第2章 第2节 函数的单调性与最值（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版）

第二节　函数的单调性与最值 课标解读 1．借助图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值和最小值． 2．理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义． [对应学生用书P19] 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 设函数y＝f(x)的定义域为D，区间I⊆D，如果∀x1，x2∈I 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递增 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减 图象 描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (1)单调递增(减)函数定义中的x1，x2的三个特征 一是任意性；二是有大小，即x1<x2(x1>x2)；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可． (2)单调性的两种等价形式 设任意x1，x2∈[a，b]且x1≠x2， ①>0⇔f(x)在[a，b]上单调递增；<0⇔f(x)在[a，b]上单调递减． ②(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0⇔f(x)在[a，b]上单调递增；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0⇔f(x)在[a，b]上单调递减． (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就称函数y＝f(x)在区间I上具有单调性，区间I为函数y＝f(x)的单调区间． 2．函数的最值 最大值 最小值 条件 设函数y＝f(x)的定义域为D，存在实数M，对所有的x∈D，都有 f(x)≤M f(x)≥M 存在x0∈D，使得f(x0)＝M 结论 称M是函数y＝f(x)的最大值 称M是函数y＝f(x)的最小值 1．判断正误 (1)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).(　　×　　) (2)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都单调递增，则这个函数在定义域上是增函数．(　　×　　) (3)所有的单调函数都有最值．(　　×　　) 2．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是(　　) A.y＝ln (x＋2) B．y＝－ C．y＝()x D．y＝x＋ A　解析：函数y＝ln (x＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定是增函数． 3．若f(x)＝，x∈[2，6]，则f(x)的最大值为(　　) A．3 B．1 C．2 D．4 答案：C 4．设定义在[－1，7]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的单调递增区间为 ． 答案：[－1，1]和[5，7] 5．(2023·安徽合肥八中调考)函数y＝f(x)是定义在[－2，2]上的减函数，且f(a＋1)＜f(2a)，则实数a的取值范围是 ． 答案：[－1，1)　解析：由条件知 解得－1≤a＜1． 6．某汽车租赁公司的月收益y(单位：元)与每辆车的月租金x(单位：元)间的关系为y＝－＋162x－21 000，那么当每辆车的月租金为 元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益是 元． 答案：4 050　307 050 [对应学生用书P20] 【例1】 (1)下列函数中是增函数的为(　　) A．f(x)＝－x B．f(x)＝()x C．f(x)＝x2 D．f(x)＝ (2)判断并证明函数f(x)＝ax2＋(其中1<a<3)在[1，2]上的单调性． (1)D　解析：函数f(x)＝－x是一次函数，在R上是减函数；函数f(x)＝()x是指数函数，底数0<<1，所以函数f(x)在R上是减函数；函数f(x)＝x2是二次函数，在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增；函数f(x)＝＝x是幂函数，指数>0，所以函数f(x)在R上是增函数． (2)解：函数f(x)＝ax2＋(1<a<3)在[1，2]上单调递增． 证明如下：设1≤x1<x2≤2， 则f(x2)－f(x1)＝ax＋－ax－＝ (x2－x1). 由1≤x1<x2≤2，得x2－x1>0，2<x1＋x2<4， 1<x1x2<4，－1<－<－. 又因为1<a<3，所以2<a(x1＋x2)<12， 得a(x1＋x2)－>0， 从而f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)， 故当a∈(1，3)时，f(x)在[1，2]上单调递增． 【练1】 (2023·北京北师大实验中学模拟)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是(　　) A．y＝ln x B．y＝|x|＋1 C．y＝－x2＋1 D．