第1章 第2节 常用逻辑用语（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版）

第二节　常用逻辑用语 课标解读 1．理解充分条件、必要条件、充要条件的意义． 2．理解全称量词与存在量词的意义． [对应学生用书P5] 1．充分条件、必要条件与充要条件的概念 当命题“若p，则q”是真命题时，称p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且qp p是q的必要不充分条件 pq且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 p q且q p (1)A是B的充分不必要条件是指：A⇒B且B A.(2)A的充分不必要条件是B是指：B⇒A且A B，在解题中要弄清它们的区别，以免出现错误. 2．全称量词与存在量词 (1)全称量词：在命题中，诸如“所有”“每一个”“任意”“任何”“一切”这样的词叫作全称量词，用符号“∀”表示． (2)存在量词：在命题中，诸如“有些”“有一个”“存在”这样的词叫作存在量词，用符号“∃”表示． 3．全称量词命题和存在量词命题 名称 全称量词命题 存在量词命题 定义 在给定集合中，断言所有元素都具有同一种性质的命题叫作全称量词命题 在给定集合中，断言某些元素具有一种性质的命题叫作存在量词命题 简记 ∀x∈M，x具有性质p(x) ∃x∈M，x具有性质p(x) 否定 ∃x∈M，x不具有性质p(x) ∀x∈M，x不具有性质p(x) 1．判断正误 (1)若已知p：x>1和q：x≥1，则p是q的充分不必要条件．(　　√　　) (2)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(　　√　　) (3)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”．(　　√　　) (4)“有的等差数列也是等比数列”是存在量词命题．(　　√　　) (5)“三角形内角和是180°”是全称量词命题．(　　√　　) 2．(2023·北京北师大实验中学月考)设p：x<3，q：(x＋1)(x－3)<0，则p是q成立的(　　) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 C　解析：由(x＋1)(x－3)<0得－1<x<3，即q：－1<x<3，显然{x|－1<x<3}{x|x<3}， 所以p是q成立的必要不充分条件．故选C. 3．(多选)下列命题为真命题的是(　　) A．任意实数的平方大于或等于0 B．对任意实数a，二次函数y＝x2＋a的图象关于y轴对称 C．存在整数x，y，使得2x＋4y＝3 D．存在一个无理数，它的立方是有理数 答案：ABD 4．命题“∀a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0有实根”的否定为 ． 答案：∃a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0无实根 5．已知p：x>a是q：2<x<3的必要不充分条件，则实数a的取值范围是 ． 答案：(－∞，2] 6．若“∀x∈[0，]，tan x≤m”是真命题，则实数m的最小值为 ． 答案：1　解析：∵函数y＝tan x在上单调递增，∴ymax＝tan ＝1．依题意知，m≥ymax，即m≥1，∴m的最小值为1． [对应学生用书P6] 1．(2023·天津高考)“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 B　解析：方法一　若a2＝b2，则当a＝－b≠0时，有a2＋b2＝2a2，2ab＝－2a2，即a2＋b2≠2ab，所以由a2＝b2 a2＋b2＝2ab；若a2＋b2＝2ab，则有a2＋b2－2ab＝0，即(a－b)2＝0，所以a＝b，则有a2＝b2，即a2＋b2＝2ab⇒a2＝b2.所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件．故选B. 方法二　因为“a2＝b2”⇔“a＝－b或a＝b”，“a2＋b2＝2ab”⇔“a＝b”，所以本题可以转化为判断“a＝－b或a＝b”与“a＝b”的关系，又“a＝－b或a＝b”是“a＝b”的必要不充分条件，所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件．故选B. 2．(2023·全国甲卷)设甲：sin2α＋sin2β＝1，乙：sinα＋cos β＝0，则(　　) A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 B　解析：甲等价于sin2α＝1－sin2β＝cos2β，等价于sinα＝±cos β，所以由甲不能推导出sin α＋cos β＝0，所以甲不是乙的充分条件；由sin α＋cos β＝0，得sin α＝－cos β，平方可得sin2α＝cos2β＝1－sin2β，即sin2α＋sin2β＝1，所以由乙可以推导出甲，则甲是乙的必要条件．