第9章 不等式与不等式组（导图+知识梳理+解题策略+十二大考向真题讲练）-2023-2024学年人教版数学七年级下册期末复习培优进阶考点精讲练

2023-2024学年人教版数学七年级下册期末复习培优进阶考点精讲练 第9章 不等式与不等式组 （导图+知识梳理+解题策略+十二大考向真题讲练） 同学你好，期末考试在即，本学期主要学习相交线与平行线；实数；平面直角坐标系；二元一次方程；不等式与不等式组；数据的收集、整理与描述等几个章节内容。初步感知了几何与代数综合应用的重要性，也体会了多元方程与不等式在解决各类问题中的灵活多变的解题策略。本学期试题难度上也进一步加深，重难点考点内容逐步增多。非常考验同学们的审题能力，解题技能，做题耐心，答题规范能力，做题细心度等方面能力。 这份讲义就本学期章节重难点内容进行复盘，考点梳理+解题策略+典例精讲+变式训练+真题拔高的排版结构。题目难度1-5星，星级越高，难度越大！深入挖掘重难点考点和题型，梳理解题方法，优选近两年各地名校期末真题，模拟题。帮助同学加深对知识的认识理解和综合运用。希望同学在期末考试中取得考成绩！ 知识梳理 1.不等式：用符号“＜”(或“≤”)，“＞”（或“≥”），≠连接的式子叫做不等式. 【易错点剖析】 （1）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解. （2）不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集． 解集的表示方法一般有两种：一种是用最简的不等式表示，例如，等；另一种是用数轴表示，如下图所示： （3）解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式． 2. 不等式的性质： 不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c 不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)． 不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)． 解题策略： 去分母：如果不等式中含有分母，且分母不为零，可以通过乘以适当的数（通常是分母的最小公倍数）来去掉分母。 去括号：如果不等式中含有括号，需要按照运算法则去括号。 移项：将不等式中的项移到不等号的一侧，使另一侧只含有一个未知数。 合并同类项：将不等式中的同类项合并，简化不等式。 系数化为1：如果未知数的系数不为1，可以通过乘以适当的数（通常是系数的倒数）来使系数化为1。 注意不等号的方向：在进行乘法或除法运算时，如果乘数或除数小于0，需要改变不等号的方向。 检验解集：将得到的解代入原不等式进行检验，确保解的正确性。 【真题精讲】（难度：✭✭✭）（2023春•河东区期末）甲种蔬菜保鲜适宜的温度是，乙种蔬菜保鲜适宜的温度是，将这两种蔬菜放在一起同时保鲜，适宜的温度是　　 A． B． C． D． 【变式训练01】（难度：✭✭✭）（2023春•招远市期末）写出一个关于的不等式，使，2都是它的解，这个不等式可以为 　 　． 【变式训练02】（难度：✭✭✭）（2021春•丰台区校级期末）已知的最小值为，的最大值为，则． 【真题精讲】（难度：✭✭✭）（2023春•亭湖区校级期末）叶子是植物进行光合作用的重要部分，研究植物的生长情况会关注叶面的面积．在研究水稻等农作物的生长时，经常用一个简洁的经验公式来估算叶面的面积，其中，分别是稻叶的长和宽（如图，是常数．试验小组采集了某个品种的稻叶的一些样本，发现绝大部分稻叶的形状比较狭长（如图，大致都在稻叶的处“收尖”．根据图2进行估算，对于此品种的稻叶，经验公式中的值约为　　 A．0.79 B．0.99 C．1.01 D．1.27 【变式训练01】（难度：✭✭✭）（2023春•昌黎县期末）若，则下列式子中错误的是　　 A． B． C． D． 【变式训练02】（难度：✭✭✭✭）（2023春•吉首市期末）阅读下列材料： 问题：已知，且，，试确定的取值范围 解：，， 又，，， 又，① 即② ①②得， 的取值范围是． 请按照上述方法，完成下列问题： （1）已知，且，， ①试确定的取值范围； ②试确定的取值范围； （2）已知，且，，若根据上述做法得到的取值范围是，请直接写出、的值． 【真题精讲】（难度：✭✭✭）（2023春•红山区期末）若关于的不等式组无解，则的取值范围为　　 A． B． C． D． 【变式训练01】（难度：✭✭✭）（2023春•凤凰县期末）我们定义，关于同一个未知数的不等式和，两个不等式的解集相同，则称与为同解不等式． （1）若关于的不等式，不等式是同解不等式，求的值； （2）若关于的不等式，不等式是同解不等式，其中，是正整数，求，的值； （3）若关于的不等式，不等式是同解不等式，试求关于的不等式的解集． 【变式训练02】（难度：✭✭✭）（2020春•自贡期末）请阅读求绝对值不等式和的解集过程． 对于绝对值不等式，从图1的数轴上看：大于而小于3的绝对值是小于3的，所以的解集为； 对于绝对值不等式，从图2的数轴上看：小于而大于3的绝对值是大于3的，所以的解集为或． 已知关于，的二元一次方程组的解满足，其中是负整数，求的值． 【真题精讲】（难度：✭✭✭）（2022春•泰和县期末）在实数范围内规定新运算“△”，其规则是：△．已知不等式△的解集在数轴上如图表示，则的值是 　　． 【变式训练01】（难度：✭✭✭）（2023春•徐闻县期末）解下列不等式组，并把解集在数轴上表示出来： 【变式训练02】（难度：✭✭✭）（2022春•丛台区期末）整式的值为． （1）当时，求的值； （2）若的取值范围如图所示，求的正整数值． 【真题精讲】（难度：✭✭✭）（2023春•德宏州期末）把不等式的解集在数轴上表示出来，正确的是　　 A． B． C． D． 【变式训练01】（难度：✭✭✭）（2023春•前郭县期末）已知关于，的二元一次方程组的解满足，求满足条件的的所有非负整数值． 【变式训练02】（难度：✭✭✭）（2023春•临汾期末）下面是小林同学解一元一次不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：去分母，得．第一步 去括号，得．第二步 移项，得．第三步 合并同类项，得．第四步 系数化为1，得．第五步 任务一：①以上解题过程中，第一步的依据是 　 　； ②第 　　步开始出现错误，这一步具体的错误是 　　 ； 任务二：请你直接写出正确的结果； 任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习方法和经验，就解不等式的过程写出一条注意事项． 知识梳理： 1. 定义：不等式的左右两边都是整式，经过化简后只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫做一元一次不等式， 【易错点剖析】ax+b＞0或ax+b＜0(a≠0)叫做一元一次不等式的标准形式． 2.解法： 解一元一次不等式步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1. 【易错点剖析】不等式解集的表示：在数轴上表示不等式的解集，要注意的是“三定”：一是定边界点，二是定方向，三是定空实. 3.应用：列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即： （1）审：认真审题，分清已知量、未知量； （2）设：设出适当的未知数； （3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等关键词的含义； （4）列：根据题中的不等关系，列出不等式； （5）解：解出所列的不等式的解集； （6）答：检验是否符合题意，写出答案. 【易错点剖析】 列一元一次不等式解应用题时，经常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超过”、“不大于”、“不小于”等表示不等关系的关键词语，弄清它们的含义是列不等式解决问题的关键. 解题策略： 知识点01：一元一次不等式的解法 1. 