9.2 用样本估计总体（AB分层训练）-【冲刺满分】2023-2024学年高一数学重难点突破+分层训练同步精讲练（人教A版2019必修第二册）

9.2 用样本估计总体 1．（2024·四川泸州·三模）一组数据，，…，满足（），若去掉，后组成一组新数据，则新数据与原数据相比，下列说法正确的是（    ） A．方差变小 B．平均数变大 C．极差变大 D．中位数变小 2．（2024·陕西西安·模拟预测）某校为了解在校学生对中国传统文化的传承认知情况，随机抽取了100名学生进行中国传统文化知识考试，并将这100名学生成绩整理得到如下频率分布直方图．根据此频率分布直方图（分成，，，，，六组），下列结论中不正确的是（    ） A．图中的 B．若从成绩在，，内的学生中采用分层抽样抽取10名学生，则成绩在内的有3人 C．这100名学生成绩的中位数约为65 D．若同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，则这100名学生的平均成绩约为68.2 3．（23-24高三下·天津·阶段练习）将收集到的天津一中2021年高考数学成绩绘制出频率分布直方图，如图所示，则下列说法中不正确的是（   ） A． B．高三年级取得130分以上的学生约占总数的65% C．高三年级的平均分约为133.2 D．高三年级成绩的中位数约为125 4．（2024·湖南·二模）某10人的射击小组，在一次射击训练中射击成绩数据如下表，则这组数据的中位数为（    ） 成绩（单位：环） 6 7 8 9 10 人数 1 2 2 4 1 A．2 B．8 C．8.2 D．8.5 5．（2024·贵州·三模）在某学校的期中考试中，高一､高二､高三年级的参考人数分别为.现用分层抽样的方法从三个年级中抽取样本，经计算得高一､高二､高三年级数学成绩的样本平均数分别为，则全校学生数学成绩的总样本平均数为（    ） A．92 B．91 C．90 D．89 6．（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）样本数据15、13、12、31、29、23、43、19、17、38的中位数为（    ） A．19 B．23 C．21 D．18 7．（2024·甘肃兰州·一模）某校为了提高学生的安全意识，组织高一年级全体学生进行安全知识竞赛答题活动，随机抽取8人的得分作为样本，分数从低到高依次为:84，85，87，87，90，a，b，99，若这组数据的第75百分位数为94，则利用样本估计此次竞赛的平均分约为（    ） A．85 B．86 C．90 D．95 8．（23-24高三上·陕西西安·期末）跑步是一项健康的运动，可以让我们的身体更加强壮.某跑步爱好者坚持每天跑步，如图，这是该跑步爱好者某周跑步时长的折线图.该跑步爱好者这周跑步时长的中位数是（    ） A．25 B．35 C．37.5 D．39 9．（23-24高二上·上海·期末）某同学将观察学校柚子树生长习性作为自主研究课题，他观察了校园内6株柚子树成熟结果个数（两位数）并用茎叶图（如图所示）做了记录，则这6株柚子树成熟结果个数的中位数为（    ） A．21 B．21.5 C．22 D．22.5 10．（2024高一上·湖南邵阳·竞赛）如果将一组数据5、4、6、5、4、13、5依次重复写10次，会得到70个数组成的一组新数据，关于这组新数据的中位数、众数、平均数，下列说法正确的是（　　） A．中位数和众数都是5 B．众数是10 C．中位数是4 D．中位数、平均数都是5 11．（23-24高三下·浙江金华·阶段练习）（多选题）从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在之间，进行适当分组后（每组为左闭右开区间），画出频率分布直方图如图所示，记直方图中六个小矩形的面积从左到右依次为（，2，，6），则（    ） A．x的值为0.0044 B．这100户居民该月用电量的中位数为175 C．用电量落在区间内的户数为75 D．这100户居民该月的平均用电量为 12．（2024·全国·模拟预测）（多选题）在某市高三年级等行的一次数学期末考试中，为了解考生的成绩情况，随机抽取了50名考生的成绩，作出的频率分布直方图如图，成绩排在前的学生将获得“优秀学生”称号，则（    ） A．估计该市考生的成绩低于60分的比例为 B．估计该市考生成绩的众数为60 C．估计该市考生成绩的平均数为70.6 D．估计该市82分以上的考生将获得“优秀学生”称号 13．（23-24高二下·重庆·阶段练习）（多选题）在某次学科期末检测后，从全部考生中选取100名考生的成绩（百分制，均为整数）分成五组后，得到频率分布直方图（如右图），则下列说法正确的是（    ） A．图中的值为0.005 B．低于70分的考生人数约为40人 C．考生成绩的平均分约为73分 D．估计考生成绩第80百分位数为82.5分 14．（2024·贵州贵阳·一模）（多选题）某高中为增强学生的海洋国防意识，组织本校1000名学生参加了“逐梦深蓝，山河荣耀”的国防知识竞赛，从中随机抽取200名学生的竞赛成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．频率分布直方图中的值为0.005 B．估计这200名学生竞赛成绩的第60百分位数为80 C．估计这200名学生竞赛成绩的众数为78 D．估计总体中成绩落在内的学生人数为150 15．（23-24高二下·湖南长沙·阶段练习）（多选题）已知一组不全相等的样本数据，由生成一组新的样本数据，则新数据与原数据中可能相等的量有（    ） A．极差 B．平均数 C．中位数 D．标准差 16．（2024·山西·二模）（多选题）下列说法中正确的是（    ） A．用简单随机抽样的方法从含有10个个体的总体中抽取一个容量为2的样本，则每个个体被抽到的概率是0.2 B．已知一组数据2，2，，5，7的平均数为4，则这组数据的方差是 C．数据76，69，87，65，62，96，92，81，76，82的第70百分位数是82 D．若样本数据的标准差为5，则数据，，，的标准差为20 17．（2023·全国·模拟预测）（多选题）已知一组样本数据，，…，均为正数且互不相等．若由生成一组新的数据，，…，，则这组新数据与原数据可能相等的是（    ） A．中位数 B．极差 C．平均数 D．标准差 18．（2023·云南红河·一模）（多选题）近年来，各级党委政府，教育管理部门和学校高度重视“平安校园”建设，经过不懈努力，已取得了一定成效。某校法制副校长通过专题讲座的形式将平安校园知识普及至师生。为了了解讲座效果。随机抽取10名师生，让他们在讲座前和讲座后各回答一份平安校园知识答卷，这10名师生在讲座前和讲座后答卷的正确率如图所示： 讲座前后平安校园知识答题情况对比馈图 根据上列图表信息，下列说法正确的是（    ） A．讲座前问卷答题的正确率的中位数等于 B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于 C．讲座前问卷答题的正确率的上四分位数为 D．讲座后问卷答题的正确率极差小于讲座前正确率的极差 19．（2024·陕西西安·一模）某校高三年级在一次模拟训练考试后，数学教研组为了解学生数学学习现状和后期更有效的教学，从参加考试的学生中抽取了100名学生的数学成绩，进行统计分析，制作了频率分布直方图（如图）．其中，成绩分组区间为，．用样本估计总体，这次考试数学成绩的中位数的估计值为 ． 20．（23-24高二上·上海·期末）某学校组织全校学生参加网络安全知识竞赛，成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为，若该校的学生总人数为1000，则成绩不低于60分的学生人数为 . 21．（2024·山东济宁·一模）2024年1月九省联考的数学试卷出现新结构，其中多选题计分标准如下：①本题共3小题，每小题6分，满分18分；②每道小题的四个选项中有两个或三个正确选项，全部选对得6分，有选错的得0分；③部分选对得部分分（若某小题正确选项为两个，漏选一个正确选项得3分；若某小题正确选项为三个，漏选一个正确选项得4分，漏选两个正确选项得2分）．已知在某次新结构数学试题的考试中，小明同学三个多选题中第一小题确定得满分，第二小题随机地选了两个选项，第三小题随机地选了一个选项，则小明同学多选题所有可能总得分（相同总分只记录一次）的中位数为 ． 22．（2024高三·全国·专题练习）某学校高一年级在校人数为600人，其中男生320人，女生280人，为了解学生身高发展情况，按分层随机抽样的方法抽取50名男生身高为一个样本，其样本平均数为，抽取50名女生身高为一个样本，其样本平均数为，则该校高一学生的平均身高的估计值为 ． 23．（22-23高二上·四川攀枝花·期末）某学生的八次数学测验成绩（百分制）的茎叶图如图所示，则这八次成绩的中位数为 ．    24．（23-24高二上·四川成都·阶段练习）某班名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示．根据频率分布直方图，估计该班本次测试众数为 ． 25．（22-23高一下·福建三明·期末）某校对高二年级全体学生进行数学学科质量检测，按首选科目（物理和历史）进行分层抽样得到一个样本，样本中选物理类的学生占，该次质量检测的数学平均成绩为100分，选历史类的学生该次质量检测的数学平均成绩为80分，则可估计出该校全体高二学生本次数学质量检测的平均分是 ． 26．（22-23高一下·安徽合肥·期末）对某中学高一年级学生身高（单位：cm）的调查中，采用分层随机抽样的方法，抽取了男生23人，其身高的平均数为170.6，抽取了女生27人，其身高的平均数为160.6，则可估计高一年级全体学生身高的平均数为 . 27．（22-23高二下·四川泸州·期末）甲乙两名篮球运动员最近6场比赛的得分如茎叶图所示，若甲、乙的平均数相等，中位数也相等，则的值是 ． 28．（2023高二下·湖南·学业考试）为了解中学生的体育锻炼情况，现从某学校随机抽取了部分学生，对他们每天的体育锻炼时间进行统计分析，得到如图所示的频率分布直方图，估计该校学生每天的体育锻炼时间的众数是 分钟.    29．（2024·河南新乡·二模）若一组数据，，，，的平均数为3，方差为，则，，，，，9这6个数的平均数为 ，方差为 ． 30．（23-24高一下·江西·开学考试）已知样本的平均数为，方差为，样本，，，的平均数为，方差为，则新样本，，，，，，，的方差为 . 31．（22-23高一下·吉林·阶段练习）甲、乙两位射击爱好者，各射击10次，甲的环数从小到大排列为4，5，5，6，6，7，7，8，8，9，乙的环数小到大排列为2，5，6，6，7，7，7，8，9，10.若甲的方差为2.25，乙的方差为4.41，则这20个数据的方差为 . 32．（22-23高一下·山西·期末）某校高一年级的学生有300人，其中男生180人，女生120人.为了解该校高一年级学生的身高信息，采用样本量按比例分配的分层随机抽样抽取样本，计算得男生样本的平均数为（单位：cm），方差为，女生样本的平均数为（单位：cm），方差为，根据上述数据，估计该校高一年级学生身高的平均数为 ；方差为 . 33．（23-24高一下·浙江绍兴·期中）为了了解学生躯干、腰、髋等部位关节韧带和肌肉的伸展性、弹性等，某学校对在校1500名学生进行了一次坐位体前屈测试，采用按学生性别比例分配的分层随机抽样抽取75人，已知这1500名学生中男生有900人，且抽取的样本中男生的平均数和方差分别为和，女生的平均数和方差分别为和． (1)求样本中男生和女生应分别抽取多少人； (2)求抽取的总样本的平均数，并估计全体学生的坐位体前屈成绩的方差． 34．（2024高一下·江苏·专题练习）某工厂人员及月工资构成如下： 人员 经理 管理人员 高级技工 工人 学徒 合计 月工资（元） 22 000 2 500 2 200 2 000 1 000 29 700 人数 1 6 5 10 1 23 合计 22 000 15 000 11 000 20 000 1 000 69 000 (1)指出这个表格中的众数、中位数、平均数； (2)这个表格中，平均数能客观地反映该工厂的月工资水平吗？为什么？ 35．（23-24高二上·广东珠海·开学考试）某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有20人，按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图．    (1)根据频率分布直方图，估计这20人的年龄的中位数和众数； (2)若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1，求这20人中35～45岁所有人的年龄的方差． 36．（23-24高二下·上海·阶段练习）本市某区对全区高中生的身高(单位：厘米)进行统计，得到如下的频率分布直方图． (1)若数据分布均匀， 用频率估计概率，则在全市随机取一名高中生，求其身高不低于180厘米的概率； (2)现从身高在区间的高中生中分层抽样抽取一个80人的样本，若身高在区间中样本的均值为176厘米，方差为10；身高在区间[180， 190)中样本的均值为184 厘米，方差为16，试求这80人的方差. 37．（23-24高二上·黑龙江大庆·开学考试）为了了解我市参加2018年全国高中数学联赛的学生考试结果情况，从中选取60名同学将其成绩（百分制，均为正数）分成，，，，，六组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形，回答下列问题： (1)求分数在内的频率，并补全这个频率分布直方图； (2)根据频率分布直方图，估计本次考试成绩的众数、平均数． 38．