第1章 微专题系列之数学探究——基本不等式与其他知识的综合（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版）

微专题系列之数学探究——基本不等式与其他知识的综合 [对应学生用书P15] 【例】 (1)已知直线ax＋by＋c－1＝0(b，c>0)经过圆x2＋y2－2y－5＝0的圆心，则＋的最小值是 ． (2)设等差数列{an}的公差是d，其前n项和是Sn，若a1＝d＝1，则的最小值是 ． [思维过程] 明确目标→两题均为求代数式的最小值． 提取信息→(1)直线过圆心； (2)数列为等差数列且已知首项和公差均为1． 建立联系→(1)由直线过圆心，得到定值1＝b＋c； (2)结合等差数列的首项和公差求得其前n项和及通项公式，进而得到关于n的代数式． 思路导引→(1)圆x2＋y2－2y－5＝0化成标准方程，得x2＋(y－1)2＝6，所以圆心为C(0，1).因为直线ax＋by＋c－1＝0经过圆心C，所以a×0＋b×1＋c－1＝0，即b＋c＝1， 所以＋＝(b＋c)(＋)＝＋＋5.因为b，c>0，所以＋≥2＝4， 当且仅当b＝2c，即b＝，c＝时，取等号， 所以＋≥4＋5＝9，即＋的最小值为9. (2)由题意得an＝a1＋(n－1)d＝n， 所以Sn＝， 所以＝＝(n＋＋1)≥(2＋1)＝， 当且仅当n＝4时取等号． 所以的最小值是. 答案：(1)9　(2) 【练】 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝1，则4a＋c的最小值为 ． 答案：9　解析：(方法一)　依题意画出图形，如图所示． ∵BD是∠ABC的平分线， ∠ABC＝120°，∴∠ABD＝∠DBC＝60°. 易知S△ABD＋S△BCD＝S△ABC，即c sin 60°＋a sin 60°＝ac sin 120°，∴a＋c＝ac，∴＋＝1， ∴4a＋c＝(4a＋c)(＋)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即a＝，c＝3时等号成立． (方法二)　以B为原点，BD所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则D(1，0).由题意知，AB＝c，BC＝a，∠ABD＝∠CBD＝60°， ∴A(，c)，C(，－a). ∵A，D，C三点共线，∴∥， ∴(1－)(－a)＋c(－1)＝0， ∴ac＝a＋c，∴＋＝1， ∴4a＋c＝(4a＋c)(＋)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即a＝，c＝3时等号成立． 学科网（北京）股份有限公司 $$