去分母：如果一元一次不等式中含有分母，并且分母不为零，我们需要通过乘以适当的数（通常是分母的最小公倍数）来去掉分母。 2. 去括号：如果一元一次不等式中含有括号，我们需要按照运算法则去括号。 3. 移项:将不等式中的项移到不等号的一侧，使另一侧只含有一个未知数。 4. 合并同类项:将不等式中的同类项合并，简化不等式。 5. 系数化为1:如果未知数的系数不为1，我们需要通过乘以适当的数（通常是系数的倒数）来使系数化为1。注意，当乘以或除以负数时，不等号的方向需要改变。 6. 写出解集:根据不等号的方向和未知数的系数，写出不等式的解集。 知识点02:一元一次不等式的应用 1. 理解问题背景 首先，我们需要理解问题的实际背景，明确问题中涉及的变量和条件。 2. 建立不等式模型 根据问题的实际背景和条件，我们可以建立一元一次不等式模型。这个模型应该能够准确地描述问题中的变量和条件之间的关系。 3. 解不等式 使用前面提到的一元一次不等式的解法，解出不等式。 4. 检验解集 将解集代入原不等式进行检验，确保解的正确性。同时，我们还需要根据问题的实际背景检验解集是否符合实际情况。 5. 给出答案 根据解集和问题的实际背景，给出问题的答案。答案应该清晰、准确，并且符合问题的要求。 【真题精讲】（难度：✭✭✭）（2023春•句容市期末）若实数3是不等式的一个解，则可取的最大整数是　　 A． B．2 C． D．3 【变式训练01】（难度：✭✭✭）（2023春•邗江区校级期末）我们定义：如果两个一元一次不等式有公共整数解，那么称这两个不等式互为“友好不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“友好不等式”， （1）不等式 　 　的“友好不等式”；（填“是”或“不是” ； （2）若，关于的不等式与不等式互为“友好不等式”，求的取值范围； （3）若关于的不等式不是的“友好不等式”，则的取值范围是 　　． 【变式训练02】（难度：✭✭✭✭）（2023春•开福区校级期末）对于不等式：且，当时，；当时，，请根据以上信息，解答以下问题： （1）解关于的不等式：； （2）若关于的不等式：，其解集中无正整数解，求的取值范围； （3）若关于的不等式：，当且时，在上总存在的值使得其成立，求的取值范围． 【真题精讲】（难度：✭✭✭）（2023春•铁西区期末）如图1，一个容量为的杯子中装有的水，将四颗相同的玻璃球放入这个杯中，结果水没有满，如图2．设每颗玻璃球的体积为，根据题意可列不等式为　　 A． B． C． D． 【变式训练01】（难度：✭✭✭）（2023春•信都区期末）已知“的与的2倍的差大于与10的和”． （1）试用不等式表示上述不等关系； （2）解（1）中的不等式，并在数轴表示此不等式的解集． 【变式训练02】（难度：✭✭✭✭）（2022春•通榆县期末）现有1元和5角的硬币共15枚，这些硬币的总币值小于9.5元．根据此信息，小强、小刚两名同学分别列出不完整的不等式如下：小强：　　，小刚：　　． （1）根据小强、小刚两名同学所列的不等式，请你分别指出未知数表示的意义； （2）在横线上补全小强、小刚两名同学所列的不等式：小强：　　，小刚：　　； （3）任选其中一个不等式，求可能有几枚5角的硬币．（写出完整的解答过程） 【真题精讲】（难度：✭✭✭）（2023秋•婺城区期末）已知是一个有理数，我们把不超过的最大整数记作．例如，，，．因此，，，，所以有，其中． （1）若，则　　，　　． （2）已知．则　　． 【变式训练01】（难度：✭✭✭）（2022春•韩城市期末）茶为国饮，茶文化是中国传统文化的重要组成部分，这也带动了茶艺、茶具、茶服等相关文化的延伸及产业的发展，在“春季茶叶节”期间，某茶具店老板购进了、两种不同的茶具．若购进种茶具1套和种茶具2套，需要250元；若购进种茶具3套和种茶具4套，需要600元． （1）、两种茶具每套进价分别为多少元？ （2）由于茶具畅销，茶具店老板决定再次购进、两种茶具共80套，茶具厂对这两种类型的茶具进行了价格调整，种茶具的进价比第一次购进时提高了，种茶具的进价按第一次购进时进价的八折．如果茶具店老板此次用于购进、两种茶具的总费用不超过6240元，则茶具店老板最多能购进种茶具多少套？ 【变式训练02】（难度：✭✭✭✭）（2023春•梁园区期末）为了更好治理河流水质，保护环境，某市治污公司决定购买10台污水处理设备，现有，两种型号的设备，其中每台的价格，月处理污水量如表： 型 型 价格（万元台） 处理污水量（吨月） 220 180 经调查：购买一台型设备比购买一台型设备多3万元，购买2台型设备比购买3台型设备少3万元． （1）求，的值； （2）经预算：市治污公司购买污水处理设备的资金不超过100万元，你认为该公司有哪几种购买方案； （3）在（2）问的条件下，若每月要求处理的污水量不低于1880吨，为了节约资金，请你为治污公司设计一种最省钱的购买方案． 知识点01：一元一次不等式组的基本概念 定义：把两个或两个以上的一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。 注意：一元一次不等式组中的不等式所含未知数必须相同。 知识点02：一元一次不等式组的解法 一般步骤： 求各不等式的解集：先分别求出不等式组中每个不等式的解集。 找公共部分：再找出这些解集的公共部分，这个公共部分即为不等式组的解集。 利用数轴表示：利用数轴可以直观地表示不等式组的解集。 整数解： 解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集。 再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件。 再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解。 知识点03：一元一次不等式组的应用 实际问题建模：一元一次不等式组经常用于解决实际问题，如价格比较、时间规划等。关键在于将实际问题转化为数学不等式模型。 解题策略： 理解问题背景：明确问题的实际背景和涉及的变量。 建立不等式组：根据问题的实际背景和条件，建立一元一次不等式组。 解不等式组：按照前面提到的步骤解不等式组。 检验结果：将解代入原问题中检验是否满足条件。 给出答案：根据解给出实际问题的答案。 知识点04：注意事项 不等式组无解：当几个不等式的解集没有公共部分时，不等式组无解。 解集表示：在数轴上表示解集时，注意开区间和闭区间的表示方法。 整数解：如果需要求解整数解，要注意解集范围内符合条件的整数。 【真题精讲】（难度：✭✭✭）（2023秋•岳阳期末）已知关于的不等式组，下列四个结论： ①若它的解集是，则； ②当，不等式组有解； ③若它的整数解仅有3个，则的取值范围是； ④若它有解，则． 其中正确的结论个数　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练01】（难度：✭✭✭）（2023秋•义乌市期末）解一元一次不等式组：． 【变式训练02】（难度：✭✭✭）（2021春•大东区期末）解不等式组，并把它们的解集表示在数轴上． 【变式训练03】（难度：✭✭✭）（2023春•高安市期末）已知关于，的方程组． （1）若该方程组的解满足，求的值； （2）若该方程组的解满足，均为正数，求的取值范围； （3）在（2）的条件下，若不等式的解为，求的整数值． 【真题精讲】（难度：✭✭✭）（2023春•汉阴县期末）解不等式组，并写出它的正整数解． 【变式训练01】（难度：✭✭✭）（2023春•泉州期末）给出新定义：对非负数“四舍五入”到个位的值记为，即当为非负整数时，若，则，如：，，，，试解决下列问题： （1）填空：若，则实数的取值范围为 　　 ； （2）已知关于的不等式组的整数解恰有2个，求的取值范围． （3）求满足的所有非负实数的值． 【变式训练02】（难度：✭✭✭✭）（2023春•海州区期末）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”． （1）在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是 　　；（填序号） （2）若关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围； （3）若关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组有4个整数解，试求的取值范围． 