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）为了迎接2025年第九届亚冬会的召开，某班组织全班学生开展有关亚冬会知识的竞赛活动．已知该班男生35人，女生25人．根据统计分析，男生组成绩和女生组成绩的方差分别为，该班成绩的方差为，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 39．（2013高二·全国·竞赛）某班有48名学生，在一次考试中统计出平均分为70分，方差为75，后来发现有2名同学的分数登错了，甲实得80分却记成了50分，乙实得70分却记成了100分，则更正后平均分和方差分别是（    ）． A．70，50 B．70，75 C．70，72.5 D．65，70 40．（23-24高二上·浙江杭州·期中）甲、乙两同学对同一组数据进行分析，甲同学得到的数据均值为，方差为，乙同学不小心丢掉了一个数据，得到的均值仍为，方差为2，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D．与2的大小关系无法判断 41．（23-24高三上·云南曲靖·阶段练习）的监测值是用来评价环境空气质量的指标之一.划分等级为：日均值在以下，空气质量为一级；日均值在，空气质量为二级；日均值超过为超标.如图是某地8月1日至日的日均值（单位：）变化的折线图，下列关于日均值说法正确的是（    ）    A．这天日均值的百分位数为 B．前4天的日均值的极差小于后4天的日均值的极差 C．前4天的日均值的方差大于后4天的日均值的方差 D．这天的日均值的中位数为 42．（21-22高一下·福建泉州·期中）中国营养学会把走路称为“最简单、最优良的锻炼方式”，它不仅可以帮助减肥，还可以增强心肺功能、血管弹性、肌肉力量等．下图为甲、乙两人在同一星期内日步数的折线统计图：    则下列结论中正确的是（    ） A．这一星期内甲的日步数的第六十百分位数为12150 B．乙的日步数星期四比星期三增加了1倍以上 C．这一星期内甲的日步数的平均值小于乙 D．这一星期内甲的日步数的方差大于乙 43．（2023·上海徐汇·三模）一组样本数据的平均数为，标准差为.另一组样本数据，，…，的平均数为，标准差为.两组数据合成一组新数据，，…，，新数据的平均数为，标准差为，则（    ） A． B． C． D．与的大小与有关 44．（22-23高一下·安徽·阶段练习）小明在整理数据时得到了该组数据的平均数为20，方差为28，后来发现有两个数据记录有误，一个错将11记录为21，另一个错将29记录为19.在对错误的数据进行更正后，重新求得该组数据的平均数为，方差为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 45．（21-22高三·云南昆明·阶段练习）根据气象学上的标准，连续5天的日平均气温低于即为入冬，将连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是自然数）作为一组样本，现有4组样本①、②、③、④，依次计算得到结果如下： ①平均数； ②平均数且极差小于或等于3； ③平均数且标准差； ④众数等于5且极差小于或等于4． 则4组样本中一定符合入冬指标的共有（    ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 46．（22-23高三下·安徽亳州·开学考试）现有甲、乙两组数据，每组数据均由六个数组成，其中甲组数据的平均数为，方差为，乙组数据的平均数为，方差为．若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为（    ） A． B． C． D． 47．（23-24高三上·山东济南·阶段练习）（多选题）一组数据，记其中位数为k，均值为m，标准差为，由其得到新数据的标准差为，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 48．（2024·全国·模拟预测）（多选题）记男生样本的平均数为，方差为；女生样本的平均数为，方差为；男女总样本的平均数记为，方差为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D． 49．（21-22高二下·浙江绍兴·期末）（多选题）已知采用分层抽样得到的样本数据由两部分组成，第一部分样本数据的平均数为，方差为；第二部分样本数据的平均数为，方差为，设，则以下命题正确的是（    ） A．设总样本的平均数为，则 B．设总样本的平均数为，则 C．设总样本的方差为，则 D．若，则 50．（22-23高三上·湖北·阶段练习）利用分层随机抽样的方法，调研某校高二年级学生某次数学测验的成绩（满分分），获得样本数据的特征量如下表： 人数 平均成绩 方差 男生 女生 则总样本的平均分为 ，方差为 ． 参考公式：个数的平均数为，方差为 参考数据：． 51．（2023·吉林·模拟预测）若一组样本数据的平均数为10，另一组样本数据的方差为8，则两组样本数据合并为一组样本数据后的平均数是 ，方差是 . 52．（21-22高一·全国·课后作业）在分层抽样时，如果将总体分为k层，第j层抽取的样本量为，第j层的样本平均数为，样本方差为，，．记，则所有数据的样本方差为 ． 53．（21-22高二下·北京朝阳·期末）在一组数据0，3，5，7，10中加入一个整数a得到一组新数据，这组新数据与原数据相比平均数不增大且方差减小，则a的一个取值为 ． 54．（22-23高一上·湖南长沙·期末）为了落实习主席提出“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求.某市政府积极鼓励居民节约用水．计划调整居民生活用水收费方案.拟确定一个合理的月用水量标准x（吨）.一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费.超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况.通过抽样.获得了某年200位居民每人的月均用水量（单位：吨）.将数据按照[0.1）.[1.2）.….[8.9）分成9组.制成了如图所示的频率分布直方图.其中0.4a=b. (1)求直方图中a.b的值.并由频率分布直方图估计该市居民用水量的众数； (2)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨）.估计x的值． 55．（23-24高二上·上海黄浦·期末）某营养学研究人员用随机抽样的方法获得了某高校100名女大学生平均每日摄取的热量（单位：千大卡，1千大卡＝1000千卡），这组数据的频率分布直方图如图所示． (1)健康的成年女性每天需要摄取1.80~1.90千大卡（不含1.90千大卡）的热量，试估计该校有多少比例的女大学生摄取的热量在此范围之内； (2)已知摄取热量范围在的数据为：1.90，1.90，1.91，1.91，1.91，1.93，1.94，1.94，1.95，1.95，1.96，1.96， 1.97， 1.98，1.99．若1.91是这100个样本数据的第k百分位数，求正整数k的值． 56．（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期末）2023年秋末冬初，呼和浩特市发生了流感疾病. 为了彻底击败病毒，人们更加讲究卫生讲究环保. 某学校开展组织学生参加线上环保知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请回答下列问题： (1)若从成绩低于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩，求5人中成绩低于50分的人数； (2)以样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数； (3)首轮竞赛成绩位列前的学生入围第二轮的复赛，请根据图中信息，估计入围复赛的成绩（记为）. 57．（23-24高三上·湖北·阶段练习）联合国教科文组织确定每年的4月23日为“世界读书日”，以促进更多的人去阅读，享受阅读的乐趣．为建设读书校园，提升校园的读书氛围，市教育局准备在全市义务教育四年级至九年级学段开展“读书月”活动，活动前，为了解学生的阅读情况，从四年级至九年级在校学生中随机问卷调查了10000人，得到他们在过去一个月中平均每天课外的阅读时间t（单位：分钟），整理得到如右的频率分布直方图，已知这10000人的平均每天课外阅读时间的中位数是31． (1)求频率分布直方图中m、n的值； (2)若为整数，将本次调查中平均每天课外阅读时间的学生选为“读书月”活动的宣传大使，教育局准备至少选出1500名“读书月”宣传大使，求的最大值； (3)为了进一步了解学生的课外阅读习惯受电子产品的影响，由频率分布直方图中平均阅读时间在和两组学生中，按人数比例分配的分层抽样方法抽取了100名学生，已知组的学生平均每天花在电子产品上的时间为30分钟，方差为36，组的学生平均每天花在电子产品上的时间为20分钟，方差为16，求抽取的100名学生每天花在电子产品上的时间的方差． 58．（23-24高一上·河南·阶段练习）我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查.通过抽样，获得了某年200位居民家庭的月平均用水量（单位：吨），将数据按照，分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图. (1)求直方图中的值； (2)该市决定设置议价收费标准，用水量低于的居民家庭按照“民用价”收费，不低于的按照“商业价”收费，为保障有的居民能享受“民用价”，请设置该标准； (3)以每组数据的中点值作为该组数据的代表，分别是.规定“最佳稳定值”是这样一个量：与各组代表值的差的平方和最小.依此规定，请求出的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 9.2 用样本估计总体 1．（2024·四川泸州·三模）一组数据，，…，满足（），若去掉，后组成一组新数据，则新数据与原数据相比，下列说法正确的是（    ） A．方差变小 B．平均数变大 C．极差变大 D．中位数变小 【答案】A 【分析】根据极差，平均数，方差与中位数的定义计算出去掉前后的相关数据，比较后即可得解. 【详解】由于， 故，，……，，， 对B：原来的平均数为， 去掉后的平均数为， 平均数不变，故B错误； 对A：原来的方差为， 去掉后的方差为， 方差变小，故A正确； 对C：原来的极差为，去掉后，极差为， 极差变小，故C错误； 对D：原来的中位数与现在的中位数均为， 故中位数不变，故D错误. 故选：A. 2．（2024·陕西西安·模拟预测）某校为了解在校学生对中国传统文化的传承认知情况，随机抽取了100名学生进行中国传统文化知识考试，并将这100名学生成绩整理得到如下频率分布直方图．根据此频率分布直方图（分成，，，，，六组），下列结论中不正确的是（    ） A．图中的 B．若从成绩在，，内的学生中采用分层抽样抽取10名学生，则成绩在内的有3人 C．这100名学生成绩的中位数约为65 D．若同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，则这100名学生的平均成绩约为68.2 【答案】C 【分析】根据频率分布直方图的特点逐个进行分析计算即可. 【详解】由，得，所以A正确； 这100名学生中成绩在，，内的频率分别为0.2，0.12，0.08，所以采用分层抽样抽取的10名学生中成绩在内的有人，故B正确； 根据频率分布直方图，可知这100名学生成绩的中位数在之间，设中位数为，则，所以，故C错误； 根据频率分布直方图的平均数的计算公式，可得，D正确． 故选：C 3．（23-24高三下·天津·阶段练习）将收集到的天津一中2021年高考数学成绩绘制出频率分布直方图，如图所示，则下列说法中不正确的是（   ） A． B．高三年级取得130分以上的学生约占总数的65% C．高三年级的平均分约为133.2 D．高三年级成绩的中位数约为125 【答案】D 【分析】对于A，由各个矩形面积之和为1即可列式求解；对于B，求最右边两个矩形面积之和即可验算；对于C，D分别由平均数计算公式、中位数计算方法即可判断. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，高三年级取得130分以上的学生约占总数的，故B正确； 对于C，高三年级的平均分约为 ，故C正确； 对于D，设高三年级成绩的中位数为， 由于， 所以，故D不正确. 故选；D. 4．（2024·湖南·二模）某10人的射击小组，在一次射击训练中射击成绩数据如下表，则这组数据的中位数为（    ） 成绩（单位：环） 6 7 8 9 10 人数 1 2 2 4 1 A．2 B．8 C．8.2 D．8.5 【答案】D 【分析】利用中位数的定义即可得解. 【详解】将射击成绩由小到大排列：， 第个数分别为，因而中位数为. 故选：D. 5．（2024·贵州·三模）在某学校的期中考试中，高一､高二､高三年级的参考人数分别为.现用分层抽样的方法从三个年级中抽取样本，经计算得高一､高二､高三年级数学成绩的样本平均数分别为，则全校学生数学成绩的总样本平均数为（    ） A．92 B．91 C．90 D．89 【答案】C 【分析】利用分层抽样的特点及平均数公式即可求解. 【详解】由题意，总样本平均数为. 故选：C. 6．（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）样本数据15、13、12、31、29、23、43、19、17、38的中位数为（    ） A．19 B．23 C．21 D．18 【答案】C 【分析】根据中位数的定义即可求解. 