y＝3-|x| B　解析：对于A，函数y＝ln x的定义域是，不是偶函数，A错误； 对于B，函数y＝＋1的定义域为R，是偶函数且在上单调递增，B正确； 对于C，函数y＝－x2＋1的定义域为R，是偶函数且在上单调递减，C错误； 对于D，函数y＝3-|x|的定义域为R，是偶函数且在上单调递减，D错误．故选B. 1．(2024·河南南阳模拟)函数f(x)＝|x－2|x的单调递减区间是(　　) A．[1，2] B．[－1，0] C．(0，2] D．[2，＋∞) A　解析：由题意得，f(x)＝ 当x≥2时，[2，＋∞)是函数f(x)的单调递增区间；当x＜2时，(－∞，1]是函数f(x)的单调递增区间，[1，2]是函数f(x)的单调递减区间． 2．设函数f(x)＝g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的单调递减区间是 ． 答案：[0，1)　解析： 由题意知g(x)＝该函数图象如图所示，其单调递减区间是[0，1). 3．函数f(x)＝log2(x2－4)的单调递增区间为 . (2，＋∞)　解析：由x2－4>0得x<－2或x>2.又u＝x2－4在(－∞，－2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，y＝log2u为增函数，故f(x)的单调递增区间为(2，＋∞). 考向1　利用函数单调性比较大小 【例2】 已知奇函数f(x)在R上是增函数．若a＝－f(log2)，b＝f(log24.1)，c＝f(20.8)，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a<b<c B．b<a<c C．c<b<a D．c<a<b 思维 导引 学科 素养 本题主要考查数学抽象、逻辑推理等核心素养 思路 点拨 奇函数→转化自变量值比较大小→比较a，b，c的大小 C　解析：由f(x)是奇函数可得a＝－f(log2)＝f(log25).因为log25>log24.1>log24＝2>20.8，且函数f(x)是增函数，所以c<b<a. 【练2】 (2023·四川成都模拟)已知函数f(x)为R上的偶函数，对任意x1，x2∈(－∞，0)，均有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0成立，若a＝f(ln )，b＝，则a，b，c的大小关系是(　　) A．c<b<a B．a<c<b C．a<b<c D．c<a<b B　解析：∵对任意x1，x2∈(－∞，0)， 均有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0成立， ∴此时函数f(x)在区间(－∞，0)上单调递减， ∵f(x)是偶函数， ∴当x∈(0，＋∞)时，f(x)单调递增， 考向2　利用函数单调性解不等式问题 【例3】 设函数f(x)＝若f(a＋1)≥f(2a－1)，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，1] B．(－∞，2] C．[2，6] D．[2，＋∞) 思维 导引 学科 素养 本题主要考查逻辑推理、数学运算的核心素养 思路 点拨 判断函数单调性→将不等式转化为具体不等式求解 B　解析：易知函数f(x)在定义域(－∞，＋∞)上是增函数，∵f(a＋1)≥f(2a－1)，∴a＋1≥2a－1，解得a≤2.故实数a的取值范围是(－∞，2]. 【练3】 (2023·山东实验中学月考)已知函数f(x)＝()x－log2(x＋2)，若f(a－2)>3，则a的取值范围是 ． 答案：(0，1)　解析：由f(x)＝－log2(x＋2)知， f(x)在定义域(－2，＋∞)上是减函数， 且f(－1)＝3， 由f(a－2)>3，得f(a－2)>f(－1)， ∴解得0<a<1． 考向3　利用函数单调性求最值问题 【例4】 (2023·广东深圳模拟)函数y＝的最大值为 ． 答案：　解析：令＝t，则t≥2， ∴x2＝t2－4， ∴y＝＝， 设h(t)＝t＋， 则h(t)在[2，＋∞)上单调递增， ∴h(t)min＝h(2)＝， ∴y≤＝(x＝0时取等号). 即y的最大值为. 【练4】 对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝设函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是 ． 答案：1　解析：(方法一)　在同一平面直角坐标系中，作出函数f(x)，g(x)的图象，依题意，h(x)的图象如图所示． 易知点A(2，1)为图象的最高点，因此h(x)的最大值为h(2)＝1． (方法二)　依题意，h(x)＝当0＜x≤2时，h(x)＝log2x单调递增，当x＞2时，h(x)＝3－x单调递减，所以h(x)在x＝2处取得最大值h(2)＝1． 考向4　利用函数单调性求参数范围问题 【例5】 (2023·江西九江联考)已知函数y＝f(x)＝e|x－a|(a为常数)，若f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围． 解：令t＝|x－a|，∴y＝et， t＝|x－a|在(－∞，a]上单调递减， 在[a，＋∞)上单调递增． 又y＝et为增函数， ∴y＝f(x)＝e|x-a|在(－∞，a]上单调递减，在[a，＋∞)上单调递增，∴a≤1． 【练5】 已知f(x)＝是(－∞，＋∞)上的减函数，则a的取值范围是(　　) A．(0，1) B．(0，) C．[，) D．[，1) C　解析：由f(x)是减函数，得 解得≤a＜，∴a的取值范围是). 学科网（北京）股份有限公司 $$