【变式训练03】（难度：✭✭✭✭）（2023春•东湖区校级期末）若一个不等式（组有解且解集为，则称为的解集中点值，若的解集中点值是不等式（组的解（即中点值满足不等式组），则称不等式（组对于不等式（组中点包含． （1）已知关于的不等式组，以及不等式，请判断不等式对于不等式组是否中点包含，并写出判断过程； （2）已知关于的不等式组和不等式组，若对于不等式组中点包含，求的取值范围． （3）关于的不等式组和不等式组，若不等式组对于不等式组中点包含，且所有符合要求的整数之和为9，求的取值范围． 【真题精讲】（难度：✭✭✭）（2021春•东至县期末）开发区某物流公司计划调用甲、乙两种型号的物流货车共15辆，运送360件种货物和396件种货物．已知甲种物流货车每辆最多能载30件种货物和24件种货物，乙种物流货车每辆最多能载20件种货物和30件种货物．设安排甲种物流货车辆，你认为下列符合题意的不等式组是　　 A． B． C． D． 【变式训练01】（难度：✭✭✭）（2023春•阳江期末）将一箱书分给学生，若每位学生分6本书，则还剩10本书；若每位学生分8本书，则有一个学生分到书但不到4本．求这一箱书的本数与学生的人数．若设有人，则可列不等式组为　　 A． B． C． D． 【变式训练02】（难度：✭✭✭✭）（2023春•丹徒区期末）【阅读材料】 我们知道，一个数的绝对值是指在数轴上表示这个数的点到原点的距离．例如表示数轴上表示这个数的点到原点的距离，那么式子可理解为：数轴上表示这个数的点到表示1这个数的点的距离．于是解不等式则是要在数轴上找出到1的距离小于等于2的所有点，观察数轴可以看出，在数轴上到1距离小于等于2的点对应的数都在和3之间（包含和3两个点），这样我们就可以得到不等式的解集为：； 【解决问题】 参考阅读材料，借助数轴，解答下列问题： （1）不等式的解集为 　　； （2）不等式的解集为 　　； （3）不等式的解集为 　　； （4）不等式的解集为 　　； （5）对于任意数，若不等式恒成立，求的取值范围． 【真题精讲】（难度：✭✭✭）（2023秋•隆回县期末）把一些笔分给几名学生，如果每人分5支，那么余7支；如果前面的学生每人分6支，那么最后一名学生能分到笔但分到的少于3支，则共有学生　　 A．11人 B．12人 C．11或12人 D．13人 【变式训练01】（难度：✭✭✭）（2023春•泗水县期末）对一实数按如图所示程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个实数”到“判断结果是否大于190？”为一次操作，如果操作恰好进行两次后停止，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【变式训练02】（难度：✭✭✭）（2023春•武汉期末）“武汉是座英雄的城市”．在抗击“新冠肺炎”这场没有硝烟的战斗中，广大医务工作者奋战在抗疫的一线前沿是生命中“最美的逆行者”．某方舟医院安排若干名护士负责护理一批新冠病人，若每位护士护理4名病患，有20名患者没有人护理；若安排每位护士护理8名患者，就有一位护士护理的病人多于1人且不足8人．这个方舟医院安排了　　名护士护理新冠病人． A．8 B．7 C．6 D．5 【变式训练03】（难度：✭✭✭✭）（2023春•泸县校级期末）“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．基本中学为了落实双减政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，买5套甲型号和10套乙型号共用1100元． （1）求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？ （2）若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共120套，总费用不超过8600元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，问有几种购买方案？最低费用是多少？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年人教版数学七年级下册期末复习培优进阶考点精讲练 第9章 不等式与不等式组 （导图+知识梳理+解题策略+十二大考向真题讲练） 同学你好，期末考试在即，本学期主要学习相交线与平行线；实数；平面直角坐标系；二元一次方程；不等式与不等式组；数据的收集、整理与描述等几个章节内容。初步感知了几何与代数综合应用的重要性，也体会了多元方程与不等式在解决各类问题中的灵活多变的解题策略。本学期试题难度上也进一步加深，重难点考点内容逐步增多。非常考验同学们的审题能力，解题技能，做题耐心，答题规范能力，做题细心度等方面能力。 这份讲义就本学期章节重难点内容进行复盘，考点梳理+解题策略+典例精讲+变式训练+真题拔高的排版结构。题目难度1-5星，星级越高，难度越大！深入挖掘重难点考点和题型，梳理解题方法，优选近两年各地名校期末真题，模拟题。帮助同学加深对知识的认识理解和综合运用。希望同学在期末考试中取得考成绩！ 知识梳理 1.不等式：用符号“＜”(或“≤”)，“＞”（或“≥”），≠连接的式子叫做不等式. 【易错点剖析】 （1）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解. （2）不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集． 解集的表示方法一般有两种：一种是用最简的不等式表示，例如，等；另一种是用数轴表示，如下图所示： （3）解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式． 2. 不等式的性质： 不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c 不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)． 不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)． 解题策略： 去分母：如果不等式中含有分母，且分母不为零，可以通过乘以适当的数（通常是分母的最小公倍数）来去掉分母。 去括号：如果不等式中含有括号，需要按照运算法则去括号。 移项：将不等式中的项移到不等号的一侧，使另一侧只含有一个未知数。 合并同类项：将不等式中的同类项合并，简化不等式。 系数化为1：如果未知数的系数不为1，可以通过乘以适当的数（通常是系数的倒数）来使系数化为1。 注意不等号的方向：在进行乘法或除法运算时，如果乘数或除数小于0，需要改变不等号的方向。 检验解集：将得到的解代入原不等式进行检验，确保解的正确性。 【真题精讲】（难度：✭✭✭）（2023春•河东区期末）甲种蔬菜保鲜适宜的温度是，乙种蔬菜保鲜适宜的温度是，将这两种蔬菜放在一起同时保鲜，适宜的温度是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】确定两种蔬菜保鲜适宜的温度的公共部分，即可得出结果． 【规范解答】解：甲蔬菜保鲜适宜的温度是，乙种蔬菜保鲜适宜的温度是， 这两种蔬菜放在一起同时保鲜，适宜的温度是． 故选：． 【考点评析】本题考查不等式的实际应用．解题的关键是找到两个范围的公共部分． 【变式训练01】（难度：✭✭✭）（2023春•招远市期末）写出一个关于的不等式，使，2都是它的解，这个不等式可以为 　（答案不唯一）　． 【思路点拨】由，2均小于3可得，在此基础上求解即可． 【规范解答】解：由，2均小于2可得， 所以符合条件的不等式可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 【考点评析】本题主要考查不等式的解集，解题的关键是掌握使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解． 