第8章 二元一次方程组（导图+知识梳理+解题策略+十一大考向真题讲练）-2023-2024学年人教版数学七年级下册期末复习培优进阶考点精讲练

2023-2024学年人教版数学七年级下册期末复习培优进阶考点精讲练 第8章 二元一次方程组 （导图+知识梳理+解题策略+十一大考向真题讲练） 同学你好，期末考试在即，本学期主要学习相交线与平行线；实数；平面直角坐标系；二元一次方程；不等式与不等式组；数据的收集、整理与描述等几个章节内容。初步感知了几何与代数综合应用的重要性，也体会了多元方程与不等式在解决各类问题中的灵活多变的解题策略。本学期试题难度上也进一步加深，重难点考点内容逐步增多。非常考验同学们的审题能力，解题技能，做题耐心，答题规范能力，做题细心度等方面能力。 这份讲义就本学期章节重难点内容进行复盘，考点梳理+解题策略+典例精讲+变式训练+真题拔高的排版结构。题目难度1-5星，星级越高，难度越大！深入挖掘重难点考点和题型，梳理解题方法，优选近两年各地名校期末真题，模拟题。帮助同学加深对知识的认识理解和综合运用。希望同学在期末考试中取得考成绩！ 知识点01：二元一次方程的定义 定义：方程中含有两个未知数（一般用和），并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. 【易错点剖析】 （1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数. （2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1. （3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式. 知识点02：二元一次方程的解 定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 【易错点剖析】 二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而不是一个数值，一般要用大括号联立起来，即二元一次方程的解通常表示为 的形式. 知识点03：二元一次方程组的定义 定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数.例如，二元一次方程组. 【易错点剖析】 （1）它的一般形式为（其中，，，不同时为零）． （2）更一般地，如果两个一次方程合起来共有两个未知数，那么它们组成一个二元一次方程组． （3）符号“”表示同时满足，相当于“且”的意思． 解题策略 代入法： 从方程组中选取一个方程，解出其中一个未知数，表示为另一个未知数的函数。 将这个表达式代入另一个方程中，得到一个只含有一个未知数的方程。 解这个一元一次方程，得到其中一个未知数的值。 将这个值代入任何一个原方程中，求出另一个未知数的值。 消元法（加减消元法）： 通过对方程组中的方程进行加减运算，消去一个未知数，得到一个一元一次方程。 解这个一元一次方程，得到其中一个未知数的值。 将这个值代入任何一个原方程中，求出另一个未知数的值。 图像法（适用于简单的方程组）： 分别画出两个二元一次方程的图像（直线）。 找出两直线的交点，该交点即为方程组的解。 参数法（对于某些特殊方程组）： 引入一个参数来表示其中一个未知数，然后代入原方程组中求解另一个未知数。 最后得到两个未知数关于参数的表达式。 注意事项 在使用代入法或消元法时，要注意选择适当的方程和未知数进行消元或代入，以简化计算。 在求解过程中，要仔细核对每一步的计算，确保没有错误。 对于无解或有无穷多解的方程组，要能够正确判断并给出结论。 【真题精讲】（难度：✭✭✭）（2023春•涟源市期末）下列方程中，属于二元一次方程的是　　 A． B． C． D． 【变式训练01】（难度：✭✭✭）（2023春•南岗区校级期末）下列各式中是二元一次方程的是　　 A． B． C． D． 【变式训练02】（难度：✭✭✭）（2023秋•城关区期末）已知关于，的方程是二元一次方程，则　 　． 【真题精讲】（难度：✭✭✭）（2023春•丰台区期末）如果是关于和的二元一次方程的解，那么的值是　　 A． B．1 C．2 D．3 【变式训练01】（难度：✭✭✭）（2023春•辛集市期末）已知是二元一次方程的解，又是下列哪个方程的解？　　 A． B． C． D． 【变式训练02】（难度：✭✭✭）（2023春•海门市期末）定义一种新的运算：☆，例如：3☆．若☆，且关于，的二元一次方程，当，取不同值时，方程都有一个公共解，那么这个公共解为 　　． 【变式训练03】（难度：✭✭✭）（2023春•白云区期末）已知关于，的二元一次方程，当每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，这个公共解是 　　． 【真题精讲】（难度：✭✭）（2023春•石狮市期末）把方程改写成用含的式子表示的形式，正确的是　　 A． B． C． D． 