1.1.1空间向量及其线性运算（一）课件 -2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.1.1 空间向量及其线性运算（一） 教学目标 1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念. 2.经历由平面向量的运算及其运算律推广到空间向量的过程. 3.掌握空间向量的线性运算．(重点) 通过“平面向量及其应用”的学习，我们知道，平面内的点、直线可以通过平面向量及其运算来表示，它们之间的平行、垂直、夹角、距离等关系可以通过平面向量运算而得到，从而有关平面图形的问题可以利用平面向量的方法来解决.在“立体几何初步”中 ，我们用综合几何方法研究空间几何体的结构特征以及空间点、直线、平面的位置关系？ 问题1 阅读章引言部分，思考：能否把平面向量推广到空间向量，从而利用空间向量表示空间中点、直线、平面等基本元素，通过空间向量运算解决立体几何问题？ 追问1 你能举几个空间向量的例子吗？ 追问2 你能类比平面向量及其运算的研究过程，说说本章我们将学习那些内容，用到那些研究方法. 我们要注意利用类比的方法进行研究，研究内容主要有：空间向量的概念、运算、基本定理及其坐标表示；体会推广的合理性和严谨性；利用空间向量表示空间中的几何元素并解决位置、度量等几何问题. 问题2 请同学们回顾平面向量的概念及表示，类比给出空间向量的概念及表示. 平面 空间 概念 表示 看大小 看方向 既看大小又看方向 问题2 请同学们回顾平面向量的概念及表示，类比给出空间向量的概念及表示. 平面 空间 概念 在平面内，把具有大小和方向的量叫做平面向量； 平面向量的大小叫做长度或模. 表示 看大小 看方向 既看大小又看方向 问题2 请同学们回顾平面向量的概念及表示，类比给出空间向量的概念及表示. 平面 空间 概念 在平面内，把具有大小和方向的量叫做平面向量； 平面向量的大小叫做长度或模. 在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量； 空间向量的大小叫做长度或模. 表示 看大小 看方向 既看大小又看方向 问题2 请同学们回顾平面向量的概念及表示，类比给出空间向量的概念及表示. 平面 空间 概念 在平面内，把具有大小和方向的量叫做平面向量； 平面向量的大小叫做长度或模. 在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量； 空间向量的大小叫做长度或模. 表示 印刷体用表示；手写用,,表示； 几何表示，用有向线段，其中起点是A，终点是B. 看大小 看方向 既看大小又看方向 问题2 请同学们回顾平面向量的概念及表示，类比给出空间向量的概念及表示. 平面 空间 概念 在平面内，把具有大小和方向的量叫做平面向量； 平面向量的大小叫做长度或模. 在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量； 空间向量的大小叫做长度或模. 表示 印刷体用表示；手写用,,表示； 几何表示，用有向线段，其中起点是A，终点是B. 印刷体用表示；手写用,,表示； 几何表示，用有向线段，其中起点是A，终点是B. 看大小 看方向 既看大小又看方向 问题2 请同学们回顾平面向量的概念及表示，类比给出空间向量的概念及表示. 平面 空间 概念 在平面内，把具有大小和方向的量叫做平面向量； 平面向量的大小叫做长度或模. 在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量； 空间向量的大小叫做长度或模. 表示 印刷体用表示；手写用,,表示； 几何表示，用有向线段，其中起点是A，终点是B. 印刷体用表示；手写用,,表示； 几何表示，用有向线段，其中起点是A，终点是B. 看大小 有向线段的长度表示平面向量的模，记作或. 长度为0的向量叫做零向量，记作，零向量的起点与终点重合. 模为1的向量叫做单位向量. 看方向 既看大小又看方向 问题2 请同学们回顾平面向量的概念及表示，类比给出空间向量的概念及表示. 平面 空间 概念 在平面内，把具有大小和方向的量叫做平面向量； 平面向量的大小叫做长度或模. 在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量； 空间向量的大小叫做长度或模. 表示 印刷体用表示；手写用,,表示； 几何表示，用有向线段，其中起点是A，终点是B. 印刷体用表示；手写用,,表示； 几何表示，用有向线段，其中起点是A，终点是B. 看大小 有向线段的长度表示平面向量的模，记作或. 长度为0的向量叫做零向量，记作，零向量的起点与终点重合. 模为1的向量叫做单位向量. 有向线段的长度表示平面向量的模，记作或. 长度为0的向量叫做零向量，记作，零向量的起点与终点重合. 模为1的向量叫做单位向量. 看方向 既看大小又看方向 问题2 请同学们回顾平面向量的概念及表示，类比给出空间向量的概念及表示. 平面 空间 概念 在平面内，把具有大小和方向的量叫做平面向量； 平面向量的大小叫做长度或模. 