【变式训练02】（难度：✭✭✭）（2021春•丰台区校级期末）已知的最小值为，的最大值为，则． 【思路点拨】解答此题首先根据已知得出理解“”“ ”的意义，判断出和的最值即可解答． 【规范解答】解：因为的最小值是，； 的最大值是，则； 则． 故答案为：． 【考点评析】此题主要考查了不等式的解集的意义，解答此题要明确，时，可以等于5；时，可以等于5是解决问题的关键． 【真题精讲】（难度：✭✭✭）（2023春•亭湖区校级期末）叶子是植物进行光合作用的重要部分，研究植物的生长情况会关注叶面的面积．在研究水稻等农作物的生长时，经常用一个简洁的经验公式来估算叶面的面积，其中，分别是稻叶的长和宽（如图，是常数．试验小组采集了某个品种的稻叶的一些样本，发现绝大部分稻叶的形状比较狭长（如图，大致都在稻叶的处“收尖”．根据图2进行估算，对于此品种的稻叶，经验公式中的值约为　　 A．0.79 B．0.99 C．1.01 D．1.27 【思路点拨】根据矩形的面积大于叶的面积，即，可得，再把叶片的尖端可以近似看作等腰三角形，则稻叶可以分为等腰三角形及矩形两部分，再求出的大约值即可． 【规范解答】解：由图1可知，矩形的面积大于叶的面积，即， ， ， 由图2可知，叶片的尖端可以近似看作等腰三角形， 稻叶可以分为等腰三角形及矩形两部分， 矩形的长为，等腰三角形的高为，稻叶的宽为， ， 故选：． 【考点评析】本题主要考查数据的处理及应用，熟练掌握不等式的性质，理清题意，准确找出等量关系时解答此题的关键． 【变式训练01】（难度：✭✭✭）（2023春•昌黎县期末）若，则下列式子中错误的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据不等式的性质，进行计算逐一判断即可解答． 【规范解答】解：、，，故正确，不符合题意； 、，，故正确，不符合题意； 、，，故正确，不符合题意； 、，，故错误，符合题意； 故选：． 【考点评析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 【变式训练02】（难度：✭✭✭✭）（2023春•吉首市期末）阅读下列材料： 问题：已知，且，，试确定的取值范围 解：，， 又，，， 又，① 即② ①②得， 的取值范围是． 请按照上述方法，完成下列问题： （1）已知，且，， ①试确定的取值范围； ②试确定的取值范围； （2）已知，且，，若根据上述做法得到的取值范围是，请直接写出、的值． 【思路点拨】（1）①根据阅读材料所给的解题过程，直接套用解答即可求得的取值； ②由①得，进而求得，即，即可求得的取值范围； （2）根据题意求得，，然后利用不等式的性质求解的取值范围，从而得到关于，的方程求解． 【规范解答】解：（1）①， ， ， ， ， ， ， ②由①得， ， 即②， ， 的取值范围是； （2）， ， ， ， ， ， ， ， ①， ， ， ， ②， ， ①②得：， 的取值范围是， ， 解得：． 【考点评析】本题考查了一元一次不等式的性质，仔细阅读材料，理解解题过程是解答本题的关键． 【真题精讲】（难度：✭✭✭）（2023春•红山区期末）若关于的不等式组无解，则的取值范围为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据不等式组无解，利用不等式解集的取值原则，列出关于的不等式求解即可． 【规范解答】解：关于的不等式组无解， ． 故选：． 【考点评析】本题考查了根据不等式组的解集求参数，熟练掌握不等式解集的原则“大大取较大，小小取较小，大小小大中间找，大大小小无处找”是解答本题的关键． 【变式训练01】（难度：✭✭✭）（2023春•凤凰县期末）我们定义，关于同一个未知数的不等式和，两个不等式的解集相同，则称与为同解不等式． （1）若关于的不等式，不等式是同解不等式，求的值； （2）若关于的不等式，不等式是同解不等式，其中，是正整数，求，的值； （3）若关于的不等式，不等式是同解不等式，试求关于的不等式的解集． 【思路点拨】（1）利用题干中的同解不等式的定义求解； （2）利用题干中的同解不等式的定义及整除定义求解； （3）利用题干中的同解不等式的定义求出字母的取值，再解字母系数的不等式． 【规范解答】解：（1）解关于的不等式，得， 解不等式，得， 由题意得：， 解得：． （2）解不等式得：， 不等式得：， ， ， ，是正整数， 为1或4或2， ，或；，或，． （3）解不等式得：， 解不等式得：， ， ， ， ，且， ， 的解为：． 【考点评析】本题考查了不等式的性质及解不等式，理解新定义时解题的关键． 【变式训练02】（难度：✭✭✭）（2020春•自贡期末）请阅读求绝对值不等式和的解集过程． 对于绝对值不等式，从图1的数轴上看：大于而小于3的绝对值是小于3的，所以的解集为； 对于绝对值不等式，从图2的数轴上看：小于而大于3的绝对值是大于3的，所以的解集为或． 已知关于，的二元一次方程组的解满足，其中是负整数，求的值． 【思路点拨】根据题意由得出，解二元一次方程组，得出，得到不等式组，求出值，结合为负整数即可得出结果． 【规范解答】解：， ， 解， ①②得：， ， 则， 解得：， 又是负整数， 的值为或或或． 【考点评析】本题考查了解一元一次不等式组和绝对值的意义，能正确去掉绝对值符号是解此题的关键． 【真题精讲】（难度：✭✭✭）（2022春•泰和县期末）在实数范围内规定新运算“△”，其规则是：△．已知不等式△的解集在数轴上如图表示，则的值是 　　． 【思路点拨】根据新运算法则得到不等式，通过解不等式即可求的取值范围，结合图象可以求得的值． 【规范解答】解：根据图示知，已知不等式的解集是． 则 △， 且， ． 故答案为：． 【考点评析】本题考查了在数轴上表示不等式的解集、解一元一次不等式．在表示解集时“”，“ ”要用实心圆点表示；“”，“ ”要用空心圆点表示． 【变式训练01】（难度：✭✭✭）（2023春•徐闻县期末）解下列不等式组，并把解集在数轴上表示出来： 【思路点拨】先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可． 【规范解答】解： 解不等式，得， 解不等式，得， 在数轴表示如图所示： 原不等式组的解集是． 【考点评析】本题主要考查解一元一次不等式组，准确求出每个不等式的解集是解题的根本，将不等式解集表示在数轴上从而确定不等式组的解集是关键． 【变式训练02】（难度：✭✭✭）（2022春•丛台区期末）整式的值为． （1）当时，求的值； （2）若的取值范围如图所示，求的正整数值． 【思路点拨】（1）把代入代数式中进行计算便可； （2）根据数轴列出的不等式进行解答便可． 【规范解答】解：（1）根据题意得：． （2）由图可知：， 即， 解得． 为正整数， ，2． 【考点评析】本题考查了求代数式的值，解一元一次不等式的解集，不等式的解集的应用，第（2）题关键是根据数轴列出的不等式． 【真题精讲】（难度：✭✭✭）（2023春•德宏州期末）把不等式的解集在数轴上表示出来，正确的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】先求出不等式的解集，再根据不等式的解集在数轴上表示方法画出图示即可． 【规范解答】解：将不等式移项得：， 合并同类项得：， 将不等式的解集表示在数轴上如下： 故选：． 【考点评析】本题考查了解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集．不等式的解集在数轴上表示的方法：“”空心圆点向右画折线，“”实心圆点向右画折线，“”空心圆点向左画折线，“”实心圆点向左画折线．在数轴上正确表示出不等式的解集是解题的关键． 【变式训练01】（难度：✭✭✭）（2023春•前郭县期末）已知关于，的二元一次方程组的解满足，求满足条件的的所有非负整数值． 【思路点拨】方程组两方程相加表示出，代入已知不等式求出的范围，确定出的所有非负整数解即可． 【规范解答】解： ①②得： ， 把代入②得 ， ， ， ， 所以满足条件的的所有非负整数值为：0，1，2． 