第1章 第3节 不等式性质与一元二次不等式（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版）

第三节　不等式性质与一元二次不等式 课标解读 1．理解不等式的概念，掌握不等式的性质． 2．结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系． 3．了解一元二次不等式的现实意义．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集． 4．了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系． [对应学生用书P7] 1．实数a，b大小的比较，有以下基本事实： 2．不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 2 可加性 a>b⇒a＋c>b＋c 可逆 3 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc c的符号 a>b，c<0⇒ac<bc 4 同向 可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 不可逆 5 同向 同正 可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；a>b>0，c<d<0⇒ac<bd 不可逆 6 可开 方性 a>b>0⇒> n∈N＋， n≥2 特殊地，当a>b>0时，an>bn，其中n∈N＋，n≥2. 两个同向不等式可以相加但不一定能相乘，例如2>－1，－1>－3，但2×(－1)>(－1)×(－3)不成立. 3．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有 实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1 或x>x2} {x|x≠ －} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1< x<x2} ∅ ∅ 4.分式不等式与整式不等式 (1)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)； (2)≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0． 5．简单的绝对值不等式 |x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)， |x|<a(a>0)的解集为(－a，a)． 解不等式ax2＋bx＋c>0(或<0)时不要忘记a＝0时的情形． 1．判断正误 (1)一个不等式的两边同时加上或乘以同一个数，不等号方向不变．(　　×　　) (2)一个非零实数越大，则其倒数就越小．(　　×　　) (3)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x1，x2)，则必有a＞0.(　　√　　) (4)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R.(　　×　　) 2．设M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，则有(　　) A．M ＞N B．M ≥N C．M＜N D．M≤N 答案：A 3．(多选)设b>a>0，c∈R，则下列不等式中正确的是(　　) ABC　解析：因为y＝在(0，＋∞)上单调递增， 所以，A正确； 因为y＝在(0，＋∞)上单调递减，所以>，B正确； 因为－＝>0，所以>，C正确； 当c＝0时，ac3＝bc3，所以D不正确． 4．(2023·湖南师大附中模拟)若关于x的不等式ax2＋bx＋2>0的解集为，则a＋b＝ ． 答案：－14　解析：依题意知 解得∴a＋b＝－14. 5．(2023·江苏扬州中学月考)若关于x的一元二次不等式ax2＋ax－1<0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是 ． 答案：(－4，0)　解析：依题意知即∴－4<a<0. [对应学生用书P9] 1．若b＜a＜0，则下列不等式：①|a|＞|b|；②a＋b＜ab；③＜2a－b中，正确的不等式有(　　) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 C　解析：由b＜a＜0知|b|>|a|，a＋b＜0＜ab，而(a－b)2＞0，则有a2＋b2＞2ab，即＜2a－b，即②③都正确． 2．(多选)下列四个条件，能推出＜成立的有(　　) A．b＞0＞a B．0＞a＞b C．a＞0＞b D．a＞b＞0 ABD　解析：因为＜等价于－＝＜0，当a＞b，ab＞0时，＜成立，故B，D正确．又正数大于负数，A正确，C错误． 3．(2023·四川绵阳调研)若0<a<b，则下列结论正确的是(　　) A.ln a>ln b B．b2<a2 C．< D．()a>()b D　解析：由于函数y＝ln x在上单调递增，又0<a<b，所以ln a<ln b，故A错误； 因为0<a<b，由不等式的性质可知，a2<b2，故B错误； 因为函数y＝在上单调递减，又0<a<b，所以>，故C错误； 因为函数y＝在上单调递减，又0<a<b，所以>，故D正确． 4．若a＝，b＝，则a b．(填“＞”或“＜”) 答案：＜　解析：易知a，b都是正数，＝＝log89＞1，所以b＞a. 考向1　不含参数的一元二次不等式的解法 【例1】 (1)(2023·湖南衡阳月考)不等式2x＋3－x2>0的解集是(　　) A．