第01讲 与三角形有关的线段-2024年暑假八年级数学上册自学课系列（人教版）

第01讲 与三角形有关的线段 【人教版】 ·模块一 三角形的边 ·模块二 三角形的高、中线和角平分线 ·模块三 三角形的稳定性 ·模块四 课后作业 模块一 三角形的边 1.三角形的基本概念 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 2.三角形的分类 ①按边之间的关系分： 三边都不相等的三角形叫做不等边三角形；有两边相等的三角形叫做等腰三角形；三边都相等的三角形叫做等边三角形。 ②按角分类： 三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形；有一个角是直角的三角形叫做直角三角形；有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形。 3.三角形的三边之间的关系 三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边。 【考点1 三角形及其相关概念】 【例1.1】（2023·八年级·湖北襄阳·期末）三角形是指(　　) A．由三条线段所组成的封闭图形 B．由不在同一直线上的三条直线首尾顺次相接组成的图形 C．由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形 D．由三条线段首尾顺次相接组成的图形 【例1.2】（2023·八年级·山东德州·期末）下面各项都是由三条线段组成的图形，其中是三角形的是（    ） A．   B．   C．   D．   【例1.3】（2023·八年级·镇江期末）如图，图中三角形的个数为 ；以为边的三角形是 ，以为一个内角的三角形是 ；在中，的对边是 ． 【变式1.1】（2023·八年级·山东青岛·期末）如图，中，与的夹角是 ，的对边是 ，，的公共边是 ．    【变式1.2】（2023·八年级·辽宁铁岭·期末）如图，在中，点、分别在、上，则图中三角形的个数是（    ）    A．5 B．6 C．7 D．8 【变式1.3】（2023·八年级·全国·课堂例题）如图所示． （1）图中共有 个三角形，它们是 ； （2）线段是 ， ， 的边； （3）是 ， ， 的角． 【考点2 三角形的分类】 【例2.1】（2023·八年级·湖北孝感·期中）图中的三角形被木板遮住了一部分，这个三角形是（    ）．    A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能 【例2.2】（2023·八年级·全国·专题练习）有下列两种图示均表示三角形分类，则正确的是（    ）       A．①对，②不对 B．②对，①不对 C．①、②都不对 D．①、②都对 【例2.3】（2023·八年级·浙江·期末）如图，在中，，．动点P从点C出发，沿边，向点A运动．在点P运动过程中，可能成为的特殊三角形依次是（    ） A．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等边三角形→直角三角形 B．等腰三角形→直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形 C．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形 D．等腰直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形 【变式2.1】（2023·八年级·重庆·期中）在中，如果，那么是（    ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．锐角三角形或钝角三角形 【变式2.2】（2023·八年级·湖北孝感·期中）若如图表示三角形分类，则下列说法正确的是（    ） A．表示等边三角形 B．表示锐角三角形 C．表示等腰三角形 D．表示三边都不相等的三角形 【变式2.3】（2023·八年级·全国·课后作业）若一个三角形三边的长度比为，周长为 cm，则这个三角形三边的长分别为 ，按边分，这个三角形是 三角形． 【考点3 三角形的三边关系】 【例3.1】（2023·八年级·江苏无锡·期中）下列各组数中，以它们为边长的线段能构成三角形的是（    ） A．2，3，5 B．1，1，3 C．3，4，5 D．7，10，18 【例3.2】（2023·八年级·福建漳州·期末）已知a，b，c是三角形的三边长，化简. 【例3.3】（2023·八年级·安徽合肥·期中）在中，，． (1)求的取值范围； (2)若的周长为偶数，求的周长为多少？ 【变式3.1】（2023·八年级·安徽池州·期中）如图，在中，，点在的延长线上．求证：． 【变式3.2】（2023·八年级·安徽铜陵·期末）长为12、6、5、2的四根木条，选其中三根为边组成三角形，共有（    ）选法 A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 【变式3.3】（2023·八年级·芜湖·期末）一根长1m的木尺，共有9个等分点，每个分点处有折痕，可将木尺折断，现欲将木尺折成3节，并使3节能组成三角形，若要组成形状不同的三角形，共有多少种不同的折法？ 模块二 三角形的高、中线和角平分线 1. 高 从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。 2.中线 在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。 3.角平分线 三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。 【考点1 三角形的高】 【例1.1】（2023·八年级·山东青岛·期末）从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作 ，顶点和 之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．三角形三条高所在的直线 ，这点叫做三角形的垂心． 【例1.2】（2023·八年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图四个图形中，线段是的高的图是（    ） A．   B．   C．   D．   【例1.3】（2023·八年级·山东青岛·期末）如图，是的 边上的高；在中，是 上的高，还是 的高；是 的 边上的高． 【变式1.1】（2023·八年级·黑龙江齐齐哈尔·期末）下列说法中正确的是(   ) A．直角三角形的高只有一条 B．锐角三角形的三条高交于三角形内部 C．直角三角形的高没有交点 D．钝角三角形的三条高所在的直线没有交点 【变式1.2】（2023·八年级·全国·专题练习）下列各图中，作边边上的高，正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1.3】（2023·八年级·浙江宁波·期末）如图，用三角板作的边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【考点2 三角形的中线】 【例2.1】（2023·八年级·福建福州·期中）三角形一边上的中线把这个三角形分成的两个三角形的关系是（　　 ） A．形状相同 B．周长相等 C．面积相等 D．全等 【例2.2】（2023·八年级·江苏徐州·期中）如图，是的中线，，，若的周长为18，则的周长为（    ） A．15 B．16 C．20 D．19 【例2.3】（2023··云南昆明·二模）如图，，是的两条中线，连接．