【考点评析】此题考查了二元一次方程组的解，以及一元一次不等式的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式训练02】（难度：✭✭✭）（2023春•临汾期末）下面是小林同学解一元一次不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：去分母，得．第一步 去括号，得．第二步 移项，得．第三步 合并同类项，得．第四步 系数化为1，得．第五步 任务一：①以上解题过程中，第一步的依据是 　不等式的基本性质　； ②第 　　步开始出现错误，这一步具体的错误是 　　； 任务二：请你直接写出正确的结果； 任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习方法和经验，就解不等式的过程写出一条注意事项． 【思路点拨】任务一：①根据不等式的基本性质，进行作答；②从第三步开始出错； 任务二：按照解一元一次不等式的步骤求解即可； 任务三：注意不等式左右两边乘同一个负数时，不等号方向要改变． 【规范解答】解：任务一：①第一步的依据是：不等式的基本性质； 故答案为：不等式的基本性质； ②第三步移项出错，移项没有改变符号； 故答案为：三，移项没有改变符号； 任务二：解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； 任务三：除纠正上述错误外，就解不等式的过程还应注意不等式左右两边乘同一个负数时，不等号方向要改变． 【考点评析】本题考查解一元一次不等式．熟练掌握解一元一次不等式的步骤，是解题的关键． 知识梳理： 1. 定义：不等式的左右两边都是整式，经过化简后只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫做一元一次不等式， 【易错点剖析】ax+b＞0或ax+b＜0(a≠0)叫做一元一次不等式的标准形式． 2.解法： 解一元一次不等式步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1. 【易错点剖析】不等式解集的表示：在数轴上表示不等式的解集，要注意的是“三定”：一是定边界点，二是定方向，三是定空实. 3.应用：列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即： （1）审：认真审题，分清已知量、未知量； （2）设：设出适当的未知数； （3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等关键词的含义； （4）列：根据题中的不等关系，列出不等式； （5）解：解出所列的不等式的解集； （6）答：检验是否符合题意，写出答案. 【易错点剖析】 列一元一次不等式解应用题时，经常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超过”、“不大于”、“不小于”等表示不等关系的关键词语，弄清它们的含义是列不等式解决问题的关键. 解题策略： 知识点01：一元一次不等式的解法 1. 去分母：如果一元一次不等式中含有分母，并且分母不为零，我们需要通过乘以适当的数（通常是分母的最小公倍数）来去掉分母。 2. 去括号：如果一元一次不等式中含有括号，我们需要按照运算法则去括号。 3. 移项:将不等式中的项移到不等号的一侧，使另一侧只含有一个未知数。 4. 合并同类项:将不等式中的同类项合并，简化不等式。 5. 系数化为1:如果未知数的系数不为1，我们需要通过乘以适当的数（通常是系数的倒数）来使系数化为1。注意，当乘以或除以负数时，不等号的方向需要改变。 6. 写出解集:根据不等号的方向和未知数的系数，写出不等式的解集。 知识点02:一元一次不等式的应用 1. 理解问题背景 首先，我们需要理解问题的实际背景，明确问题中涉及的变量和条件。 2. 建立不等式模型 根据问题的实际背景和条件，我们可以建立一元一次不等式模型。这个模型应该能够准确地描述问题中的变量和条件之间的关系。 3. 解不等式 使用前面提到的一元一次不等式的解法，解出不等式。 4. 检验解集 将解集代入原不等式进行检验，确保解的正确性。同时，我们还需要根据问题的实际背景检验解集是否符合实际情况。 5. 给出答案 根据解集和问题的实际背景，给出问题的答案。答案应该清晰、准确，并且符合问题的要求。 【真题精讲】（难度：✭✭✭）（2023春•句容市期末）若实数3是不等式的一个解，则可取的最大整数是　　 A． B．2 C． D．3 【思路点拨】根据实数3是不等式的一个解，可以求得的取值范围，从而可以求得可取的最大整数． 【规范解答】解：由不等式，得， 实数3是不等式的一个解， ， 解得， 可取的最大整数为， 故选：． 【考点评析】本题考查一元一次不等式的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法． 【变式训练01】（难度：✭✭✭）（2023春•邗江区校级期末）我们定义：如果两个一元一次不等式有公共整数解，那么称这两个不等式互为“友好不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“友好不等式”， （1）不等式 　是　的“友好不等式”；（填“是”或“不是” ； （2）若，关于的不等式与不等式互为“友好不等式”，求的取值范围； （3）若关于的不等式不是的“友好不等式”，则的取值范围是 　　． 【思路点拨】（1）根据友好不等式的定义即可求解； （2）分两种情况讨论根据友好不等式的定义得到含的不等式，解得即可； （3）解不等式可得，解不等式得，再根据友好不等式的定义可得，解不等式即可求解． 【规范解答】解：（1）不等式和不等式有公共解2， 不等式是的“友好不等式”， 故答案为：是； （2）①当时，即时，依题意有，即，故； ②当时，即时，始终符合题意，故； 综上，的取值范围为或； （3）解不等式可得， 解不等式得， 关于的不等式不是的“友好不等式”， ， 故的取值范围． 【考点评析】本题主要考查解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 【变式训练02】（难度：✭✭✭✭）（2023春•开福区校级期末）对于不等式：且，当时，；当时，，请根据以上信息，解答以下问题： （1）解关于的不等式：； （2）若关于的不等式：，其解集中无正整数解，求的取值范围； （3）若关于的不等式：，当且时，在上总存在的值使得其成立，求的取值范围． 【思路点拨】（1）根据题意可得，解不等式即可； （2）根据题意可得，则，然后讨论的符号，结合解集中无正整数解进行求解即可； （3）分当时，当时，两种情况求出对应的不等式解集，再根据在上总存在的值使得其成立进行求解即可． 【规范解答】解：（1）：，， ， 解得； （2）， ， ， 当时，则，此时任意的实数都满足条件， 又不等式解集中无正整数解， 此种情况不符合题意； 当时，则， 不等式解集中无正整数解， ， ； 当时，则， 又不等式解集中无正整数解， 此种情况不符合题意； 综上所述，； （3）当时， ， ， ， 在上总存在的值使得成立， ， ； 当时， ， ， ， 在上总存在的值使得成立， ， ； 综上所述，当时，；当时，． 【考点评析】本题主要考查了解一元一次不等式，正确理解题意并利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 【真题精讲】（难度：✭✭✭）（2023春•铁西区期末）如图1，一个容量为的杯子中装有的水，将四颗相同的玻璃球放入这个杯中，结果水没有满，如图2．设每颗玻璃球的体积为，根据题意可列不等式为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】水的体积个玻璃球的体积． 【规范解答】解：水的体积为，四颗相同的玻璃球的体积为， 根据题意得到：． 故选：． 【考点评析】本题考查的是由实际问题抽象出一元一次不等式，解此类题目的关键是读懂图意． 【变式训练01】（难度：✭✭✭）（2023春•信都区期末）已知“的与的2倍的差大于与10的和”． （1）试用不等式表示上述不等关系； （2）解（1）中的不等式，并在数轴表示此不等式的解集． 【思路点拨】（1）根据不等关系列式即可； （2）先移项合并同类项，再将系数化为1，最后将解集表示在数轴上即可． 