第2章 第5节 指数与指数函数（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版）

第五节　指数与指数函数 课标解读 1．了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质． 2．了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念． 3．能画具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点． [对应学生用书P31] 1．根式 (1)如果xn＝a，那么x叫作a的n次方根，其中n>1，且n∈N＋. (2)式子叫作根式，其中n叫作根指数，a叫作被开方数． (3)()n＝a． 当n为奇数时，＝a， 当n为偶数时，＝|a|＝ 2．分数指数幂 (1)正分数指数幂 给定正数a和正整数m，n(n>1，且m，n互素)，若存在唯一的正数b，使得bn＝am，则称b为a的次幂，记作.这就是正分数指数幂． (2)负分数指数幂 给定正数a和正整数m，n(n>1，且m，n互素)，定义，这就是负分数指数幂． 3．无理数指数幂 一般地，给定正数a，对于任意的正无理数α，可以定义一个实数aα，自然地，规定a－α＝. 4．指数幂的运算性质 aα·aβ＝aα+β；(aα)β＝aαβ；(ab)α＝aαbα(a>0，b>0，α，β∈R). (1)有理数指数幂的运算性质中，要求指数的底数都大于0，否则不能用性质来运算． (2)有理数指数幂的运算性质也适用于无理数指数幂． 5．指数函数及其性质 (1)定义：给定正数a，且a≠1时，对于任意的实数x，都有唯一确定的正数y＝ax与之对应，因此y＝ax是一个定义在实数集上的函数，称为指数函数． (2)指数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域：R 值域：(0，＋∞) 过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 当x<0时，y>1； 当x>0时，0<y<1 在R上是增函数， 当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于正无穷大；当x值趋近于负无穷大时，函数值趋近于0 在R上是减函数， 当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于0；当x值趋近于负无穷大时，函数值趋近于正无穷大 形如y＝kax，y＝ax＋k(k∈R且k≠0，a>0且a≠1)的函数叫作指数型函数，不是指数函数． 1．判断正误 (1)＝()n＝a(n∈N*).(　　×　　) (2)分数指数幂可以理解为个a相乘．(　　×　　) (3)函数y＝3·2x与y＝2x+1都不是指数函数.(　　√　　) (4)若am<an(a>0，且a≠1)，则m<n.(　　×　　) (5)函数y＝2－x在R上为减函数．(　　√　　) 2．化简的结果为(　　) A．5 B． C．－ D．－5 B　解析：原式 3．如图，①②③④中不属于函数y＝2x，y＝6x，y＝()x的一个是(　　) A．① B．② C．③ D．④ 答案：B 4．若函数y＝ax(a>0，且a≠1)在[1，2]上的最大值与最小值的差为，则a的值为(　　) A． B． C．或2 D．或 答案：D 5．函数f(x)＝ax－1＋2(a>0且a≠1)的图象恒过定点 ． 答案：(1，3) [对应学生用书P32] 1．若实数a>0，则下列等式成立的是(　　) D　解析：(－2)-2＝，故A错误；2a-3＝，故B错误；(－2)0＝1，故C错误；＝，故D正确． 答案：　解析： 答案：　解析：由 两边平方得x＋x－1＝7， 再平方得x2＋x－2＝47， 【例1】 (1)已知函数f(x)＝2x－2，则函数y＝|f(x)|的图象可能是(　　) (2)若函数y＝|2x－1|的图象与直线y＝b有两个公共点，则b的取值范围为 ． 答案：(1)B　(2)(0，1)　解析：(1)y＝|f(x)|＝|2x－2|＝易知函数y＝|f(x)|的图象的分段点是x＝1，且过点(1，0)，(0，1)，|f(x)|≥0.又y＝|f(x)|在(－∞，1)上单调递减，所以B符合． (2)作出曲线y＝|2x－1|的图象与直线y＝b如图所示．由图象可得b的取值范围是(0，1). 【变式】 将本例(2)改为直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a＞0，且a≠1)的图象有两个公共点，求实数a的取值范围． 解：y＝|ax－1|的图象是由y＝ax的图象先向下平移1个单位长度，再将x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的． 当a＞1时，如图①，两图象只有一个交点，不合题意； 当0＜a＜1时，如图②，要使两个图象有两个交点，则0＜2a＜1，得到0＜a＜. 