综上，选B. 3．(2023·山东潍坊联考)已知a>0，则“aa>a3”是“a>3”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 B　解析：若0<a<1，则aa>a3； 若a＝1，则aa＝a3，不满足题意； 若a>1，由aa>a3可得a>3，此时a>3. 因此，满足aa>a3的a的取值范围是 {a|0<a<1或a>3}． 因为a0<a<1或， 所以“aa>a3”是“a>3”的必要不充分条件．故选B. 4．(多选)下列说法正确的是(　　) A．“ac＝bc”是“a＝b”的充分不必要条件 B．“＞”是“a＜b”的既不充分也不必要条件 C．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则A⊆B D．“a＞b＞0”是“an＞bn(n∈N，n≥2)”的充要条件 BC　解析：当c＝0时，由ac＝bc不能得出a＝b，A错误；＞与a＜b相互不能推导，如a＝2，b＝－1时，满足＞但不满足a＜b，反之若a＝－1，b＝2，满足a＜b但不满足＞，∴“＞”是“a＜b”的既不充分也不必要条件，B正确；由充分、必要条件与集合之间的包含关系可知C正确；由a＞b＞0能得出an＞bn(n∈N，n≥2)，当a＝－4，b＝－2时，a2＞b2，但a＜b，D错误． 【例1】 已知“x>k”是“<1”的充分不必要条件，则实数k的取值范围为(　　) A．(－∞，－1] B．[1，＋∞) C．[2，＋∞) D．(2，＋∞) 思维导引 学科 素养 本题主要考查逻辑推理、数学运算等学科素养 思路 点拨 先解出不等式，再根据集合角度下的充分、必要条件的关系求解 C　解析：由<1，得＞0，即(x＋1)(x－2)>0，解得x<－1或x>2， 由题意可得{x|x>k}{x|x<－1或x>2}，所以k≥2，因此，实数k的取值范围是[2，＋∞). 【练1】 命题“∀x∈[1，3]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是(　　) A．a≥9 B．a≤9 C．a≥10 D．a≤10 C　解析：命题“∀x∈[1，3]，x2－a≤0”⇔“∀x∈[1，3]，x2≤a”⇔9≤a.则“a≥10”是命题“∀x∈[1，3]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件． 考向1　含有一个量词的命题的否定 【例2】 (2023·河南驻马店模拟)命题“∃x≥0，x2－2x－3≤0”的否定是 ． 答案：∀x≥0，x2－2x－3>0　解析：命题为存在量词命题，则命题的否定为“∀x≥0，x2－2x－3>0”． 【练2】 设命题p：∀x∈[－2，－1]，ax3<4，若p为假命题，则实数a的取值范围是 ． 答案：　解析：由题得¬p：∃x∈[－2，－1]，ax3≥4为真命题，所以a≤， 又函数y＝在[－2，－1]上单调递减， 所以当x＝－2时，ymax＝－. 故只需a≤－. 考向2　含有一个量词的命题的真假判断 【例3】 下列命题中，真命题是(　　) A．∃x∈R，sin2()＋cos2()＝ B．∀x∈(0，)，sinx>cos x C．∃x∈R，x2＋x＝－2 D．∀x∈(0，＋∞)，ex>x＋1 D　解析：∀x∈R，均有sin2()＋cos2()＝1，故A是假命题；当x∈(0，)时，sinx<cos x，故B是假命题；∵方程x2＋x＋2＝0对应的判别式Δ＝1－8<0，∴x2＋x＋2＝0无解，∴∃x∈R，x2＋x＝－2是假命题，故C是假命题；令f(x)＝ex－x－1，则f′(x)＝ex－1，当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0恒成立，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增，故f(x)>f(0)＝0，即∀x∈(0，＋∞)，ex>x＋1． 【练3】 下列命题中为假命题的是(　　) A．∀x∈R，ex>0 B．∀x∈N，x2>0 C．∃x0∈R，ln x0<1 D．∃x0∈N*，sin ＝1 B　解析：由函数y＝ex的图象可知，∀x∈R，ex>0，故A为真命题；当x＝0时，x2＝0，故B为假命题；当x0＝ 时，ln ＝－1<1，故C为真命题；当x0＝1时，sin ＝1，故D为真命题． 【练4】 (多选)(2024·北京师大附中月考)下列命题是真命题的是(　　) A．∃a∈R，使函数y＝2x＋a·2－x在R上为偶函数 B．∀x∈R，函数y＝sin x＋cos x＋的值恒为正数 C．∃x∈R，2x<x2 D．∀x∈(0，＋∞)，()x>logx AC　解析：当a＝1时，y＝2x＋2－x为偶函数，故A为真命题； y＝sin x＋cos x＋＝sin ＋， 当sin ＝－1时，y＝0，故B为假命题； 当x∈(2，4)时，2x<x2，故C为真命题； 当x＝时，∈(0，1)，log＝1， ∴<log，故D为假命题． 学科网（北京）股份有限公司 $$