【详解】将这10个数据从小到大排列为：12，13，15，17，19，23，29，31，38，43， 所以这组数据的中位数是． 故选：C． 7．（2024·甘肃兰州·一模）某校为了提高学生的安全意识，组织高一年级全体学生进行安全知识竞赛答题活动，随机抽取8人的得分作为样本，分数从低到高依次为:84，85，87，87，90，a，b，99，若这组数据的第75百分位数为94，则利用样本估计此次竞赛的平均分约为（    ） A．85 B．86 C．90 D．95 【答案】C 【分析】根据百分位数以及平均数的计算即可求解. 【详解】由于，所以这组数据的第75百分位数为第六个和第七个数的平均数， 故，故， 故平均数为， 故选：C 8．（23-24高三上·陕西西安·期末）跑步是一项健康的运动，可以让我们的身体更加强壮.某跑步爱好者坚持每天跑步，如图，这是该跑步爱好者某周跑步时长的折线图.该跑步爱好者这周跑步时长的中位数是（    ） A．25 B．35 C．37.5 D．39 【答案】B 【分析】直接由中位数的定义求解即可. 【详解】将该跑步爱好者这周的跑步时长按从小到大的顺序排列为， 则该跑步爱好者这周跑步时长的中位数是35. 故选：B. 9．（23-24高二上·上海·期末）某同学将观察学校柚子树生长习性作为自主研究课题，他观察了校园内6株柚子树成熟结果个数（两位数）并用茎叶图（如图所示）做了记录，则这6株柚子树成熟结果个数的中位数为（    ） A．21 B．21.5 C．22 D．22.5 【答案】B 【分析】利用中位数的定义，结合茎叶图列式计算即得. 【详解】由茎叶图知，这6株柚子树成熟结果个数的中位数为. 故选：B 10．（2024高一上·湖南邵阳·竞赛）如果将一组数据5、4、6、5、4、13、5依次重复写10次，会得到70个数组成的一组新数据，关于这组新数据的中位数、众数、平均数，下列说法正确的是（　　） A．中位数和众数都是5 B．众数是10 C．中位数是4 D．中位数、平均数都是5 【答案】A 【分析】根据平均数，众数，中位数的定义和性质即可求解. 【详解】将这组数据从小到大的顺序排列为4，4，5，5，5，6，13，处于中间位置的那个数是5， 每个数字重复写10次，5依然处于中间位置，由中位数的定义可知，这组新数据的中位数是5， 这组新数据中出现次数最多的数是5，出现了30次，所以众数为5，故A正确，BC错误． 平均数，故D错误． 故选：A 11．（23-24高三下·浙江金华·阶段练习）（多选题）从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在之间，进行适当分组后（每组为左闭右开区间），画出频率分布直方图如图所示，记直方图中六个小矩形的面积从左到右依次为（，2，，6），则（    ） A．x的值为0.0044 B．这100户居民该月用电量的中位数为175 C．用电量落在区间内的户数为75 D．这100户居民该月的平均用电量为 【答案】AD 【分析】根据频率分布直方图中频率之和为1即可判断A，根据中位数的计算即可求解B，根据频率即可求解C，根据平均数的计算即可判断D. 【详解】对于A，由频率分布直方图的性质可知， ， 解得，故A正确； 对于B，因为，， 所以中位数落在区间内，设其为， 则，解得，故B错误； 对于C，用电量落在区间，内的户数为 ，故C错误； 对于D，这100户居民该月的平均用电量为 ，故D正确. 故选：AD． 12．（2024·全国·模拟预测）（多选题）在某市高三年级等行的一次数学期末考试中，为了解考生的成绩情况，随机抽取了50名考生的成绩，作出的频率分布直方图如图，成绩排在前的学生将获得“优秀学生”称号，则（    ） A．估计该市考生的成绩低于60分的比例为 B．估计该市考生成绩的众数为60 C．估计该市考生成绩的平均数为70.6 D．估计该市82分以上的考生将获得“优秀学生”称号 【答案】AC 【分析】先利用直方图的性质，直接判断选项A， B， C；通过估算面积的方法，以样本频率估计总体概率来判断选项D. 【详解】对于A，由直方图的性质知：， 解得，所以样本成绩低于分的频率为； 所以以样本的频率估计总体概率，故A正确； 对于B，总体众数的估计值是直方图面积最大的直方块横坐标对应范围的中点值， 即众数为，故B错误； 对于C，总体平均数的估计值为各直方块中点值与各块面积的乘积的和， ，故C正确； 对于D，样本中分以上的占比， 估计总体荣获“优秀学生”的分数为：，故D错误. 故选：AC. 13．（23-24高二下·重庆·阶段练习）（多选题）在某次学科期末检测后，从全部考生中选取100名考生的成绩（百分制，均为整数）分成五组后，得到频率分布直方图（如右图），则下列说法正确的是（    ） A．图中的值为0.005 B．低于70分的考生人数约为40人 C．考生成绩的平均分约为73分 D．估计考生成绩第80百分位数为82.5分 【答案】ACD 【分析】利用频率分布直方图逐项求解 【详解】由，解得，故A对； 低于70分的考生人数约为，故B错； 考生成绩的平均分约为，故C对； 成绩落在内频率为， 落在内频率为， 故考生成绩第80百分位数落在，设为m， 由，解得， 故考生成绩第80百分位数为82.5分，故D对； 故选：ACD 14．（2024·贵州贵阳·一模）（多选题）某高中为增强学生的海洋国防意识，组织本校1000名学生参加了“逐梦深蓝，山河荣耀”的国防知识竞赛，从中随机抽取200名学生的竞赛成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．频率分布直方图中的值为0.005 B．估计这200名学生竞赛成绩的第60百分位数为80 C．估计这200名学生竞赛成绩的众数为78 D．估计总体中成绩落在内的学生人数为150 【答案】ABD 【分析】先根据频率之和为1可得，进而可得每组的频率，再结合统计相关知识逐项分析判断. 【详解】对于A，由，得，A正确； 对于B，由频率分布直方图知，每组的频率依次为. 前三组的频率和为，因此这200名学生竞赛成绩的第60百分位数为80，B正确； 对于C，成绩在的频率最大，因此这200名学生竞赛成绩的众数为75，C错误； 对于D，总体中成绩落在内的学生人数为，D正确. 故选：ABD 15．（23-24高二下·湖南长沙·阶段练习）（多选题）已知一组不全相等的样本数据，由生成一组新的样本数据，则新数据与原数据中可能相等的量有（    ） A．极差 B．平均数 C．中位数 D．标准差 【答案】BC 【分析】利用极差的定义可判断A选项；利用平均数公式可判断B选项；利用中位数的定义可判断C选项；利用方差公式可判断D选项. 【详解】A：不妨设，则的极差为的极差为， 因为不全相等，所以，故A错误； B|、C：设的平均数为，则的平均数为， 当时，，故B正确； 时，取为为，他们的中位数相等，故C正确； D：设的标准差为，则的标准差为， 因为不全相等，所以，故D错误． 故选：BC. 16．（2024·山西·二模）（多选题）下列说法中正确的是（    ） A．用简单随机抽样的方法从含有10个个体的总体中抽取一个容量为2的样本，则每个个体被抽到的概率是0.2 B．已知一组数据2，2，，5，7的平均数为4，则这组数据的方差是 C．数据76，69，87，65，62，96，92，81，76，82的第70百分位数是82 D．若样本数据的标准差为5，则数据，，，的标准差为20 【答案】AB 【分析】A选项，根据分层抽样的定义和概率性质得到答案；B选项，根据平均数公式得到方程，求出，再利用方差公式计算出结果；C选项，先对数据从小到大排序，再根据百分位数定义计算即可；D选项，先得到的方差，根据方差性质得到的方差，进而得到其标准差. 【详解】A选项，每个个体被抽到的概率为，故A正确； B选项，已知一组数据的平均数为4，则，解得， ，则这组数据的方差是，故B正确； C选项，这10个数据从小到大排列为， 由于，故选择第7和第8个数的平均数作为第70百分位数， 即，所以第70百分位数是84.5，故C错误； D选项，若样本数据的标准差为5，则的方差为25， 设的平均数为，则， ， 又， 故， 则的标准差为，故D错误． 故选：AB 17．（2023·全国·模拟预测）（多选题）已知一组样本数据，，…，均为正数且互不相等．若由生成一组新的数据，，…，，则这组新数据与原数据可能相等的是（    ） A．中位数 B．极差 C．平均数 D．标准差 【答案】AC 【分析】由样本特征数的概念进行判断. 【详解】不妨令． 对于A选项，当时，，，…，的中位数为，，，…，的中位数为，可知当时，中位数相等，故A正确； 对于B选项，，，…，的极差为，，，…，的极差为，因为，所以，故B错误； 对于C选项，设，，…，的平均数为，即， 所以，，…，的平均数为，由可知，当时，两组数据的平均数相等，故C正确； 对于D选项，设，，…，的标准差为，，，…，的标准差为， 则，， 因为，所以，则，故两组样本数据的标准差不可能相等，故D错误． 故选：AC 18．（2023·云南红河·一模）（多选题）近年来，各级党委政府，教育管理部门和学校高度重视“平安校园”建设，经过不懈努力，已取得了一定成效。某校法制副校长通过专题讲座的形式将平安校园知识普及至师生。为了了解讲座效果。随机抽取10名师生，让他们在讲座前和讲座后各回答一份平安校园知识答卷，这10名师生在讲座前和讲座后答卷的正确率如图所示： 讲座前后平安校园知识答题情况对比馈图 根据上列图表信息，下列说法正确的是（    ） A．讲座前问卷答题的正确率的中位数等于 B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于 C．讲座前问卷答题的正确率的上四分位数为 D．讲座后问卷答题的正确率极差小于讲座前正确率的极差 【答案】ACD 【分析】根据题意图中的数据分析，结合中位数、平均数、四分位数、极差的定义依次判断选项即可. 【详解】由图可知，讲座前问卷答题的正确率分别为 ， 讲座后问卷答题的正确率分别为 . 对于A，根据图象，讲座前问卷答题的正确率按小到大排列为 讲座前正确率的中位数为，故A正确； 对于B，讲座后正确率的平均数为，故B错误； 对于C，根据讲座前的数据，，所以排序后的第8个数据为，故C正确； 对于D，讲座前问卷答题的正确率的极差为， 讲座后10位居民问卷答题的正确率的极差为， ，故D正确； 故选：ACD． 19．（2024·陕西西安·一模）某校高三年级在一次模拟训练考试后，数学教研组为了解学生数学学习现状和后期更有效的教学，从参加考试的学生中抽取了100名学生的数学成绩，进行统计分析，制作了频率分布直方图（如图）．其中，成绩分组区间为，．用样本估计总体，这次考试数学成绩的中位数的估计值为 ． 【答案】 【分析】利用频率分布直方图计算、估计数学成绩的中位数. 【详解】观察频率分布直方图，得数学成绩在区间的频率为， 数学成绩在区间的频率为， 因此数学成绩的中位数，且，解得， 所以这次考试数学成绩的中位数的估计值为. 故答案为： 20．（23-24高二上·上海·期末）某学校组织全校学生参加网络安全知识竞赛，成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为，若该校的学生总人数为1000，则成绩不低于60分的学生人数为 . 【答案】 【分析】直接根据频率计算人数即可. 【详解】根据频率分布直方图得 该校的学生成绩不低于60分的学生人数为. 故答案为： 21．（2024·山东济宁·一模）2024年1月九省联考的数学试卷出现新结构，其中多选题计分标准如下：①本题共3小题，每小题6分，满分18分；②每道小题的四个选项中有两个或三个正确选项，全部选对得6分，有选错的得0分；③部分选对得部分分（若某小题正确选项为两个，漏选一个正确选项得3分；若某小题正确选项为三个，漏选一个正确选项得4分，漏选两个正确选项得2分）．已知在某次新结构数学试题的考试中，小明同学三个多选题中第一小题确定得满分，第二小题随机地选了两个选项，第三小题随机地选了一个选项，则小明同学多选题所有可能总得分（相同总分只记录一次）的中位数为 ． 【答案】11 【分析】列举出所有的得分情况，再结合中位数的概念求答案即可. 【详解】由题意得小明同学第一题得6分； 第二题选了2个选项，可能得分情况有3种，分别是得0分、4分和6分； 第二题选了1个选项，可能得分情况有3种，分别是得0分、2分和3分； 由于相同总分只记录一次，因此小明的总分情况有：6分、8分、9分、10分、12分、13分、14分、15分共8种情况， 所以中位数为， 故答案为：11. 22．（2024高三·全国·专题练习）某学校高一年级在校人数为600人，其中男生320人，女生280人，为了解学生身高发展情况，按分层随机抽样的方法抽取50名男生身高为一个样本，其样本平均数为，抽取50名女生身高为一个样本，其样本平均数为，则该校高一学生的平均身高的估计值为 ． 【答案】 【分析】由题意可知，，且根据样本平均数，求解即可. 【详解】由题意可知，，且 所以样本平均数， 故该校高一学生的平均身高的估计值为． 故答案为：. 23．（22-23高二上·四川攀枝花·期末）某学生的八次数学测验成绩（百分制）的茎叶图如图所示，则这八次成绩的中位数为 ．    【答案】83 【分析】由题中茎叶图可得八次成绩的具体数据，再根据中位数定义可得. 【详解】由题中茎叶图可得八次成绩的具体数据为： 69，72，75，82，84，86，90，95， 则中位数为. 故答案为：83. 24．（23-24高二上·四川成都·阶段练习）某班名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示．根据频率分布直方图，估计该班本次测试众数为 ． 【答案】 【分析】根据频率分布直方图，利用众数的估算公式运算即可得解. 【详解】解：由题意，因为众数的估计值是频率分布直方图中最高矩形底边的中点的横坐标， ∴众数为. 故答案为：. 25．