第1章 第1节 集合（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版）

第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 第一节　集　合 课标解读 1．了解集合的含义及特征，理解元素与集合的属于关系． 2．理解集合间的基本关系． 3．理解并掌握集合的基本运算． [对应学生用书P1] 1．集合与元素 (1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集的记法 集合 自然 数集 正整数集 整数集 有理 数集 实数集 符号 N N＋(或N*) Z Q R 2.集合的基本关系 (1)子集：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都属于集合B，即若a∈A，则a∈B，那么称集合A是集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A). (2)真子集：对于两个集合A与B，如果A⊆B，且A≠B，那么称集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA). (3)相等：对于两个集合A与B，如果集合A是集合B的子集，且集合B也是集合A的子集，那么称集合A与集合B相等，记作A＝B． (4)空集：不含任何元素的集合叫作空集，记作∅.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． ∅是集合，不含任何元素；{0}含有一个元素0；{∅}含有一个元素∅，且∅∈{∅}和∅⊆{∅}都正确． 3．集合的基本运算 　　表示 运算 　　 集合语言 图形语言 记法 并集 {x|x∈A， 或x∈B} A∪B 交集 {x|x∈A， 且x∈B} A∩B 补集 {x|x∈U， 且x∉A} ∁UA 补集∁UA是针对给定的集合A和U(A⊆U)相对而言的一个概念，一个确定的集合A，对于不同的集合U，它的补集不同． 1．判断正误 (1)任何一个集合都至少有两个子集．(　　×　　) (2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(　　×　　) (3)若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1．(　　×　　) (4){x|x≤1}＝{t|t≤1}．(　　√　　) (5)若A∩B＝A∩C，则B＝C.(　　×　　) 2．已知集合A＝{－1，1}，B＝{x|ax＋1＝0}，若B⊆A，则实数a的所有可能取值构成的集合为(　　) A．{－1} B．{1} C．{－1，1} D．{－1，0，1} 答案：D 3．(多选)(2024·湖北武汉中学月考)若集合A＝{x∈N|2x＋10>3x}，则下列结论正确的是(　　) A．2∉A B．8⊆A C．{4}∈A D．{0}⊆A AD　解析：A＝{x∈N|2x＋10>3x}＝{x∈N|x<10}，N表示自然数.2为非自然数，∴2∉A，故A正确；“∈”是描述集合与元素间的关系，应为8∈A，故B错误；“⊆”是描述集合与集合间的关系，应为{4}⊆A，故C错误，D正确． 4．(北师版必修第一册P9T1改编)若集合A＝{x|2≤x＜4}，B＝{x|3x－7≥8－2x}，则A∩B＝(　　) A．{x|2≤x<4} B．{x|3≤x<4} C．{x|2<x<4} D．{x|3<x<4} 答案：B 5．(2023·江苏镇江一中段考)已知集合M＝{＋1，－2}，N＝{b，2}，若M＝N，则a＋b＝ ． 答案：－1　解析：∵M＝N，∴ 解得∴a＋b＝－1． 6．(北师版必修第一册P11T2改编)已知集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，则∁R(A∪B)＝ ． 答案：{x|x≤2或x≥10} [对应学生用书P2] 　　　　　　　　　　　　　　　 1．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝(　　) A． B． C．0 D．0或 D　解析：当a＝0时，显然成立；当a≠0时，Δ＝(－3)2－8a＝0，即a＝. 2．(2022·全国乙卷)设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M满足∁UM＝{1，3}，则(　　) A．2∈M B．3∈M C．4∉M D．5∉M A　解析：由题知M＝{2，4，5}，对比选项知，A正确，B，C，D错误，故选A. 3．(2023·天津模拟)若集合A＝{a－3，2a－1，a2－4}，且－3∈A，则实数a＝ ． 答案：0或1　解析：①当a－3＝－3时，解得a＝0， 此时A＝{－3，－1，－4}， ②当2a－1＝－3时，解得a＝－1， 此时A＝{－4，－3，－3}舍去， ③当a2－4＝－3时，解得a＝±1，由②可知a＝－1舍去，则当a＝1时，A＝{－2，1，－3}， 综上，a＝0或1． 4．已知a，b∈R，若＝{a2，a＋b，0}，则a2 023＋b2 023＝ ． 答案：－1　解析：由已知得a≠0，则＝0， 所以b＝0，于是a2＝1，即a＝1或a＝－1． 