【规范解答】解：（1）的与的2倍的差大于与10的和用不等式表示为：． （2）， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 将不等式的解集表示在数轴上，如图所示： 【考点评析】本题主要考查了列不等式，解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式的一般步骤，准确计算． 【变式训练02】（难度：✭✭✭✭）（2022春•通榆县期末）现有1元和5角的硬币共15枚，这些硬币的总币值小于9.5元．根据此信息，小强、小刚两名同学分别列出不完整的不等式如下：小强：　　，小刚：　　． （1）根据小强、小刚两名同学所列的不等式，请你分别指出未知数表示的意义； （2）在横线上补全小强、小刚两名同学所列的不等式：小强：　　，小刚：　　； （3）任选其中一个不等式，求可能有几枚5角的硬币．（写出完整的解答过程） 【思路点拨】（1）根据这些硬币的总币值小于9.5元，结合两人所列不等式可得； （2）由（1）可得答案； （3）解不等式得出的范围，从而得出答案． 【规范解答】解：（1）根据题意小强、小刚两名同学分别列出尚不完整的不等式如下： 小强： 小刚： 小强：表示有1元硬币的枚数；小刚：表示有5角硬币的枚数． （2）由（1）知小强： 小刚： 故答案为：、． （3）设小刚可能有5角的硬币枚， 根据题意得出： 解得：， 是自然数， 可取12，13、14， 答：小刚可能有5角的硬币12枚，13枚，14枚． 【考点评析】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式，正确理解题意得出不等关系是解题关键． 【真题精讲】（难度：✭✭✭）（2023秋•婺城区期末）已知是一个有理数，我们把不超过的最大整数记作．例如，，，．因此，，，，所以有，其中． （1）若，则　　，　　． （2）已知．则　　． 【思路点拨】（1）根据表示不超过的最大整数的定义及例子直接求解即可； （2）由材料中的条件可得，由，可求得的范围，根据为整数，分情况讨论即可求得的值． 【规范解答】解：（1）根据题意得：， ， ， ， ； 故答案为：；0.7； （2），其中， ， ， ． ， ， ， 或． 当时，，； 当时，，； 或． 故答案为：或． 【考点评析】本题考查了不等式的应用和新定义的理解和运用，正确理解表示不超过的最大整数是关键，有难度． 【变式训练01】（难度：✭✭✭）（2022春•韩城市期末）茶为国饮，茶文化是中国传统文化的重要组成部分，这也带动了茶艺、茶具、茶服等相关文化的延伸及产业的发展，在“春季茶叶节”期间，某茶具店老板购进了、两种不同的茶具．若购进种茶具1套和种茶具2套，需要250元；若购进种茶具3套和种茶具4套，需要600元． （1）、两种茶具每套进价分别为多少元？ （2）由于茶具畅销，茶具店老板决定再次购进、两种茶具共80套，茶具厂对这两种类型的茶具进行了价格调整，种茶具的进价比第一次购进时提高了，种茶具的进价按第一次购进时进价的八折．如果茶具店老板此次用于购进、两种茶具的总费用不超过6240元，则茶具店老板最多能购进种茶具多少套？ 【思路点拨】（1）设种茶具每套的进价为元，种茶具每套进价为元，由题意：若购进种茶具1套和种茶具2套，需要250元；若购进种茶具3套和种茶具4套，需要600元．列出方程组，解方程组即可； （2）设茶具店老板最多能购进种茶具套，则购进种茶具套，由题意：种茶具的进价比第一次购进时提高了，种茶具的进价按第一次购进时进价的八折．如果茶具店老板此次用于购进、两种茶具的总费用不超过6240元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【规范解答】解：（1）设种茶具每套的进价为元，种茶具每套进价为元， 由题意得：， 解得：， 答：种茶具每套的进价为100元，种茶具每套进价为75元； （2）设茶具店老板最多能购进种茶具套，则购进种茶具套， 由题意得：， 解得：， 答：茶具店老板最多能购进种茶具30套． 【考点评析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 【变式训练02】（难度：✭✭✭✭）（2023春•梁园区期末）为了更好治理河流水质，保护环境，某市治污公司决定购买10台污水处理设备，现有，两种型号的设备，其中每台的价格，月处理污水量如表： 型 型 价格（万元台） 处理污水量（吨月） 220 180 经调查：购买一台型设备比购买一台型设备多3万元，购买2台型设备比购买3台型设备少3万元． （1）求，的值； （2）经预算：市治污公司购买污水处理设备的资金不超过100万元，你认为该公司有哪几种购买方案； （3）在（2）问的条件下，若每月要求处理的污水量不低于1880吨，为了节约资金，请你为治污公司设计一种最省钱的购买方案． 【思路点拨】（1）购买型的价格是万元，购买型的设备万元，根据购买一台型号设备比购买一台型号设备多3万元，购买2台型设备比购买3台型号设备少3万元，可列方程组求解． （2）设购买型号设备台，则型为台，根据使治污公司购买污水处理设备的资金不超过100万元，进而得出不等式； （3）利用每月要求处理污水量不低于1880吨，可列不等式求解． 【规范解答】解：（1）根据题意得：， 解得：； （2）设购买污水处理设备型设备台，型设备台，根据题意得， ， ， 取非负整数， ，1，2，3 ，9，8，7 有四种购买方案： ①型设备0台，型设备10台； ②型设备1台，型设备9台； ③型设备2台，型设备8台． ④型设备3台，型设备7台； （3）由题意：， ， 又， 为2，3． 当时，购买资金为（万元）， 当时，购买资金为（万元）， 为了节约资金，应选购型设备2台，型设备8台． 【考点评析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据购买一台型号设备比购买一台型号设备多3万元，购买2台型设备比购买3台型号设备少3万元和根据使治污公司购买污水处理设备的资金不超过100万元，若每月要求处理洋澜湖的污水量不低于1880吨，等量关系和不等量关系分别列出方程组和不等式求解． 知识点01：一元一次不等式组的基本概念 定义：把两个或两个以上的一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。 注意：一元一次不等式组中的不等式所含未知数必须相同。 知识点02：一元一次不等式组的解法 一般步骤： 求各不等式的解集：先分别求出不等式组中每个不等式的解集。 找公共部分：再找出这些解集的公共部分，这个公共部分即为不等式组的解集。 利用数轴表示：利用数轴可以直观地表示不等式组的解集。 整数解： 解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集。 再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件。 再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解。 知识点03：一元一次不等式组的应用 实际问题建模：一元一次不等式组经常用于解决实际问题，如价格比较、时间规划等。关键在于将实际问题转化为数学不等式模型。 解题策略： 理解问题背景：明确问题的实际背景和涉及的变量。 建立不等式组：根据问题的实际背景和条件，建立一元一次不等式组。 解不等式组：按照前面提到的步骤解不等式组。 检验结果：将解代入原问题中检验是否满足条件。 给出答案：根据解给出实际问题的答案。 知识点04：注意事项 不等式组无解：当几个不等式的解集没有公共部分时，不等式组无解。 解集表示：在数轴上表示解集时，注意开区间和闭区间的表示方法。 整数解：如果需要求解整数解，要注意解集范围内符合条件的整数。 【真题精讲】（难度：✭✭✭）（2023秋•岳阳期末）已知关于的不等式组，下列四个结论： ①若它的解集是，则； ②当，不等式组有解； ③若它的整数解仅有3个，则的取值范围是； ④若它有解，则． 其中正确的结论个数　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨】本题主要首先确定不等式组的解集，先利用含的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于的不等式组，从而求出的范围． 