若，则阴影部分的面积是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式2.1】（2023·八年级·吉林白城·期末）如图，在中有四条线段，其中有一条线段是的中线，则该线段是（    ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【变式2.2】（2023·八年级·陕西渭南·期中）如图，是的三条中线，若的周长是．则的长为 cm．    【变式2.3】（2023·八年级·江苏·专题练习）如图，是的中线，是的高线，，，，则点到的距离是 ． 【考点3 三角形的角平分线】 【例3.1】（2023·八年级·辽宁盘锦·期末）如图，，下列结论中错误的是（    ） A．是的角平分线 B．是的角平分线 C． D．是的角平分线 【例3.2】（2023·八年级·宁夏石嘴山·期末）如图所示，是的角平分线，是的角平分线．若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【例3.3】（2023·八年级·河南周口·期末）如图，在中，为两条角平分线，，则图中与相等的角有 个． 【变式3.1】（2023·八年级·山东烟台·期末）如图，将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕l，则l是的（    ） A．中线 B．高线 C．角平分线 D．任意一条线段 【变式3.2】（2023·八年级·湖北襄阳·期末）△ABC中，D为BC边上任意一点，DE、DF分别是△ADB和△ADC的角平分线，连接EF，则△DEF的形状为 ． 【变式3.3】（2023·八年级·全国·课后作业）如图，是的角平分线，P是延长线上的一点，交于点M，交于点N．试说明：平分． 【规律方法综合练】 【题型1】（2023·八年级·重庆垫江·期末）在中，为边的中线．若与的周长差为，则 ． 【题型2】（2023·八年级·湖北十堰·期末）如图，在中，，，，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下面结论：①的面积的面积；②；③；④.其中正确结论的序号是 . 【题型3】（2023·八年级·江苏盐城·期中）已知分别是的高和中线，若，，则的面积为 ． 【拓广探究创新练】 【题型1】（2023··河北石家庄·一模）如图，嘉琪任意剪了一张钝角三角形纸片（是钝角），他打算用折叠的方法折出的角平分线、边上的中线和高线，能折出的是（　　）    A．边上的中线和高线 B．的角平分线和边上的高线 C．的角平分线和边上的中线 D．的角平分线、边上的中线和高线 【题型2】（2023·八年级·山东德州·期末）如图，在中，，，垂足分别为，，与相交于点连接并延长交于点.若，，，则：：的值为 . ‍ 【题型3】（2023·八年级·江苏无锡·期中）如图，在中，D是边上任意一点，E是的中点，点F在上，且．若的面积是8，则的面积为 ． 模块三 三角形的稳定性 三角形的稳定性 三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。三角形的这个性质在生产生活中应用很广，需要稳定的东西一般都制成三角形的形状。 【考点1 三角形的稳定性】 【例1.1】（2023·八年级·广西贵港·期中）下列图形中，具有稳定性的是（    ） A．直角三角形 B．长方形 C．五边形 D．正六边形 【例1.2】（2023·八年级·北京·期中）下列图形中不具备稳定性的是（   ） A． B． C． D． 【例1.3】（2023··吉林长春·二模）如图所示的五边形木架不具有稳定性，若要使该木架稳定，则要钉上的细木条的数量至少为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1.1】（2023·八年级·江苏无锡·期末）如图，用四根细木条和一些图钉做成一个四边形框架，为了使这个框架具有稳定性，可再钉上一根细木条（图中灰色木条）.下列四种情况中不能成功是（    ） A． B． C． D． 【变式1.2】（2023·八年级·全国·假期作业）下列图中哪些具有稳定性？ ． 【考点2 用三角形的稳定性解释生活中的现象】 【例2.1】（2023·八年级·四川巴中·期末）人字梯中间一般会设计一“拉杆”,这样做的道理是（    ）． A．三角形具有稳定性． B．两直线平行,内错角相等． C．两点之间,线段最短． D．垂线段最短． 【例2.2】（2023·八年级·山东潍坊·期中）小明用螺栓将两端打有孔的5根长度相等的木条，首尾连接制作了一个五角星，他发现五角星的形状不稳定，稍微一动五角星就变形了。于是他想在木条交叉点处再加上若干个螺栓，使其稳定不再变形，他至少需要添加的螺栓数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2.1】（2023·八年级·湖北武汉·期末）下列设备，没有利用三角形的稳定性的是（    ） A．起重机 B．活动的四边形衣架 C．屋顶三角形钢架 D．相机支架 【变式2.2】（2023·八年级·广东江门·期末）世界最长跨海大桥——港珠澳大桥，主桥为三座大跨度钢结构斜拉桥，斜拉式大桥采用三角形结构，使其不易变形，这种做法的依据是 . 【规律方法综合练】 【题型1】（2023·八年级·贵州遵义·期中）如图，工人师傅做了一个长方形窗框，E、F、G、H分别是四条边上的中点，为了使它更加稳固，需要在窗框上钉一根木条，这根木条不应钉在（    ）    A．A、G两点之间 B．G、H两点之间 C．B、F两点之间 D．E、G两点之间 【题型2】（2023·八年级·全国·课堂例题）小明用根木条钉成一个七边形的木架，他为了使该木架稳固，想在其中加上根木条，请在图中画出你的三种做法．    【题型3】（2023·八年级·广东惠州·期中）如图，是一个用六根竹条连接而成的凸六边形风筝骨架，考虑到骨架的稳固性、美观性、实用性等因素，需再加竹条与其顶点连接．要求： （1）在图（1）、（2）中分别加适当根竹条，设计出两种不同的连接方案． （2）通过上面的设计，可以看出至少需再加 根竹条，才能保证风筝骨架稳固、美观和实用． （3）在上面的方案设计过程中，你所应用的数学道理是 ． 【拓广探究创新练】 【题型1】（2023·八年级·全国·课堂例题）[推理意识]如图，我们知道要使四边形木架不变形，至少要钉一根木条，要使五边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使六边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使n边形木架不变形，至少要钉多少根木条？    (1)请完成下表： 多边形木架的边数 4 5 6 … n 至少钉木条的根数 1 … (2)要使十二边形木架不变形，至少要钉__________根木条； (3)有一个多边形木架，至少要钉18根木条，才能使它不变形，求这个多边形的边数． 【题型2】（2023·八年级·徐州·假期作业）如图（1）扭动三角形木架， 它的形状会改变吗？ 如图（2）扭动四边形木架， 它的形状会改变吗？ 如图（3）斜钉一根木条的四边形木架的形状形状会改变吗？为什么？ 归纳：①三角形木架的形状______，说明三角形具有______； ②四边形木架的形状______说明四边形没有______． 模块四 课后作业 1．（2023·八年级·河南信阳·期末）如图，下列图形中是三角形的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2023·八年级·全国·课后作业）下列图形中，具有稳定性的是（　　） A． B． C． D． 3．（2023·八年级·广东深圳·期中）下列说法中错误的是（    ）． A．等边三角形是等腰三角形 B．三角形的高、中线、角平分线都是线段 C．等腰三角形的高线、中线和角平分线互相重合 D．钝角三角形的三条高所在直线相交于三角形外一点 4．