综上可知，a的取值范围是(0，). 【练1】 (多选)(2024·广东省实验中学月考)已知实数a，b满足等式2 021a＝2 022b，下列等式可以成立的是(　　) A．a＝b＝0 B．a<b<0 C．0<a<b D．0<b<a ABD　解析：如图，观察易知，a<b<0或0<b<a或a＝b＝0时满足等式，故选ABD. 【练2】 (2023·黑龙江哈尔滨模拟)若存在正数x使ex(x＋a)<1成立，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，＋∞) B．(－∞，1) C．(－∞，－1) D．(－∞，－1) B　解析：由题设知，∃x>0使x＋a<e-x成立， 令y＝x＋a，y1＝e-x， ∴x>0时有y1＝e-x∈(0，1)， 而y＝x＋a∈(a，＋∞)， ∴当a<1时，∃x>0，使得ex(x＋a)<1成立． 考向1　比较大小问题 B　解析：易知f(x)＝2x－2－x在R上为增函数，又＝b>0，c＝log2<0，则a>b>c，所以f(c)<f(b)<f(a). 【练3】 (2023·湖南永州模拟)若a＝0.30.7，b＝0.70.3，c＝1．20.3，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a>b>c B．c>b>a C．b>c>a D．a>c>b B　解析：∵函数y＝0.3x在R上是减函数， ∴0<0.30.7<0.30.3. 又∵幂函数y＝x0.3在(0，＋∞)上单调递增， 0．3<0.7，∴0<0.30.3<0.70.3<1．20.3，∴a<b<c. 考向2　解简单的指数方程或不等式 【例3】 已知实数a≠1，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为 ． 思维 导引 学科 素养 本题主要考查逻辑推理、数学抽象、数学运算等核心素养 思路 点拨 分类讨论→代入函数f(x)对应的解析式→得到关于a的方程或不等式→求a的值或取值范围 答案：　解析：当a<1时，41-a＝2，解得a＝； 当a>1时，代入不成立．故a的值为. 【练4】 (2023·湖南五市联考)设函数f(x)＝若f(a)＜1，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，－3) B．(1，＋∞) C．(－3，1) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞) C　解析：当a＜0时，f(a)＝－7＜1， 即＜8，即＜， 因为0＜＜1，所以a＞－3，此时－3＜a＜0； 当a≥0时，f(a)＝＜1，即0≤a＜1． 故a的取值范围是(－3，1). 考向3　指数函数性质的综合问题 【例4】 (1)已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增，则m的取值范围是 ． (2)若函数有最大值3，则a＝ ． 思维 导引 学科 素养 本题主要考查逻辑推理、数学抽象、数学运算等核心素养 思路 点拨 (1)复合函数单调性→判断f(x)的单调区间→集合的包含关系求参数； (2)由f(x)＝3→ax2－4x＋3≥－1→求a 答案：(1)(－∞，4]　(2)1　解析：(1)令t＝|2x－m|， 则t＝|2x－m|在区间[，＋∞)上单调递增，在区间(－∞，]上单调递减．而y＝2t在R上单调递增，所以要使函数f(x)＝2|2x-m|在[2，＋∞)上单调递增，则有≤2，即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4]. (2)令h(x)＝ax2－4x＋3，y＝()h(x).因为f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1，因此必有解得a＝1，即当f(x)有最大值3时，a的值为1． 【练5】 (2023·河南洛阳一中月考)已知定义域为R的函数f(x)＝－＋，则关于t的不等式f(t2－2t)＋f(2t2－1)＜0的解集为 ． 答案：∪(1，＋∞)　解析：由题意知f(x)是奇函数，且在R上为减函数， 则f(t2－2t)＋f(2t2－1)＜0， 即f(t2－2t)＜－f(2t2－1)＝f(1－2t2). 所以t2－2t＞1－2t2，解得t＞1或t＜－. 【练6】 (2023·四川泸州模拟)已知函数f(x)＝ex－，若f(a－2)＋f(a2)≤0，则实数a的取值范围是 ． 答案：[－2，1]　解析：因为f(x)＝ex－，定义域为R， f(－x)＝e-x－＝－ex＝－f(x)， 所以f(x)＝ex－为奇函数． 又因为f(x)＝ex－在R上为增函数， 所以f(a－2)＋f(a2)≤0⇒f(a－2)≤－f(a2)⇒f(a－2)≤f(－a2)， 即a－2≤－a2，a2＋a－2≤0， 解得－2≤a≤1． 学科网（北京）股份有限公司 $$