山东省济南市章丘区期中综合模拟测试卷 2023-2024学年北师大版数学九年级上册

山东省济南市章丘区期中综合模拟测试卷 时间 100分钟　　　满分 120分 一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分.每小题有四个选项,其中只有一个选项符合题意) 1.一元二次方程x2=2x的根为(　　) A.x=0 B.x=2 C.x=0或x=2 D.x=0或x=-2 2.两条对角线相等且互相垂直平分的四边形是(　　) A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 3.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,作OE∥AB,交BC于点E,则OE的长一定等于(　　) A.BE B.AO C.AD D.OB 　　　 第3题 第4题 4.如图,小明和小刚分别设计了两个转盘(每一个转盘中的扇形面积均相等),两人利用设计出的两个转盘进行“配紫色”游戏,即每人将各自设计的转盘转动一次,如果两个转盘上分别出现红色和蓝色,那就说明可以配成紫色,那么两人能配出紫色的概率是(　　) A. B. C. D. 5.若一元二次方程x2-4x-6=0有两实数根x1和x2,下列选项正确的是(　　) A.x1=x2 B.x1+x2=-4 C.x1x2=-6 D.x1+x2-x1x2=-2 6.做随机抛掷一枚质地不均匀的纪念币试验,得到的结果如下表所示: 抛掷次数m 500 1 000 1 500 2 000 2 500 3 000 4 000 5 000 “正面向上”的次数n 265 512 793 1 034 1 306 1 558 2 083 2 598 “正面向上”的频率 0.530 0.512 0.529 0.517 0.522 0.519 0.521 0.520 下面有3个推断: ①当抛掷次数是1 000时,“正面向上”的频率是0.512,所以“正面向上”的概率是0.512; ②随着试验次数的增加,“正面向上”的频率总在0.520附近摆动,显示出一定的稳定性,可以估计“正面向上”的概率是0.520; ③若再次做随机抛掷该纪念币的试验,则当抛掷次数为3 000时,出现“正面向上”的次数不一定是1 558次. 其中合理推断的序号是(　　) A.② B.①③ C.②③ D.①②③ 7.如图,在四边形ABCD中,AC垂直平分BD,AC,BD交于点O.关于四边形ABCD的形状,甲、乙、丙三人的说法如下: 甲:若AB∥CD,则四边形ABCD是菱形; 乙:若∠BAD=90°,则四边形ABCD是矩形; 丙:若∠ABC=∠BCD=90°,则四边形ABCD是正方形. 则说法正确的是(　　) A.甲、乙 B.甲、丙 C.乙、丙 D.甲、乙、丙 8.我国古代数学家杨辉所著的《田亩比类乘除捷法》中,有这样一道题:直田积八百六十四步,只云长阔共六十步,问长多阔几何?意思是:一块矩形田地的面积为864平方步,只知道它的长与宽的和是60步,问它的长比宽多多少步?经过计算,此矩形的长比宽多的步数是(　　) A.12 B.24 C.36 D.48 9.如图,矩形ABCD中,E为BC的中点,P为线段BE上的一个动点,连接AP,DP,AB=4,BC=10,当∠APD=90°时,AP的长为(　　) A.5 B.4 C.2 D.2 　　　　　 第9题 第10题 10.欧几里得的《原本》记载,形如x2+ax=b2的方程的图解法是:画Rt△ABC,使∠ACB=90°,BC=,AC=b,再在斜边AB上截取BD=,则该方程的一个正根是(　　) A.AC的长 B.AD的长 C.BC的长 D.CD的长 二、填空题(共5小题,每小题3分,共15分) 11.如图,将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF,只需添加一个条件即可证明四边形ABED是菱形,这个条件可以是　　　　　　　　.(写出一个即可)  12.已知x=1是关于x的一元二次方程(m-1)x2+x-m2=0的一个根,则m的值是　　　　. 13.一个口袋中有红球、白球共10个,这些球除颜色外都相同.将口袋中的球搅拌均匀,从中随机摸出一个球,记下它的颜色后再放回口袋中,不断重复这一过程,共摸了100次球,发现有70次摸到红球,估计这个口袋中有　　　　个白球. 14.如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根,且其中一个根比另一个根大1,那么称这样的方程为“邻根方程”.已知关于x的方程x2-(m-1)x-m=0(m是常数)是“邻根方程”,则m的值为　　　　. 15.如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=5,点E为射线CD上一动点,沿BE所在直线折叠矩形,如果点C的对应点C'恰好落在射线DA上,那么此时线段DC'的长度为　　　　. 三、解答题(共8小题,共75分) 16.(8分)小明同学解一元二次方程x2-6x-1=0的过程如下. 