（2023·八年级·江苏无锡·期中）下列长度的两条线段与长度为的线段首尾顺次连接能组成三角形的是（  ） A． B． C． D． 5．（2023·八年级·全国·专题练习）如图，在中，是高，是角平分线，是中线，则下列说法中错误的是（    ） A． B． C． D． 6．（2023·八年级·内蒙古包头·期中）一个三角形的两边长分别为5和7，若x为最长边且为整数，则此三角形的周长为 ． 7．（2023·八年级·新疆吐鲁番·期末）如图，在中，边上的高是 ，边上的高是 ；在中，边上的高是 ． 8．（2023·八年级·山东济南·期中）如图，是的中线，是的中线，于点．若，，则长为 ．    9．（2023·八年级·湖北襄阳·期末）已知：如图，试回答下列问题： （1）图中有 个三角形，其中直角三角形是 ． （2）以线段为公共边的三角形是 ． （3）线段所在的三角形是 ，边所对的角是 ． 10．（2023·八年级·湖南衡阳·期中）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，下面说法中正确的有 请填写序号． ①；②；③． 11．（2023·八年级·全国·假期作业）我们知道，四边形不稳定，易变形．工人师傅现做了一个正方形窗框（如图），为了防止它在安装前变形，你有什么办法？请画图说明． 12．（2023·八年级·江苏扬州·期末）如图，已知△ABC． (1)画角平分线BD； (2)画中线CE； (3)画高AD． 13．（2023·八年级·广西崇左·期末）已知，，是的三边长． (1)若 ，，为偶数，求的长； (2)化简∶． 14．（2023·八年级·山东泰安·期末）如图，在三角形中，，，是的中点，点在边上．若三角形的周长与四边形的周长相等，求线段的长． 15．（2023·八年级·合肥期末）如图所示，P为中任意一点．证明：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 与三角形有关的线段 【人教版】 ·模块一 三角形的边 ·模块二 三角形的高、中线和角平分线 ·模块三 三角形的稳定性 ·模块四 课后作业 模块一 三角形的边 1.三角形的基本概念 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 2.三角形的分类 ①按边之间的关系分： 三边都不相等的三角形叫做不等边三角形；有两边相等的三角形叫做等腰三角形；三边都相等的三角形叫做等边三角形。 ②按角分类： 三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形；有一个角是直角的三角形叫做直角三角形；有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形。 3.三角形的三边之间的关系 三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边。 【考点1 三角形及其相关概念】 【例1.1】（2023·八年级·湖北襄阳·期末）三角形是指(　　) A．由三条线段所组成的封闭图形 B．由不在同一直线上的三条直线首尾顺次相接组成的图形 C．由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形 D．由三条线段首尾顺次相接组成的图形 【答案】C 【分析】根据三角形的定义解答即可． 【详解】因为三角形的定义是：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的定义．解题的关键是熟记三角形的定义． 【例1.2】（2023·八年级·山东德州·期末）下面各项都是由三条线段组成的图形，其中是三角形的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据三角形的定义即：由同一平面内不在同一直线上的三条线段‘首尾’顺次连接所组成的封闭图形，进行判断即可． 【详解】解：A，B，C，中的三条线段没有首尾顺次连接，故不是三角形， C中的三条线段首尾顺次连接，且不在同一条直线上，故C满足题意； 故选：C． 【点睛】本题考查三角形的定义与判定，能够深刻理解三角形的定义是解决本题的关键． 【例1.3】（2023·八年级·镇江期末）如图，图中三角形的个数为 ；以为边的三角形是 ，以为一个内角的三角形是 ；在中，的对边是 ． 【答案】 ，， ，， 【分析】此题主要考查了三角形，关键是掌握三角形的相关概念． 根据三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形可得图中三角形的个数；根据组成三角形的线段叫做三角形的边；根据相邻两边组成的角叫做三角形的内角进行分析． 【详解】图中的三角形有、、、、、，共个；以为边的三角形有、、，以为一个内角的三角形是、、；中的对边是 故答案为：；；；． 【变式1.1】（2023·八年级·山东青岛·期末）如图，中，与的夹角是 ，的对边是 ，，的公共边是 ．    【答案】 【分析】根据图形即可解答． 【详解】解：与的夹角是，的对边是，，的公共边是， 故答案为：，，． 【点睛】本题主要考查了三角形的相关概念，熟练掌握相关内容是解题的关键． 【变式1.2】（2023·八年级·辽宁铁岭·期末）如图，在中，点、分别在、上，则图中三角形的个数是（    ）    A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】根据三角形的定义即可得到结论． 【详解】解：如图所示，    图中有共8个三角形， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的定义，熟练掌握三角形的定义是解题的关键． 【变式1.3】（2023·八年级·全国·课堂例题）如图所示． （1）图中共有 个三角形，它们是 ； （2）线段是 ， ， 的边； （3）是 ， ， 的角． 【答案】 6 【分析】（1）首先根据给出的图形，写出所有的三角形，进而确定个数即可； （2）根据三角形的边的定义作答即可； （3）根据三角形的角的定义作答即可． 【详解】解：（1）由图可知，图中的三角形有：，共6个， 故答案为：6，； （2）由图可知： 以为边的三角形有、、， 故答案为：，，； （3）由图可知： 是、、的角， 故答案为：，，． 【点睛】本题主要考查三角形的概念及相关基础问题，熟练掌握三角形的相关概念是解题的关键． 【考点2 三角形的分类】 【例2.1】（2023·八年级·湖北孝感·期中）图中的三角形被木板遮住了一部分，这个三角形是（    ）．    A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能 【答案】D 【分析】根据三角形的分类即可判定． 【详解】解：图中被木板遮住的三角形有可能是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形分类，解题关键是要理解三角形分类的依据，图中只能看到三角形的一个锐角，解题关键是理解另外两个角都可能是锐角，也可能有一个是直角或钝角． 【例2.2】（2023·八年级·全国·专题练习）有下列两种图示均表示三角形分类，则正确的是（    ）       A．①对，②不对 B．②对，①不对 C．①、②都不对 D．①、②都对 【答案】B 【分析】此题主要考查了三角形的分类，关键是掌握分类方法．按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）．根据三角形的分类可直接选出答案． 【详解】解：按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）． 按角分类：直角三角形，锐角三角形和钝角三角形． 故①的分类不正确；图②中的三角形的分类正确． 故选：B． 【例2.3】（2023·八年级·浙江·期末）如图，在中，，．动点P从点C出发，沿边，向点A运动．