第2章 第1节 函数的概念及表示（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版）

第二章　函　数 第一节　函数的概念及表示 课标解读 1．了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域． 2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数. 3．了解简单的分段函数，并能简单应用． [对应学生用书P16] 1．函数的概念 给定实数集R中的两个非空数集A和B，如果存在一个对应关系f，使对于集合A中的每一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就把对应关系f称为定义在集合A上的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A. 2．函数的三要素 (1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域． (2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为同一个函数． 3．函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 4．分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． 分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．分段函数虽由几个部分构成，但它表示的是一个函数，各部分函数定义域不可以相交． 1．判断正误 (1)函数y＝1或y＝x0是同一个函数．(　　×　　) (2)对于函数f：A→B，其值域是集合B.(　　×　　) (3)已知f(x)＝5(x∈R)，则f(x2)＝25.(　　×　　) (4)函数f(x)的图象与直线x＝1最多有1个交点．(　　√　　) 2．下列各曲线表示的y与x之间的关系中，y不是x的函数的是(　　) C　解析：根据函数意义：对任意x值都有唯一确定的数y与之对应，只有C不满足． 3．(多选)下列各组函数是同一个函数的为(　　) A．f(x)＝x2－2x－1，g(s)＝s2－2s－1 B．f(x)＝x－1，g(x)＝ C．f(x)＝，g(x)＝ D．f(x)＝，g(x)＝x AC　解析：同一个函数满足①定义域相同；②对应关系相同，只有A，C满足． 4．(2022·北京卷)函数f(x)＝＋的定义域是 ． 答案：∪　解析：因为f(x)＝＋，所以解得x≤1且x≠0， 故函数f(x)的定义域为∪. 5．已知函数f(x)＝则f(f(－2))＝ ． 答案：4 6．函数f(x)＝[x]的函数值表示不超过x的最大整数，例如：[－3.5]＝－4，[2.1]＝2，当x∈(－1．5，1．5]时，函数f(x)的解析式是 ． 答案：f(x)＝ [对应学生用书P17] 1．(2023·西北师大附中月考)已知函数f(x)＝，则函数的定义域为(　　) A．(－∞，1) B．(－∞，－1) C．(－∞，－1)∪(－1，0) D．(－∞，－1)∪(－1，1) D　解析：令1－2x>0， 即2x<1，即x<0. ∴f(x)的定义域为(－∞，0). ∴函数中，有解得x<1且x≠－1． 故函数的定义域为(－∞，－1)∪(－1，1). 2．(2024·黑龙江哈尔滨三中月考)已知函数f(x)＝的定义域是R，则实数a的取值范围是(　　) A．(，＋∞) B．(－12，0] C．(－12，0) D．(－∞，] B　解析：因为函数f(x)＝的定义域是R，所以ax2＋ax－3≠0对任意实数x都成立．当a＝0时，显然成立；当a≠0时，需Δ＝a2＋12a<0，解得－12<a<0.综上所述，实数a的取值范围为(－12，0]. 3．函数f(x)＝＋ln x的定义域是 . 答案：(0，＋∞)　解析：要使函数有意义，需满足 即x＞0.所以函数f(x)的定义域为(0，＋∞). 4．(2023·重庆巴蜀中学月考)已知函数f(x)的定义域为(－1，0)，则函数f(2x－2)的定义域为 . 答案：(，1)　解析：∵f(x)的定义域为(－1，0)，由－1＜2x－2＜0，解得＜x＜1．∴函数f(2x－2)的定义域为(，1). 【例1】 (1)已知二次函数f(2x＋1)＝4x2－6x＋5，求f(x)； (2)已知函数f(x)满足f(－x)＋2f(x)＝2x，求f(x). 解：(1)(方法一：待定系数法)　因为f(x)是二次函数，所以设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f(2x＋1)＝a(2x＋1)2＋b(2x＋1)＋c＝4ax2＋(4a＋2b)x＋a＋b＋c. 因为f(2x＋1)＝4x2－6x＋5，所以解得所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R). (方法二：换元法)　令2x＋1＝t(t∈R)，则x＝， 所以f(t)＝4()2－6×＋5＝t2－5t＋9(t∈R)， 所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R). (方法三：配凑法)　因为f(2x＋1)＝4x2－6x＋5＝(2x＋1)2－10x＋4＝(2x＋1)2－5(2x＋1)＋9， 所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R). (2)由f(－x)＋2f(x)＝2x，① 得f(x)＋2f(－x)＝2－x，② ①×2－②，得3f(x)＝2x＋1－2－x， 即f(x)＝. 故f(x)的解析式是f(x)＝(x∈R). 【练1】 (2024·湖北黄冈质检)已知f(1－sin x)＝cos2x，则f(x)＝ ． 答案：－x2＋2x，x∈[0，2]　解析：令t＝1－sinx， ∴t∈[0，2]，sin x＝1－t， ∴f(t)＝1－sin2x＝1－(1－t)2＝－t2＋2t，t∈[0，2]， ∴f(x)＝－x2＋2x，x∈[0，2]. 【练2】已知f(x)是二次函数且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，则f(x)＝ ． 答案：x2－x＋2(x∈R)　解析：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝2，得c＝2， 又f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋2－ax2－bx－2＝x－1，即2ax＋a＋b＝x－1， ∴即 ∴f(x)＝x2－x＋2(x∈R). 考向1　函数求值问题 【例2】 (2023·湖北襄阳期中)已知函数f(x)＝则f(f(2 024))等于(　　) A．－ B． C． D． B　解析：f(2 024)＝sin ＝sin ＝， ∴f(f(2 024))＝f ＝＝. 【练3】 (2023·江苏淮安六校联考)已知函数f(x)＝，则f(－2 022)＝ ． 答案：－2　解析：由题意可知，f(－2 022)＝f(－2 019)＝…＝f(－3)＝f(0)＝log3(0＋1)－2＝－2. 考向2　与方程结合问题 【例3】 已知a∈R，函数f(x)＝若f(f())＝3，则a＝ ． 答案：2　解析：由题意得f()＝()2－4＝2. ∴f(f())＝f(2)＝|2－3|＋a＝3，解得a＝2. 【练4】 (2023·广东肇庆模拟)设函数f(x)＝若f(f())＝4，则a＝ ． 答案：－　解析：∵＜1， 考向3　求解不等式问题 【例4】 设函数f(x)＝则满足f(x＋1)＜f(2x)的x的取值范围是(　　) A．(－∞，－1] B．(0，＋∞) C．(－1，0) D．(－∞，0) D　解析：函数f(x)的图象如图所示． 结合图象知，要使f(x＋1)＜f(2x)，则需或解得x＜0，所以x的取值范围是(－∞，0). 【练5】 (2023·重庆质检)已知函数f(x)＝则f(x)<f(x＋1)的解集为 ． 答案：　解析：由题意可得当x≤0时， x＋1≤1，f(x)<f(x＋1)， 等价于x2－1<(x＋1)2－1， 解得－<x≤0； 当0<x≤1时，x＋1>1， 此时f(x)＝x2－1≤0， f(x＋1)＝log2(x＋1)>0， ∴当0<x≤1时，恒有f(x)<f(x＋1)； 当x>1时，f(x)<f(x＋1)⇔log2x<log2(x＋1)恒成立． 综上可知，不等式f(x)<f(x＋1)的解集为. 学科网（北京）股份有限公司 $$