（22-23高一下·福建三明·期末）某校对高二年级全体学生进行数学学科质量检测，按首选科目（物理和历史）进行分层抽样得到一个样本，样本中选物理类的学生占，该次质量检测的数学平均成绩为100分，选历史类的学生该次质量检测的数学平均成绩为80分，则可估计出该校全体高二学生本次数学质量检测的平均分是 ． 【答案】95 【分析】根据平均数的定义即可求解. 【详解】由题可知，样本中选历史类的学生占，所以估计该校全体高二学生本次数学质量检测的平均分为. 故答案为：95. 26．（22-23高一下·安徽合肥·期末）对某中学高一年级学生身高（单位：cm）的调查中，采用分层随机抽样的方法，抽取了男生23人，其身高的平均数为170.6，抽取了女生27人，其身高的平均数为160.6，则可估计高一年级全体学生身高的平均数为 . 【答案】165.2 【分析】根据平均数公式计算可得. 【详解】依题意可得高一年级全体学生身高的平均数为. 故答案为： 27．（22-23高二下·四川泸州·期末）甲乙两名篮球运动员最近6场比赛的得分如茎叶图所示，若甲、乙的平均数相等，中位数也相等，则的值是 ． 【答案】2 【分析】 根据题意结合平均数、中位数的定义运算求解. 【详解】由题意可知：甲的得分依次为：， 可得其平均数为，中位数为； 乙的得分依次为：， 可得其平均数为， 因为，可得， 因为，不妨设，可知 若，则，乙的中位数为，不合题意； 若，则，乙的中位数为，符合题意； 若，则，乙的中位数为，不合题意； 综上所述：，，可得. 故答案为：2. 28．（2023高二下·湖南·学业考试）为了解中学生的体育锻炼情况，现从某学校随机抽取了部分学生，对他们每天的体育锻炼时间进行统计分析，得到如图所示的频率分布直方图，估计该校学生每天的体育锻炼时间的众数是 分钟.    【答案】45 【分析】由频率分布直方图数据求解， 【详解】由图可知人数最多的组别在组， 故众数的估计值为45， 故答案为：45 29．（2024·河南新乡·二模）若一组数据，，，，的平均数为3，方差为，则，，，，，9这6个数的平均数为 ，方差为 ． 【答案】 【分析】利用平均数公式与方差公式求解即可. 【详解】依题意，知这6个数的平均数为， 又，得， 所以这6个数的方差为. 故答案为：；. 30．（23-24高一下·江西·开学考试）已知样本的平均数为，方差为，样本，，，的平均数为，方差为，则新样本，，，，，，，的方差为 . 【答案】 【分析】根据平均数和方差的计算公式，结合已知数据，即可求得新样本的平均数和方差. 【详解】由题意可知，，，，， 故新样本的平均数为， 其方差为 . 故答案为：. 31．（22-23高一下·吉林·阶段练习）甲、乙两位射击爱好者，各射击10次，甲的环数从小到大排列为4，5，5，6，6，7，7，8，8，9，乙的环数小到大排列为2，5，6，6，7，7，7，8，9，10.若甲的方差为2.25，乙的方差为4.41，则这20个数据的方差为 . 【答案】/3.34 【分析】根据方差的性质即可求解. 【详解】， ， 则这20个数据的平均值， 故这20个数据的方差为， 故答案为：3.34 32．（22-23高一下·山西·期末）某校高一年级的学生有300人，其中男生180人，女生120人.为了解该校高一年级学生的身高信息，采用样本量按比例分配的分层随机抽样抽取样本，计算得男生样本的平均数为（单位：cm），方差为，女生样本的平均数为（单位：cm），方差为，根据上述数据，估计该校高一年级学生身高的平均数为 ；方差为 . 【答案】 【分析】利用分层抽样的平均数与方差公式求解即可. 【详解】依题意，知学生总数为300，其中男生人数，女生人数为， 设该校高一年级学生身高的平均数为，方差为， 则 . 故答案为：；. 33．（23-24高一下·浙江绍兴·期中）为了了解学生躯干、腰、髋等部位关节韧带和肌肉的伸展性、弹性等，某学校对在校1500名学生进行了一次坐位体前屈测试，采用按学生性别比例分配的分层随机抽样抽取75人，已知这1500名学生中男生有900人，且抽取的样本中男生的平均数和方差分别为和，女生的平均数和方差分别为和． (1)求样本中男生和女生应分别抽取多少人； (2)求抽取的总样本的平均数，并估计全体学生的坐位体前屈成绩的方差． 【答案】(1)45；30； (2)平均数；方差16. 【分析】（1）首先计算抽样比，再计算男生和女生应抽取的人数； （2）代入总体平均数公式和方差公式，即可求解. 【详解】（1）总体容量1500，样本容量75，则抽样比为， 所以样本中男生数量，女生数量. （2）抽取的样本中男生的平均数，方差， 抽取的样本中女生的平均数，方差， 所以总体样本的平均数为， 总体样本的方差. 所以估计高三年级全体学生的坐位体前屈成绩的方差为16. 34．（2024高一下·江苏·专题练习）某工厂人员及月工资构成如下： 人员 经理 管理人员 高级技工 工人 学徒 合计 月工资（元） 22 000 2 500 2 200 2 000 1 000 29 700 人数 1 6 5 10 1 23 合计 22 000 15 000 11 000 20 000 1 000 69 000 (1)指出这个表格中的众数、中位数、平均数； (2)这个表格中，平均数能客观地反映该工厂的月工资水平吗？为什么？ 【答案】(1)众数为2000元，中位数为2200元，平均数为3000元 (2)不能，理由见解析 【分析】（1）从表中数据可知人数最多的是众数，把23个数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，排在中间的数是中位数，根据平均数的方法计算即可 （2）从表中的数据可知，只有经理和管理人员在平均数以上，其余的多数人都在平均数以下，故平均数不能客观地反映该工厂人员的月工资水平 【详解】（1）由表格可知，众数为2 000元. 把23个数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，排在中间的数应是第12个数，其值为2 200，故中位数为2 200元. 平均数为（22 000＋15 000＋11 000＋20 000＋1 000）÷23＝69 000÷23＝3 000（元）. （2）虽然月工资的平均数为3 000元，但由表格中所列出的数据可见，只有经理在平均数以上，其余的人都在平均数以下，故用平均数不能客观真实地反映该工厂的工资水平. 35．（23-24高二上·广东珠海·开学考试）某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有20人，按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图．    (1)根据频率分布直方图，估计这20人的年龄的中位数和众数； (2)若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1，求这20人中35～45岁所有人的年龄的方差． 【答案】(1)中位数为，众数为 (2)10 【分析】（1）根据频率分布直方图求中位数及众数即可； （2）先根据分层抽样求出第四组和第五组抽取的人数，再求出第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数和方差，进而可得出答案. 【详解】（1）由于， 所以这20人的年龄的中位数为：， 众数为：； （2）由频率分布直方图得各组人数之比为， 故各组中采用分层随机抽样的方法抽取20人，第四组和第五组分别抽取4人和2人， 设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，方差分别为， 则， 设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为， 则， 因此，第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10， 据此，可估计这人中年龄在35～45岁的所有人的年龄方差约为10． 36．（23-24高二下·上海·阶段练习）本市某区对全区高中生的身高(单位：厘米)进行统计，得到如下的频率分布直方图． (1)若数据分布均匀， 用频率估计概率，则在全市随机取一名高中生，求其身高不低于180厘米的概率； (2)现从身高在区间的高中生中分层抽样抽取一个80人的样本，若身高在区间中样本的均值为176厘米，方差为10；身高在区间[180， 190)中样本的均值为184 厘米，方差为16，试求这80人的方差. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）先由频率分布直方图中每组的频率之和等于1求出的值，再对身高不低于180厘米的各个小组的频率进行累加即得； （2）由分层抽样确定两个组别分别抽取的人数，设出两组的样本，计算出所抽取的80人的身高总样本的均值，化简总样本方差公式，将数据代入计算即得. 【详解】（1）由频率分布直方图可得：解得 则在全市随机取一名高中生，求其身高不低于180厘米的概率为. （2）由于身高在区间，的人数之比为，所以分层抽样抽取80人，区间，内抽取的人数分别为50人与30人． 设在区间中抽取的50个样本为，其均值为176，方差为，即． 设区间中抽取的30个样本为．其均值为，方差为，即； 所以这80人身高的均值为． 从而这80人身高的方差为 因此，这80人身高的方差为 37．（23-24高二上·黑龙江大庆·开学考试）为了了解我市参加2018年全国高中数学联赛的学生考试结果情况，从中选取60名同学将其成绩（百分制，均为正数）分成，，，，，六组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形，回答下列问题： (1)求分数在内的频率，并补全这个频率分布直方图； (2)根据频率分布直方图，估计本次考试成绩的众数、平均数． 【答案】(1)0.25，频率分布直方图见解析 (2)众数为：75和85，平均数为70.5 【分析】（1）利用所有小矩形的面积之和为1，求得分数在的频率，进而可求出对应小矩形的高，即可补全频率分布直方图； （2）众数即是出现次数最多的数，在频率分布直方图中即是频率最高的组的中间值；每组的中间值乘以该组的频率，再求和即可求出均值. 【详解】（1）设分数在内的频率为，根据频率分布直方图，则有，可得， 分数在内的频率为0.25，所以频率分布直方图为： （2）由图知，众数为：75和85， 平均数为：. 38．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）为了迎接2025年第九届亚冬会的召开，某班组织全班学生开展有关亚冬会知识的竞赛活动．已知该班男生35人，女生25人．根据统计分析，男生组成绩和女生组成绩的方差分别为，该班成绩的方差为，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】借助分层抽样的方差公式计算即可得. 【详解】设该班男生组成绩和女生组成绩的平均分分别为，，两个班的总的平均分为， 则 ， 故选：D. 39．（2013高二·全国·竞赛）某班有48名学生，在一次考试中统计出平均分为70分，方差为75，后来发现有2名同学的分数登错了，甲实得80分却记成了50分，乙实得70分却记成了100分，则更正后平均分和方差分别是（    ）． A．70，50 B．70，75 C．70，72.5 D．65，70 【答案】A 【分析】根据题意可得平均分不变，再利用方差公式列出更改前后的式子，从而作差即可得解. 【详解】因为甲少记了30分，乙多记了30分，故平均分不变， 不妨设登记正确的46人成绩依次为，更正后的方差为， 则， 又， 两式相减，得， 解得. 故选：A. 40．（23-24高二上·浙江杭州·期中）甲、乙两同学对同一组数据进行分析，甲同学得到的数据均值为，方差为，乙同学不小心丢掉了一个数据，得到的均值仍为，方差为2，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D．与2的大小关系无法判断 【答案】C 【分析】根据题设知丢失的数据为，结合方差公式有，即可得答案. 【详解】由题意知，丢失的数据为，才可保证甲乙得到的均值相等， 结合方差公式，， 所以乙所得方差，即. 故选：C 41．（23-24高三上·云南曲靖·阶段练习）的监测值是用来评价环境空气质量的指标之一.划分等级为：日均值在以下，空气质量为一级；日均值在，空气质量为二级；日均值超过为超标.如图是某地8月1日至日的日均值（单位：）变化的折线图，下列关于日均值说法正确的是（    ）    A．这天日均值的百分位数为 B．前4天的日均值的极差小于后4天的日均值的极差 C．前4天的日均值的方差大于后4天的日均值的方差 D．这天的日均值的中位数为 【答案】B 【详解】解：对于A，将天中的日均值按从小到大排列为，，，，，，，，，，根据百分位数的定义可得，这天中日均值的百分位数是，故选A错误； 对于B，前4天的日均值的极差为，后4天的日均值的极差为，故选项B正确； 对于C，由折线图和方差的定义可知，前4天的日均值波动性小，所以前4天的日均值的方差小于后4天日均值的方差，故选项C错误； 对于D，这天中日均值的中位数为，故选项D错误. 故选：B. 42．（21-22高一下·福建泉州·期中）中国营养学会把走路称为“最简单、最优良的锻炼方式”，它不仅可以帮助减肥，还可以增强心肺功能、血管弹性、肌肉力量等．下图为甲、乙两人在同一星期内日步数的折线统计图：    则下列结论中正确的是（    ） A．这一星期内甲的日步数的第六十百分位数为12150 B．乙的日步数星期四比星期三增加了1倍以上 C．这一星期内甲的日步数的平均值小于乙 D．这一星期内甲的日步数的方差大于乙 【答案】D 【分析】根据百分位数的定义即可判断A；由图找出甲的中位数，计算甲乙的平均数，结合折线图逐项分析可得答案． 