又根据集合中元素的互异性可知a＝1应舍去， 因此a＝－1，故a2 023＋b2 023＝(－1)2 023＋02 023＝－1． 1．(2023·福建三明质检)已知M，N均为R的子集，若N∪(∁RM)＝N，则(　　) A．M⊆N B．N⊆M C．M⊆∁RN D．∁RN⊆M D　解析：由题意知，∁RM⊆N，其Venn图如图所示， ∴只有∁RN⊆M正确． 2．已知集合A＝，B＝{x－x2≥0}，则下列结论一定正确的是(　　) A．B⊆A B．AB C．A∩B＝[1，＋∞) D．A∪B＝R B　解析：∵A＝＝{x|0≤x<1}＝[0，1)，B＝＝， ∴A∩B＝＝A，A∪B＝＝B，∴AB.故选B. 3．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为 . (－∞，3]　解析：∵B⊆A，∴①若B＝∅， 则2m－1＜m＋1，此时m＜2. ②若B≠∅，则解得2≤m≤3. 由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为(－∞，3]. 考向1　集合交、并、补运算 【例1】 (1)(2023·新课标Ⅰ卷)已知集合M＝{－2，－1，0，1，2}，N＝{x|x2－x－6≥0}，则M∩N＝(　　) A．{－2，－1，0，1} B．{0，1，2} C．{－2} D．{2} (2)(2023·全国甲卷)设全集U＝Z，集合M＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，N＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，则∁U(M∪N)＝(　　) A．{x|x＝3k，k∈Z} B．{x|x＝3k－1，k∈Z} C．{x|x＝3k－2，k∈Z} D．∅ (1)C　(2)A　解析：(1)通解(直接运算法)　因为N＝{x|x2－x－6≥0}＝{x|x≥3或x≤－2}，所以M∩N＝{－2}，故选C. 光速解(排除法)　由于1∉N，所以1∉M∩N，排除A，B；由于2∉N，所以2∉M∩N，排除D.故选C. (2)M＝{…，－2，1，4，7，10，…}，N＝{…，－1，2，5，8，11，…}，所以M∪N＝{…，－2，－1，1，2，4，5，7，8，10，11，…}，所以∁U(M∪N)＝{…，－3，0，3，6，9，…}，其元素都是3的倍数，即∁U(M∪N)＝{x|x＝3k，k∈Z}，故选A. 【练1】 (2022·新高考Ⅰ卷)若集合M＝{x|<4}，N＝{x|3x≥1}，则M∩N＝(　　) A． B． C． D． D　解析：因为M＝{x|0≤x<16}，N＝，故M∩N＝，故选D. 【练2】 设集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2<x<4}，则A∪B＝(　　) A．{x|2<x≤3} B．{x|2≤x≤3} C．{x|1≤x<4} D．{x|1<x<4} C　解析：A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2<x<4}，则A∪B＝{x|1≤x<4}． 【练3】 (2022·北京卷)已知全集U＝{－3<x<3}，集合A＝{－2<x≤1}，则∁UA＝(　　) A．(－2，1] B．(－3，－2)∪[1，3) C．[－2，1) D．(－3，－2]∪(1，3) D　解析：由补集定义可知∁UA＝{x|－3<x≤－2或1<x<3}，即∁UA＝(－3，－2]∪(1，3)，故选D. 考向2　利用集合的运算求参数的值(范围) 【例2】 (1)(2023·福建厦门模拟)已知集合A＝{1，a}，B＝{x|log2x<1}，且A∩B有2个子集，则实数a的取值范围为(　　) A．(－∞，0] B．(0，1)∪(1，2] C．[2，＋∞) D．(－∞，0]∪[2，＋∞) (2)(2024·山东临沂月考)已知集合M＝{x|－1≤x＜2}，N＝{y|y＜a}，若M∩N≠∅，则实数a的取值范围是(　　) A．[－1，2) B．(－∞，2] C．[－1，＋∞) D．(－1，＋∞) (1)D　(2)D　解析：(1)由题意得，B＝{x|log2x<1}＝{x|0<x<2}，∵A∩B有2个子集，∴A∩B中的元素个数为1；∵1∈(A∩B)，∴a∉(A∩B)，即a∉B，∴a≤0或a≥2，即实数a的取值范围为(－∞，0]∪[2，＋∞). (2)M＝{x|－1≤x＜2}，N＝{y|y＜a}，且M∩N≠∅，结合数轴可得a＞－1． 【练4】 (2023·安徽铜陵模拟)已知A＝{x|x≤0或x≥3}，B＝{x|x≤a－1或x≥a＋1}，若A∩(∁RB)≠∅，则实数a的取值范围是(　　) A．[1，2] B．(1，2) C．(－∞，1]∪[2，＋∞) D．(－∞，1)∪(2，＋∞) D　解析：因为A＝{x|x≤0或x≥3}，B＝{x|x≤a－1或x≥a＋1}，所以∁RB＝{x|a－1<x<a＋1}． 又A∩(∁RB)≠∅， 所以a－1<0或a＋1>3， 解得a<1或a>2， 所以实数a的取值范围是(－∞，1)∪(2，＋∞). 【练5】 (2024·高考适应性测试)已知集合A＝{－2，0，2，4}，B＝{x||x－3|≤m}，若A∩B＝A，则m的最小值为 ． 5　解析：由A∩B＝A，故A⊆B，所以B≠∅，所以m≥0.由|x－3|≤m，得－m＋3≤x≤m＋3，故即即m≥5，即m的最小值为5. 学科网（北京）股份有限公司 $$