在点P运动过程中，可能成为的特殊三角形依次是（    ） A．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等边三角形→直角三角形 B．等腰三角形→直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形 C．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形 D．等腰直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形 【答案】C 【分析】本题考查动点问题，掌握三角形的分类是解题的关键． 【详解】解：在点P运动过程中，可能成为的特殊三角形依次是直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形， 故选C． 【变式2.1】（2023·八年级·重庆·期中）在中，如果，那么是（    ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．锐角三角形或钝角三角形 【答案】B 【分析】此题考查了三角形的分类，首先根据题意得到是钝角，进而求解即可．解题的关键是熟练掌握三角形按角可分为直角三角形，钝角三角形，锐角三角形． 【详解】∵ ∴是钝角， ∴是钝角三角形． 故选：B． 【变式2.2】（2023·八年级·湖北孝感·期中）若如图表示三角形分类，则下列说法正确的是（    ） A．表示等边三角形 B．表示锐角三角形 C．表示等腰三角形 D．表示三边都不相等的三角形 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的分类，根据三角形按边的分类可直接选出答案． 【详解】解：三角形根据边分类如下： 由图可知，M表示三边均不相等的三角形，N表示等边三角形，P表示等腰三角形 故选：C． 【变式2.3】（2023·八年级·全国·课后作业）若一个三角形三边的长度比为，周长为 cm，则这个三角形三边的长分别为 ，按边分，这个三角形是 三角形． 【答案】 8 cm，12 cm，12 cm 等腰 【分析】本题考查了三角形的分类，根据题意设三角形三边的长度比为，即可列方程求解． 【详解】解：设三角形三边的长度比为， 则：， 解得： ∴ 故答案为：①8 cm，12 cm，12 cm②等腰 【考点3 三角形的三边关系】 【例3.1】（2023·八年级·江苏无锡·期中）下列各组数中，以它们为边长的线段能构成三角形的是（    ） A．2，3，5 B．1，1，3 C．3，4，5 D．7，10，18 【答案】C 【分析】此题考查三角形三边关系．根据三角形三边的关系：两边之和大于第三边即可解答． 【详解】A．，故不符合题意； B．，故不符合题意； C．，故符合题意； D．，故不符合题意． 故选C． 【例3.2】（2023·八年级·福建漳州·期末）已知a，b，c是三角形的三边长，化简. 【答案】 【分析】此题考查了三角形的三边关系的应用、化简绝对值、整式的加减等知识，根据三角形的三边关系化简绝对值，再进行整式加减即可. 【详解】解：∵a，b，c是三角形的三边长， ∴， ∴， ∴ 【例3.3】（2023·八年级·安徽合肥·期中）在中，，． (1)求的取值范围； (2)若的周长为偶数，求的周长为多少？ 【答案】(1) (2)16 【分析】本题考查了三角形的三边关系， （1）直接根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求解即可； （2）先求出周长的范围，再根据其为偶数进行求解即可； 熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）∵，， ∴， 即； （2）∵，设的周长为x， ∴，即， ∵的周长为偶数， ∴其周长为16． 【变式3.1】（2023·八年级·安徽池州·期中）如图，在中，，点在的延长线上．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是线段的和差关系，三角形的三边关系的应用，本题先证明，结合，从而可得答案． 【详解】证明， ， ， ． 【变式3.2】（2023·八年级·安徽铜陵·期末）长为12、6、5、2的四根木条，选其中三根为边组成三角形，共有（    ）选法 A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 【答案】D 【分析】根据题目给的四根木条进行分情况讨论，利用三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可求解． 【详解】解：选其中三根为边组成三角形有以下四种选法： 12、6、5，12、6、2，12、5、2，6、5、2； 能组成三角形的有：6、5、2只有一种． 故选：D． 【点睛】本题主要考查的三角形的形成条件，正确的运用三角形的形成条件，把题目进行分类讨论是解题的关键． 【变式3.3】（2023·八年级·芜湖·期末）一根长1m的木尺，共有9个等分点，每个分点处有折痕，可将木尺折断，现欲将木尺折成3节，并使3节能组成三角形，若要组成形状不同的三角形，共有多少种不同的折法？ 【答案】共有2种不同的折法. 【分析】根据三角形的三边关系即可得到结论. 【详解】解：共有2、4、4；3，3，4；2种不同的折法. 故答案为共有2种不同的折法. 【点睛】本题考查了三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边. 模块二 三角形的高、中线和角平分线 1. 高 从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。 2.中线 在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。 3.角平分线 三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。 【考点1 三角形的高】 【例1.1】（2023·八年级·山东青岛·期末）从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作 ，顶点和 之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．三角形三条高所在的直线 ，这点叫做三角形的垂心． 【答案】 垂线         垂足       相交于一点 【详解】【分析】直接根据教材对三角形高线的描述即可得出答案. 【详解】根据教材描述：“从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．三角形三条高所在的直线相交于一点，这点叫做三角形的垂心．”可填空. 故答案为(1)垂线；(2)垂足；(3)相交于一点. 【点睛】本题考核知识点：三角形的高线. 解题关键点：熟记教材中对三角形高线概念的相关描述. 【例1.2】（2023·八年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图四个图形中，线段是的高的图是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查了三角形的高线，熟练掌握三角形的高线的定义是解题的关键； 三角形的高是从三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段，据此求解即可． 【详解】解：根据三角形高的定义可知四个选项中只有D选项中线段是的高， 故选：D． 【例1.3】（2023·八年级·山东青岛·期末）如图，是的 边上的高；在中，是 上的高，还是 的高；是 的 边上的高． 