第2章 第6节 对数与对数函数（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版）

第六节　对数与对数函数 课标解读 1．理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数． 2．了解对数函数的概念及其单调性与特殊点． 3．知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数(a>0，且a≠1). [对应学生用书P35] 1．对数的概念 一般地，如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么数b称为以a为底N的对数，记作logaN＝b，其中a叫作对数的底数，N叫作真数． 2．对数的性质、运算性质与换底公式 (1)对数的性质：①alogaN＝N； ②logaab＝b(a>0，且a≠1). ③负数和零没有对数． ④loga1＝0(a>0，且a≠1). ⑤logaa＝1(a>0，且a≠1). (2)对数的运算性质 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，b∈R，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMb＝blogaM． (3)换底公式：logab＝(a>0，b>0，c>0，且a≠1，c≠1). 3．对数函数及其性质 (1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)称为对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞). (2)对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0) 当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0 在定义域(0，＋∞)上是增函数， 当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于正无穷大；当x值趋近于0时，函数值趋近于负无穷大 在定义域(0，＋∞)上是减函数， 当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于负无穷大；当x值趋近于0时，函数值趋近于正无穷大 对称性：函数y＝logax与的图象关于x轴对称 4.反函数 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称． 1．判断正误 (1)loga(MN)＝logaM＋logaN.(　　×　　) (2)logax·logay＝loga(x＋y).(　　×　　) (3)函数y＝log2x及y＝log3x都是对数函数.(　　×　　) (4)对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．(　　×　　) (5)函数y＝ln 与y＝ln (1＋x)－ln (1－x)的定义域相同．(　　√　　) 2．使式子log(2x－1)(2－x)有意义的x的取值范围是(　　) A．x>2 B．x<2 C．<x<2 D．<x<2，且x≠1 答案：D 3．已知a＝log52，b＝log83，c＝，则下列判断正确的是(　　) A．c<b<a B．b<a<c C．a<c<b D．a<b<c C　解析：a＝log52<log5＝＝log82<log83＝b，即a<c<b. 4．(多选)函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，a≠1)的图象如图所示，则下列结论成立的是(　　) A．a>1 B．0<c<1 C．0<a<1 D．c>1 答案：BC 5．计算：(log29)·(log34)＝ ． 答案：4　解析：(log29)·(log34)＝×＝×＝4. 6．若loga<1(a>0，且a≠1)，则实数a的取值范围是 ． 答案：(0，)∪(1，＋∞) [对应学生用书P36] 1．(log29)(log32)＋loga＋loga(a)(a>0，且a≠1)的值为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 B　解析：原式＝(2log23)(log32)＋loga(×a)＝2×1＋logaa＝3. 2．(2024·甘肃兰州质检)设2a＝5b＝m，且＋＝1，则m＝(　　) A． B．10 C．20 D．100 B　解析：因为2a＝5b＝m， 所以a＝log2m，b＝log5m， 所以＋＝logm2＋logm5＝logm10＝1， 又∵m＞0，∴m＝10. 3．(2023·江苏镇江第一中学月考)航天之父、俄国科学家齐奥科夫斯基(K.E.Tsiolkovsky)于1903年给出火箭最大速度的计算公式v＝V0ln (1＋).其中V0是燃料相对于火箭的喷射速度，M是燃料的质量，m0是火箭(除去燃料)的质量，v是火箭将燃料喷射完之后达到的速度．已知V0＝2 km/s，则当火箭的最大速度v可达到10 km/s时，火箭的总质量(含燃料)与火箭(除去燃料)的质量的比值为(　　) A．e5 B．e5－1 C．e6 D．e6－1 A　解析：由题意可知，2ln (1＋)＝10，则1＋＝＝e5，即火箭的总质量(含燃料)至少是火箭(除去燃料)的质量的e5倍，故选A. 4．(2023·辽宁大连高一月考)已知a>b>1，若logab＋logba＝，ab＝ba，则a＋b＝ ． 答案：6　解析：设logba＝t，则t>1，因为t＋＝， 所以t＝2，则a＝b2.