第01讲 全等图形、全等三角形、由SSS证明三角形全等-2024年暑假八年级数学上册自学课系列（苏科版）

第01讲 全等图形、全等三角形、由SSS证明三角形全等 【苏科版】 ·模块一 全等图形 ·模块二 全等三角形 ·模块三 由SSS证明三角形全等 ·模块四 课后作业 模块一 全等图形 全等图形： 我们把能完全重合的图形叫全等图形。两个图形全等，它们的形状、大小相同。 【考点1 判断全等图形】 【例1.1】（2023·八年级·安徽芜湖·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．面积相等的两个图形是全等图形 B．形状相等的两个图形是全等图形 C．周长相等的两个图形是全等图形 D．能够完全重合的两个图形是全等图形 【例1.2】（2023·八年级·山东济南·期中）下列各选项中的两个图形属于全等图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（2023·八年级·广西崇左·期末）下列每组图形中为全等形的是（     ） A． B． C． D． 【变式1.2】（2023·八年级·湖北恩施·期中）下列汽车标志中，是由多个全等图形组成的有（    ）个          A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1.3】（2023·八年级·陕西西安·期末）下列四个图形中，是全等图形的是（    ）      A．①和② B．③和④ C．①和③ D．②和③ 【考点2 找出全等图形】 【例2.1】（2023·八年级·江苏无锡期末）观察下列图形的特点： 有几组全等图形？请一一指出： ． 【例2.2】（2023·八年级·江苏无锡期末）图中有①～⑤ 5个条形方格图，每个小方格的边长均为1，则②～⑤中由实线围成的图形与①中由实线围成的图形全等的有 ．（只填序号即可） 【变式2.1】（11-12八年级·宁夏银川·期末）下列图形中是全等图形的是 ．（填序号） 【考点3 分成全等图形】 【例3.1】（2023·八年级·四川成都·期末）请用不同的方法在下面三个图中沿着虚线把它们分割成四个全等的图形. 【例3.2】（2023·八年级·河南信阳·期末）如图，这是由小正方形拼成的大长方形，请沿图中的虚线，用三种方法将下列图形划分为两个全等图形． 【变式3.1】（2023·八年级·江苏连云港·期末）沿图中的虚线画线，把下面的图形划分为两个全等的图形（用二种不同方法）： 【变式3.2】（2023·八年级·江苏·假期作业）沿着图中的虚线，请将如图的图形分割成4个全等的图形，并能拼成一个正方形．    模块二 全等三角形 1. 全等三角形的概念 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。 2. 全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。 【考点1 全等三角形的概念】 【例1.1】（2023·八年级·江苏南京·期末）下列说法正确的是（　　） A．形状相同的两个三角形全等 B．周长相等的两个三角形全等 C．面积相等的两个三角形全等 D．形状、大小相同的两个三角形全等 【例1.2】（2023·八年级·全国·竞赛）全等三角形也叫做合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同三角形和镜面合同三角形．假如和是全等三角形，且点A与点对应，点B与点对应，点C与点对应．如下图，当沿周界及环绕时，若运动方向相同，则称它们是真正合同三角形；若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形． 下列各组合同三角形中，属于镜面合同三角形的有 ． 【变式1.1】（2023·八年级·陕西延安·期末）如果△ABC与△DEF是全等形，则下列说法：①它们的周长相等；②它们的面积相等；③它们的每个对应角都相等；④它们的每条对应边都相等．其中正确的是( ) A．①②③④ B．①②③ C．①② D．① 【考点2 全等三角形的对应关系】 【例2.1】（2023·八年级·广西南宁·期中）如图，，和，和是对应边，则的对应角是（    ） A． B． C． D． 【例2.2】（2023·八年级·新疆省直辖县级单位·期中）如图，已知△ABD≌△ACE，且∠BAD和∠CAE、∠ABD和∠ACE是对应角，则另一对对应角是 ，对应边是 ， ， . 【变式2.1】（2023·八年级·福建福州·开学考试）如图，，C，B是对应点，下列结论错误的是（    ）    A．和是对应角 B．和是对应角 C．与是对应边 D．和是对应边 【变式2.2】（2023·八年级·全国·专题练习）如图，△ABD≌△CDB，若AB∥CD，则AB的对应边是（    ） A．DB B．BC C．CD D．AD 【变式2.3】（2023·八年级·陕西延安·期末）如图，，请写出图中的对应角，对应边．    ①的对应角为（    ）；②的对应角为（    ）；③的对应角为（    ）；④的对应边为（    ）；⑤的对应边为（    ）． 【考点3 全等三角形的性质】 【例3.1】（2023·八年级·山东济南·期中）如图，，如果，，那么度数是（    ） A． B． C． D． 【例3.2】（2023·八年级·河北张家口·期中）如图，，B、C、D在同一直线上，且，，则长（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 【例3.3】（2023·八年级·河北保定·期中）如图，已知，点是上一点，交于点． （1）与CF的位置关系是 ； （2）若，，则的长为 ． 【变式3.1】（2023·八年级·江苏宿迁·期末）如图，已知，点在上，与相交于点．    (1)当，时，线段的长为________； (2)已知，，求的度数． 【变式3.2】（2023·八年级·吉林长春·期末）如图，已知，点D在的延长线上，点E在上，连接并延长交于点F． (1)求证：． (2)若点F为线段的中点，的面积为10，的面积为6，则四边形的面积为______． 【变式3.3】（2023·八年级·广东广州·期中）如图，在中，点D，E分别是边，上的点，若，则的度数为（　　） A．30° B．25° C．20° D．15° 【规律方法综合练】 【题型1】（2023·八年级·湖北武汉·期中）如图，在四边形中，，点为上的点（不与重合），观察下列图形中全等三角形的对数． 其中，图1中有3对全等三角形，图2中有6对全等三角形，图3中有10对全等三角形，…． 按此规律，第5个图中有（    ）对全等三角形．      A．15 B．16 C．18 D．