【答案】 / / 或 / 【分析】根据三角形高的定义进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴是的上的高； ∵， ∴是的上的高，是的上的高，是的上的高； ∵， ∴是的边上的高， 故答案为：；；或； ；． 【点睛】本题主要考查了三角形高的定义，熟知该定义是解题的关键：过三角形一个顶点向对边作垂线，该垂线即为该三角形中此顶点对边上的高． 【变式1.1】（2023·八年级·黑龙江齐齐哈尔·期末）下列说法中正确的是(   ) A．直角三角形的高只有一条 B．锐角三角形的三条高交于三角形内部 C．直角三角形的高没有交点 D．钝角三角形的三条高所在的直线没有交点 【答案】B 【分析】根据锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的高的特点进行判断即可． 【详解】解：A．直角三角形的高有三条，故选项错误，不符合题意； B．锐角三角形的三条高交于三角形内部，故选项正确，符合题意； C．直角三角形的高交于直角顶点，故选项错误，不符合题意； D．钝角三角形的三条高所在的直线交于三角形外一点，故选项错误，不符合题意． 故选：B． 【点睛】此题考查了锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的高的特点，熟练掌握三角形高的特点是解题的关键． 【变式1.2】（2023·八年级·全国·专题练习）下列各图中，作边边上的高，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形的高的定义，从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．熟练掌握高的定义是解题的关键； 过顶点B向边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段就是高． 【详解】A、图中不是边边上的高，本选项不符合题意； B、图中不是边边上的高，本选项不符合题意； C、图中不是边边上的高，本选项不符合题意； D、图中是边边上的高，本选项符合题意； 故选：D． 【变式1.3】（2023·八年级·浙江宁波·期末）如图，用三角板作的边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题考查了作高线，根据利用三角板作高线的方法即可求解，熟练掌握作高线的方法是解题的关键． 【详解】解：由图得，作的边上的高线是    ， 故选B． 【考点2 三角形的中线】 【例2.1】（2023·八年级·福建福州·期中）三角形一边上的中线把这个三角形分成的两个三角形的关系是（　　 ） A．形状相同 B．周长相等 C．面积相等 D．全等 【答案】C 【分析】根据等底等高的三角形面积相等可知，中线能把一个三角形分成两个面积相等部分． 【详解】三角形一边上的中线把三角形分成的两个三角形的面积关系为相等， 故选：． 【点睛】此题考查了三角形的中线，解题的关键是理解三角形的中线有关性质． 【例2.2】（2023·八年级·江苏徐州·期中）如图，是的中线，，，若的周长为18，则的周长为（    ） A．15 B．16 C．20 D．19 【答案】D 【分析】本题考查三角形的中线，根据中线的定义得到，根据的周长为18，求出的长，再利用周长公式进行计算即可． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵的周长为18， ∴， ∴， ∴的周长为； 故选D． 【例2.3】（2023··云南昆明·二模）如图，，是的两条中线，连接．若，则阴影部分的面积是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的中线，熟记三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分是解题的关键．根据三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分计算即可． 【详解】解：是的两条中线，， ， 是的中点， ， 故选：B 【变式2.1】（2023·八年级·吉林白城·期末）如图，在中有四条线段，其中有一条线段是的中线，则该线段是（    ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形的中线，解题的关键是掌握三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．根据定义可得答案． 【详解】解：∵三角形的中线是一边的中点与此边所对顶点的连线 ∴在中有四条线段中，线段是的中线 故选B 【变式2.2】（2023·八年级·陕西渭南·期中）如图，是的三条中线，若的周长是．则的长为 cm．    【答案】5 【分析】此题主要考查了三角形中线的性质．根据中线的性质可以得到，利用这个结论即可求解． 【详解】解：∵是的三条中线， ∴， ∴， 而的周长是， ∴． 故答案为：5． 【变式2.3】（2023·八年级·江苏·专题练习）如图，是的中线，是的高线，，，，则点到的距离是 ． 【答案】11 【分析】此题考查三角形的中线的性质．根据三角形的面积得出的面积为88，再利用中线的性质得出的面积为88，进而解答即可． 【详解】解：，， 的面积为：， 是的中线， 的面积为88， 点到的距离是． 故答案为：11 【考点3 三角形的角平分线】 【例3.1】（2023·八年级·辽宁盘锦·期末）如图，，下列结论中错误的是（    ） A．是的角平分线 B．是的角平分线 C． D．是的角平分线 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的定义，根据角平分线的定义作答即可． 【详解】∵，， ∴是的角平分线，是的角平分线， ∴， ∴选项D错误， 故选：D． 【例3.2】（2023·八年级·宁夏石嘴山·期末）如图所示，是的角平分线，是的角平分线．若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，是的角平分线，得出，根据是的角平分线，即可得出． 【详解】解：∵，是的角平分线， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了三角形的角平分线，解题的关键是掌握三角形的角平分线将三角形的内角平均为为两份． 【例3.3】（2023·八年级·河南周口·期末）如图，在中，为两条角平分线，，则图中与相等的角有 个． 【答案】3/三 【分析】由角平分线的定义得，等量代换得，进而可得答案． 【详解】∵为两条角平分线， ∴． ∵， ∴． 故答案为∶3． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，等量代换，熟练掌握角平分线的定义是解答本题的关键． 【变式3.1】（2023·八年级·山东烟台·期末）如图，将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕l，则l是的（    ） A．中线 B．高线 C．角平分线 D．任意一条线段 【答案】C 【分析】根据折叠的性质可得，作出选择即可． 【详解】解：如图， ∵由折叠的性质可知 则l是的角平分线， 故选：C． 【点睛】本题考查折叠的性质和角平分线的定义，理解角平分线的定义是解答本题的关键． 【变式3.2】（2023·八年级·湖北襄阳·期末）△ABC中，D为BC边上任意一点，DE、DF分别是△ADB和△ADC的角平分线，连接EF，则△DEF的形状为 ． 【答案】直角三角形 【分析】根据三角形角平分线的定义，可以得到2∠ADE=∠ADB，2∠ADF=∠ADC；根据平角的定义可知，∠ADB+∠ADC=180°；接下来，求出∠ADE+∠ADF的度数，不难判断三角形的形状. 