又ab＝ba， 所以b2b＝bb2，即2b＝b2， 又a>b>1，解得b＝2，a＝4. 所以a＋b＝6. 【例1】 (1)已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0，a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是(　　) A．0<a-1<b<1 B．0<b<a-1<1 C．0<b-1<a<1 D．0<a-1<b-1<1 (2)当0＜x≤时，4x＜logax，则实数a的取值范围是(　　) A．(0，) B．(，1) C．(1，) D．(，2) (1)A　(2)B　解析：(1)由函数图象可知，f(x)为增函数，故a>1．函数图象与y轴的交点坐标为(0，logab)，由函数图象可知－1<logab<0， 解得<b<1．综上有0<<b<1． (2)易知0＜a＜1，函数y＝4x与y＝logax的大致图象如图． 由题意可知只需满足loga＞4， 解得a＞，所以＜a＜1． 【变式】 若将本例(2)中的条件“4x＜logax”变为“4x＝logax有解”，则实数a的取值范围为 ． 答案：(　解析：若方程4x＝logax在(上有解，则函数y＝4x与函数y＝logax的图象在(上有交点．由图象可知解得0＜a≤，即a的取值范围为(. 【练1】 (2023·广东汕头检测)已知函数f(x)＝且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是 ． 答案：(1，＋∞)　解析：如图，在同一平面坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝－x＋a的图象，其中a表示直线y＝－x＋a在y轴上的截距．由图可知，当a>1时，直线y＝－x＋a与y＝f(x)只有一个交点． 考向1　比较大小问题 【例2】 (2023·山东滨州月考)已知a＝log315，b＝log420，2c＝1．9，则(　　) A．a＞c＞b B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．a＞b＞c 思维 导引 学科 素养 本题主要考查逻辑推理、数学抽象等核心素养 思路 点拨 利用对数运算法则转化为比较log35与log45的大小，可用作商比较法求解 D　解析：a＝log315＝log3(3×5)＝1＋log35＞1， b＝log420＝log4(4×5)＝1＋log45＞1，c＝log21．9＜1，因为log35＝＞＝log45，所以a＞b＞c. 【练2】 若0＜x＜y＜1，则(　　) A．2x＜3y＜1 B．()x＜()y＜1 C．logx3＜logy4＜0 D．logy4＜logx3＜0 D　解析：因为0＜x＜y＜1， 所以2x＞20＝1，3y＞30＝1，故A不正确； 0＜＜1，所以1＝()0＞()x＞()y，故B不正确； 0＝logx1＞logx3＞logx4＞logy4，故C不正确；logy4＜logx4＜logx3＜logx1＝0，故D正确． 考向2　解简单的对数方程或不等式 【例3】 设f(x)＝则方程f(a)＝f(－a)的解集为 ． 答案：{－1，1}　解析：当a>0时，由f(a)＝log2a＝log()＝f(－a)＝loga，得a＝1；当a<0时，由f(a)＝log(－a)＝log2(－)＝f(－a)＝log2(－a)，得a＝－1，∴方程f(a)＝f(－a)的解集为{1，－1}． 【变式】 若本例条件不变，则f(a)>f(－a)的解集为 ． 答案：(－1，0)∪(1，＋∞)　解析：由题意得， 或 解得a＞1或－1＜a＜0. 【练3】 (2023·浙江湖州调研)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f(x)单调递减，则不等式f(log(2x－5))＞f(log38)的解集为 ． 答案：∪　解析：因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0]上单调递减， 即0＜2x－5＜或2x－5＞8，解得＜x＜或x＞. 考向3　对数函数性质的综合问题 【例4】 (多选)(2023·湖北武汉六中月考)已知函数f(x)＝ln ，下列说法正确的是(　　) A.f(x)为奇函数 B．f(x)为偶函数 C．f(x)在(，＋∞)上单调递减 D．f(x)的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞) ACD　解析：f(x)＝ln ，令＞0， 解得x＞或x＜－， ∴f(x)的定义域为∪， 又f(－x)＝ln ＝ln ＝ ln ＝－ln ＝－f(x)， ∴f(x)为奇函数，故A正确，B错误． 又f(x)＝ln ＝ln ， 令t＝1＋，t＞0且t≠1，∴y＝ln t， 又t＝1＋在上单调递减， 且y＝ln t为增函数， ∴f(x)在上单调递减，故C正确； ∴y＝ln t的值域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，故D正确． 【练4】 (2023·山东潍坊模拟)已知f(x)＝1＋log3x(1≤x≤9)，设函数g(x)＝f2(x)＋f(x2)，则g(x)max－g(x)min＝ ． 答案：5　解析：由题意得 ∴1≤x≤3，∴g(x)的定义域为[1，3]， g(x)＝f2(x)＋f(x2)＝(1＋log3x)2＋1＋log3x2＝(log3x)2＋4log3x＋2， 设t＝log3x，则0≤t≤1， 则y＝t2＋4t＋2＝(t＋2)2－2在[0，1]上单调递增， ∴当t＝0，即x＝1时，g(x)min＝2， 当t＝1，即x＝3时，g(x)max＝7， ∴g(x)max－g(x)min＝5. 学科网（北京）股份有限公司 $$