在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量； 空间向量的大小叫做长度或模. 表示 印刷体用表示；手写用,,表示； 几何表示，用有向线段，其中起点是A，终点是B. 印刷体用表示；手写用,,表示； 几何表示，用有向线段，其中起点是A，终点是B. 看大小 有向线段的长度表示平面向量的模，记作或. 长度为0的向量叫做零向量，记作，零向量的起点与终点重合. 模为1的向量叫做单位向量. 有向线段的长度表示平面向量的模，记作或. 长度为0的向量叫做零向量，记作，零向量的起点与终点重合. 模为1的向量叫做单位向量. 看方向 表示平面向量的有向线段所在的直线相互平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量.规定：零向量与任意向量平行. 既看大小又看方向 问题2 请同学们回顾平面向量的概念及表示，类比给出空间向量的概念及表示. 平面 空间 概念 在平面内，把具有大小和方向的量叫做平面向量； 平面向量的大小叫做长度或模. 在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量； 空间向量的大小叫做长度或模. 表示 印刷体用表示；手写用,,表示； 几何表示，用有向线段，其中起点是A，终点是B. 印刷体用表示；手写用,,表示； 几何表示，用有向线段，其中起点是A，终点是B. 看大小 有向线段的长度表示平面向量的模，记作或. 长度为0的向量叫做零向量，记作，零向量的起点与终点重合. 模为1的向量叫做单位向量. 有向线段的长度表示平面向量的模，记作或. 长度为0的向量叫做零向量，记作，零向量的起点与终点重合. 模为1的向量叫做单位向量. 看方向 表示平面向量的有向线段所在的直线相互平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量.规定：零向量与任意向量平行. 表示若干空间向量的有向线段所在的直线相互平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量.规定：零向量与任意向量平行. 既看大小又看方向 问题2 请同学们回顾平面向量的概念及表示，类比给出空间向量的概念及表示. 平面 空间 概念 在平面内，把具有大小和方向的量叫做平面向量； 平面向量的大小叫做长度或模. 在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量； 空间向量的大小叫做长度或模. 表示 印刷体用表示；手写用,,表示； 几何表示，用有向线段，其中起点是A，终点是B. 印刷体用表示；手写用,,表示； 几何表示，用有向线段，其中起点是A，终点是B. 看大小 有向线段的长度表示平面向量的模，记作或. 长度为0的向量叫做零向量，记作，零向量的起点与终点重合. 模为1的向量叫做单位向量. 有向线段的长度表示平面向量的模，记作或. 长度为0的向量叫做零向量，记作，零向量的起点与终点重合. 模为1的向量叫做单位向量. 看方向 表示平面向量的有向线段所在的直线相互平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量.规定：零向量与任意向量平行. 表示若干空间向量的有向线段所在的直线相互平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量.规定：零向量与任意向量平行. 既看大小又看方向 与向量长度相等而方向相反的向量，叫做的相反向量，记作. 方向相同且模相等的向量叫做相等向量. 问题2 请同学们回顾平面向量的概念及表示，类比给出空间向量的概念及表示. 平面 空间 概念 在平面内，把具有大小和方向的量叫做平面向量； 平面向量的大小叫做长度或模. 在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量； 空间向量的大小叫做长度或模. 表示 印刷体用表示；手写用,,表示； 几何表示，用有向线段，其中起点是A，终点是B. 印刷体用表示；手写用,,表示； 几何表示，用有向线段，其中起点是A，终点是B. 看大小 有向线段的长度表示平面向量的模，记作或. 长度为0的向量叫做零向量，记作，零向量的起点与终点重合. 模为1的向量叫做单位向量. 有向线段的长度表示平面向量的模，记作或. 长度为0的向量叫做零向量，记作，零向量的起点与终点重合. 模为1的向量叫做单位向量. 看方向 表示平面向量的有向线段所在的直线相互平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量.规定：零向量与任意向量平行. 表示若干空间向量的有向线段所在的直线相互平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量.规定：零向量与任意向量平行. 既看大小又看方向 与向量长度相等而方向相反的向量，叫做的相反向量，记作. 方向相同且模相等的向量叫做相等向量. 与向量长度相等而方向相反的向量，叫做的相反向量，记作. 方向相同且模相等的向量叫做相等向量. 