解:x2-6x=1,　　　① x2-6x+9=1,　 ② (x-3)2=1,　 ③ x-3=±1,　 ④ x1=4,x2=2.　 ⑤ (1)小明解方程的方法是　　　　　; A.直接开平方法　　　B.因式分解法　　　C.配方法　　　　　　D.公式法 他的求解过程从第　　　　　步开始出现错误.  (2)解这个方程. 17.(8分)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°. (1)求作矩形ABCD;(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹) (2)在(1)的条件下,连接BD,若AB=3,BC=1,求BD的长. 18.(8分)已知:▱ABCD的两边AB,AD的长是关于x的方程x2-mx+-=0的两个实数根. (1)当m为何值时,▱ABCD是菱形? (2)若AB的长为2,那么▱ABCD的周长是多少? 19.(8分)在甲、乙两个不透明的口袋中,分别有大小、材质完全相同的小球,其中甲口袋中的小球上分别标有数字1,2,3,4,乙口袋中的小球上分别标有数字2,3,4.先从甲口袋中任意摸出一个小球,记下数字为m,再从乙口袋中任意摸出一个小球, 记下数字为n. (1)请用列表或画树状图的方法表示出(m,n)所有可能的结果; (2)若m,n都是方程x2-7x+12=0的解,则小明获胜;若m,n都不是方程x2-5x+6=0的解,则小利获胜,则他们两人谁获胜的概率大? 20.(10分)某校开设了书画、器乐、戏曲和棋类四类兴趣课程,为了解全校学生对每类兴趣课程的选择情况,随机抽取若干名学生进行调查(每人必选且只能选一类).现将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图: (1)本次随机调查抽取了多少名学生? (2)补全条形统计图中书画和戏曲的空缺部分; (3)若该校共有1 600名学生,请估计全校选择戏曲课程的学生有多少名; (4)学校从这四类兴趣课程中随机抽取两类参加“全市青少年才艺展示活动”,用列表或画树状图的方法求出恰好抽到器乐和戏曲课程的概率. 21.(10分)如图(1),在正方形ABCD中,点P是对角线BD上的一点,点E在AD的延长线上,且PA=PE,PE交CD于点F,连接PC. (1)求∠CPE的度数; (2)把正方形ABCD改为菱形ABCD,其他条件不变,如图(2),当∠ABC=120°时,连接CE,试探究线段AP与线段CE的数量关系,并说明理由. 　 图(1) 图(2) 22.(11分)如图,在矩形ABCD中,边AB,BC的长(AB<BC)是方程x2-7x+12=0的两个根.点P从点A出发,以每秒1个单位长度的速度沿A→B→C→A的方向运动,运动时间为t秒. (1)求AB与BC的长; (2)当点P运动到边BC上时,试求出使AP长为时的运动时间t的值; (3)当点P运动到边AC上时,是否存在点P,使△CDP是等腰三角形?若存在,请求出运动时间t的值;若不存在,请说明理由. 23.(12分)综合与实践 问题情境 数学活动课上,老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题,开展数学活动,如图(1),在矩形ABCD中,AB=8,BC=4. 观察发现 (1)如图(2),智慧小组连接对角线BD,将矩形纸片ABCD沿直线BD折叠,使点A落在点P的位置,PB交CD于点Q,连接AP.直接写出图中所有的等腰三角形:　　　　　　　　　.(不再添加字母)  探究证明 (2)求实小组在智慧小组的启发下,又对矩形纸片ABCD进行了如下操作,并对其中所产生的问题进行了探究: 如图(3),沿过点A的直线折叠,使点B的对应点F落在CD上,折痕交BC于点E,过点F作FG∥BC交AE于点G,连接BG. ①小组成员发现四边形BEFG是特殊四边形,请你判断四边形BEFG的形状,并说明理由; ②小组成员通过计算求得四边形BEFG的面积,请你直接写出这个面积:　　　　.  探索拓广 (3)参照上面的探究方式,对图(1)进行一次折叠操作,使点B的对应点B'落在BD的三等分点上,设折痕与AB交于点N,请直接写出BN的长. 　　　 图(1)　　　　　　　　图(2)　　　　　　　图(3) 参考答案 选择题、填空题答案速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C D A C C C B A D B 11.AB=AD(答案不唯一) 12.0 13.3 14.0或-2 15.1或9 16.【参考答案】(1)C　② (4分) (2)x2-6x=1, x2-6x+9=1+9, (x-3)2=10, x-3=±, x=3±, x1=3+,x2=3-. (8分) 17.【参考答案】(1)如图,四边形ABCD就是所求作的矩形. (4分) (2)在矩形ABCD中,AB=3,BC=1,∴AD=BC=1, ∴BD===. (8分) 18.