【详解】∵DE，DF分别是△ADB和△ADC的角平分线， ∴2∠ADE=∠ADB，2∠ADF=∠ADC. ∵∠ADB+∠ADC=180°， ∴2∠ADE+2∠ADF=180°， ∴∠ADE+∠ADF=90°，即∠EDF=90°， ∴△DEF是直角三角形. 故答案为直角三角形. 【点睛】本题考查了直角三角形的定义，角平分线的定义，平角的定义，根据角平分线的定义及平角的定义求出∠ADE+∠ADF=90°是解答本题的关键. 【变式3.3】（2023·八年级·全国·课后作业）如图，是的角平分线，P是延长线上的一点，交于点M，交于点N．试说明：平分． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义；由是角平分线得；由两平行条件及等量代换可得，再由角平分线的定义即可证明结论． 【详解】∵是的角平分线， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴平分． 【规律方法综合练】 【题型1】（2023·八年级·重庆垫江·期末）在中，为边的中线．若与的周长差为，则 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查三角形中线的性质，由为边上的中线，得，根据题意，分类讨论进而即可求解，掌握中线的性质是解题的关键． 【详解】解：①当时，    ∵与的周长差为3， ∴， ∵为边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴, ②当时，同理可得，则 故答案为：或． 【题型2】（2023·八年级·湖北十堰·期末）如图，在中，，，，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下面结论：①的面积的面积；②；③；④.其中正确结论的序号是 . 【答案】①②③ 【分析】本题考查了三角形的中线、高、角平分线；根据三角形角平分线和高的性质可确定角之间的数量关系；根据三角形的中线和面积公式可确定和的面积关系以及求出的长度． 【详解】解： 是的中线 的面积等于的面积   故正确； ，是的高 ， 是的角平分线 ∴ 又 故正确；   故正确； 故错误； 故答案为：①②③． 【题型3】（2023·八年级·江苏盐城·期中）已知分别是的高和中线，若，，则的面积为 ． 【答案】3或5 【分析】本题考查三角形的中线和与三角形的高有关的计算，分在的内部和外部，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当在的外部时，如图： ∵，， ∴， ∵是中线， ∴， ∴， ∴的面积为； 当在的内部时，如图： 则：， ∴， ∴， ∴的面积为； 故答案为：3或5． 【拓广探究创新练】 【题型1】（2023··河北石家庄·一模）如图，嘉琪任意剪了一张钝角三角形纸片（是钝角），他打算用折叠的方法折出的角平分线、边上的中线和高线，能折出的是（　　）    A．边上的中线和高线 B．的角平分线和边上的高线 C．的角平分线和边上的中线 D．的角平分线、边上的中线和高线 【答案】C 【分析】由折叠的性质可求解． 【详解】解：当与重合时，折痕是的角平分线； 当点A与点B重合时，折叠是的中垂线， 故选：C． 【点睛】本题考查了翻折变换，掌握折叠的性质是本题的关键． 【题型2】（2023·八年级·山东德州·期末）如图，在中，，，垂足分别为，，与相交于点连接并延长交于点.若，，，则：：的值为 . ‍ 【答案】 【分析】本题主要考查三角形的高，由题意得：，再根据三角形的面积公式，可得，进而即可得到答案． 【详解】解：在中，，，垂足分别为点和点，与交于点， ， ，，， ， ， ：： ， 故答案是：． 【题型3】（2023·八年级·江苏无锡·期中）如图，在中，D是边上任意一点，E是的中点，点F在上，且．若的面积是8，则的面积为 ． 【答案】 【分析】连接，根据得到，结合，再根据三角形底边的中线把三角形的面积分为相等的两部分即可得出结论．本题考查的是三角形的面积，熟知三角形底边的中线把三角形的面积分为相等的两部分是解答此题的关键． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵E是的中点，的面积是8， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 模块三 三角形的稳定性 三角形的稳定性 三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。三角形的这个性质在生产生活中应用很广，需要稳定的东西一般都制成三角形的形状。 【考点1 三角形的稳定性】 【例1.1】（2023·八年级·广西贵港·期中）下列图形中，具有稳定性的是（    ） A．直角三角形 B．长方形 C．五边形 D．正六边形 【答案】A 【分析】根据三角形的稳定性即可得到答案． 【详解】解：A、直角三角形具有稳定性，故此选项正确； B、长方形不具有稳定性，故此选项不正确； C、五边形不具有稳定性，故此选项不正确； D、正六边形不具有稳定性，故此选项不正确． 故选：A． 【点睛】本题考查三角形的性质，解题的关键是掌握三角形具有稳定性． 【例1.2】（2023·八年级·北京·期中）下列图形中不具备稳定性的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】三角形具有稳定性，只要选项中的图形可以分解成三角形，则图形就有稳定性，据此即可确定． 【详解】解：A、可以看成两个三角形，而三角形具有稳定性，则这个图形一定具有稳定性，故本选项错误； B、可以看成三个三角形，而三角形具有稳定性，则这个图形一定具有稳定性，故本选项错误； C、可以看成一个三角形和一个四边形，而四边形不具有稳定性，则这个图形一定不具有稳定性，故本选项正确； D、可以看成7个三角形，而三角形具有稳定性，则这个图形一定具有稳定性，故本选项错误． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形的稳定性，正确理解各个图形具有稳定性的条件是解题的关键． 【例1.3】（2023··吉林长春·二模）如图所示的五边形木架不具有稳定性，若要使该木架稳定，则要钉上的细木条的数量至少为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据三角形的稳定性及多边形对角线的条数即可得答案． 【详解】∵三角形具有稳定性， ∴要使五边形不变形需把它分成三角形，即过五边形的一个顶点作对角线， ∵过五边形的一个顶点可作对角线的条数为5-3=2（条）， ∴要使该木架稳定，则要钉上的细木条的数量至少为2条， 故选：B． 【点睛】本题考查三角形的稳定性及多边形的对角线，熟记三角形具有稳定性是解题的关键． 【变式1.1】（2023·八年级·江苏无锡·期末）如图，用四根细木条和一些图钉做成一个四边形框架，为了使这个框架具有稳定性，可再钉上一根细木条（图中灰色木条）.下列四种情况中不能成功是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的稳定性．利用三角形的稳定性确定正确的选项即可． 【详解】解：根据题意得：为了使这个框架有稳定性，需要钉上一根细木条，使得构成三角形， A、B、C选项中均可，D不可以， 故选：D． 【变式1.2】（2023·八年级·全国·假期作业）下列图中哪些具有稳定性？ ． 【答案】(1)(6) 【分析】根据三角形具有稳定性，只要图形分割成了三角形，则具有稳定性． 【详解】解：根据三角形具有稳定性，只要图形分割成了三角形，则具有稳定性． 显然具有稳定性的有：(1)(6) 故答案为(1)(6). 【点睛】考查了三角形的稳定性及多边形的知识，注意根据三角形的稳定性进行判断． 【考点2 用三角形的稳定性解释生活中的现象】 【例2.1】（2023·八年级·四川巴中·期末）人字梯中间一般会设计一“拉杆”,这样做的道理是（    ）． A．