追问 从空间向量的相等概念出发，你对共线向量，平行向量有什么认识？任给两个向量，它们一定共面吗，为什么？ 第一，空间向量是自由的，可以将他们在空间中进行平移 第二，因为向量可以平移，所以共线向量和平行向量本质相同 第三，空间任意两个向量，都可以平移到同一个平面内 任意两个向量一定共面. 第四，涉及空间两个向量的问题，平面向量中的有关结论仍适用 问题3 数学中，引进一种量后，一个很自然的问题就是要研究它的运算.你认为空间向量的线性运算与平面向量的线性运算有什么关系，为什么？你能类比平面向量的线性运算给出空间向量的加法以及数乘运算的定义吗？ 平面 空间 加法 三角形法则：首尾相接 平行四边形法则：起点重合 减法 数乘 问题3 数学中，引进一种量后，一个很自然的问题就是要研究它的运算.你认为空间向量的线性运算与平面向量的线性运算有什么关系，为什么？你能类比平面向量的线性运算给出空间向量的加法以及数乘运算的定义吗？ 平面 空间 加法 三角形法则：首尾相接 平行四边形法则：起点重合 三角形法则：首尾相接 平行四边形法则：起点重合 减法 数乘 问题3 数学中，引进一种量后，一个很自然的问题就是要研究它的运算.你认为空间向量的线性运算与平面向量的线性运算有什么关系，为什么？你能类比平面向量的线性运算给出空间向量的加法以及数乘运算的定义吗？ 平面 空间 加法 三角形法则：首尾相接 平行四边形法则：起点重合 三角形法则：首尾相接 平行四边形法则：起点重合 减法 三角形法则：起点重合 数乘 问题3 数学中，引进一种量后，一个很自然的问题就是要研究它的运算.你认为空间向量的线性运算与平面向量的线性运算有什么关系，为什么？你能类比平面向量的线性运算给出空间向量的加法以及数乘运算的定义吗？ 平面 空间 加法 三角形法则：首尾相接 平行四边形法则：起点重合 三角形法则：首尾相接 平行四边形法则：起点重合 减法 三角形法则：起点重合 三角形法则：起点重合 数乘 问题3 数学中，引进一种量后，一个很自然的问题就是要研究它的运算.你认为空间向量的线性运算与平面向量的线性运算有什么关系，为什么？你能类比平面向量的线性运算给出空间向量的加法以及数乘运算的定义吗？ 平面 空间 加法 三角形法则：首尾相接 平行四边形法则：起点重合 三角形法则：首尾相接 平行四边形法则：起点重合 减法 三角形法则：起点重合 三角形法则：起点重合 数乘 当时，与方向相同，且 当时，与方向相反，且 当时，为零向量 问题3 数学中，引进一种量后，一个很自然的问题就是要研究它的运算.你认为空间向量的线性运算与平面向量的线性运算有什么关系，为什么？你能类比平面向量的线性运算给出空间向量的加法以及数乘运算的定义吗？ 追问 向量线性运算的结果，与向量起点的选择有关系吗？ 向量的线性运算的结果，与向量起点的选择无关 平面 空间 加法 三角形法则：首尾相接 平行四边形法则：起点重合 三角形法则：首尾相接 平行四边形法则：起点重合 减法 三角形法则：起点重合 三角形法则：起点重合 数乘 当时，与方向相同，且 当时，与方向相反，且 当时，为零向量 当时，与方向相同，且 当时，与方向相反，且 当时，为零向量 问题4 类比平面向量的研究过程，我们知道，定义了一种运算就要研究它的运算律.你能类比平面向量线性运算的运算律猜想空间向量线性运算的运算律吗？ 交换律：； 结合律：；； 分配律：；. 追问1 你能证明这些运算律吗？ 如图，在平行六面体中，分别标出，表示的向量 ，从中你能体会向量加法的交换律和结合律吗？一般地，三个不共面的向量的和与这三个向量有什么关系？ 如图，在平行六面体中，分别标出，表示的向量 ，从中你能体会向量加法的交换律和结合律吗？一般地，三个不共面的向量的和与这三个向量有什么关系？ 一般地，对于三个不共面的向量,,，以任意点为起点为 邻边作平行六面体，则的和等于以为起点的平行六面体对 角线所表示的向量. 追问2 经历了上面的研究过程，你能总结出空间向量加法的性质吗？ （1）首尾相连的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量终点的向量，求空间若干向量之和时，可通过平移将它们转化为首尾相接的向量 （2）若首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则他们的和为 （3）类比平面中求两个向量和的问题可以与平行四边形的对角建立联系，求三个不共面向量和的问题，可以与这三个向量为边的平行六面体的对角线建立联系 例1　(1)下列关于空间向量的说法中正确的是 A.单位向量都相等 B.若|a|＝|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反 D.相等向量其方向必相同 √ A中，单位向量长度相等，方向不确定； B中，|a|＝|b|只能说明a，b的长度相等而方向不确定； C中，向量不能比较大小. (2)(多选)下列命题为真命题的是 A.若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b B.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有 C.