【规范解答】解：， 解不等式①，得． 解不等式②，得， 所以不等式组的解集为， ①它的解集是， ， 解得，故原结论正确； ②， ， 故不等式组无解，故原结论错误； ③它的整数解仅有3个， ， 解得． 则的取值范围是，故原结论错误； ④不等式组有解， ， ，原结论正确． 所以正确的结论个数是2个． 故选：． 【考点评析】本题考查的是解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 【变式训练01】（难度：✭✭✭）（2023秋•义乌市期末）解一元一次不等式组：． 【思路点拨】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【规范解答】解：， 由①得，， 解得：， 由②得，， 解得：， 故不等式组的解集为：． 【考点评析】本题考查的是解一元一次不等式组，解题的关键在于正确求出每一个不等式解集． 【变式训练02】（难度：✭✭✭）（2021春•大东区期末）解不等式组，并把它们的解集表示在数轴上． 【思路点拨】分别求出两个不等式的解集，然后求出两个解集的公共部分即可得解． 【规范解答】解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， 在数轴上表示如下： 所以不等式组的解集为：． 【考点评析】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）． 【变式训练03】（难度：✭✭✭）（2023春•高安市期末）已知关于，的方程组． （1）若该方程组的解满足，求的值； （2）若该方程组的解满足，均为正数，求的取值范围； （3）在（2）的条件下，若不等式的解为，求的整数值． 【思路点拨】（1）用加减消元法解出和的值，把和用含有的式子表示，代入，求出的值即可； （2）将暂时当做已知数解方程组，把和用含有的式子表示出来，再根据，均为正数，列出关于的一元一次不等式组，解之即可， （3）不等式的解为，根据不等式得性质得到，得到的取值范围，再根据（2）的范围，求得最终的取值范围，即可得到答案． 【规范解答】解：（1）， ①②得：，即， 代入得：， 解得：， 故的值为2023； （2）， ①②得：，即③， ③②得， ， ③①得， ， ，均为正数， ， 解得：； （2）不等式移项得：， 不等式的解为， ， 解得：， 又， 的取值范围为， 整数的值为或． 【考点评析】本题考查二元一次方程组的解及解一元一次不等式组，根据数量关系列出一元一次不等式组是解决本题的关键． 【真题精讲】（难度：✭✭✭）（2023春•汉阴县期末）解不等式组，并写出它的正整数解． 【思路点拨】先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集，最后求出不等式组的正整数解即可． 【规范解答】解：解不等式，得， 解不等式，得， 不等式组的解集是， 不等式组的正整数解是1，2． 【考点评析】本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，能根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集是解此题的关键． 【变式训练01】（难度：✭✭✭）（2023春•泉州期末）给出新定义：对非负数“四舍五入”到个位的值记为，即当为非负整数时，若，则，如：，，，，试解决下列问题： （1）填空：若，则实数的取值范围为 　　； （2）已知关于的不等式组的整数解恰有2个，求的取值范围． （3）求满足的所有非负实数的值． 【思路点拨】（1）根据题意列不等式即可得到结论； （2）首先将看作一个字母，解不等式组进而根据整数解的个数得出的取值范围； （3）利用，设，为整数，得出关于的不等关系求出即可； 【规范解答】解：（1）， 故答案为：； （2）解不等式组得：， 由不等式组整数解恰有2个得，， 故； （3），为整数，设，为整数， 则， ， ，， ， ，1，2， 则，，． 【考点评析】此题主要考查了新定义以及一元一次不等式组的应用，根据题意正确理解的意义是解题关键． 【变式训练02】（难度：✭✭✭✭）（2023春•海州区期末）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”． （1）在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是 　①②　；（填序号） （2）若关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围； （3）若关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组有4个整数解，试求的取值范围． 【思路点拨】（1）先求出方程的解和不等式组的解集，再判断即可； （2）先求出不等式组的解集，然后再解方程求出，最后根据“关联方程”的定义列出关于的不等式组，进行计算即可； （3）先求出不等式组的解集，不等式组有4个整数解，即可得出，然后求出方程的解为，根据“关联方程”的定义得出，即可得出． 【规范解答】解：（1）①， 解得：， ②， 解得：， ③， 解得：， ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 原不等式组的解集为：， 不等式组的“关联方程”是：①②， 故答案为：①②； （2）， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 原不等式组的解集为：， ， 解得：， 关于的方程是不等式组的“关联方程”， ， 解得：； （3）关于的方程， 解得：， ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 原不等式组的解集为：， 不等式组有4个整数解， 整数的值为1，2，3，4， ， ， 关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”， ， 解得：． 的取值范围是． 【考点评析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的解，理解材料中的不等式组的“关联方程”是解题的关键． 【变式训练03】（难度：✭✭✭✭）（2023春•东湖区校级期末）若一个不等式（组有解且解集为，则称为的解集中点值，若的解集中点值是不等式（组的解（即中点值满足不等式组），则称不等式（组对于不等式（组中点包含． （1）已知关于的不等式组，以及不等式，请判断不等式对于不等式组是否中点包含，并写出判断过程； （2）已知关于的不等式组和不等式组，若对于不等式组中点包含，求的取值范围． （3）关于的不等式组和不等式组，若不等式组对于不等式组中点包含，且所有符合要求的整数之和为9，求的取值范围． 【思路点拨】（1）先求不等式组的解集，然后求得的中点值，最后判断； （2）先求不等式组的解集和不等式组的解集，然后求得的中点值，最后根据定义求得的取值范围； （3）先求不等式组和的解集，再求得中点值，然后根据定义得到和不等式，最后通过的条件求出的取值范围． 【规范解答】解：（1）不等式对于不等式组中点包含，判断过程如下： 解不等式组，得， 的中点值为， 在范围内， 不等式对于不等式组中点包含； （2）对于不等式组中点包含， 不等式组和不等式组有解， 解不等式组，得， 不等式组，得， ， 解得：， 当时，不等式组的解集为，不等式组的解集为， 的中点值为， 对于不等式组中点包含， ， 解得：， 又， ． （3）解不等式组得，，解不等式组得，， 的中点值为， 不等式组对于不等式组中点包含， ， 解得：， 所有符合要求的整数之和为9， 整数可取2、3、4，或整数可取、0、1、2、3、4， 或． 【考点评析】本题以新定义为背景，考查了两数的中间值、解一元一次不等式组、不等式的解，解题的关键是学会解一元一次不等式（组． 【真题精讲】（难度：✭✭✭）（2021春•东至县期末）开发区某物流公司计划调用甲、乙两种型号的物流货车共15辆，运送360件种货物和396件种货物．