三角形具有稳定性． B．两直线平行,内错角相等． C．两点之间,线段最短． D．垂线段最短． 【答案】A 【分析】根据三角形的稳定性解答即可． 【详解】解:人字梯中间一般会设计一“拉杆”,是为了形成三角形,利用三角形具有稳定性来增加其稳定性, 故选：A． 【点睛】题考查了三角形的性质,关键是根据三角形的稳定性解答． 【例2.2】（2023·八年级·山东潍坊·期中）小明用螺栓将两端打有孔的5根长度相等的木条，首尾连接制作了一个五角星，他发现五角星的形状不稳定，稍微一动五角星就变形了。于是他想在木条交叉点处再加上若干个螺栓，使其稳定不再变形，他至少需要添加的螺栓数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】用木条交叉点打孔加装螺栓的办法来达到使其形状稳定的目的，可用三角形的稳定性解释． 【详解】如图： A点加上螺栓后，根据三角形的稳定性，原不稳定的五角星中具有了稳定的各边． 故选：A． 【点睛】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得． 【变式2.1】（2023·八年级·湖北武汉·期末）下列设备，没有利用三角形的稳定性的是（    ） A．起重机 B．活动的四边形衣架 C．屋顶三角形钢架 D．相机支架 【答案】B 【分析】此题考查三角形的稳定性，解题关键在于掌握其定义．根据三角形的特性-稳定性解答即可． 【详解】解：没有利用三角形的稳定性的是活动的四边形衣架，起重机，屋顶三角形钢架，相机支架，都利用了三角形的稳定性； 故选：B 【变式2.2】（2023·八年级·广东江门·期末）世界最长跨海大桥——港珠澳大桥，主桥为三座大跨度钢结构斜拉桥，斜拉式大桥采用三角形结构，使其不易变形，这种做法的依据是 . 【答案】三角形的稳定性． 【分析】利用三角形的稳定性求解即可． 【详解】世界最长跨海大桥——港珠澳大桥，主桥为三座大跨度钢结构斜拉桥，斜拉式大桥采用三角形结构，使其不易变形，这种做法的依据是：三角形的稳定性． 故答案为三角形的稳定性． 【点睛】本题主要考查了三角形的稳定性，解题的关键是熟记三角形的稳定性． 【规律方法综合练】 【题型1】（2023·八年级·贵州遵义·期中）如图，工人师傅做了一个长方形窗框，E、F、G、H分别是四条边上的中点，为了使它更加稳固，需要在窗框上钉一根木条，这根木条不应钉在（    ）    A．A、G两点之间 B．G、H两点之间 C．B、F两点之间 D．E、G两点之间 【答案】D 【分析】本题考查三角形稳定性的实际应用，解题的关键是分析得出用木条固定长方形窗框，即是组成三角形，故可利用三角形的稳定性判断是否组成三角形． 【详解】解：由题意可知，为了窗框稳固，需要在窗框上钉一根木条，根据三角形具有稳定性，这根木条钉在、两点之间时，不能构成三角形，所以不应该钉在、两点之间． 故选：D． 【题型2】（2023·八年级·全国·课堂例题）小明用根木条钉成一个七边形的木架，他为了使该木架稳固，想在其中加上根木条，请在图中画出你的三种做法．    【答案】作图见解析（答案不唯一） 【分析】本题考查三角形的稳定性，当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性，利用这一特性即可解决问题．解题的关键是将七边形分成五个三角形． 【详解】解：如图所示（答案不唯一）．    【题型3】（2023·八年级·广东惠州·期中）如图，是一个用六根竹条连接而成的凸六边形风筝骨架，考虑到骨架的稳固性、美观性、实用性等因素，需再加竹条与其顶点连接．要求： （1）在图（1）、（2）中分别加适当根竹条，设计出两种不同的连接方案． （2）通过上面的设计，可以看出至少需再加 根竹条，才能保证风筝骨架稳固、美观和实用． （3）在上面的方案设计过程中，你所应用的数学道理是 ． 【答案】（1）答案见解析；（2）三；（3）三角形的稳定性． 【详解】解：（1）如图所示（答案不唯一） （2）至少要三根 故答案为：三； （3）三角形的稳定性 【拓广探究创新练】 【题型1】（2023·八年级·全国·课堂例题）[推理意识]如图，我们知道要使四边形木架不变形，至少要钉一根木条，要使五边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使六边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使n边形木架不变形，至少要钉多少根木条？    (1)请完成下表： 多边形木架的边数 4 5 6 … n 至少钉木条的根数 1 … (2)要使十二边形木架不变形，至少要钉__________根木条； (3)有一个多边形木架，至少要钉18根木条，才能使它不变形，求这个多边形的边数． 【答案】(1)2，3， (2)9 (3)21 【分析】（1）利用三角形具有稳定性即可解答； （2）根据（1）中的结论代入计算即可求解； （3）根据（1）中的结论可知，有18根木条，则多边形的边数为，即可求解． 【详解】（1）解：如下表： 多边形木架的边数 4 5 6 … n 至少钉木条的根数 1 2 3 … 故答案为：2，3，； （2）解：（根）， ∴要使十二边形木架不变形，至少要钉上9根木条， 故答案为：9； （3）解：， ∴这个多边形的边数是21， 故答案为：21． 【点睛】本题考查三角形的稳定性，注意利用图形总结规律是解题的关键． 【题型2】（2023·八年级·徐州·假期作业）如图（1）扭动三角形木架， 它的形状会改变吗？ 如图（2）扭动四边形木架， 它的形状会改变吗？ 如图（3）斜钉一根木条的四边形木架的形状形状会改变吗？为什么？ 归纳：①三角形木架的形状______，说明三角形具有______； ②四边形木架的形状______说明四边形没有______． 【答案】图（1）扭动三角形木架， 它的形状不会改变，因为三角形具有稳定性； 图（2）扭动四边形木架， 它的形状会改变，四边形不稳定； 图（3）斜钉一根木条的四边形木架的形状形状不会改变，四边形变成两个三角形，三角形具有稳定性； 归纳：①是三角形， 稳定性；②四边形， 稳定性 ． 【分析】①根据三角形的稳定性进行解答即可； ②根据四边形的不稳定性进行解答即可． 【详解】图（1）扭动三角形木架， 它的形状不会改变，因为三角形具有稳定性； 图（2）扭动四边形木架， 它的形状会改变，四边形不稳定； 图（3）斜钉一根木条的四边形木架的形状形状不会改变，四边形变成两个三角形，三角形具有稳定性； 归纳： ①由三角形具有稳定性知， 三角形木架的形状不会改变， 这说明三角形具有稳定性 ． 故答案为： 是三角形， 稳定性； ②四边形木架的形状是四边形， 四边形具有不稳定性 ． 故答案为： 四边形， 稳定性 ． 【点睛】本题考查的是三角形的稳定性，三角形的稳定性和四边形的不稳定性在实际生活中的应用问题，比较简单． 模块四 课后作业 1．（2023·八年级·河南信阳·期末）如图，下列图形中是三角形的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据三角形的定义，即可求解．由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所构成的图形是三角形． 【详解】解：依题意，只有（1）是三角形， 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的定义，熟练掌握三角形的定义是解题的关键． 2．（2023·八年级·全国·课后作业）下列图形中，具有稳定性的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的稳定性，根据三角形具有稳定性，再确定各图形中多边形的形态进行解答即可． 