若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p D.空间中，若a∥b，b∥c，则a∥c √ √ A为假命题，根据向量相等的定义知，两向量相等，不仅模要相等，而且还要方向相同，而A中向量a与b的方向不一定相同； C为真命题，向量的相等满足传递性； D为假命题，平行向量不一定具有传递性，当b＝0时，a与c不一定平行. 跟踪训练1　(多选)下列说法错误的是 A.任意两个空间向量的模能比较大小 B.将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆 C.空间向量就是空间中的一条有向线段 D.不相等的两个空间向量的模必不相等 √ √ √ 对于选项A，向量的模即向量的长度，是一个数量，所以任意两个向量的模可以比较大小； 对于选项B，其终点构成一个球面； 对于选项C，零向量不能用有向线段表示； 对于选项D，两个向量不相等，它们的模可以相等. 例2　(1)(多选)如图，在长方体ABCD －A1B1C1D1中，下列各式运算结果为 的是 √ √ √ 跟踪训练2　如图，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，E，F，G分别是BC，CD，DB的中点，请化简以下式子，并在图中标出化简结果. 例3　(1)(多选)已知m，n是实数，a，b是空间任意向量，下列命题正确的是 A.m(a－b)＝ma－mb B.(m－n)a＝ma－na C.若ma＝mb，则a＝b D.若ma＝na，则m＝n √ √ m(a－b)＝ma－mb，A对； (m－n)a＝ma－na，B对； 若m＝0，则a，b不一定相等，C错； 若a＝0，则m，n不一定相等，D错. (2)如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设 M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量： （1）∵P是C1D1的中点， （2）∵N是BC的中点， （3）∵M是AA1的中点， （1）因为P，N分别是C1D1，BC的中点， 延伸探究 跟踪训练3　如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M是棱BB1的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量. （2）∵M是BB1的中点， 1.(多选)下列命题中，真命题是 A.同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 B.两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同 C.只有零向量的模等于0 D.共线的单位向量都相等 容易判断D是假命题，共线的单位向量是相等向量或相反向量. √ √ √ √ 3.设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且 则四边形ABCD是 A.平行四边形 B.空间四边形 C.等腰梯形 D.矩形 ∴四边形ABCD为平行四边形. √ 4.已知四边形ABCD为正方形，P是四边形ABCD所在平面外一点，点P在平面ABCD上的射影恰好是正方形的中心O，Q是CD的中点，若 ，则x＝______，y＝______. C.若向量，满足||>||，则> ＝ B为真命题，与的方向相同，模也相等，故＝； A.－－ B.＋－ C.－－ D.－＋ A中，－－＝－＝； B中，＋－＝＋＝； C中，－－＝－＝－＝≠； D中，－＋＝＋＋＝＋≠. (2)对于空间中的非零向量，，，其中一定不成立的是 A.＋＝ B.－＝ C.||＋||＝|| D.||－||＝|| 根据空间向量的加减法运算，对于A，＋＝恒成立； 对于C，当，方向相同时，有||＋||＝||； 对于D，当，方向相同且||≥||时，有||－||＝||； 对于B，由向量减法可知－＝，又为非零向量，所以B一定不成立. (1)＋－； （1）＋－＝＋＋＝＋＝，如图中向量. （2）如图，连接GF，＝，－－＝＋＋＝ ＋＝，如图中向量. (2)－－. ∴＝＋＋＝－a＋b＋＝－a＋b＋＝－a＋b＋c. ③. ∴＝＋＝＋＝－a＋＝a＋b＋c. ＝a，＝b， ＝c， ①； ②； ③. ∴＝＋＋＝a＋＋＝a＋c＋＝a＋b＋c. ②； 1. 本例(2)的条件不变，试用a，b，c表示向量. 2.若把本例(2)中“P是C1D1的中点”改为“P在线段C1D1上，且＝”，其他条件不变，如何表示？ 所以＝＋＋＝＋(－)＋＝－a＋b－c. （2）＝＋＝＋＋＝a＋c＋b. (3)－－－. ∴＝，又＝， ∴＋＋＝＋＝. （3）－－－＝(＋)－(＋)＝－＝. (1)＋； （1）＋＝. (2)＋＋； 2.化简－＋所得的结果是 A. B. C.0 D. －＋＝＋＝－＝0. ＋＝＋， ∵＋＝＋， ∴＝. ∴∥且||＝||. ＝＋x＋y － － 由图可知，因为＝－＝－(＋)＝－－， 所以x＝y＝－. $$