第2章 第3节 函数的奇偶性与周期性（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版）

第三节　函数的奇偶性与周期性 课标解读 1．结合具体函数，了解函数奇偶性的概念及几何意义． 2．结合三角函数，了解函数周期性的概念及几何意义． [对应学生用书P23] 1．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 奇函数 设函数f(x)的定义域是A，如果对任意的x∈A，有－x∈A，且f(－x)＝－f(x)，那么称函数f(x)为奇函数 关于原点 对称 偶函数 设函数f(x)的定义域是A，如果对任意的x∈A，有－x∈A，且f(－x)＝f(x)，那么称函数f(x)为偶函数 关于y轴 对称 (1)函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件． (2)若f(x)≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下： ①f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔＝1⇔f(x)为偶函数； ②f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔＝－1⇔f(x)为奇函数． 2．函数的周期性 (1)周期函数：一般地，对于函数y＝f(x)，x∈A，如果存在一个非零常数T，使得对任意的x∈A，都有x＋T∈A且满足f(x＋T)＝f(x)，那么函数y＝f(x)称作周期函数，非零常数T称作这个函数的周期． (2)最小正周期：在周期函数y＝f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数称作函数y＝f(x)的最小正周期． 周期函数定义的实质 存在一个非零常数T，使f(x＋T)＝f(x)为恒等式，即自变量x每增加一个T后，函数值就会重复出现一次． 1．判断正误 (1)函数y＝x2在x∈(0，＋∞)时是偶函数．(　　×　　) (2)若函数f(x)是奇函数，则一定有f(0)＝0.(　　×　　) (3)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．(　　√　　) (4)若函数y＝f(x＋2)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(2，0)中心对称．(　　√　　) 2．(多选)下列函数为奇函数的是(　　) A．f(x)＝x4 B．f(x)＝x5 C．f(x)＝x＋ D．f(x)＝ 答案：BC 3．设f(x)是定义域为R的奇函数，且f(1＋x)＝f(－x).若f(－)＝，则f()＝(　　) A．－ B．－ C． D． C　解析：因为f(x)是定义域为R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x).又f(1＋x)＝f(－x)，所以f(2＋x)＝f[1＋(1＋x)]＝f[－(1＋x)]＝－f(1＋x)＝－f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)是以2为周期的周期函数，所以f＝f＝f＝. 4．(2023·江苏连云港期中)已知函数f(x)＝ax2＋bx－3a(x∈[a，2a＋1])是偶函数，则f(1)的值为 ． 答案：　解析：由题意可知，a＋2a＋1＝0，且f(－x)＝f(x)，解得a＝－，b＝0，所以f(x)＝－x2＋1，则f(1)＝－＋1＝. 5．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)，则f(x)的解析式为 ． 答案：f(x)＝ 6．(2023·江苏南京二十九中学月考)写出一个最大值为3，最小正周期为2的偶函数f(x)＝ ． 答案：3cos πx(答案不唯一)　解析：因为f(x)是最大值为3，最小正周期为2的偶函数， 所以f(x)＝3cos πx或f(x)＝cos πx＋2或f(x)＝2cos πx＋1等(答案不唯—). [对应学生用书P24] 考向1　函数奇偶性的判断 1．(多选)(2023·湖北武汉质检)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是(　　) A．y＝x sin x B．y＝x ln x C．y＝ex－1 D．y＝x ln (－x) BC　解析：A中，y＝x sin x为偶函数． B中，函数y＝x ln x的定义域为(0，＋∞)，为非奇非偶函数． C中，令y＝f(x)＝ex－1，f(－x)≠－f(x)，且f(－x)≠f(x)，则y＝ex－1为非奇非偶函数． D中，y＝x ln (－x)是偶函数． 2．(多选)设函数f(x)＝，则下列结论正确的是(　　) A．|f(x)|是偶函数 B．－f(x)是奇函数 C．f(x)|f(x)|是奇函数 D．f(|x|)f(x)是偶函数 ABC　解析：f(x)＝， 则f(－x)＝＝－f(x). 所以f(x)是奇函数， 所以|f(x)|是偶函数，－f(x)是奇函数，所以f(x)|f(x)|是奇函数． 因为f(|－x|)＝f(|x|)，所以f(|x|)是偶函数， 所以f(|x|)f(x)是奇函数． 