已知甲种物流货车每辆最多能载30件种货物和24件种货物，乙种物流货车每辆最多能载20件种货物和30件种货物．设安排甲种物流货车辆，你认为下列符合题意的不等式组是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】货车承载量要不低于种货物总件数和种货物总件数，故可列一元一次不等式组解决． 【规范解答】解：设安排甲种物流货车辆，则需要乙种物流货车辆． 由题意：， 故选：． 【考点评析】此题主要考查了一元一次不等式组的应用，分别表示出两种货车所载种货物总件数和种货物总件数是解题关键． 【变式训练01】（难度：✭✭✭）（2023春•阳江期末）将一箱书分给学生，若每位学生分6本书，则还剩10本书；若每位学生分8本书，则有一个学生分到书但不到4本．求这一箱书的本数与学生的人数．若设有人，则可列不等式组为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】设有人，由于每位学生分6本书，则还剩10本书，则书有本；若每位学生分8本书，则有一个学生分到书但不到4本，就是书的本数大于0，并且小于4，根据不等关系就可以列出不等式． 【规范解答】解：设有人，则书有本，由题意得： ， 故选：． 【考点评析】此题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式组，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系． 【变式训练02】（难度：✭✭✭✭）（2023春•丹徒区期末）【阅读材料】 我们知道，一个数的绝对值是指在数轴上表示这个数的点到原点的距离．例如表示数轴上表示这个数的点到原点的距离，那么式子可理解为：数轴上表示这个数的点到表示1这个数的点的距离．于是解不等式则是要在数轴上找出到1的距离小于等于2的所有点，观察数轴可以看出，在数轴上到1距离小于等于2的点对应的数都在和3之间（包含和3两个点），这样我们就可以得到不等式的解集为：； 【解决问题】 参考阅读材料，借助数轴，解答下列问题： （1）不等式的解集为 　　； （2）不等式的解集为 　　； （3）不等式的解集为 　　； （4）不等式的解集为 　　； （5）对于任意数，若不等式恒成立，求的取值范围． 【思路点拨】（1）根据绝对值的意义及数轴求解； （2）根据绝对值的意义及数轴求解； （3）先把不等式变形，再根据绝对值的意义及数轴求解； （4）结合数轴，再根据绝对值的意义及数轴求解； （5）根据绝对值的意义及数轴求解． 【规范解答】解：（1）不等式的解集为：； 故答案为：； （2）不等式的解集为：或； 故答案为：或； （3）不等式的解集为：； 故答案为：； （4）不等式的解集为：； 故答案为：； （5）当时，， 当时，， 当时，， ， ． 【考点评析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，理解绝对值的意义是解题的关键． 【真题精讲】（难度：✭✭✭）（2023秋•隆回县期末）把一些笔分给几名学生，如果每人分5支，那么余7支；如果前面的学生每人分6支，那么最后一名学生能分到笔但分到的少于3支，则共有学生　　 A．11人 B．12人 C．11或12人 D．13人 【思路点拨】根据每人分5支，那么余7支；如果前面的学生每人分6支，那么最后一名学生能分到笔但分到的少于3支，得出，且，分别求出即可． 【规范解答】解：假设共有学生人，根据题意得出：， 解得：． 因为是正整数，所以符合条件的的值是11或12． 观察选项，选项符合题意． 故选：． 【考点评析】此题主要考查了一元一次不等式组的应用，根据题意找出不等关系得出不等式组是解决问题的关键． 【变式训练01】（难度：✭✭✭）（2023春•泗水县期末）对一实数按如图所示程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个实数”到“判断结果是否大于190？”为一次操作，如果操作恰好进行两次后停止，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】由程序运行一次的结果小于等于190、运行两次的结果大于190，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围． 【规范解答】解：依题意，得：， 解得：． 故选：． 【考点评析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据程序的运行次数，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 【变式训练02】（难度：✭✭✭）（2023春•武汉期末）“武汉是座英雄的城市”．在抗击“新冠肺炎”这场没有硝烟的战斗中，广大医务工作者奋战在抗疫的一线前沿是生命中“最美的逆行者”．某方舟医院安排若干名护士负责护理一批新冠病人，若每位护士护理4名病患，有20名患者没有人护理；若安排每位护士护理8名患者，就有一位护士护理的病人多于1人且不足8人．这个方舟医院安排了　　名护士护理新冠病人． A．8 B．7 C．6 D．5 【思路点拨】设医院安排了名护士护理新冠病人，由题意得，解不等式组即可． 【规范解答】解：设医院安排了名护士护理新冠病人， 由题意得， 解得， 为整数，所以． 故选：． 【考点评析】本题考查一元一次不等式组的应用，由题意列出不等式组是解题的关键． 【变式训练03】（难度：✭✭✭✭）（2023春•泸县校级期末）“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．基本中学为了落实双减政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，买5套甲型号和10套乙型号共用1100元． （1）求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？ （2）若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共120套，总费用不超过8600元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，问有几种购买方案？最低费用是多少？ 【思路点拨】（1）根据每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，买5套甲型号和10套乙型号共用1100元，得出方程，解方程即可； （2）设需购进乙种型号“文房四宝” 套，则需购进甲种型号“文房四宝” 套，根据题意得到不等式组，解不等式组即可得到结论． 【规范解答】解：（1）设每套甲型号“文房四宝”的价格是元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是元， 由题意可得， 解得， ． 答：每套甲型号“文房四宝”的价格是100元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是60元； （2）设需购进乙种型号“文房四宝” 套，则需购进甲种型号“文房四宝” 套， 由题意可得：， 解得， 又为正整数， 可以取85，86，87，88，89； 共有5种购买方案， 方案1：购进35套甲型号“文房四宝”，85套乙型号“文房四宝”； 方案2：购进34套甲型号“文房四宝”，86套乙型号“文房四宝”； 方案3：购进33套甲型号“文房四宝”，87套乙型号“文房四宝”； 方案4：购进32套甲型号“文房四宝”，88套乙型号“文房四宝”； 方案5：购进31套甲型号“文房四宝”，89套乙型号“文房四宝”； 每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元， 甲型号“文房四宝”的套数越少，总费用就越低， 最低费用是（元． 【考点评析】本题考查了一元一次不等式的应用，一元一次方程的应用，正确地列出一元一次方程和一元一次不等式是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$