21 【题型2】（2023·八年级·山西临汾·期中）在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【题型3】（2023·八年级·全国·课堂例题）如图所示，已知在四边形中， ，过点作于点，连接，，且． (1)求的度数； (2)若，试判断与之间的关系，并说明理由． 【拓广探究创新练】 【题型1】（2023·八年级·江苏无锡期末）如图，已知点在上，点在上，，且，若，则（　　）    A． B． C． D． 【题型2】（2023·八年级·河北邢台·期末）如图，，且点A，D，C，F在同一直线上，点B，C，E在同一直线上．    (1)若，求证：． (2)若，，求的度数． 【题型3】（2023·八年级·河南周口·期末）已知两个三角形全等，其中一个三角形的三边长分别为6，8，10，另一个三角形的三边长分别为6，． (1)求m，n的值； (2)若分别以3，m，n为边长的三角形存在，试确定m，n的值，并说明理由． 模块三 由SSS证明三角形全等 全等三角形的判定 边边边(SSS)：三边分别相等的两个三角形全等。 【考点1 判定两个三角形全等的基本事实——“边边边”】 【例1.1】（2023·八年级·广东湛江·期末）如图，已知，若用定理证明，则需要添加的条件是（    ）    A． B． C． D． 【例1.2】（2023·八年级·四川成都·期中）用直尺和圆规作一个角等于已知角的作图痕迹如图所示，可得，进一步得到．上述作图中判定全等三角形的依据是（　　） A． B． C． D． 【例1.3】（2023·八年级·安徽·课后作业）如图，AC＝FD，BC＝ED，要利用“SSS”来判定△ABC和△FED全等时，下面的4个条件中：①AE＝FB；②AB＝FE；③AE＝BE；④BF＝BE，可利用的是（    ） A．①或② B．②或③ C．①或③ D．①或④ 【变式1.1】（2023·八年级·山东聊城·期中）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△ABO≌△ADO，下列结论：①AC⊥BD；②CB=CD；③△ABC≌△ADC；④DA=DC．其中所有正确结论的个数有（ ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1.2】（2023·八年级·山东淄博·期末）如图，中，，，直接使用“”可判定（   ） A． B． C． D． 【变式1.3】（2023·八年级·广东汕头·期中）如图，、、、四点在同一直线上，，，．求证： 【考点2 全等三角形的判定（SSS）的简单应用】 【例2.1】（2023·八年级·河北石家庄·期中）莆仙戏是现存最古老的地方戏剧种之一，被称为“宋元南戏的活化石”，该剧中“油纸伞”是最重要的道具．“油纸伞”的制作工艺十分巧妙．如图，伞圈沿着伞柄滑动时，总有伞骨，，从而使得伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的，为什么？ 【例2.2】（2023·八年级·山东菏泽·期中）如图，AD＝BC，AE＝CF．E、F是BD上两点，BE＝DF，∠AEB＝100°，∠ADB＝30°，则∠BCF的度数为（    ） A．30° B．60° C．70° D．80° 【例2.3】（2023·八年级·广东肇庆·期末）如图，已知中，，是边上的中线，试猜想： (1)与的大小关系； (2)与的位置关系．并证明你的结论． 【变式2.1】（2023·八年级·云南·期末）如图，点，在上，，，．求证：．    【变式2.2】（2023·四川南充·一模）如图，在由个相同的小正方形拼成的网格中，（    ） A． B． C． D． 【变式2.3】（2023·八年级·吉林·期中）如图，，，M，N分别是，的中点，若的面积为，则图中阴影部分的面积为 ．    【规律方法综合练】 【题型1】（2023·广东佛山·八年级期末）如图，已知AB=DC，DB=AC (1)求证：∠ABD=∠DCA 注：证明过程要求给出每一步结论成立的依据． (2)在(1)的证明过程中，需要作辅助线，它的意图是什么？ 【题型2】（2023·八年级·浙江湖州·期末）已知，如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图中的各个顶点均为格点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【题型3】（2023·八年级·江苏南京·期中）我们把顶点在小正方形顶点上的三角形叫做格点三角形，在如图所示的方格纸中，除了格点三角形外，可画出与全等的格点三角形共有 个． 【拓广探究创新练】 【题型1】（2023·八年级·江苏无锡期末）如图，已知，，，且，，三点共线，求证：． 【题型2】（2023·八年级·广东潮州·期末）已知：如图，与交于点，，、是上两点，且，，， 求证∶ (1)； (2)． 【题型3】（2023·八年级·河北石家庄·期末）如图，，，． (1)图中有几对全等三角形？请一一写出来． (2)过点作，，垂足分别为，．求证：． 模块四 课后作业 1．（2023·八年级·河南漯河·期末）在下列每组图形中，是全等形的是（    ） A．    B．   C．   D．   2．（2023·八年级·重庆大足·期末）如图，和全等，且，对应．若，，，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．无法确定 3．（2023·八年级·四川泸州·期末）“三月三，放风筝”，如图是晓娟同学制作的风筝，她根据，不用度量就知道，则她判定两个三角形全等的方法是（     ） A． B． C． D． 4．（2023·八年级·天津宁河·期中）如图已知，，点B，D，E，C在同一条直线上，要利用“”，推理出还需要添加的一个条件可以是（    ） A． B． C． D．以上都对 5．（2023·八年级·江苏无锡期末）如图，下面4个正方形的边长都相等，其中阴影部分的面积相等的图形有（    ） A．0个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（2023·八年级·宁夏中卫·期末）下列图形是全等图形的有： .(填序号) 7．（2023·八年级·安徽阜阳·期末）如图，，现添加“”，则判定的直接依据是 ． 8．（2023·八年级·吉林白山·期末）如图，已知，，若，则 度． 9．（2023·八年级·河南焦作·期中）如图，在中，，将沿方向向右平移得到交于G，已知，则阴影部分的面积为 ．    10．（2023·八年级·福建宁德·期末）在如图所示的网格图中，每个小正方形的边长都为1．沿着图中的虚线，可以将该图形分割成2个全等的图形．在所有的分割方案中，最长分割线的长度等于 ． 11．