【详解】由图可知，这一星期内甲的日步数按从小到大分别为： 2435，7965，9500，11600，12700，16000，16800，共7个数， 由，所以这一星期内甲的日步数的第六十百分位数为12700，故A错误； 乙星期四的日步数为12970，乙星期三的日步数，故B错误； 甲的平均数为， 乙的平均数为，故C错误； 从折线图看，甲的日步数波动比较大，乙的日步数波动比较小， 故甲的日步数的方差大于乙，故D正确． 故选：D． 43．（2023·上海徐汇·三模）一组样本数据的平均数为，标准差为.另一组样本数据，，…，的平均数为，标准差为.两组数据合成一组新数据，，…，，新数据的平均数为，标准差为，则（    ） A． B． C． D．与的大小与有关 【答案】A 【分析】根据平均数、方差（或标准差）的公式分析运算. 【详解】对于数据，可得， 所以； 对于数据，，…，，可得， 所以； 对于数据，，…，，可得： 平均数， 标准差 ， 注意到，所以. 故选：A. 44．（22-23高一下·安徽·阶段练习）小明在整理数据时得到了该组数据的平均数为20，方差为28，后来发现有两个数据记录有误，一个错将11记录为21，另一个错将29记录为19.在对错误的数据进行更正后，重新求得该组数据的平均数为，方差为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】不妨记更正前该组数据为：，然后根据平均数和方差公式先求出，再利用公式即可求得更正后的平均数和方差. 【详解】不妨记更正前该组数据为：， 则更正后的数据为：. 由题可知，， 整理得. 所以， . 故选：D 45．（21-22高三·云南昆明·阶段练习）根据气象学上的标准，连续5天的日平均气温低于即为入冬，将连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是自然数）作为一组样本，现有4组样本①、②、③、④，依次计算得到结果如下： ①平均数； ②平均数且极差小于或等于3； ③平均数且标准差； ④众数等于5且极差小于或等于4． 则4组样本中一定符合入冬指标的共有（    ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】B 【分析】举反例否定①；反证法证明②符合要求；举反例否定③；直接法证明④符合要求. 【详解】①举反例：，，，，，其平均数．但不符合入冬指标； ②假设有数据大于或等于10，由极差小于或等于3可知， 则此组数据中的最小值为，此时数据的平均数必然大于7， 与矛盾，故假设错误.则此组数据全部小于10. 符合入冬指标； ③举反例：1，1，1，1，11，平均数，且标准差.但不符合入冬指标； ④在众数等于5且极差小于等于4时，则最大数不超过9.符合入冬指标. 故选：B． 46．（22-23高三下·安徽亳州·开学考试）现有甲、乙两组数据，每组数据均由六个数组成，其中甲组数据的平均数为，方差为，乙组数据的平均数为，方差为．若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平均数和方差公式可求得新数据的方差. 【详解】设甲组数据分别为、、、，乙组数据分别为、、、， 甲组数据的平均数为，可得，方差为，可得， 乙组数据的平均数为，可得，方差为，可得， 混合后，新数据的平均数为， 方差为 . 故选：D. 47．（23-24高三上·山东济南·阶段练习）（多选题）一组数据，记其中位数为k，均值为m，标准差为，由其得到新数据的标准差为，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用中位数的定义可判断A选项；举反例可判断B选项C；利用均值和方差公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，因， 样本数据最中间的项为， 由中位数的定义可知，，A正确； 对于B，不妨令， 则，B错误； 对于C，不妨令， 则，C错误； 对于D，数据的均值为： ， 其方差为，D对. 故选：AD 48．（2024·全国·模拟预测）（多选题）记男生样本的平均数为，方差为；女生样本的平均数为，方差为；男女总样本的平均数记为，方差为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D． 【答案】BCD 【分析】利用均值公式、方差公式逐项判断正误即可. 【详解】对A，，可得，则或，A不正确． 对B，，所以，若，则，B正确． 对C，因为，所以， 则． 又， 所以，C正确． 对D， ， 所以，D正确． 故选：BCD 49．（21-22高二下·浙江绍兴·期末）（多选题）已知采用分层抽样得到的样本数据由两部分组成，第一部分样本数据的平均数为，方差为；第二部分样本数据的平均数为，方差为，设，则以下命题正确的是（    ） A．设总样本的平均数为，则 B．设总样本的平均数为，则 C．设总样本的方差为，则 D．若，则 【答案】AD 【分析】对于A选项，因为，由放缩可得； 对于B选项，举例说明B不正确； 对于C选项，举例说明C不正确； 对于D选项，若，代入总体方差计算公式，可得. 【详解】对于A选项，因为，所以 ，即，A正确； 对于B选项，取第一部分数据为，则，，取第二部分数据为，则，，则，B不正确； 对于C选项，取第一部分数据为，则，， 取第二部分数据为，则，，则， ，C不正确； 对于D选项，若，则，D正确. 故选：AD. 50．（22-23高三上·湖北·阶段练习）利用分层随机抽样的方法，调研某校高二年级学生某次数学测验的成绩（满分分），获得样本数据的特征量如下表： 人数 平均成绩 方差 男生 女生 则总样本的平均分为 ，方差为 ． 参考公式：个数的平均数为，方差为 参考数据：． 【答案】 【分析】由可计算得到总样本的平均数；利用男生和女生数学测验成绩的方差可计算得到和，代入方差公式可求得结果. 【详解】总样本的平均分； 设名男生数学测验的成绩分别为，名女生数学测验的成绩分别为； 男生数学测验成绩的方差， 女生数学测验成绩的方差， ，， 总样本的方差为. 故答案为：；. 51．（2023·吉林·模拟预测）若一组样本数据的平均数为10，另一组样本数据的方差为8，则两组样本数据合并为一组样本数据后的平均数是 ，方差是 . 【答案】 【分析】计算出、的值，再利用平均数和方差公式可求得合并后的新数据的平均数和方差. 【详解】由题意可知，数据的平均数为， 所以，则， 所以数据、、、的平均数为， 方差为， 所以， 将两组数据合并后，得到新数据， 则其平均数为， 方差为. 故答案为：；. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是充分理解平均数与方差的计算公式，并进行计算. 52．（21-22高一·全国·课后作业）在分层抽样时，如果将总体分为k层，第j层抽取的样本量为，第j层的样本平均数为，样本方差为，，．记，则所有数据的样本方差为 ． 【答案】 【分析】在分层抽样中先计算第层抽取的样本均值，再计算总体k层的样本均值，即可得出;同理，计算第j层抽取的样本方差，进行一系列整理得到，再计算总体k层的样本方差，由此得答案. 【详解】解：. ∴样本均值为. 又. 计算总体 又. . . 故答案为： 【点睛】本题主要考查用分层抽样的方法求样本的均值和方差，属于中档题. 53．（21-22高二下·北京朝阳·期末）在一组数据0，3，5，7，10中加入一个整数a得到一组新数据，这组新数据与原数据相比平均数不增大且方差减小，则a的一个取值为 ． 【答案】2(答案不唯一，中任取一个都正确) 【分析】根据平均数，方差的计算公式计算即可. 【详解】解：由题意得，原数据的平均数 原数据的方差为 新数据的平均数，解得, 新数据的方差为 ， 将代入得，， 解得：， ，，所以， 故答案为：2(答案不唯一，中任取一个都正确) 54．（22-23高一上·湖南长沙·期末）为了落实习主席提出“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求.某市政府积极鼓励居民节约用水．计划调整居民生活用水收费方案.拟确定一个合理的月用水量标准x（吨）.一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费.超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况.通过抽样.获得了某年200位居民每人的月均用水量（单位：吨）.将数据按照[0.1）.[1.2）.….[8.9）分成9组.制成了如图所示的频率分布直方图.其中0.4a=b. (1)求直方图中a.b的值.并由频率分布直方图估计该市居民用水量的众数； (2)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨）.估计x的值． 【答案】(1)a=0.15.b=0.06，众数为4.5吨. (2)5.8 【分析】（1）由频率直方图的面积和为建立方程组.由此即可求出的值.再根据估计众数的定义即可求解； （2）分别求出前组.前组的频率和，估计出的范围.再根据范围建立方程，由此即可求解． 【详解】（1）由题意可得 . 解得，. 由频率分布直方图估计该市居民用水量的众数为吨. （2）因为前6组的频率和为， 前5组的频率和为. 所以，由，解得， 所以估计月用水量标准为吨时，的居民每月的用水量不超过标准． 55．（23-24高二上·上海黄浦·期末）某营养学研究人员用随机抽样的方法获得了某高校100名女大学生平均每日摄取的热量（单位：千大卡，1千大卡＝1000千卡），这组数据的频率分布直方图如图所示． (1)健康的成年女性每天需要摄取1.80~1.90千大卡（不含1.90千大卡）的热量，试估计该校有多少比例的女大学生摄取的热量在此范围之内； (2)已知摄取热量范围在的数据为：1.90，1.90，1.91，1.91，1.91，1.93，1.94，1.94，1.95，1.95，1.96，1.96， 1.97， 1.98，1.99．若1.91是这100个样本数据的第k百分位数，求正整数k的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用频数分布直方图的性质计算即可. （2）利用百分位数的定义求解即可. 【详解】（1）小长方形面积和为1，， 解得，故比例为， 综上有的女大学生摄取的热量在此范围之内， （2）在区间内有个数， 所以1.91是这100个样本数据的第个数， 则第个数的平均数，或第个数的平均数为1.91， 同时，第个数的平均数，或第个数的平均数皆不是1.91， 因为，所以为整数， 所以当1.91是这100个样本数据的第k百分位数时，必有或， 故k的值为或. 56．（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期末）2023年秋末冬初，呼和浩特市发生了流感疾病. 为了彻底击败病毒，人们更加讲究卫生讲究环保. 某学校开展组织学生参加线上环保知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请回答下列问题： (1)若从成绩低于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩，求5人中成绩低于50分的人数； (2)以样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数； (3)首轮竞赛成绩位列前的学生入围第二轮的复赛，请根据图中信息，估计入围复赛的成绩（记为）. 【答案】(1)人 (2) (3) 【分析】（1）利用分层抽样的定义求解即可； （2）利用平均数公式求解即可； （3）根据题意设入围复赛的成绩的临界值为，则，求出的值即可. 【详解】（1）成绩在的人数为（人）， 成绩在的人数为（人）， 则按分层抽样方法从成绩低于60分的同学中抽取5人， 成绩低于50分的人数为（人）. 故5人中成绩低于50分的人数为2人； （2）由，得， 则平均数， 故该校学生首轮竞赛成绩的平均数约为分； （3）根据频率分布直方图可知： 的频率为，的频率为， 所以入围复赛的成绩一定在， 可知入围复赛的成绩的临界值为， 则，解得， 故估计入围复赛的成绩为分. 57．（23-24高三上·湖北·阶段练习）联合国教科文组织确定每年的4月23日为“世界读书日”，以促进更多的人去阅读，享受阅读的乐趣．为建设读书校园，提升校园的读书氛围，市教育局准备在全市义务教育四年级至九年级学段开展“读书月”活动，活动前，为了解学生的阅读情况，从四年级至九年级在校学生中随机问卷调查了10000人，得到他们在过去一个月中平均每天课外的阅读时间t（单位：分钟），整理得到如右的频率分布直方图，已知这10000人的平均每天课外阅读时间的中位数是31． (1)求频率分布直方图中m、n的值； (2)若为整数，将本次调查中平均每天课外阅读时间的学生选为“读书月”活动的宣传大使，教育局准备至少选出1500名“读书月”宣传大使，求的最大值； (3)为了进一步了解学生的课外阅读习惯受电子产品的影响，由频率分布直方图中平均阅读时间在和两组学生中，按人数比例分配的分层抽样方法抽取了100名学生，已知组的学生平均每天花在电子产品上的时间为30分钟，方差为36，组的学生平均每天花在电子产品上的时间为20分钟，方差为16，求抽取的100名学生每天花在电子产品上的时间的方差． 【答案】(1)，； (2) (3)48 【分析】（1）由中位数31，可得，从而求解； （2）由题意，可知的最大值为第85百分位数，求解可得； （3）由比例分配的分层抽样在组和组各抽取40人和60人，由方差公式可求解. 【详解】（1）由题意中位数是31， 则，所以， 又  ． （2）通过直方图可知第85百分位数落在第组， ， 解得，因为，所以， （3）按分层抽样在组抽取40人记为， 则， 在组抽取60人，记为， 同理可得，平均值为， 抽取的100名学生每天花在电子产品上的时间的方差 ． 