【变式训练01】（难度：✭✭✭）（2023春•门头沟区期末）将写成用含的代数式表示的形式，　　． 【变式训练02】（难度：✭✭✭）（2023春•潮南区期末）已知二元一次方程，用含有的代数式表示，得　　． 【变式训练03】（难度：✭✭✭）．（2023春•芜湖期末）已知． （1）用含的代数式表示的形式为　　； （2）若，求的取值范围． 【真题精讲】（难度：✭✭✭）（2022秋•临县校级期末）习题：甲地到乙地全程是，一段上坡、一段平路、一段下坡．如果保持上坡每小时走，平路每小时走，下坡每小时走，那么从甲地到乙地需，从乙地到甲地需．从甲地到乙地时，上坡、平路、下坡的路程各是多少？小红将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，设未知数，，已经列出一个方程，则另一个方程正确的是　　 A． B． C． D． 【变式训练01】（难度：✭✭✭）（2022春•萝北县期末）某登山队在野外露营，每个帐篷住5人，有3人没地方住，若每个帐篷住7人，则空出一个帐篷，还有一个帐篷不空．那么这个登山队不可能有　　人． A．23 B．28 C．33 D．38 【变式训练02】（难度：✭✭✭）（2022春•硚口区期末）现有1角，5角，1元硬币各10枚，从中共取出15枚，共值7元．则5角硬币取出了 　 　枚． 【变式训练03】（难度：✭✭✭）（2023春•通榆县期末）某体育用品商店在“6.18”期间进行优惠促销活动，促销规则是由顾客抽奖决定折扣．小明同学在该商店买了一个篮球，一个排球．请你根据小明和收银员的对话所提供的信息，求两种商品的原价分别为多少元？ 【真题精讲】（难度：✭✭✭）（2023春•沛县期末）“母亲节”当天，小明去花店为妈妈选购鲜花，若康乃馨每枝2元，百合每枝3元，小明计划用30元购买这两种鲜花（两种都买），则不同的购买方案共有　　 A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【变式训练01】（难度：✭✭✭）（2023春•铁锋区期末）为落实“双减”政策，刘老师把班级里48名学生分成若干小组进行小组互助学习，每个小组只能为4人或6人，则分组方案有　　 A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【变式训练02】（难度：✭✭✭）（2022春•黄埔区期末）某电脑公司有型、型、型三种型号的电脑，其中型每台6000元、型台4000元、型每台2500元．某中学现有资金100500元，计划全部用于从这家电脑公司购进36台两种型号的电脑．请你设计几种不同的购买方案供这个学校选选择，并说明理由． 【变式训练03】（难度：✭✭✭✭）（2021春•奉化区校级期末）滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如表： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 1.8元公里 0.3元分钟 0.8元公里 注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算：时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程7公里以内（含7公里）不收远途费，超过7公里的，超出部分每公里加收0.8元． 小明与小亮各自乘坐滴滴快车，到同一地点约见，已知到达约见地点时他们的实际行车里程分别为6公里与8.5公里．设小明乘车时间为分钟，小亮乘车时间为分钟． （1）则小明乘车费为　　元（用含的代数式表示），小亮乘车费为　　元（用含的代数式表示）； （2）若小明比小亮少支付3元钱，问小明与小亮的乘车时间哪个多？多几分钟？ （3）在（2）的条件下，已知乘车时间较少的人先到达约见地点等候，等候时间是他自己乘车时间的一半，且比另一人乘车时间的少2分钟，问他俩谁先出发？先出发多少分钟？ 知识点01： 二元一次方程组的解 定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 【注意】 （1）方程组中每个未知数的值应同时满足两个方程，所以检验是否是方程组的解，应把数值代入两个方程，若两个方程同时成立，才是方程组的解，而方程组中某一个方程的某一组解不一定是方程组的解. （2）方程组的解要用大括号联立； （3）一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组无解，而方程组 的解有无数个. 知识点012 二元一次方程组的解法 1.解二元一次方程组的思想 2.解二元一次方程组的基本方法：代入消元法和加减消元法 （1）用代入消元法解二元一次方程组的一般过程： ①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有（或）的代数式表示（或），即变成（或）的形式； ②将（或）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去（或），得到一个关于（或）的一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出（或）的值； ④把（或）的值代入（或）中，求（或）的值； ⑤用“”联立两个未知数的值，就是方程组的解. 