（2023·八年级·陕西咸阳·期末）如图，已知，点E在上，与交于点F． (1)若，，求的长； (2)若，，求的度数． 12．（2023·八年级·全国·课堂例题）如图所示，已知，且点，，在同一条直线上，试判断与的位置关系，并给予证明． 13．（2023·八年级·广西柳州·期中）如图，在和中，，，，，，与相交于点P，求的度数．    14．（2023·八年级·湖北武汉·期中）如图，已知是上一点，，，． (1)求证：； (2)若，求的大小． 15．（2023·八年级·黑龙江哈尔滨·期末）在四边形中，点、在对角线上，连接、、，．若，，，；    (1)如图1，求证：； (2)如图2，当时，请直接写出图2中与四边形面积相等的所有三角形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 全等图形、全等三角形、由SSS证明三角形全等 【苏科版】 ·模块一 全等图形 ·模块二 全等三角形 ·模块三 由SSS证明三角形全等 ·模块四 课后作业 模块一 全等图形 全等图形： 我们把能完全重合的图形叫全等图形。两个图形全等，它们的形状、大小相同。 【考点1 判断全等图形】 【例1.1】（2023·八年级·安徽芜湖·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．面积相等的两个图形是全等图形 B．形状相等的两个图形是全等图形 C．周长相等的两个图形是全等图形 D．能够完全重合的两个图形是全等图形 【答案】D 【分析】本题考查了全等形的概念，做题时一定要严格紧扣概念对选项逐个验证，这是一种很重要的方法，注意应用． 根据全等图形指的是完全重合的图形，包括边长、角度、面积、周长等，但面积、周长相等的图形不一定全等求解即可． 【详解】解：A、面积相等，但图形不一定能完全重合，说法错误； B、形状相等的两个图形也不一定是全等形，说法错误； C、周长相等的两个图形不一定能完全重合，说法错误； D、符合全等形的概念，正确． 故选：D． 【例1.2】（2023·八年级·山东济南·期中）下列各选项中的两个图形属于全等图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等图形的识别，能够完全重合的平面图形，即形状、大小相同的图形是全等图形，据此即可求解． 【详解】解：由全等图形的定义可知，B为全等图形， 故选：B ． 【变式1.1】（2023·八年级·广西崇左·期末）下列每组图形中为全等形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等形定义的理解，根据全等形的定义进行判断，符合完全重合的两个图形即可作为答案． 【详解】解：A、选项里两个图形大小不一致，不是全等形，故本选项不符合题意； B、两图形大小和形状都一致，完全重合是全等形，故本选项符合题意； C、选项里两个图形大小不一致，不是全等形，故本选项不符合题意； D、选项里两个图形大小不一致，不是全等形，故本选项不符合题意； 故选：B． 【变式1.2】（2023·八年级·湖北恩施·期中）下列汽车标志中，是由多个全等图形组成的有（    ）个          A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了全等图形的识别，熟记“两个能够完全重合的图形叫做全等形” 是解答本题的关键． 【详解】解：第一个图形中，三个椭圆不全等，不是全等图形，不符合题意； 第二个图形中，上下两部分图形大小形状相同，是全等图形，符合题意； 第三个图形中，三个菱形大小形状相同，是全等图形，符合题意； 第四个图形中，四个圆形大小形状相同，是全等图形，符合题意； 即是由多个全等图形组成的有3个， 故选：C． 【变式1.3】（2023·八年级·陕西西安·期末）下列四个图形中，是全等图形的是（    ）      A．①和② B．③和④ C．①和③ D．②和③ 【答案】B 【分析】根据能够完全重合的两个图形叫做全等形，进而分别判断得出答案． 【详解】解：A．不是全等形，故此选项不合题意； B．是全等形，故此选项符合题意； C．不是全等形，故此选项不合题意； D．不是全等形，故此选项不合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查的是全等图形，做题时要注意运用定义，注意观察题中图形． 【考点2 找出全等图形】 【例2.1】（2023·八年级·江苏无锡期末）观察下列图形的特点： 有几组全等图形？请一一指出： ． 【答案】1与6；2与12；3与5与11；4与9；7与10 【分析】根据全等图形的定义判断即可． 【详解】解：根据全等图形可得：1与6、2与12、3与5与11、4与9、7与10； 故答案为1与6、2与12、3与5与11、4与9、7与10 【点睛】本题考查了全等图形，是基础题，熟记概念并准确识图是解题的关键． 【例2.2】（2023·八年级·江苏无锡期末）图中有①～⑤ 5个条形方格图，每个小方格的边长均为1，则②～⑤中由实线围成的图形与①中由实线围成的图形全等的有 ．（只填序号即可） 【答案】②④⑤ 【分析】本题考查全等图形，根据能够完全重合的图形叫做全等图形，进行判断即可． 【详解】由全等形的概念可知，②④⑤中由实线围成的图形与①中由实线围成的图形能够完全重合， 故答案为：②④⑤． 【变式2.1】（11-12八年级·宁夏银川·期末）下列图形中是全等图形的是 ．（填序号） 【答案】⑤和⑦ 【分析】根据能够互相重合的两个图形叫做全等图形解答． 【详解】解：由全等形的定义可知：⑤和⑦是全等图形， 故答案为：⑤和⑦． 【点睛】本题考查了全等图形，是基础题，熟记概念并准确识别各图形的形状是解题的关键． 【考点3 分成全等图形】 【例3.1】（2023·八年级·四川成都·期末）请用不同的方法在下面三个图中沿着虚线把它们分割成四个全等的图形. 【答案】见解析 【分析】本题考查全等图形，利用对称性作图是解题的关键． 【详解】如图所示，沿虚线即可得到四个全等的图形． 【例3.2】（2023·八年级·河南信阳·期末）如图，这是由小正方形拼成的大长方形，请沿图中的虚线，用三种方法将下列图形划分为两个全等图形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了画全等图形，解题的关键是熟练掌握全等图形的定义． 【详解】解：如图所示： 【变式3.1】（2023·八年级·江苏连云港·期末）沿图中的虚线画线，把下面的图形划分为两个全等的图形（用二种不同方法）： 【答案】见解析 【分析】本题考查了查全等图形的定义，熟练掌握相关概念是解题的关键．根据全等图形的定义：对应边都相等，对应角都相等的图形进行构造即可． 