58．（23-24高一上·河南·阶段练习）我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查.通过抽样，获得了某年200位居民家庭的月平均用水量（单位：吨），将数据按照，分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图. (1)求直方图中的值； (2)该市决定设置议价收费标准，用水量低于的居民家庭按照“民用价”收费，不低于的按照“商业价”收费，为保障有的居民能享受“民用价”，请设置该标准； (3)以每组数据的中点值作为该组数据的代表，分别是.规定“最佳稳定值”是这样一个量：与各组代表值的差的平方和最小.依此规定，请求出的值. 【答案】(1)0.0625 (2)19.2 (3)12 【分析】（1）根据每组小矩形的面积之和为1即可求解. （2）由频率分布直方图求第p百分位数的计算公式即可求解. （3）设与各数据的差的平方和为，由题意得，利用二次函数性质即可求解. 【详解】（1）由频率分布直方图知，家庭月均用水量在中的频率为， 同理，在中的频率分别为. 由，解得； （2）由（1）知，前4组的总频率为， 前5组的总频率为，所以， 所以根据百分位数的计算方法有，解得； （3）设与各数据的差的平方和为， 则 ， 由二次函数的性质知，当时，取得最小值， 故. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 9.2 用样本估计总体 1.绘制频率分布直方图应注意的问题 (1)在绘制出频率分布表后，画频率分布直方图的关键就是确定小矩形的高．一般地，频率分布直方图中两坐标轴上的单位长度是不一致的，合理的定高方法是“以一个恰当的单位长度”(没有统一规定)，然后以各组的“”所占的比例来定高．如我们预先设定以“”为1个单位长度，代表“0.1”，则若一个组的为0.2，则该小矩形的高就是“”(占两个单位长度)，如此类推． (2)数据要合理分组，组距要选取恰当，一般尽量取整，数据为30～100个左右时，应分成5～12组，在频率分布直方图中，各个小长方形的面积等于各组的频率，小长方形的高与频数成正比，各组频数之和等于样本容量，频率之和为1. 2. 频率分布直方图的性质 (1)因为小矩形的面积＝组距×＝频率，所以各小矩形的面积表示相应各组的频率．这样，频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小． (2)在频率分布直方图中，各小矩形的面积之和等于1. (3) 样本容量＝频数/相应的频率． 3．折线统计图的读图方法 (1)读折线统计图时，首先要看清楚直角坐标系中横、纵坐标表示的意义；其次要明确图中的数量及其单位． (2)在折线统计图中，从折线的上升、下降可分析统计数量的增减变化情况，从陡峭程度上，可分析数据间相对增长、下降的幅度． 4.计算一组n个数据的第p百分位数的一般步骤 (1)排列：按照从小到大排列原始数据； (2)计算i：计算i＝n×p%； (3)定数：若i不是整数，大于i的最小整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数． 5.根据频率分布直方图计算样本数据的百分位数，首先要理解频率分布直方图中各组数据频率的计算，其次估计百分位数在哪一组，再应用方程的思想方法，设出百分位数，解方程可得． 6.求样本数据的中位数和众数时，把数据按照从小到大的顺序排列后，按照其求法进行． 7.利用样本数字特征进行决策时的两个关注点 (1)平均数与每一个数据都有关，可以反映更多的总体信息，但受极端值的影响大；中位数是样本数据所占频率的等分线，不受几个极端值的影响；众数只能体现数据的最大集中点，无法客观反映总体特征． (2)当平均数大于中位数时，说明数据中存在许多较大的极端值． 8.标准差、方差的意义 (1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，标准差的大小不会超过极差． (2)标准差、方差的取值范围：[0，＋∞)． 标准差、方差为0时，样本各数据相等，说明数据没有波动幅度，数据没有离散性． 9.数据分析的要点 (1)要正确处理此类问题，首先要抓住问题中的关键词语，全方位地进行必要的计算、分析，而不能习惯性地仅从样本方差的大小去决定哪一组的成绩好，像这样的实际问题还得从实际的角度去分析，如本例的“满分人数”；其次要在恰当地评估后，组织好正确的语言作出结论． (2)在进行数据分析时，不同的标准没有对和错的问题，也不存在唯一解的问题，而是根据需要来选择“好”的决策，至于决策的好坏，是根据提出的标准而定的． 重难点题型突破1 频率分布直方图的画法及应用 (1)求极差：极差是一组数据中最大值与最小值的差； (2)决定组距与组数：当样本容量不超过100时，常分成5～12组，为了方便起见，一般取等长组距，并且组距应力求“取整”． (3)将数据分组． (4)列频率分布表：一般分四列：分组、频数累计、频数、频率．其中频数合计应是样本容量，频率合计是1. (5)画频率分布直方图：横轴表示分组，纵轴表示.小长方形的面积＝组距×＝频率．各小长方形的面积和等于1. 例1、（2024·陕西西安·二模）某教育机构为调查中小学生每日完成作业的时间，收集了某位学生100天每天完成作业的时间，并绘制了如图所示的频率分布直方图（每个区间均为左闭右开），根据此直方图得出了下列结论，其中正确的是（    ） A．估计该学生每日完成作业的时间在2小时至2.5小时的有50天 B．估计该学生每日完成作业时间超过3小时的概率为0.3 C．估计该学生每日完成作业时间的平均数为2.75小时 D．估计该学生每日完成作业时间的中位数与平均数相等 例2、（23-24高一下·浙江绍兴·期中）（多选题）在某市高三年级举行的一次模拟考试中，某学科共有20000人参加考试．为了了解本次考试学生成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（成绩均为正整数，满分为100分）作为样本进行统计，样本容量为，按照的分组作出频率分布直方图如图所示，其中，成绩落在区间内的人数为16．则（    ） A．图中 B．样本容量 C．估计该市全体学生成绩的平均分为71.6分 D．该市要对成绩前的学生授予“优秀学生”称号，则授予“优秀学生”称号的学生考试成绩大约至少为77.25分 【变式训练1】、（23-24高二下·云南·阶段练习）近日，云南人“打跳”的视频频频冲上各大平台热搜．唱最朴素的歌，跳最热情的舞，云南人的快乐就是这么简单．某平台为了解“打跳”视频的受欢迎程度，对20-60岁的人群进行随机抽样调查，其中喜欢“打跳”视频的有100人，把这100人按照年龄分成4组，然后绘制成如图所示的频率分布直方图，现从第二组和第四组的人中分层随机抽取10人做进一步的问卷调查，则应从第2组抽取的人数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式训练2】、（23-24高三下·北京海淀·开学考试）某直播间从参与购物的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组，得到的频率分布直方图如图所示，则在这200人中年龄在的人数 ，直方图中 . 重难点题型突破2 平均数、中位数和众数的计算 众数、中位数和平均数的定义 (1)众数：一组数据中出现次数最多的数． (2)中位数：一组数据按大小顺序排列后，处于中间位置的数．如果个数是偶数，则取中间两个数据的平均数． (3)平均数：一组数据的和除以数据个数所得到的数． 众数、中位数和平均数的比较 名称 优点 缺点 平均数 与中位数相比，平均数反映出样本数据中更多的信息，对样本中的极端值更加敏感 任何一个数据的改变都会引起平均数的改变．数据越“离群”，对平均数的影响越大 中位数 不受少数几个极端数据(即排序靠前或靠后的数据)的影响 对极端值不敏感 众数 体现了样本数据的最大集中点 众数只能传递数据中的信息的很少一部分，对极端值不敏感 例3、．（2024·甘肃白银·三模）一组样本数据的众数为 ，中位数为 ． 例4、（2024·陕西西安·模拟预测）现有一组数据1，2，3，2，3，5，4，2，5，4，1，则这组数据的中位数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式训练3】、（23-24高一上·山东日照·期末）若，，…，的平均数是10，则，，，的平均数是 ． 【变式训练4】、（23-24高二下·上海·期中）（多选题）从某个品种的小麦中随机选取14株，测量麦穗长度（单位：），所得的样本数据用茎叶图表示如图，据此可估计该品种小麦麦穂长度情况，那么下列说法错误的是（    ） A．小麦麦穗长度的极差是3.9 B．小麦麦穗长度的中位数等于众数 C．小麦麦穗长度的中位数小于平均数 D．小麦麦穗长度的第75百分位数是10.6 重难点题型突破3 根据频率分布直方图求平均数、中位数和众数 1、众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系 (1)平均数：在频率分布直方图中，样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替． (2)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等． (3)众数：众数是最高小矩形底边的中点所对应的数据． 一组数据x1，x2，…，xn的方差和标准差 数据x1，x2，…，xn的方差为＝，标准差为. 2、总体方差和标准差 (1)总体方差和标准差：如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体的平均数为，则称S2＝为总体方差，S＝为总体标准差． (2)总体方差的加权形式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i＝1,2，…，k)， 则总体方差为S2＝. 3、样本方差和标准差 如果一个样本中个体的变量值分别为y1，y2，…，yn，样本平均数为， 则称s2＝为样本方差，s＝为样本标准差． 例5、（23-24高三下·天津·开学考试）党的二十大报告提出，要加快发展数字经济，促进数字经济与实体经济的深度融合，数字化构建社区服务新模式成为一种时尚．某社区为优化数字化社区服务，问卷调查调研数字化社区服务的满意度，满意度采用计分制（满分100分），统计满意度绘制成如下频率分布直方图，图中．则下列结论不正确的是（    ） A． B．满意度计分的众数为80分 C．满意度计分的分位数是85分 D．满意度计分的平均分是76.5 例6、（2024·陕西·二模）某校对全校的1000名学生的秋季体测得分情况进行了统计，把得分数据按照，，，，分成5组，绘制了如图所示的频率分布直方图．根据图中信息（同组数据取中间值），可知下列说法正确的是（    ） A．众数为76 B． C．平均成绩为72分 D．从该校所有学生中随机抽取一名学生，其体测成绩不小于70分的概率为0.6 例7、（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）（多选题）2023年10月26日，神舟十七号载人飞船成功发射，中国航天再创辉煌.为普及航天知识，弘扬航天精神，某市举办了一次航天知识竞赛.为了解这次竞赛成绩情况，从中随机抽取了50名参赛市民的成绩作为样本进行统计（满分:100分），得到如下的频率分布直方图，则（    ） 注:同一组中的数据用该组区间中点值代表. A．图中的值为0.004 B．估计样本中竞赛成绩的众数为70 C．估计样本中竞赛的平均成绩不超过80分 D．估计样本中竞赛成绩的第75百分位数为76.75 【变式训练5】、（2024·云南昆明·模拟预测）（多选题）某城市在创建文明城市的活动中，为了解居民对“创建文明城市”的满意程度，组织居民给活动打分（分数为整数，满分100分），从中随机抽取一个容量为100的样本，发现数据均在内.现将这些分数分成6组并画出样本的频率分布直方图，但不小心污损了部分图形，如图所示.观察图形，则下列说法正确的是（    ）    A．频率分布直方图中第三组的频数为15 B．根据频率分布直方图估计样本的众数为75分 C．根据频率分布直方图估计样本的中位数为74分 D．根据频率分布直方图估计样本的平均数为73分 【变式训练6】、（23-24高三上·北京石景山·期末）某学校从全校学生中随机抽取了50名学生作为样本进行数学知识测试，记录他们的成绩，测试卷满分100分，将数据分成6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，并整理得到如右频率分布直方图，则图中的值为 ，若全校学生参加同样的测试，估计全校学生的平均成绩为 （每组成绩用中间值代替）. 【变式训练7】、（2023高二下·浙江杭州·学业考试）为了解某地儿童生长发育情况，抽查了100名3周岁女童的身高，将统计结果绘制成频率分布直方图如图，则可以估计这100名女童身高的平均值为 cm.    重难点题型突破4 数据的数字特征 标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小． 例8．（2024·山西朔州·一模）已知一组样本数据分别为，若这组数据的平均数为4，则数据，的方差为（    ） A． B．8 C．16 D．24 例9、（2024·全国·模拟预测）（多选题）下图为甲、乙两人在同一星期内每日步数的折线统计图． 下列说法中，正确的是（    ） A．这一星期内甲的日步数的中位数为11600 B．这一星期内乙的日步数的平均值为11000 C．这一星期内甲的日步数的极差大于乙的日步数的极差 D．