【解题思路】(1)根据菱形的性质可得出AB=AD,根据Δ=0即可求出m的值;(2)将x=2代入原方程求出m的值,再将m的值代入原方程,解方程即可求出AD的长,进而可求出▱ABCD的周长. 【参考答案】(1)∵四边形ABCD是菱形, ∴AB=AD, ∴关于x的方程x2-mx+-=0有两个相等的实数根, ∴Δ=(-m)2-4(-)=m2-2m+1=(m-1)2=0, ∴当m=1时,四边形ABCD是菱形. (3分) (2)∵AB=2, ∴x=2是关于x的方程x2-mx+-=0的一个根. 把x=2代入x2-mx+-=0中, 得4-2m+-=0,解得m=. (5分) 把m=代入x2-mx+-=0中, 得x2-x+1=0,解得x1=2,x2=. ∴AD=.∴▱ABCD的周长是2×(2+)=5. (8分) 19.【参考答案】(1)画树状图如图所示. (3分) (2)解方程x2-7x+12=0得x=3或x=4, 解方程x2-5x+6=0得x=2或x=3, 由树状图得,共有12种等可能的结果,m,n都是方程x2-7x+12=0的解的结果有4种(包括m=n=3和m=n=4两种情况),m,n都不是方程x2-5x+6=0的解的结果有2种(m=1,n=4或m=4,n=4), ∴小明获胜的概率为=,小利获胜的概率为=. ∵>,∴小明获胜的概率大. (8分) 20.【参考答案】(1)30÷15%=200(名). 答:本次随机调查抽取了200名学生. (2分) (2)选择书画课程的学生有200×25%=50(名), 选择戏曲课程的学生有200-50-80-30=40(名). 补全条形统计图如图所示. (4分) (3)1 600×=320(名). (7分) 答:估计该校1 600名学生中选择戏曲课程的学生有320名. (4)分别用A,B,C,D表示书画、器乐、戏曲、棋类课程,画树状图如下: 由树状图知,共有12种等可能的结果,其中恰好抽到器乐和戏曲课程的结果有2种, 所以P(恰好抽到器乐和戏曲课程)==. (10分) 21.【参考答案】(1)∵四边形ABCD是正方形, ∴AD=DC,∠ADP=∠CDP=45°. 又PD=PD,∴△ADP≌△CDP,∴∠DAP=∠DCP. ∵PA=PE,∴∠DAP=∠E,∴∠DCP=∠E. ∵∠CFP=∠EFD, ∴180°-∠PFC-∠PCF=180°-∠DFE-∠E, 即∠CPE=∠EDF=90°. (4分) (2)AP=CE. (5分) 理由:∵四边形ABCD是菱形,∠ABC=120°, ∴AB=BC,∠ABP=∠CBP=60°. 又PB=PB, ∴△ABP≌△CBP, ∴PA=PC,∠BAP=∠BCP, ∴∠DAP=∠DCP. ∵PA=PE, ∴PC=PE,∠DAP=∠AEP, ∴∠DCP=∠AEP. ∵∠CFP=∠EFD, ∴180°-∠CFP-∠PCF=180°-∠EFD-∠AEP, 即∠CPF=∠EDF=180°-∠ADC=180°-120°=60°, ∴△EPC是等边三角形, ∴PC=CE, ∴AP=CE. (10分) 22.【参考答案】(1)∵x2-7x+12=(x-3)(x-4)=0, ∴x1=3,x2=4, 则AB=3,BC=4. (3分) (2)由题意得32+(t-3)2=()2, ∴t1=4,t2=2(舍去), 则当t=4时,AP=. (6分) (3)存在点P,使△CDP是等腰三角形. ①当PC=CD=3时,t==10. (7分) ②当PD=PC(即P为对角线AC中点)时, ∵AB=3,BC=4, ∴AC==5,CP=AC= ∴t==. (8分) ③当PD=CD=3时,作DQ⊥AC于点Q. DQ==,PQ==,∴PC=2PQ=, ∴t==. (9分) 综上可知,当t为10或或时,△CDP是等腰三角形. (11分) 23.【参考答案】　(1)△ADP,△ABP,△BDQ (3分) (2)①四边形BEFG是菱形. 理由如下: 由折叠知∠BEG=∠FEG. ∵FG∥BC,∴∠EGF=∠BEG, ∴∠EGF=∠FEG, ∴FG=FE. 又∵FE=BE,∴FG=BE, ∴四边形BEFG是平行四边形. 又∵FE=BE, ∴四边形BEFG是菱形. (6分) ②224-128(9分) 解法提示:由折叠的性质知AF=AB=8. 在Rt△ADF中,由勾股定理得DF===4, ∴CF=8-4. 设BE=y,则EF=y,CE=4-y. 在Rt△CEF中,由勾股定理得EF2=CF2+CE2, 即y2=(8-4)2+(4-y)2,解得y=16-8, ∴S四边形BEFG=BE·CF =(16-8)×(8-4) =128-64-64+96 =224-128. (3)BN的长为或. (12分) 解法提示:分两种情况讨论. ①当点B'落在离点D较近的三等分点上时,如图(1),过点B'作B'H⊥AB于点H, 易知B'H=,BH=,B'N=BN,∴HN=-BN. 根据勾股定理,得B'H2+HN2=B'N2, 即()2+(-BN)2=BN2, ∴BN=. 　　　　　　 图(1)　　　　　　　　图(2) ②当点B'落在离点B较近的三等分点上时,如图(2),同理可求得BN=. 综上可知,BN的长为或. 学科网（北京）股份有限公司 $$