【详解】解：如图所示： 【变式3.2】（2023·八年级·江苏·假期作业）沿着图中的虚线，请将如图的图形分割成4个全等的图形，并能拼成一个正方形．    【答案】见解析 【分析】如图所示，按图中实线部分即可将原图形划分为4个全等的图形，且能拼成一个正方形．（答案不唯一） 【详解】   【点睛】本题考查全等图形，解题的关键是掌握全等图形的定义，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． 模块二 全等三角形 1. 全等三角形的概念 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。 2. 全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。 【考点1 全等三角形的概念】 【例1.1】（2023·八年级·江苏南京·期末）下列说法正确的是（　　） A．形状相同的两个三角形全等 B．周长相等的两个三角形全等 C．面积相等的两个三角形全等 D．形状、大小相同的两个三角形全等 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的定义，根据两个三角形全等的定义即可判断．理解定义是判断的关键． 【详解】解：A、形状相同的两个三角形不一定全等，说法错误，不符合题意； B、周长相等的两个三角形不一定全等，说法错误，不符合题意； C、面积相等的两个三角形不一定全等，说法错误，不符合题意； D、形状、大小相同的两个三角形全等，正确，符合题意． 故选：D． 【例1.2】（2023·八年级·全国·竞赛）全等三角形也叫做合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同三角形和镜面合同三角形．假如和是全等三角形，且点A与点对应，点B与点对应，点C与点对应．如下图，当沿周界及环绕时，若运动方向相同，则称它们是真正合同三角形；若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形． 下列各组合同三角形中，属于镜面合同三角形的有 ． 【答案】①③/③① 【分析】本题主要考查了全等三角形．根据真正合同三角形和镜面合同三角形的定义进行解答，即可求解． 【详解】解：根据题意得：①③运动方向相反， ∴属于镜面合同三角形的有①③． 故答案为：①③ 【变式1.1】（2023·八年级·陕西延安·期末）如果△ABC与△DEF是全等形，则下列说法：①它们的周长相等；②它们的面积相等；③它们的每个对应角都相等；④它们的每条对应边都相等．其中正确的是( ) A．①②③④ B．①②③ C．①② D．① 【答案】A 【分析】根据全等三角形的概念逐项进行判定即可. 【详解】解：由题可知, △ABC≌△DEF, ∵全等是指两个图形的形状、大小（面积和周长）相等,对应边和对应角相等, ∴①它们的周长相等,②它们的面积相等,③它们的每个对应角都相等,④它们的每条对应边都相等,全正确, 故选A. 【点睛】本题考查了全等形的概念,属于简单题,熟悉全等形的概念和性质是解题关键. 【考点2 全等三角形的对应关系】 【例2.1】（2023·八年级·广西南宁·期中）如图，，和，和是对应边，则的对应角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的概念，根据已知条件，和，和是对应边，点与点对应点，点与点是对应点，由此即可得到的对应角，理解其概念是解题的关键． 【详解】∵， ∴∠的对应角是， 故选：． 【例2.2】（2023·八年级·新疆省直辖县级单位·期中）如图，已知△ABD≌△ACE，且∠BAD和∠CAE、∠ABD和∠ACE是对应角，则另一对对应角是 ，对应边是 ， ， . 【答案】 ∠ADB和∠AEC AB和AC AD和AE BD和CE 【分析】根据全等三角形的概念，对应角，对应边，直接求解即可． 【详解】解：∵△ABD≌△ACE， ∴∠ADB和∠AEC是对应角；AB和AC 是对应边；AD和AE是对应边；BD和CE是对应边. 故答案为：∠ADB和∠AEC，AB和AC，AD和AE，BD和CE． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的性质，解题关键是利用全等三角形的性质写出对应边和对应角，特别注意要应用好“对应关系”. 【变式2.1】（2023·八年级·福建福州·开学考试）如图，，C，B是对应点，下列结论错误的是（    ）    A．和是对应角 B．和是对应角 C．与是对应边 D．和是对应边 【答案】C 【分析】全等三角形中，能够重合的边是对应边，能够重合的角是对应角，根据定义逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴和是对应角，和是对应角，和是对应边； 故A，B，D不符合题意； 而与是对应边，故C符合题意； 故选C 【点睛】本题考查的是全等三角形的对应边与对应角的含义，理解对应边与对应角的概念是解本题的关键． 【变式2.2】（2021八年级·全国·专题练习）如图，△ABD≌△CDB，若AB∥CD，则AB的对应边是（    ） A．DB B．BC C．CD D．AD 【答案】C 【分析】首先根据平行线的性质得出∠CDB＝∠ABD，得出对应边BC和DA，而BD和BD是对应边，故而得出AB的对应边为CD． 【详解】∵AB∥CD， ∴∠CDB＝∠ABD， ∴这两个角为对应角，对应角所对的边为对应边， ∴BC和DA为对应边， ∴AB的对应边为CD． 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和平行线的性质，解题关键是掌握全等三角形的性质． 【变式2.3】（2023·八年级·陕西延安·期末）如图，，请写出图中的对应角，对应边．    ①的对应角为（    ）；②的对应角为（    ）；③的对应角为（    ）；④的对应边为（    ）；⑤的对应边为（    ）． 【答案】，，，， 【分析】根据全等三角形的定义可直接得出答案． 【详解】解：∵， ∴①的对应角为； ②的对应角为； ③的对应角为； ④的对应边为； ⑤的对应边为； 故答案为：，，，，． 【点睛】本题考查了全等三角形，找准对应边、对应角是解题的关键． 【考点3 全等三角形的性质】 【例3.1】（2023·八年级·山东济南·期中）如图，，如果，，那么度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，由全等三角形的性质可得出，，由角的和差关系即可得出，即可求出答案． 【详解】解：∵ ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【例3.2】（2023·八年级·河北张家口·期中）如图，，B、C、D在同一直线上，且，，则长（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，根据全等三角形对应边相等得到，则． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 【例3.3】（2023·八年级·河北保定·期中）如图，已知，点是上一点，交于点． （1）与CF的位置关系是 ； （2）若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，平行线的判定，掌握全等三角形的性质是解题的关键． （1）由，得到，即可得出； （2）由，得到，即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 【变式3.1】（2023·八年级·江苏宿迁·期末）如图，已知，点在上，与相交于点．    (1)当，时，线段的长为________； (2)已知，，求的度数． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握全等三角的性质； （1）根据全等三角形的对应边相等，即可求解； （2）根据全等三角形的对应角相等，以及三角形的内角和为，即可求解． 【详解】（1）解：，≌ ， ， 故答案为：4； （2）解：， ， ， ． 【变式3.2】（2023·八年级·吉林长春·期末）如图，已知，点D在的延长线上，点E在上，连接并延长交于点F． (1)求证：． (2)若点F为线段的中点，的面积为10，的面积为6，则四边形的面积为______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形中线的性质； （1）根据全等三角形的性质可得，等量代换求出，可得，问题得证； （2）根据三角形中线的性质求出，根据全等三角形的性质可得，进而求出四边形的面积． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，点D在BC的延长线上， ∴， ∵， ∴， ∴，即； （2）∵点F为线段的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的面积， 故答案为：． 【变式3.3】（2023·八年级·广东广州·期中）如图，在中，点D，E分别是边，上的点，若，则的度数为（　　） A．30° B．25° C．20° D．15° 【答案】A 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，先证明，，再利用三角形的内角和定理可得答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【规律方法综合练】 【题型1】（2023·八年级·湖北武汉·期中）如图，在四边形中，，点为上的点（不与重合），观察下列图形中全等三角形的对数． 其中，图1中有3对全等三角形，图2中有6对全等三角形，图3中有10对全等三角形，…． 按此规律，第5个图中有（    ）对全等三角形．      A．15 B．16 C．18 D．21 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形以及图形规律探索，结合题意得出规律，确定第个图中可有对全等三角形，即可获得答案． 【详解】解：根据题意，图1中有3对全等三角形， 图2中有6对全等三角形， 图3中有10对全等三角形， … 第个图中，有对全等三角形， ∴第5个图中有对全等三角形． 故选：D． 【题型2】（2023·八年级·山西临汾·期中）在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定以及全等变换，以为公共边时有3个三角形，以为公共边时有1个三角形与全等，关键是考虑全面，不要漏解． 【详解】解：如图所示：    以为公共边的三角形有3个，以为公共边的三角形有0个，以为公共边的三角形有1个，共个， 故选：D． 【题型3】（2023·八年级·全国·课堂例题）如图所示，已知在四边形中， ，过点作于点，连接，，且． (1)求的度数； (2)若，试判断与之间的关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质，平行线的判定与性质，三角形内角和等于，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）由平行线的性质得到，再根据三角形内角和等于，求得，最后根据全等三角形的对应角相等，即可求得答案； （2）由可得，，再根据平行线的判定，即可得到答案． 【详解】（1），， ， ， ， ， ， ； （2），且． 理由：， ，， ． 【拓广探究创新练】 【题型1】（2023·八年级·江苏无锡期末）如图，已知点在上，点在上，，且，若，则（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的性质和三角形的内角和定理，根据全等三角形的性质，，，又，，得到，在中根据内角和定理求解，熟练掌握全等三角形的性质及三角形内角和定理，数形结合是解决问题的关键． 【详解】解： ， ，， ， ， ， ， 在中，由三角形内角和定理可得， ，，， ， 故选：C． 【题型2】（2023·八年级·河北邢台·期末）如图，，且点A，D，C，F在同一直线上，点B，C，E在同一直线上．    (1)若，求证：． (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)40度 【分析】（1）先证明，可得，结合，可得； （2）先求解，可得，再证明，结合三角形的内角和定理可得答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴，即． ∵， ∴． （2）∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，熟记全等三角形的对应角相等与三角形的内角和是解本题的关键． 【题型3】（2023·八年级·河南周口·期末）已知两个三角形全等，其中一个三角形的三边长分别为6，8，10，另一个三角形的三边长分别为6，． (1)求m，n的值； (2)若分别以3，m，n为边长的三角形存在，试确定m，n的值，并说明理由． 【答案】(1)或； (2)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质及三角形三边关系， （1）有两种情况：与8、与10分别是对应边；与10、与8分别是对应边；分别求出m与n即可； （2）根据（1）中结果，分两种情况理由三角形三边关系分析即可． 