【详解】解：A、三角形下方是四边形，不具有稳定性，故A不符合题意， B、对角线两侧是三角形，具有稳定性，故B符合题意， C、连线两侧是四边形，不具有稳定性，故C不符合题意， D、连线两侧是四边形，不具有稳定性，故D不符合题意， 故选：B． 3．（2023·八年级·广东深圳·期中）下列说法中错误的是（    ）． A．等边三角形是等腰三角形 B．三角形的高、中线、角平分线都是线段 C．等腰三角形的高线、中线和角平分线互相重合 D．钝角三角形的三条高所在直线相交于三角形外一点 【答案】C 【分析】本题主要考查了角形的分类方法，三角形中线，角平分线，高的定义，熟知相关知识是解题的关键．根据三角形的分类方法，三角形中线，角平分线，高的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、等边三角形是等腰三角形，原说法正确，不符合题意； B、三角形的高、中线、角平分线都是线段，原说法正确，不符合题意； C、等腰三角形底边上的高线、底边上的中线和顶角的角平分线互相重合，原说法错误，符合题意； D、钝角三角形的三条高所在直线相交于三角形外一点，原说法正确，不符合题意； 故选：C． 4．（2023·八年级·江苏无锡·期中）下列长度的两条线段与长度为的线段首尾顺次连接能组成三角形的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断． 【详解】解：A、，长度是、、的线段不能组成三角形，故A不符合题意； B、，长度是、、的线段不能组成三角形，故B不符合题意； C、，长度是，、的线段不能组成三角形，故C不符合题意； D、，长度是、、的线段能组成三角形，故D符合题意． 故选：D． 5．（2023·八年级·全国·专题练习）如图，在中，是高，是角平分线，是中线，则下列说法中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的中线、高线及角平分线的意义，三角形一边上的中线平分此三角形的面积等知识．根据上述知识逐项进行判断即可． 【详解】解：∵是的中线， ，A说法正确，不符合题意； 是高， ， ，B说法正确，不符合题意； 是角平分线， ，而与不一定相等，C说法错误，符合题意； ， ，D说法正确，不符合题意； 故选：C． 6．（2023·八年级·内蒙古包头·期中）一个三角形的两边长分别为5和7，若x为最长边且为整数，则此三角形的周长为 ． 【答案】19或20或21或22或23 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 利用三角形三边关系定理，先确定第三边的范围，就可以求出第三边的长，从而求得三角形的周长． 【详解】解：由三角形三边关系定理得：， ∴， ∵x为最长边且为整数， ∴， ∴x的值是7或8或9或10或11， ∵，，，，， ∴此三角形的周长为19或20或21或22或23． 故答案为：19或20或21或22或23． 7．（2023·八年级·新疆吐鲁番·期末）如图，在中，边上的高是 ，边上的高是 ；在中，边上的高是 ． 【答案】 / / / 【分析】本题主要考查三角形高线的概念，掌握这个知识点即可求解．确定某一边的高，首先明确是哪个三角形的高，在这个三角形内，先看这边相对的顶点，然后寻找这个顶点向这条边作的垂线段即可． 【详解】解：在中，边上的高是，边上的高是；在中，边上的高是． 故答案为：；； 8．（2023·八年级·山东济南·期中）如图，是的中线，是的中线，于点．若，，则长为 ．    【答案】3 【分析】本题考查了三角形中线的性质，根据中线的意义可得等底同高，即，同理可得，进而求解即可． 【详解】∵是的中线， ∴， ∴等底同高，即， 同理，， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：3． 9．（2023·八年级·湖北襄阳·期末）已知：如图，试回答下列问题： （1）图中有 个三角形，其中直角三角形是 ． （2）以线段为公共边的三角形是 ． （3）线段所在的三角形是 ，边所对的角是 ． 【答案】 6 ，， ，， 【分析】（1）直接观察图形可找出三角形和其中有一个角是直角的三角形； （2）观察图形可找到以线段为公共边的三角形； （3）观察图形可知线段所在的三角形以及边所对的角； 【详解】（1）由图可知， 图中三角形有、、、、、， 图中有6个三角形， 由图可知，直角三角形有，，； 故答案为：6，，，； （2）由图可知， 以线段为公共边的三角形是，，； 故答案为：，，； （3）由图可知， 线段所在的三角形是， 边所对的角是； 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查三角形的识别，熟练掌握三角形的基本概念是解题的关键． 10．（2023·八年级·湖南衡阳·期中）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，下面说法中正确的有 请填写序号． ①；②；③． 【答案】①②③ 【分析】根据等底同高得出面积相等；根据等角的余角相等求出，根据角平分线的定义得出，再根据等角的余角相等求出，等量代换后得出． 【详解】解：是中线， ； 正确； ， ， 是高， ， ， 是角平分线， ， ， ， 正确； ，， ， 是角平分线， ， ． 正确； 综上所述，正确的有． 故答案为：①②③ 【点睛】本题主要考查了三角形的角平分线、中线和高，掌握三角形的面积、三角形的角平分线、中线和高的综合应用，其中用等角的余角相等求出相等的角是解题关键． 11．（2023·八年级·全国·假期作业）我们知道，四边形不稳定，易变形．工人师傅现做了一个正方形窗框（如图），为了防止它在安装前变形，你有什么办法？请画图说明． 【答案】见解析 【详解】如图，用木板连接任一对角线，利用“三角形的稳定性”加固防止窗框变形． 12．（2023·八年级·江苏扬州·期末）如图，已知△ABC． (1)画角平分线BD； (2)画中线CE； (3)画高AD． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】此题主要考查了基本作图，关键是掌握三角形中的三条重要线段的定义．根据三角形的中线、高线、角平分线的定义分别画出图形即可． 【详解】（1）解：如图所示：线段即为所求． （2）解：如图所示：线段即为所求． （3）解：如图所示：线段即为所求． 13．（2023·八年级·广西崇左·期末）已知，，是的三边长． (1)若 ，，为偶数，求的长； (2)化简∶． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形三边关系， （1）根据三角形的三边关系可得，进而根据为偶数，即可求解； （2）根据三角形的三边关系得出，，进而化简绝对值，即可求解． 【详解】（1）解：， 为偶数 （2）， ， 14．（2023·八年级·山东泰安·期末）如图，在三角形中，，，是的中点，点在边上．若三角形的周长与四边形的周长相等，求线段的长． 【答案】 【分析】由图可知三角形的周长，四边形的周长，，所以，则可解得； 【详解】由图可知： 三角形的周长，四边形的周长， 又∵三角形的周长与四边形的周长相等，是的中点， ∴，， ∴， 又∵，，， ∴， ∴ ∴cm， 故答案为：cm． 【点睛】本题考查了三角形的中线性质，三角形周长的计算，掌握相关知识点是解题的关键． 15．（2023·八年级·合肥期末）如图所示，P为中任意一点．证明：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了三角形三边关系，熟练掌握三角形任意两边之和大于第三边是解题的关键．延长交于点D．利用三角形三边关系得到，同理可得，，进一步即可得到结论． 【详解】证明：如图所示，延长交于D， ∵在中，， 在中，， ∴， ∴.① 同理可得，② .③ 由①＋②＋③得， 即． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$