这一星期内甲的日步数的方差大于乙的日步数的方差 【变式训练9】、（2024·山东·二模）甲乙两名歌手参加选拔赛，5位评委评分情况如下：甲：；乙：，记甲、乙两人的平均得分分别为，则下列判断正确的是（    ） A．，甲比乙成绩稳定 B．，乙比甲成绩稳定 C．，甲比乙成绩稳定 D．，乙比甲成绩稳定 【变式训练10】、（23-24高三上·江苏·开学考试）（多选题）下图为甲、乙两人在同一星期内每日步数的折线统计图，则（    ）    A．这一星期内甲的日步数的中位数为11600 B．这一星期内甲的日步数的极差大于乙的日步数的极差 C．这一星期内乙的日步数的方差大于甲的日步数的方差 D．这一星期内乙的日步数的上四分位数是7030 重难点题型突破5 综合应用 例11、（2024高一下·全国·专题练习）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中的值； (2)求样本成绩的第75百分位数； (3)已知落在的平均成绩是61，方差是7，落在的平均成绩为70，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差. 例12、（23-24高二上·河南焦作·阶段练习）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者，某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中的值，并求样本成绩的第80百分位数； (2)已知落在的平均成绩是56，方差是7，落在的平均成绩为65，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差. 【变式训练11】、（21-22高一下·山东临沂·期末）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者，某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中的值； (2)求样本成绩的第75百分位数； (3)已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差. 【变式训练12】、（2024·内蒙古呼和浩特·一模）为了解甲、乙两种农药在某种绿植表面的残留程度，进行如下试验：将100株同种绿植随机分成两组，每组50株，其中组绿植喷甲农药，组绿植喷乙农药，每株绿植所喷的农药体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在绿植表面的百分比，根据试验数据分别得到如图直方图： 记为事件：“乙农药残留在表面的百分比不低于5.5”，根据直方图得到的估计值为0.70． (1)求乙农药残留百分比直方图中的值； (2)估计甲农药残留百分比的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (3)估计乙农药残留百分比的中位数．（保留2位小数） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 9.2 用样本估计总体 1.绘制频率分布直方图应注意的问题 (1)在绘制出频率分布表后，画频率分布直方图的关键就是确定小矩形的高．一般地，频率分布直方图中两坐标轴上的单位长度是不一致的，合理的定高方法是“以一个恰当的单位长度”(没有统一规定)，然后以各组的“”所占的比例来定高．如我们预先设定以“”为1个单位长度，代表“0.1”，则若一个组的为0.2，则该小矩形的高就是“”(占两个单位长度)，如此类推． (2)数据要合理分组，组距要选取恰当，一般尽量取整，数据为30～100个左右时，应分成5～12组，在频率分布直方图中，各个小长方形的面积等于各组的频率，小长方形的高与频数成正比，各组频数之和等于样本容量，频率之和为1. 2. 频率分布直方图的性质 (1)因为小矩形的面积＝组距×＝频率，所以各小矩形的面积表示相应各组的频率．这样，频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小． (2)在频率分布直方图中，各小矩形的面积之和等于1. (3) 样本容量＝频数/相应的频率． 3．折线统计图的读图方法 (1)读折线统计图时，首先要看清楚直角坐标系中横、纵坐标表示的意义；其次要明确图中的数量及其单位． (2)在折线统计图中，从折线的上升、下降可分析统计数量的增减变化情况，从陡峭程度上，可分析数据间相对增长、下降的幅度． 4.计算一组n个数据的第p百分位数的一般步骤 (1)排列：按照从小到大排列原始数据； (2)计算i：计算i＝n×p%； (3)定数：若i不是整数，大于i的最小整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数． 5.根据频率分布直方图计算样本数据的百分位数，首先要理解频率分布直方图中各组数据频率的计算，其次估计百分位数在哪一组，再应用方程的思想方法，设出百分位数，解方程可得． 6.求样本数据的中位数和众数时，把数据按照从小到大的顺序排列后，按照其求法进行． 7.利用样本数字特征进行决策时的两个关注点 (1)平均数与每一个数据都有关，可以反映更多的总体信息，但受极端值的影响大；中位数是样本数据所占频率的等分线，不受几个极端值的影响；众数只能体现数据的最大集中点，无法客观反映总体特征． (2)当平均数大于中位数时，说明数据中存在许多较大的极端值． 8.标准差、方差的意义 (1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，标准差的大小不会超过极差． (2)标准差、方差的取值范围：[0，＋∞)． 标准差、方差为0时，样本各数据相等，说明数据没有波动幅度，数据没有离散性． 9.数据分析的要点 (1)要正确处理此类问题，首先要抓住问题中的关键词语，全方位地进行必要的计算、分析，而不能习惯性地仅从样本方差的大小去决定哪一组的成绩好，像这样的实际问题还得从实际的角度去分析，如本例的“满分人数”；其次要在恰当地评估后，组织好正确的语言作出结论． (2)在进行数据分析时，不同的标准没有对和错的问题，也不存在唯一解的问题，而是根据需要来选择“好”的决策，至于决策的好坏，是根据提出的标准而定的． 重难点题型突破1 频率分布直方图的画法及应用 (1)求极差：极差是一组数据中最大值与最小值的差； (2)决定组距与组数：当样本容量不超过100时，常分成5～12组，为了方便起见，一般取等长组距，并且组距应力求“取整”． (3)将数据分组． (4)列频率分布表：一般分四列：分组、频数累计、频数、频率．其中频数合计应是样本容量，频率合计是1. (5)画频率分布直方图：横轴表示分组，纵轴表示.小长方形的面积＝组距×＝频率．各小长方形的面积和等于1. 例1、（2024·陕西西安·二模）某教育机构为调查中小学生每日完成作业的时间，收集了某位学生100天每天完成作业的时间，并绘制了如图所示的频率分布直方图（每个区间均为左闭右开），根据此直方图得出了下列结论，其中正确的是（    ） A．估计该学生每日完成作业的时间在2小时至2.5小时的有50天 B．估计该学生每日完成作业时间超过3小时的概率为0.3 C．估计该学生每日完成作业时间的平均数为2.75小时 D．估计该学生每日完成作业时间的中位数与平均数相等 【答案】C 【分析】直接根据直方图来计算判断每一个选项. 【详解】对于A：估计该学生每日完成作业的时间在2小时至2.5小时的有天，A错误； 对于B：估计该学生每日完成作业时间超过3小时的概率为，B错误； 对于C：，C正确； 对于D：估计该学生每日完成作业时间的中位数为， 则，解得，D错误. 故选：C. 例2、（23-24高一下·浙江绍兴·期中）（多选题）在某市高三年级举行的一次模拟考试中，某学科共有20000人参加考试．为了了解本次考试学生成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（成绩均为正整数，满分为100分）作为样本进行统计，样本容量为，按照的分组作出频率分布直方图如图所示，其中，成绩落在区间内的人数为16．则（    ） A．图中 B．样本容量 C．估计该市全体学生成绩的平均分为71.6分 D．该市要对成绩前的学生授予“优秀学生”称号，则授予“优秀学生”称号的学生考试成绩大约至少为77.25分 【答案】AD 【分析】根据频率之和等于1，即可判断A；根据频率，频数和样本容量之间的关系即可判断B；根据频率分布直方图平均数的求解方法即可判断C；根据题意算出分位数，再根据频率分布直方图的性质，即可判断D． 【详解】对于A，因为，解得，故A正确； 对于B，因为成绩落在区间内的人数为16， 所以样本容量，故B不正确； 对于C，学生成绩平均分为，故C不正确； 对于D，设授予“优秀学生”称号的学生考试成绩大约至少为， 由于的频率为，的频率为，的频率为， 则，所以， 则，解得， 所以大约成绩至少为 77.25 的学生能得到此称号，故D正确． 故选：AD． 【变式训练1】、（23-24高二下·云南·阶段练习）近日，云南人“打跳”的视频频频冲上各大平台热搜．唱最朴素的歌，跳最热情的舞，云南人的快乐就是这么简单．某平台为了解“打跳”视频的受欢迎程度，对20-60岁的人群进行随机抽样调查，其中喜欢“打跳”视频的有100人，把这100人按照年龄分成4组，然后绘制成如图所示的频率分布直方图，现从第二组和第四组的人中分层随机抽取10人做进一步的问卷调查，则应从第2组抽取的人数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据题意，利用频率分布直方图的性质，结合分层抽样的方法，即可求解. 【详解】由图可知，第二组的频率为0.2，频数为20，第四组频率为0.3，频数为30， 按分层随机抽样抽取10人，则应从第二组抽取的人数为人. 故选：B． 【变式训练2】、（23-24高三下·北京海淀·开学考试）某直播间从参与购物的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组，得到的频率分布直方图如图所示，则在这200人中年龄在的人数 ，直方图中 . 【答案】 【分析】利用频率分布直方图求出年龄在的频率即可求出；由各小矩形面积和为1求出. 【详解】由频率分布直方图知，年龄在的频率为， 所以； 由于，所以. 故答案为：30；0.035 重难点题型突破2 平均数、中位数和众数的计算 众数、中位数和平均数的定义 (1)众数：一组数据中出现次数最多的数． (2)中位数：一组数据按大小顺序排列后，处于中间位置的数．如果个数是偶数，则取中间两个数据的平均数． (3)平均数：一组数据的和除以数据个数所得到的数． 众数、中位数和平均数的比较 名称 优点 缺点 平均数 与中位数相比，平均数反映出样本数据中更多的信息，对样本中的极端值更加敏感 任何一个数据的改变都会引起平均数的改变．数据越“离群”，对平均数的影响越大 中位数 不受少数几个极端数据(即排序靠前或靠后的数据)的影响 对极端值不敏感 众数 体现了样本数据的最大集中点 众数只能传递数据中的信息的很少一部分，对极端值不敏感 例3、．（2024·甘肃白银·三模）一组样本数据的众数为 ，中位数为 ． 【答案】 【分析】将数据从小到大重新排成一列，根据众数及中位数的定义，即可求出结果. 【详解】将样本数据，从小排到大得到， 由众数及中位数的定义知：众数为，中位数为， 故答案为：，. 例4、（2024·陕西西安·模拟预测）现有一组数据1，2，3，2，3，5，4，2，5，4，1，则这组数据的中位数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】把给定数据组由小到大排列，利用中位数的定义求出答案. 【详解】将原数据按照从小到大的顺序排列为：1，1，2，2，2，3，3，4，4，5，5， 所以这组数据的中位数为3． 故选：B 【变式训练3】、（23-24高一上·山东日照·期末）若，，…，的平均数是10，则，，，的平均数是 ． 【答案】21 【分析】根据平均数的性质求解即可 【详解】因为，，…，的平均数是10，所以， 所以数据的平均数， 故答案为：21. 【变式训练4】、（23-24高二下·上海·期中）（多选题）从某个品种的小麦中随机选取14株，测量麦穗长度（单位：），所得的样本数据用茎叶图表示如图，据此可估计该品种小麦麦穂长度情况，那么下列说法错误的是（    ） A．小麦麦穗长度的极差是3.9 B．小麦麦穗长度的中位数等于众数 C．小麦麦穗长度的中位数小于平均数 D．小麦麦穗长度的第75百分位数是10.6 【答案】ACD 【分析】根据茎叶图可得这14组数据，然后求极差，中位数，众数，平均数，百分位数即可求解. 【详解】由题可知最大的数是11.7，最小的数是7.8，故极差为3.9，A正确； 中位数为：；众数为：9.7； 平均数为：     ， ，故第75百分位数为：10.6， 由以上数据可知：ACD正确， 故选：ACD. 重难点题型突破3 根据频率分布直方图求平均数、中位数和众数 1、众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系 (1)平均数：在频率分布直方图中，样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替． (2)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等． (3)众数：众数是最高小矩形底边的中点所对应的数据． 一组数据x1，x2，…，xn的方差和标准差 数据x1，x2，…，xn的方差为＝，标准差为. 2、总体方差和标准差 (1)总体方差和标准差：如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体的平均数为，则称S2＝为总体方差，S＝为总体标准差． (2)总体方差的加权形式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i＝1,2，…，k)， 则总体方差为S2＝. 