熟练掌握全等三角形的性质及三角形三边关系是解题关键． 【详解】（1）解：当与8、与10分别是对应边时，则， ∴； 当与10、与8分别是对应边时，则， ∴； 综上，或； （2）由（1）得或； 当时，，不能组成三角形，不符合题意； 当时，以3，m，n为边长的三角形存在，符合题意； ∴． 模块三 由SSS证明三角形全等 全等三角形的判定 边边边(SSS)：三边分别相等的两个三角形全等。 【考点1 判定两个三角形全等的基本事实——“边边边”】 【例1.1】（2023·八年级·广东湛江·期末）如图，已知，若用定理证明，则需要添加的条件是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由于，则需添加第三边对应相等时可以利用“”判断，从而可对各选项进行判断． 【详解】解：∵， ∴当添加时，可利用“”判断． 故选：B． 【点睛】本题考查了全等会三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种判定方法，取决于题目中的已知条件． 【例1.2】（2023·八年级·四川成都·期中）用直尺和圆规作一个角等于已知角的作图痕迹如图所示，可得，进一步得到．上述作图中判定全等三角形的依据是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形对应角相等，解体的关键是根据作法找到已知条件．由作法可知，两三角形的三条边对应相等，所以利用可以证得． 【详解】解：由作一个角等于已知角的作法可知，，，， 在和中， ， ∴， 故选：A 【例1.3】（2023·八年级·安徽·课后作业）如图，AC＝FD，BC＝ED，要利用“SSS”来判定△ABC和△FED全等时，下面的4个条件中：①AE＝FB；②AB＝FE；③AE＝BE；④BF＝BE，可利用的是（    ） A．①或② B．②或③ C．①或③ D．①或④ 【答案】A 【分析】根据全等三角形的SSS判定条件解答即可． 【详解】解：∵AE=FB， ∴AE+BE=FB+BE， ∴AB=FE， 在△ABC和△FED中， ， ∴△ABC≌△FED（SSS）， ∵AE=BE和BF=BE推不出AB=FE， ∴可利用的是①或②， 故选：A． 【点睛】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解答的关键． 【变式1.1】（2023·八年级·山东聊城·期中）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△ABO≌△ADO，下列结论：①AC⊥BD；②CB=CD；③△ABC≌△ADC；④DA=DC．其中所有正确结论的个数有（ ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据全等三角形的性质得出，，，再根据全等三角形的判定定理得出，进而得出其它结论． 【详解】∵△ABO≌△ADO，  ∴∠AOB=∠AOD=90°，OB=OD，AB=AD， ∴AC⊥BD，故①正确； ∵四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OB=OD，AC⊥BD， ∴BC=DC，②正确； 在△ABC和△ADC中， ， ∴△ABC≌△ADC（SSS），故③正确； AB=AD，BC=DC，没有条件得出DA=DC，④不正确； 正确结论有3个， 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【变式1.2】（2023·八年级·山东淄博·期末）如图，中，，，直接使用“”可判定（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， 根据现有条件无法直接利用判定，，， 故选：C． 【变式1.3】（2023·八年级·广东汕头·期中）如图，、、、四点在同一直线上，，，．求证： 【答案】见解析 【分析】先证明，进而根据证明，即可． 【详解】证明：∵ ∴ ∴ 在中 ∴ 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【考点2 全等三角形的判定（SSS）的简单应用】 【例2.1】（2023·八年级·河北石家庄·期中）莆仙戏是现存最古老的地方戏剧种之一，被称为“宋元南戏的活化石”，该剧中“油纸伞”是最重要的道具．“油纸伞”的制作工艺十分巧妙．如图，伞圈沿着伞柄滑动时，总有伞骨，，从而使得伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的，为什么？ 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，利用证明即可求解． 【详解】解：始终平分同一平面内两条伞骨所成的， 理由：在和中， ， ， ， 即平分． 【例2.2】（2023·八年级·山东菏泽·期中）如图，AD＝BC，AE＝CF．E、F是BD上两点，BE＝DF，∠AEB＝100°，∠ADB＝30°，则∠BCF的度数为（    ） A．30° B．60° C．70° D．80° 【答案】C 【分析】由SSS证明△AED≌△CFB，得到∠BCF＝∠DAE，利用三角形的内角和性质得∠DAE＝∠AEB −∠ADB＝70°． 【详解】解：∵BE＝DF， ∴BE+EF＝DF+EF， ∴BF=DE 又∵AD＝BC，AE＝CF． ∴△AED≌△CFB（SSS）， ∴∠BCF＝∠DAE， ∵∠DAE＝∠AEB −∠ADB＝100°-30°=70° ∴∠BCF＝70°． 故选C． 【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质等知识． 【例2.3】（2023·八年级·广东肇庆·期末）如图，已知中，，是边上的中线，试猜想： (1)与的大小关系； (2)与的位置关系．并证明你的结论． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（1）本题考查三角形中线的性质和三角形全等的判定与性质，灵活利用三角形全等判定，即可解题． （2）本题考查利用三角形全等的性质，再结合邻补角互补即可证明该题． 【详解】（1）解：，理由如下： 是边上的中线， ， 在与中， ， ． （2），理由如下： 证明：（已证）， ， ， ， ． 【变式2.1】（2023·八年级·云南·期末）如图，点，在上，，，．求证：．    【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，先证明，进而证明 ，即可推出． 【详解】证明： ， ， ， 在和中， ， ， ． 