9.1不等式2023-2024学年人教版七年级下册数学同步讲义

9.1不等式 明确学习目标 课标要求 理解不等式的概念，掌握不等式的性质 重点难点 理解掌握不等式的性质 知晓结构体系 1夯实必备知识 考点1 不等式的相关概念 1．不等式 用符号 ＜或＞ 表示大小关系的式子，叫作不等式．像a3这样用符号“”表示不等关系的式子也是不等式； 2．不等式的解 能使不等式成立的未知数的 值 叫做不等式的解．如x=-5是不等式x+2<0的解； 3．不等式的解集 （1）对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．如x>3是不等式x-3>0的解集； （2）不等式解集的数轴表示 不等式表示 数轴表示 4．解不等式 求不等式的 解集 的过程叫做解不等式． 考点2 不等式的性质 不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c 不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)． 不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或) 2提升学科能力 一、题点一 不等式的定义 1．下列各式：①，②，③，④，⑤，其中属于不等式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列各式中：①；②；③；④；⑤，其中不等式的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．在通过桥洞时，我们往往会看到如图所示的标志，这是限制车高的标志，下列车高中， 不能通过桥洞的是（   ） A． B． C． D． 4．下列各式中，不是不等式的是（    ） A． B． C． D． 5．列不等式表示下列数量关系：c的一半与d的差不小于： ． 二、题点二不等式的解集 6．是下列不等式（    ）的一个解． A． B． C． D． 7．下列说法正确的是（    ） A．是不等式的解 B．不等式的整数解只有 C．不等式的解集是 D．是不等式的解 8．下列说法正确的有（　　） ①不是不等式的解； ②不等式的解集是； ③不等式的负数解有无限多个； ④不等式的负数解有无限多个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．请写出一个关于x的不等式，使，3都是它的解 ． 10．若实数满足，求的值是 ． 11．已知关于的不等式的解集是，求不等式的解集 三、题点三 不等式的性质 12．已知，下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 13．实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 14．如果，那么下列运算不正确的是 （ ） A． B． C． D． 15．如果，那么下列不等式变形正确的是（    ） A． B． C． D． 16．已知，则下列四个不等式不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 9.1不等式 明确学习目标 课标要求 理解不等式的概念，掌握不等式的性质 重点难点 理解掌握不等式的性质 知晓结构体系 1夯实必备知识 考点1 不等式的相关概念 1．不等式 用符号 ＜或＞ 表示大小关系的式子，叫作不等式．像a3这样用符号“”表示不等关系的式子也是不等式； 2．不等式的解 能使不等式成立的未知数的 值 叫做不等式的解．如x=-5是不等式x+2<0的解； 3．不等式的解集 （1）对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．如x>3是不等式x-3>0的解集； （2）不等式解集的数轴表示 不等式表示 数轴表示 4．解不等式 求不等式的 解集 的过程叫做解不等式． 考点2 不等式的性质 不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c 不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)． 不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或) 2提升学科能力 一、题点一 不等式的定义 1．下列各式：①，②，③，④，⑤，其中属于不等式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了不等式的定义，解题的关键是掌握用不等号连接的式子是不等式． 根据不等式的定义：用不等号连接的式子是不等式，逐个进行判断即可． 【详解】解：①，是不等式，符合题意； ②，是不等式，符合题意； ③，是等式，不符合题意； ④，是多项式，不符合题意； ⑤，是不等式，符合题意； 综上：是不等式的有①②⑤，共3个， 故选：C． 2．下列各式中：①；②；③；④；⑤，其中不等式的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查不等式的定义：用“”不等号表示不相等关系的式子是不等式，熟练掌握不等式的定义是解题的关键．根据不等式定义可得答案． 【详解】解：①；②；③；④；⑤， 其中是不等式的有：①；③；④， ②是等式，⑤是整式， 故不等式的个数为3， 故选：C． 3．在通过桥洞时，我们往往会看到如图所示的标志，这是限制车高的标志，下列车高中， 不能通过桥洞的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查不等式，熟练掌握不等式的定义是解决本题的关键．根据不等式的定义解决此题． 【详解】解：设桥洞的高， 由题意可得，． 故选：D． 4．下列各式中，不是不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了不等式的定义，用不等号连接的式子叫做不等式，据此求解即可． 【详解】解：根据不等式的定义可知，四个式子中只有B选项中的式子不是不等式， 故选：B． 5．列不等式表示下列数量关系：c的一半与d的差不小于： ． 