3．已知函数f(x)＝则该函数的奇偶性是 ． 答案：奇函数　解析：(方法一)　当x>0时，－x<0， ∴f(－x)＝x2－x＝－(－x2＋x)＝－f(x)； 当x<0时，－x>0，f(－x)＝－x2－x＝－(x2＋x)＝－f(x)， ∴f(x)是奇函数． (方法二)　作出f(x)的图象，由图象可知f(x)为奇函数． 考向2　函数奇偶性的简单应用 4．(2023·新课标Ⅱ卷)若f(x)＝(x＋a)·ln 为偶函数，则a＝(　　) A．－1 B．0 C． D．1 B　解析：通解　设g(x)＝ln ，易知g(x)的定义域为(－∞，－)∪(，＋∞)，且g(－x)＝ln ＝ln ＝－ln ＝－g(x)，所以g(x)为奇函数．若f(x)＝(x＋a)ln 为偶函数，则y＝x＋a也应为奇函数，所以a＝0，故选B. 优解　因为f(x)＝(x＋a)ln 为偶函数，f(－1)＝(a－1)ln 3，f(1)＝(a＋1)ln ＝－(a＋1)ln 3，所以(a－1)ln 3＝－(a＋1)ln 3，解得a＝0. 5．设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则当x<0时，f(x)＝(　　) A．e-x－1 B．e-x＋1 C．－e-x－1 D．－e－x＋1 D　解析：当x<0时，－x>0. 因为当x≥0时，f(x)＝ex－1，所以 f(－x)＝e-x－1． 又因为f(x)为奇函数， 所以f(x)＝－f(－x)＝－e-x＋1． 6．(2022·全国乙卷)若f(x)＝ln ＋b是奇函数，则a＝ ，b＝ ． 答案：－　ln 2　解析：因为函数f(x)＝ln ＋b为奇函数，所以其定义域关于原点对称． 且定义域中x≠1，所以将x＝－1代入必有a＋＝0，解得a＝－，即函数的定义域为∪∪，再由f＝0可得，b＝ln 2.即f(x)＝ln ＋ln 2＝ln ，在定义域内满足f＝－f(x)，符合题意． 【例1】 (1)(2024·重庆一中月考)已知函数f(x)是定义R上的奇函数，且f(x＋4)＝f(x)，当x∈[－2，0)时，f(x)＝2，则f(2 021)＝(　　) A．－2 B．2 C．－ D． (2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数．若对于x≥0，都有f(x＋2)＝－，且当x∈[0，2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(－2 019)＋f(2 021)的值为 ． 思维 导引 学科 素养 本例主要考查数学抽象、逻辑推理等核心素养 思路 点拨 等式条件→函数周期→将自变量通过周期变小→函数奇偶性→结论 (1)A 　(2)0　解析：(1)因为f(x＋4)＝f(x)， 所以f(x)的周期为4， 所以f(2 021)＝f(4×505＋1)＝f(1)， 因为函数f(x)是定义R上的奇函数， 所以f(1)＝－f(－1)， 因为x∈[－2，0)时，f(x)＝2， 所以f(－1)＝2，所以f(1)＝－f(－1)＝－2. (2)当x≥0时，f(x＋2)＝－， 所以f(x)(x≥0)的一个周期为4. 所以f(－2 019)＝f(2 019)＝f(3)＝－＝－1， f(2 021)＝f(1)＝log22＝1，所以f(－2 019)＋f(2 021)＝0. 【变式】 若将本例(2)中“f(x＋2)＝－”变为“f(x＋2)＝－f(x)”，则f(－2 019)＋f(2 021)＝ ． 答案：0　解析：由f(x＋2)＝－f(x)可知T＝4， 所以f(－2 019)＝f(3)＝－f(1)＝－1，f(2 021)＝f(1)＝1， 所以f(－2 019)＋f(2 021)＝0. 【练1】 (多选)(2024·广东广州月考)已知定义在R上的函数f(x)对任意实数x满足f(2＋x)＝f(x)，f(2－x)＝f(x)，且x∈[0，1]时，f(x)＝x2＋1，则下列说法中，正确的是(　　) A．2是f(x)的周期 B．x＝－1不是f(x)图象的对称轴 C．f(2 021)＝2 D．方程f(x)＝|x|只有4个实根 AC　解析：因为定义在R上的函数f(x)对任意实数x满足f(2＋x)＝f(x)，所以函数f(x)是以2为周期的周期函数，故A选项正确；因为f(2－x)＝f(x)，所以函数f(x)关于直线x＝1对称，又f(x)是周期为2的周期函数，所以函数f(x)关于直线x＝－1对称，故B选项错误；f(2 021)＝f(1)＝12＋1＝2，故C选项正确；在同一平面直角坐标系中分别作出函数y＝f(x)与y＝|x|的图象，如图所示， 由图象可知两函数共有6个不同的交点，则方程f(x)＝|x|有6个实根，故D选项错误． 【练2】 (2023·河南郑州模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(x－2)为偶函数，且当0<x≤2时，f(x)＝log22x，则f(201)＋f(202)＝(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 B　解析：因为f(x)是定义在R上的奇函数， 故可得f(x)＝－f， 又f为偶函数， 故可得f＝f＝－f， 则f(x)＝－f＝＝f，故f(x)是以8为周期的周期函数； 故f＋f＝f(1)＋f＝log22＋log24＝1＋2＝3.