(x)＝部分图象可能为(　　) D　解析：由题意可知，f(－x)＝＝f(x)，则函数f(x)为偶函数，则排除选项B，C，又f(0)＝＝－＜0，则排除选项A，故选D. 【练2】 (2023·黑龙江模拟)已知某个函数的图象如图所示，则下列解析式中与此图象最为符合的是(　　) A．f(x)＝ B．f(x)＝ C．f(x)＝ D．f(x)＝ A　解析：对于B选项，函数f(x)＝有意义，则 解得x≠0且x≠1且x≠2， 与题图不符，错误； 对于C选项，函数f(x)＝有意义，则－1≠0，解得x≠±1，与题图不符，错误； 对于D选项，当x∈时，f(x)＝>0，与题图不符，错误； 故根据排除法得f(x)＝与此图象最为符合．故选A. 【练3】 (多选)(2023·江苏淮安联考)函数f(x)＝的图象可能是(　　) 　　 　　 ABC　解析：由题意，①若a＞0，不妨取a＝1，则f(x)＝，则函数定义域为R，且为奇函数，当x＝0时，f(0)＝0，当x≠0时，函数可化为f(x)＝，则f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递减，在(－1，0)，(0，1)上单调递增，故选项B可能； ②若a＜0，不妨取a＝－1，则f(x)＝，定义域为{x|x≠±1}，且为奇函数，当x＝0时，f(0)＝0，当x≠0时，f(x)＝，则f(x)在(－∞，－1)，(－1，0)，(0，1)，(1，＋∞)上单调递减，故选项A可能，选项D不可能； ③若a＝0，则f(x)＝＝，选项C可能． 考向1　研究函数的性质 【例2】 已知函数f(x)＝x·|x|－2x，则下列结论正确的是(　　) A．f(x)是偶函数，递增区间是(－∞，0) B．f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1) C．f(x)是奇函数，递减区间是(－1，1) D．f(x)是奇函数，递增区间是(0，＋∞) C　解析：将函数f(x)＝x·|x|－2x去掉绝对值得f(x)＝画出函数f(x)的图象，如图， 观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1，1)上单调递减． 【练4】 (2023·江苏连云港模拟)函数y＝的图象与函数y＝2sin πx(－2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 D　解析：令1－x＝t，则x＝1－t. 由－2≤x≤4，知－2≤1－t≤4， 所以－3≤t≤3. 又y＝2sin πx＝2sin π(1－t)＝2sin πt. 在同一平面直角坐标系下作出y＝和y＝2sin πt的图象． 由图可知两函数图象在[－3，3]上共有8个交点， 且这8个交点两两关于原点对称． 因此这8个交点的横坐标的和为0， 即t1＋t2＋…＋t8＝0. 也就是1－x1＋1－x2＋…＋1－x8＝0， 因此x1＋x2＋…＋x8＝8. 考向2　与不等式有关的问题 【例3】 函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0，2]时，f(x)＝x－1，则不等式xf(x)＞0在(－1，3)上的解集为(　　) A．(1，3) B．(－1，1) C．(－1，0)∪(1，3) D．(－1，0)∪(0，1) C　解析：作出函数f(x)的图象如图所示． 当x∈(－1，0)时，由xf(x)>0得x∈(－1，0)； 当x∈(0，1)时，由xf(x)>0得x∈∅； 当x∈(1，3)时，由xf(x)>0得x∈(1，3). 所以x∈(－1，0)∪(1，3). 【练5】 (2023·山东乳山一中月考)设函数y＝f(x＋1)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减，且图象过点(1，0)，则不等式(x－1)f(x)≤0的解集为 ． 答案： {x|x≤0或1＜x≤2} 解析：画出f(x)的大致图象如图所示． 不等式(x－1)f(x)≤0可化为 或 由图可知符合条件的解集为{x|x≤0或1＜x≤2}． 考向3　求参数的取值范围 【例4】 (2023·辽宁葫芦岛模拟)已知函数f(x)＝若实数a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则a＋b＋c的取值范围是 ． 答案：(2，2 023)　解析：函数f(x)＝的图象如图所示， 不妨令a＜b＜c， 由正弦曲线的对称性可知a＋b＝1， 而1＜c＜2 022，所以2＜a＋b＋c＜2 023. 【练6】 已知直线y＝1与曲线y＝x2－|x|＋a有四个交点，则a的取值范围是 ． 答案： (1，)　解析： y＝作出其图象，如图所示． 此曲线与y轴交于点(0，a)，最小值为a－，要使直线y＝1与其有四个交点，只需a－＜1＜a，所以1＜a＜. 学科网（北京）股份有限公司 $$