【变式2.2】（2023·四川南充·一模）如图，在由个相同的小正方形拼成的网格中，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用全等三角形的性质解答即可． 【详解】解：如图所示，连接， 在和中， ， ， ， ， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了全等图形，主要利用了网格结构以及全等三角形的判定与性质，准确识图并确定出全等三角形是解题的关键． 【变式2.3】（2023·八年级·吉林·期中）如图，，，M，N分别是，的中点，若的面积为，则图中阴影部分的面积为 ．    【答案】3 【分析】连接，利用证明，根据全等三角形的性质及三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，连接，    在和中， ∴， ∴， ∵M，N分别是，的中点， ∴，， ∴阴影部分的面积， ∵的面积为 ∴阴影部分的面积， 故答案为：3． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【规律方法综合练】 【题型1】（2023··广东佛山·八年级期末）如图，已知AB=DC，DB=AC (1)求证：∠ABD=∠DCA 注：证明过程要求给出每一步结论成立的依据． (2)在(1)的证明过程中，需要作辅助线，它的意图是什么？ 【答案】（1）见解析（2）使∠ABD、∠DCA所在的三角形全等 【分析】（1）连接CD，证明即可； （2）根据（1）的证明即可完成解答． 【详解】证明：连接CD ，如图    ∵AB=DC，DB=AC(已知) CD=DC（公共边） ∴（SSS） ∴∠ABD=∠DCA（全等三角形的对应角相等） （2）作辅助线，它的意图是使∠ABD、∠DCA所在的三角形全等 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，构作辅助线并证明两个三角形全等是关键． 【题型2】（2023·八年级·浙江湖州·期末）已知，如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图中的各个顶点均为格点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查网格中的全等三角形，会利用全等图形求正方形网格中角度之和是解答的关键．根据网格特点，可得出，进而可求解． 【详解】解：如图， 由图可知：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选C． 【题型3】（2023·八年级·江苏南京·期中）我们把顶点在小正方形顶点上的三角形叫做格点三角形，在如图所示的方格纸中，除了格点三角形外，可画出与全等的格点三角形共有 个． 【答案】15 【分析】利用判定三角形全等，在网格中画出与三角形全等的三角形，即可得解． 【详解】解：如图所示： 除了格点三角形外，可画出与全等的格点三角形共有15个． 故答案为：15． 【点睛】本题考查全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键． 【拓广探究创新练】 【题型1】（2023·八年级·江苏无锡期末）如图，已知，，，且，，三点共线，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据判定，由全等的性质得到对应角相等，然后通过外角的性质即可得到结论． 【详解】证明：∵，，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质等知识． 熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【题型2】（2023·八年级·广东潮州·期末）已知：如图，与交于点，，、是上两点，且，，， 求证∶ (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质； （1）先证明，然后根据证明，根据全等三角形的性质，即可得证； （2）根据全等三角形的性质得出，根据邻补角相等得出，进而即可得证． 【详解】（1）证明：如图， ，    在和中 ，， （2）由（1）得： ． 【题型3】（2023·八年级·河北石家庄·期末）如图，，，． (1)图中有几对全等三角形？请一一写出来． (2)过点作，，垂足分别为，．求证：． 【答案】(1)有3对全等三角形：；； (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据全等三角形的判断定理即可得到结论； （2）先证明，得到，再根据面积公式即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴； ∵，，． ∴； ∵，，， ∴． ∴共有3对全等三角形：；；． （2）证明：在和中， ∴． ∴． ∵，， ∴． ∴． 模块四 课后作业 1．（2023·八年级·河南漯河·期末）在下列每组图形中，是全等形的是（    ） A．    B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据全等形的定义进行判断，符合完全重合的两个图形即可作为答案． 【详解】解：A、选项里两个图形大小不一致，不是全等形，故本选项不符合题意； B、黑色部分大小不一样，不是全等形，故本选项不符合题意； C、把第一个图形顺时针旋转，两图形大小和形状都一致，完全重合是全等形，故本选项符合题意； D、两图像的形状不一样，不是全等形，故本选项不符合题意； 挂选：C． 【点睛】本题主要考查了全等形定义的理解，准确理解全等形的判定条件的解题的关键． 2．（2023·八年级·重庆大足·期末）如图，和全等，且，对应．若，，，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．无法确定 【答案】A 【分析】全等三角形对应边相等，对应角相等，根据题中信息得出对应关系即可． 【详解】∵和全等，，对应 ∴ ∴AB=DF=4 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形的概念及性质，应注意①对应边、对应角是对两个三角形而言的，指两条边、两个角的关系，而对边、对角是指同一个三角形的边和角的位置关系②可以进一步推广到全等三角形对应边上的高相等，对应角的平分线相等，对应边上的中线相等，周长及面积相等③全等三角形有传递性． 3．（2023·八年级·四川泸州·期末）“三月三，放风筝”，如图是晓娟同学制作的风筝，她根据，不用度量就知道，则她判定两个三角形全等的方法是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法， 根据已知的两条对应边相等，再加上中间的公共边即可证明． 