故选B. 考向1　奇偶性与单调性的综合应用 【例2】 已知定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，若f(ln x)<f(2)，则x的取值范围是(　　) A．(0，e2) B．(e-2，＋∞) C．(e2，＋∞) D．(e-2，e2) 思维 导引 学科 素养 本题主要考查逻辑推理、数学抽象、直观想象等核心素养 思路 点拨 f(x)在[0，＋∞)上单调递增f(x)在(－∞，0)上单调递减|ln x|<2⇒得解 D　解析：根据题意知，f(x)为偶函数且在[0，＋∞)上单调递增， 则f(ln x)<f(2)⇔|ln x|<2，即－2<ln x<2， 解得e－2<x<e2，即x的取值范围是(e－2，e2). 【练3】 已知f(x)为R上的奇函数，f(2)＝2，若∀x1，x2∈(0，＋∞)且x1>x2，都有>0，则不等式(x－1)·f(x－1)<4的解集为(　　) A．(－∞，－1)∪(3，＋∞) B．(－∞，3) C．(－1，3) D．(－1，＋∞) C　解析：由>0， 得>0， 设g(x)＝xf(x)，则g(x)在上单调递增， ∵f(x)为奇函数， ∴g(x)为偶函数，而g＝f<4＝2f＝g，则<2，解得－1<x<3，故选C. 考向2　奇偶性与周期性的综合应用 【例3】 (2023·广东湛江模拟)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(x＋1)＝－f(x－1)，若f(－1)＞1，f(5)＝a2－2a－4，则实数a的取值范围是(　　) A．(－1，3) B．(－∞，－1)∪(3，＋∞) C．(－3，1) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞) 思维 导引 学科 素养 本题主要考查逻辑推理、数学抽象等核心素养 思路 点拨 f(x＋1)＝－f(x－1)f(x)的周期为4f(5)＝f(1)转化不等式求解 A　解析：由f(x＋1)＝－f(x－1)， 可得f(x＋2)＝－f(x)，则f(x＋4)＝f(x)， 故函数f(x)的周期为4， 则f(5)＝f(1)＝a2－2a－4， 又因为f(x)是定义在R上的奇函数， f(－1)＞1，所以f(1)＜－1， 所以a2－2a－4＜－1，解得－1＜a＜3. 【练4】 (多选)(2023·山东威海模拟)函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)与f(x－1)都是偶函数，则(　　) A．f(x)是偶函数 B．f(x)是奇函数 C．f(x＋3)是偶函数 D．f(x)＝f(x＋4) CD　解析：∵f(x＋1)是偶函数，∴f(－x＋1)＝f(x＋1)，从而f(－x)＝f(x＋2). ∵f(x－1)是偶函数，∴f(－x－1)＝f(x－1)， 从而f(－x)＝f(x－2). ∴f(x＋2)＝f(x－2)，f(x＋4)＝f(x)， ∴f(x)是以4为周期的周期函数． ∵f(－x－1)＝f(x－1)， ∴f(－x－1＋4)＝f(x－1＋4)， 即f(－x＋3)＝f(x＋3)，∴f(x＋3)是偶函数． 考向3　奇偶性、单调性与周期性的综合应用 【例4】 (2024·安徽池州联考)已知函数f(x)的定义域为R，且满足下列三个条件： ①∀x1，x2∈[4，8]，当x1<x2时，都有>0；②f(x＋4)＝－f(x)；③y＝f(x＋4)是偶函数． 若a＝f(6)，b＝f(11)，c＝f(2 025)，则a，b，c的大小关系正确的是(　　) A．a<b<c B．b<a<c C．a<c<b D．c<b<a 思维 导引 学科 素养 本题主要考查逻辑推理、数学抽象、直观想象等核心素养 思路 点拨 条件①⇒f(x)为增函数；条件②⇒f(x)为周期函数；条件③⇒f(x)图象关于直线x＝4对称求函数值⇒比较大小 B　解析：由条件①知，当x∈[4，8]时，f(x)单调递增； 由条件②知，f(x)的周期为8； 由条件③知，y＝f(x)关于直线x＝4对称， 所以f(11)＝f(3)＝f(5)，f(2 025)＝f(1)＝f(7)， 故f(5)＜f(6)＜f(7)，即b＜a＜c. 【练5】 (2023·江苏苏州中学月考)若定义在R上的奇函数f(x)满足对∀x∈R，都有f(x＋2)＝－f(x)成立，且f(1)＝8，则f(2 019)，f(2 020)，f(2 021)的大小关系是(　　) A．f(2 019)＜f(2 020)＜f(2 021) B．f(2 019)＞f(2 020)＞f(2 021) C．f(2 020)＞f(2 019)＞f(2 021) D．f(2 020)＜f(2 021)＜f(2 019) A　解析：因为f(x＋2)＝－f(x)， 所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)， 即f(x)的周期为4， 又函数f(x)是R上的奇函数， 所以f(0)＝0，f(－1)＝－f(1)＝－8， 则f(2 019)＝f(3)＝f(－1)＝－8，f(2 020)＝f(0)＝0， f(2 021)＝f(1)＝8， 所以f(2 019)<f(2 020)<f(2 021). 学科网（北京）股份有限公司 $$