3、样本方差和标准差 如果一个样本中个体的变量值分别为y1，y2，…，yn，样本平均数为， 则称s2＝为样本方差，s＝为样本标准差． 例5、（23-24高三下·天津·开学考试）党的二十大报告提出，要加快发展数字经济，促进数字经济与实体经济的深度融合，数字化构建社区服务新模式成为一种时尚．某社区为优化数字化社区服务，问卷调查调研数字化社区服务的满意度，满意度采用计分制（满分100分），统计满意度绘制成如下频率分布直方图，图中．则下列结论不正确的是（    ） A． B．满意度计分的众数为80分 C．满意度计分的分位数是85分 D．满意度计分的平均分是76.5 【答案】B 【分析】A.由频率之和为1求解判断；B.由众数的定义判断；C.由百分位数的定义求解判断；D.利用平均数的定义求解判断. 【详解】解：由频率分布直方图可知，即，又，所以，所以选项A正确； 满意度计分的众数为75分，所以选项B不正确； 前三组的频率之和为，前四组的频率之和为， 则分位数，且，满意度计分的分位数为85，所以选项C正确； 满意度计分的平均分为：分，所以选项D正确． 故选：B． 例6、（2024·陕西·二模）某校对全校的1000名学生的秋季体测得分情况进行了统计，把得分数据按照，，，，分成5组，绘制了如图所示的频率分布直方图．根据图中信息（同组数据取中间值），可知下列说法正确的是（    ） A．众数为76 B． C．平均成绩为72分 D．从该校所有学生中随机抽取一名学生，其体测成绩不小于70分的概率为0.6 【答案】B 【分析】由众数的定义判断A；根据所有矩形的面积和为1，求出的值，从而判断B；求出平均数判断C；求出成绩不小于70分的概率判断D. 【详解】对A，由题意知人数最多的在组，则众数为75，A错误； 对B，由，得 故B正确； 对C，，故C错； 对D，从该校学生中任选一人，成绩不小于70分的概率．故D错． 故选：B． 例7、（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）（多选题）2023年10月26日，神舟十七号载人飞船成功发射，中国航天再创辉煌.为普及航天知识，弘扬航天精神，某市举办了一次航天知识竞赛.为了解这次竞赛成绩情况，从中随机抽取了50名参赛市民的成绩作为样本进行统计（满分:100分），得到如下的频率分布直方图，则（    ） 注:同一组中的数据用该组区间中点值代表. A．图中的值为0.004 B．估计样本中竞赛成绩的众数为70 C．估计样本中竞赛的平均成绩不超过80分 D．估计样本中竞赛成绩的第75百分位数为76.75 【答案】ACD 【分析】利用所有小矩形面积和等于1可求y判断A：利用众数的概念可求众数判断B；利用成绩超过80分的频率只有0.12，可判断C；求得第75百分位数判断D. 【详解】对于A：由题得，故A正确： 对于B：由频率分布直方图可知，最高矩形对应区间的中点为75，则估计众数为75，故B错误： 对于C：样本中竞赛成绩超过80分的频率只有0.12，故平均成绩不可能超过80分，故C正确； 对于D：设样本中竞赛成绩的第75百分位数为， 前2组频率之和为0.16，前3组频率之和为，故位于第3组， 于是得，解得，故D正确. 故选：ACD. 【变式训练5】、（2024·云南昆明·模拟预测）（多选题）某城市在创建文明城市的活动中，为了解居民对“创建文明城市”的满意程度，组织居民给活动打分（分数为整数，满分100分），从中随机抽取一个容量为100的样本，发现数据均在内.现将这些分数分成6组并画出样本的频率分布直方图，但不小心污损了部分图形，如图所示.观察图形，则下列说法正确的是（    ）    A．频率分布直方图中第三组的频数为15 B．根据频率分布直方图估计样本的众数为75分 C．根据频率分布直方图估计样本的中位数为74分 D．根据频率分布直方图估计样本的平均数为73分 【答案】BD 【分析】根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为求出分数在内的频率，再根据频率分布直方图一一分析即可. 【详解】对A，因为分数在内的频率为， 所以第三组的频数为，故A错误； 对B，因为众数的估计值是频率分布直方图中最高矩形底边的中点的横坐标， 从图中可看出众数的估计值为75分，故B正确； 对C，因为，， 所以中位数位于内，设中位数为，则，解得， 所以中位数的估计值为75分，故C错误； 对D，样本平均数的估计值为分，故D正确， 故选：BD. 【变式训练6】、（23-24高三上·北京石景山·期末）某学校从全校学生中随机抽取了50名学生作为样本进行数学知识测试，记录他们的成绩，测试卷满分100分，将数据分成6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，并整理得到如右频率分布直方图，则图中的值为 ，若全校学生参加同样的测试，估计全校学生的平均成绩为 （每组成绩用中间值代替）. 【答案】 【分析】 由频率分布直方图中总面积为可计算出，由频率分布直方图中平均数的计算方式计算平均数即可估计全校学生的平均成绩. 【详解】由频率分布直方图中总面积为， 即， 解得， ， 故可估计全校学生的平均成绩为. 故答案为：；. 【变式训练7】、（2023高二下·浙江杭州·学业考试）为了解某地儿童生长发育情况，抽查了100名3周岁女童的身高，将统计结果绘制成频率分布直方图如图，则可以估计这100名女童身高的平均值为 cm.    【答案】 【分析】根据频率分布直方图中平均数的计算规则计算可得. 【详解】依题意可得女童身高的平均值为 (cm). 故答案为： 重难点题型突破4 数据的数字特征 标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小． 例8．（2024·山西朔州·一模）已知一组样本数据分别为，若这组数据的平均数为4，则数据，的方差为（    ） A． B．8 C．16 D．24 【答案】D 【分析】先求出，再结合方差公式可得正确选项. 【详解】由题设有，故， 故， 故数据，的方差为： ， 故选：D. 例9、（2024·全国·模拟预测）（多选题）下图为甲、乙两人在同一星期内每日步数的折线统计图． 下列说法中，正确的是（    ） A．这一星期内甲的日步数的中位数为11600 B．这一星期内乙的日步数的平均值为11000 C．这一星期内甲的日步数的极差大于乙的日步数的极差 D．这一星期内甲的日步数的方差大于乙的日步数的方差 【答案】ACD 【分析】对于A，直接求出中位数，即可判断；对于B，直接求出乙的平均数，即可判断；对于C，分别计算出甲、乙日步数的极差，即可判断；对于D ，根据图象及方差的知识可判断出甲、乙方差大小，即可判断； 【详解】对于A：甲的日步数从小到大排列为2435，7965，9500，11600，12700，16000，16800，中位数是11600，故A正确； 对于B：乙的日步数平均值为，故B错误； 对于C：这一星期内甲的日步数的极差，这一星期内乙的日步数的极差，故C正确； 对于D：由图知甲的波动程度比乙的波动程度大，故甲的方差大于乙的方差，故D正确. 故选：ACD． 【变式训练9】、21．（2024·山东·二模）甲乙两名歌手参加选拔赛，5位评委评分情况如下：甲：；乙：，记甲、乙两人的平均得分分别为，则下列判断正确的是（    ） A．，甲比乙成绩稳定 B．，乙比甲成绩稳定 C．，甲比乙成绩稳定 D．，乙比甲成绩稳定 【答案】B 【分析】由平均数和方差公式求出，，，即可得出答案. 【详解】； ； ， 所以，乙比甲成绩稳定. 故选：B. 【变式训练10】、（23-24高三上·江苏·开学考试）（多选题）下图为甲、乙两人在同一星期内每日步数的折线统计图，则（    ）    A．这一星期内甲的日步数的中位数为11600 B．这一星期内甲的日步数的极差大于乙的日步数的极差 C．这一星期内乙的日步数的方差大于甲的日步数的方差 D．这一星期内乙的日步数的上四分位数是7030 【答案】AB 【分析】对于A：直接求出中位数； 对于B：分别计算出甲、乙日步数的极差，即可判断； 对于C：分别计算出甲、乙方差，即可判断； 对于D：将乙的日步数从小到大排列，计算可得； 【详解】对于A：甲的步数：16000，7965，12700，2435，16800，9500，11600. 从小到大排列为：2435，7965，9500，11600，12700，16000，16800,中位数是11600.故A正确； 对于B：这一星期内甲的日步数的极差, 这一星期内乙的日步数的极差, 这一星期内甲的日步数的极差大于乙的日步数的极差,故B正确； 对于C：由图知甲的波动程度越大，故方差大故C错误； 乙的步数从小到大排列为：5340，7030，10060，11600，12300，12970，14200， ，故这一星期内乙的日步数上四分位数是12970，故D错误. 故选：AB. 重难点题型突破5 综合应用 例11、（2024高一下·全国·专题练习）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中的值； (2)求样本成绩的第75百分位数； (3)已知落在的平均成绩是61，方差是7，落在的平均成绩为70，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差. 【答案】(1)； (2)84； (3)，. 【分析】（1）利用每组小矩形的面积之和为1即可求得a的值. （2）利用频率分布直方图结合第75百分位数的求法即可求得答案. （3）根据平均数的计算公式可求得两组成绩的总平均数；根据由样本方差计算总体方差公式可求得两组成绩的总方差. 【详解】（1）由每组小矩形的面积之和为1得， 所以. （2）成绩落在内的频率为， 落在内的频率为， 显然第75百分位数，由，解得， 所以第75百分位数为84. （3）由频率分布直方图知，成绩在的市民人数为， 成绩在的市民人数为，所以； 由样本方差计算总体方差公式，得总方差为. 例12、（23-24高二上·河南焦作·阶段练习）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者，某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中的值，并求样本成绩的第80百分位数； (2)已知落在的平均成绩是56，方差是7，落在的平均成绩为65，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差. 【答案】(1)，第80百分位数为86 (2)， 【分析】（1）借助频率分布直方图的性质计算可得，借助百分位数的性质计算即可得第80百分位数； （2）借助分层抽样的平均数与方差计算公式计算即可得. 【详解】（1）由每组小矩形的面积之和为1， ，解得：， 成绩落在内的频率为． 落在内的频率为． 故第80百分位数在，设第80百分位数为， 由，得，故第80百分位数为86； （2）由图可知，成绩在的市民人数为， 成绩在的市民人数为， 故， ， 所以两组市民成绩的总平均数是62，总方差是23． 【变式训练11】、（21-22高一下·山东临沂·期末）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者，某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中的值； (2)求样本成绩的第75百分位数； (3)已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差. 【答案】(1) (2)84 (3)总平均数为；总方差为 【分析】（1）根据每组小矩形的面积之和为1即可求解； （2）由频率分布直方图求第百分位数的计算公式即可求解； （3）利用分层抽样的平均数和方差的计算公式即可求解. 【详解】（1）因为每组小矩形的面积之和为1， 所以， 则. （2）成绩落在内的频率为， 落在内的频率为， 设第75百分位数为m， 由，得，故第75百分位数为84. （3）由图可知，成绩在的市民人数为， 成绩在的市民人数为， 故这两组成绩的总平均数为， 由样本方差计算总体方差公式可得总方差为： . 【变式训练12】、（2024·内蒙古呼和浩特·一模）为了解甲、乙两种农药在某种绿植表面的残留程度，进行如下试验：将100株同种绿植随机分成两组，每组50株，其中组绿植喷甲农药，组绿植喷乙农药，每株绿植所喷的农药体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在绿植表面的百分比，根据试验数据分别得到如图直方图： 记为事件：“乙农药残留在表面的百分比不低于5.5”，根据直方图得到的估计值为0.70． (1)求乙农药残留百分比直方图中的值； (2)估计甲农药残留百分比的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (3)估计乙农药残留百分比的中位数．（保留2位小数） 【答案】(1)； (2)4.05； (3)6.07. 【分析】（1）由的估计值为0.70，可得，求得值，再由整体频率为即可求得； （2）根据平均数的定义，取组区间的中点值进行计算即可得解； （3）中位数在使得直方图面积为处取得，经计算即可得解. 【详解】（1）为事件：“乙农药残留在表面的百分比不低于5.5”， 根据直方图得到的估计值为0.70． 则由频率分布直方图得：,解得, 所以乙农药残留在表面的百分比直方图中． （2）估计甲农药残留百分比的平均数为： ． （3）设乙农药残留百分比的中位数为，则 ,解得， 所以估计乙农药残留百分比的中位数约为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$