【答案】 【分析】本题考查了列不等式．读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．c的一半即，与d的差即，不小于用连接，然后可得不等式．． 【详解】解：根据题意得：， 故答案为：． 二、题点二不等式的解集 6．是下列不等式（    ）的一个解． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的解，解题的关键是理解不等式的解的意义；把分别代入各选项判定即可； 【详解】解：、当时，，故本选项不符合题意； 、当时，，故本选项不符合题意； 、当时，，故本选项不符合题意； 、当时，，故本选项符合题意； 故选：． 7．下列说法正确的是（    ） A．是不等式的解 B．不等式的整数解只有 C．不等式的解集是 D．是不等式的解 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的解集和解不等式．根据解不等式，结合选项即可求解． 【详解】解：A. ∵，解得： ∴是不等式的解，故该选项正确，符合题意；     B. 不等式，解得：的正整数解只有，故该选项不正确，不符合题意； C. 不等式的解集是     D. ∵ ∴是不等式的解集，故该选项不正确，不符合题意； 故选：A． 8．下列说法正确的有（　　） ①不是不等式的解； ②不等式的解集是； ③不等式的负数解有无限多个； ④不等式的负数解有无限多个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】此题主要考查了不等式的解的定义，以及不等式的解集的定义，关键是熟练掌握两个定义．根据不等式的解的定义：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解；不等式的解集的定义：能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集，进行分析即可得到答案． 【详解】①不等式的解集为：， ∴不是不等式的解，正确； ②不等式的解集是，正确； ③不等式的负数解有无限多个，正确； ④不等式的负数解有无限多个，正确． 综上分析可知，此题正确的说法有4个． 故选：D． 9．请写出一个关于x的不等式，使，3都是它的解 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查不等式的解集．由，3均小于4可得． 【详解】解：由，3均小于3可得， 所以符合条件的不等式可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 10．若实数满足，求的值是 ． 【答案】5 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 根据被开方数的非负性，且，确定，得到，代入计算即可． 【详解】解：因为， 所以且， 所以， 解得， 所以， 所以， 故答案为：5． 11．已知关于的不等式的解集是，求不等式的解集 【答案】 【分析】先把原不等式系数化为1，表示出解集，根据已知解集确定出a与b的关系，即可求出所求不等式的解集． 【详解】解：不等式的解集是， ，且， ，， 整理，得：，， 把代入，得， 解得：， ， 解集为：， 把代入得：， 不等式的解集． 【点睛】本题考查了不等式的解集，利用不等式的解集得出的关系是解题关键． 三、题点三 不等式的性质 12．已知，下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质逐一判断即可求解，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：A、， ，则错误，故不符合题意； B、当，时， 则，，则错误，故不符合题意； C、， ，则正确，故符合题意； D、当，时， 则，，则错误，故不符合题意； 故选C． 13．实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是实数与数轴，能从数轴上提取已知条件是解题的关键；由数轴可知，由此逐一判断各选项即可． 【详解】解：由数轴可知， A、∵，∴，故该选项错误； B、∵，∴，故该选项错误； C、∵，∴，故该选项错误； D、∵，∴，故该选项正确； 故选：D． 14．如果，那么下列运算不正确的是 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，根据不等式的基本性质逐项判断即可． 【详解】解：因为， 两边都加上y，得， 所以A正确； 因为， 两边都减去3，得． 所以B不正确； 因为， 两边都乘以2，得． 所以C正确； 因为， 得． 所以D正确． 故选：B． 15．如果，那么下列不等式变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟悉不等式得基本性质是判断此题的关键．根据不等式的性质进行分析判断，判断依据：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变． 【详解】解：A、在不等式的两边同时乘以，不等号方向不改变，故此项符合题意； B、在不等式的两边同时乘以，不等号方向改变，故此项不符合题意； C、在不等式的两边同时减去3，不等号方向不改变，故此项不符合题意； D、在不等式的两边同时加上1，不等号方向不改变，故此项不符合题意． 故选：A． 16．已知，则下列四个不等式不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了不等式的性质，根据不等式的性质逐项进行判断即可． 【详解】解：A、在不等式的两边同时乘，不等号方向不变，即，必须规定，故本选项符合题意． B、因为，所以，在不等式的两边同时除以，不等号方向不变，即，故本选项不符合题意． C、在不等式的两边同时乘以，不等号方向改变，即，故本选项不符合题意． D、在不等式的两边同时加上5，不等号方向不变，即，故本选项不符合题意． 故选：A． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$