【详解】解：在和中 ， ， 故选：A． 4．（2023·八年级·天津宁河·期中）如图已知，，点B，D，E，C在同一条直线上，要利用“”，推理出还需要添加的一个条件可以是（    ） A． B． C． D．以上都对 【答案】B 【分析】根据已知条件，，要利用“”推理得，只需再得到一组边相等即可，再结合选项中所给的条件，运用线段之间的关系进一步分析即可得出答案． 【详解】解：当时，， 理由：∵， 又 ，， ∴（） 故选：B． 【点睛】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型． 5．（2023·八年级·江苏无锡期末）如图，下面4个正方形的边长都相等，其中阴影部分的面积相等的图形有（    ） A．0个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】观察图形可发现：四个正方形是全等的，面积相等；a，b，d三个图形中中空白部分可以组成一个完整的圆，根据圆的面积相等可得这三个图形中阴影部分的面积相等，得出答案． 【详解】由图可知：（a）、（b）、（d）的空白处均可组成一个完整的半径相等的圆，而正方形的面积相等，根据等量减去等量差相等的原理得这三个图形中阴影部分的面积相等． 故选：． 【点睛】本题既考查了全等图形的知识，还考查了整体与部分的关系． 6．（2023·八年级·宁夏中卫·期末）下列图形是全等图形的有： .(填序号) 【答案】①与⑨，②于③，④与⑧，⑪与⑫ 【分析】根据能够互相重合的两个图形叫做全等图形解答． 【详解】由全等形的定义可知：①与⑨，②于③，④与⑧，⑪与⑫是全等形；⑤与⑦的大小不相等，⑥与⑩的形状不相同，不是全等形. 故答案为①与⑨，②于③，④与⑧，⑪与⑫. 【点睛】本题考查了全等图形，是基础题，熟记概念并准确识别各图形的形状是解题的关键． 7．（2023·八年级·安徽阜阳·期末）如图，，现添加“”，则判定的直接依据是 ． 【答案】三边对应相等的三角形是全等三角形 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，熟记定理内容是解题关键． 【详解】解：∵， ∴判断三角形全等的依据是：三边对应相等的三角形是全等三角形 故答案为：三边对应相等的三角形是全等三角形 8．（2023·八年级·吉林白山·期末）如图，已知，，若，则 度． 【答案】105 【分析】本题考查邻补角定义，全等三角形性质及判定．根据题意可证，继而得到，再利用邻补角定义计算度数即可． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：105． 9．（2023·八年级·河南焦作·期中）如图，在中，，将沿方向向右平移得到交于G，已知，则阴影部分的面积为 ．    【答案】42 【分析】由平移得，于是阴影部分面积等于梯形的面积，求得梯形的面积=，于是阴影部分的面积． 【详解】解：∵沿着点A到点C的方向平移到的位置， ∴， ∴阴影部分面积等于梯形的面积， 由平移的性质得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴梯形的面积=， ∴阴影部分的面积． 故答案为：42． 【点睛】本题考查平移的性质，全等的性质；由平移得到三角形全等、线段相等是解题的关键． 10．（2023·八年级·福建宁德·期末）在如图所示的网格图中，每个小正方形的边长都为1．沿着图中的虚线，可以将该图形分割成2个全等的图形．在所有的分割方案中，最长分割线的长度等于 ． 【答案】7 【分析】沿着图中的虚线，可以将该图形分割成2个全等的图形，画出所有的分割方案，即可得到最长分割线的长度． 【详解】解：分割方案如图所示： 由图可得，最长分割线的长度等于7． 故答案为：7． 【点睛】本题主要考查全等形的性质，解决本题的关键是要熟练掌握全等形的性质. 11．（2023·八年级·陕西咸阳·期末）如图，已知，点E在上，与交于点F． (1)若，，求的长； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和的定理． （1）利用全等的性质即可求出，然后根据线段的和差即可求出． （2）利用全等的性质求出，然后根据三角形的内角和定理即可求出，然后利用角的和差即可求出． 【详解】（1）（1）∵，， ∴， ∴． （2）∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴. 12．（2023·八年级·全国·课堂例题）如图所示，已知，且点，，在同一条直线上，试判断与的位置关系，并给予证明． 【答案】，证明见解析． 【分析】本题考查全等三角形的性质及直角三角形两锐角互余的性质，正确得出全等三角形的对应角是解题关键；根据全等三角形的性质得出，根据直角三角形两锐角互余即可得结论． 【详解】解：．证明如下： ∵， ， 在中，∵， ， ， ∴． 13．（2023·八年级·广西柳州·期中）如图，在和中，，，，，，与相交于点P，求的度数．    【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，先证明得到，进而得到，再根据角之间的关系进行求解即可． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ 14．（2023·八年级·湖北武汉·期中）如图，已知是上一点，，，． (1)求证：； (2)若，求的大小． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由，，得，证明，得； （2）由，，得，即可根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 又， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 15．（2023·八年级·黑龙江哈尔滨·期末）在四边形中，点、在对角线上，连接、、，．若，，，；    (1)如图1，求证：； (2)如图2，当时，请直接写出图2中与四边形面积相等的所有三角形． 【答案】(1)见解析 (2)，，， 【分析】（1）由可得，从而证得，根据全等的性质得到，最后可得出； （2）由可得，由可得，从而得出． 【详解】（1）证明：， ， ， 在和中， ， ， ， ， （2）， ， ， ， 与四边形面积相等有，，，． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，三角形的面积等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$