{x|－1＜x＜3} B．{x|x>3或x<－1} C．{x|－3＜x＜1} D．{x|x>1或x<－3} (2)求不等式0<x2－x－2≤4的解集． (1)A　解析：(1)原不等式变形为x2－2x－3＜0，即(x－3)(x＋1)＜0，解得－1＜x＜3. (2)解：原不等式等价于 即 即 解得 借助于数轴，如图所示， 原不等式的解集为{x|－2≤x<－1或2<x≤3}． 【练1】 (多选)(2023·甘肃名校期中联考)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为{x|x≤－3或x≥4}，则下列说法正确的是(　　) A．a>0 B．不等式bx＋c>0的解集为{x|x<－4} C.不等式cx2－bx＋a<0的解集为 D．a＋b＋c>0 AC　解析：关于x的不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为(－∞，－3]∪[4，＋∞)，所以二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口方向向上，即a>0，故A正确； 对于B，方程ax2＋bx＋c＝0的两根分别为－3，4， 由根与系数的关系得 解得 bx＋c>0⇔－ax－12a>0，因为a>0，所以x<－12， 所以不等式bx＋c>0的解集为， 故B错误； 对于C，由选项B可知 所以cx2－bx＋a<0⇔－12ax2＋ax＋a<0⇔12x2－x－1>0⇔x<－或x>， 所以不等式cx2－bx＋a<0的解集为 ，故C正确； 对于D，a＋b＋c＝a－a－12a＝－12a<0，故D错误． 考向2　含参数的一元二次不等式的解法 【例2】 解不等式x2－(a＋1)x＋a<0. 思维 导引 学科 素养 本题主要考查逻辑推理、数学运算等学科素养 思路 点拨 将二次三项式因式分解，通过比较根的大小解不等式 解：原不等式可化为(x－a)(x－1)<0. 当a>1时，原不等式的解集为{x|1<x<a}； 当a＝1时，原不等式的解集为∅； 当a<1时，原不等式的解集为{x|a<x<1}． 【变式】 将本例中的不等式改为ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0)，求此不等式的解集． 解：不等式可化为(ax－1)(x－1)<0， 因为a>0，所以a(x－)(x－1)<0. 当a>1时，解得<x<1；当a＝1时，解集为∅； 当0<a<1时，解得1<x<. 综上，当0<a<1时，此不等式的解集为；当a＝1时，此不等式的解集为∅；当a>1时，此不等式的解集为. 【练2】 (2023·湖南长沙一中月考)解关于x的不等式(x－1)(ax－a＋1)>0. 解：①当a＝0时，原不等式可化为x－1>0， 即x>1； 当a≠0时，(x－1)(ax－a＋1)＝0的两根分别为1，1－. ②当a>0时，1－<1， ∴原不等式的解为x>1或x<1－. ③当a<0时，1－>1， ∴原不等式的解为1<x<1－. 综上，当a＝0时，原不等式的解集为{x|x>1}； 当a>0时，原不等式的解集为 ； 当a<0时，原不等式的解集为. 考向1　在实数集R上的恒成立问题 【例3】 若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对任意x∈R恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，2] B．[－2，2] C．(－2，2] D．(－∞，－2) C　解析：当a－2＝0，即a＝2时，不等式为－4<0，对一切x∈R恒成立． 当a≠2时，则 即解得－2<a<2. 综上，实数a的取值范围是(－2，2]. 【练3】 若不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为(　　) A．(－3，0) B．[－3，0) C．[－3，0] D．(－3，0] D　解析：当k＝0时，显然成立；当k≠0时，即一元二次不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立， 则解得－3<k<0.综上，所求k的取值范围是(－3，0]. 考向2　在给定区间上的恒成立问题 【例4】 若对任意的x∈[－1，2]，都有x2－2x＋a≤0(a为常数)，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，－3] B．(－∞，0] C．[1，＋∞) D．(－∞，1] A　解析：(方法一)　令f(x)＝x2－2x＋a， 则由题意得解得a≤－3. (方法二)　当x∈[－1，2]时，不等式x2－2x＋a≤0恒成立等价于a≤－x2＋2x恒成立，则由题意得a≤(－x2＋2x)min(x∈[－1，2]).而－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，则当x＝－1时，(－x2＋2x)min＝－3，所以a≤－3. 【练4】 (2023·江苏宿迁模拟)若不等式x2＋px>4x＋p－3，当0≤p≤4时恒成立，则x的取值范围是(　　) A．[－1，3] B．(－∞，－1] C．[3，＋∞) D．(－∞，－1)∪(3，＋∞) D　解析：不等式x2＋px>4x＋p－3 可化为(x－1)p＋x2－4x＋3>0， 由已知可得[(x－1)p＋x2－4x＋3]min>0(0≤p≤4)， 令f(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3(0≤p≤4)， 可得 ∴解得x<－1或x>3. 学科网（北京）股份有限公司 $$