【注意】 (1)用代入法解二元一次方程组时，应先观察各项系数的特点，尽可能选择变形后比较简单或代入后化简比较容易的方程变形； (2)变形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程组中的另一个方程； (3)要善于分析方程的特点，寻找简便的解法.如将某个未知数连同它的系数作为一个整体用含另一个未知数的代数式来表示，代入另一个方程，或直接将某一方程代入另一个方程，这种方法叫做整体代入法.整体代入法是解二元一次方程组常用的方法之一，它的运用可使运算简便，提高运算速度及准确率. （2）用加减消元法解二元一次方程组的一般过程： ①根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式； ②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值； ⑤将两个未知数的值用“”联立在一起即可. 【注意】 当方程组中有一个未知数的系数的绝对值相等或同一个未知数的系数成整数倍时，用加减消元法较简单. 【真题精讲】（难度：✭✭✭）（2022秋•青岛期末）已知关于，的二元一次方程组的解是，则的值是 A． B．1 C． D．3 【变式训练01】（难度：✭✭✭）（2023秋•太湖县期末）已知方程组，与的值之和等于2，则的值为 　 　． 【变式训练02】（难度：✭✭✭）（2023春•老河口市期末）若关于、的二元一次方程组的解是一对相反数，则实数　　． 【变式训练03】（难度：✭✭✭）（2023春•铁岭期末）已知关于，的方程组的解也是方程的解，求的值． 【真题精讲】（难度：✭✭✭）（2023春•新化县期末）定义一种新运算“※”，规定※，其中、为常数，且1※，2※，则2※　 ． 【变式训练01】（难度：✭✭✭）（2023春•岳池县期末）用代入消元法解方程组时，消去，得到关于的方程是 　　．（不用化简） 【变式训练02】（难度：✭✭✭）（2023秋•薛城区期末）（1）计算：； （2）解方程组：． 【变式训练03】（难度：✭✭✭）（2023春•右玉县期末）（1）计算：； （2）解方程组：． 知识点01：行程问题： 追击问题：通常涉及到两者在同一直线上的运动，且一个比另一个快，两者之间的距离会随着时间的推移而减小。等量关系式为：两者的行程差 = 开始时两者相距的路程。 相遇问题：两者从两个不同地点出发，相向而行，直到在某点相遇。等量关系式为：双方所走的路程之和 = 总路程。 航行问题：涉及船在静水中的速度、水速、顺水速度和逆水速度等概念。等量关系式如：船在静水中的速度 + 水速 = 船的顺水速度。 知识点02：工程问题： 通常涉及工作效率、工作时间和工作量之间的关系。基本关系式为：工作效率 × 工作时间 = 工作量。 商品销售利润问题： 涉及售价、成本（进价）、利润和利润率等概念。基本关系式如：利润 = 售价 - 成本（进价）。 知识点03：储蓄问题： 涉及本金、利息、利息税、期数和利率等概念。基本关系式如：利息 = 本金 × 利率 × 期数。 解题策略 理解问题背景： 首先要明确问题的实际背景，理解问题中的各个概念和关系。 设定未知数： 根据问题的需要，设定适当的未知数来表示问题中的关键量。 建立方程组： 根据问题中的等量关系，列出包含未知数的二元一次方程组。 解方程组： 使用代入法或消元法解二元一次方程组，得到未知数的值。 检验解： 将得到的解代入原方程组进行检验，确保解的正确性。 解释解： 将解回到问题中，解释其实际意义，并给出问题的答案。 注意事项 单位统一：在建立方程组时，要确保所有量的单位都是统一的。 理解等量关系：要准确理解问题中的等量关系，这是建立正确方程组的关键。 检验解：解出方程组后，一定要进行检验，确保解的正确性。 【真题精讲】（难度：✭✭✭）（2020春•梁山县期末）中国古题《和尚吃馒头》的大意是：大和尚每人吃4个，小和尚4人吃1个．有大小和尚100人，共吃100个馒头．大小和尚各几人？设有大和尚人，小和尚人，根据题意列方程组为　　 A． B． C． D． 【变式训练01】（难度：✭✭✭）（2022春•瑞金市期末）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中方程术是重要的数学成就．书中有一个方程问题：“五只雀，六只燕，共重1斤（等于16两），雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少？”设每只雀有两，每只燕有两，则可列方程组为　　 ． 【变式训练02】（难度：✭✭✭）（2023春•杜尔伯特县期末）某中学七年级（1）班去体育用品商店买一些篮球和排球，供班上同学进行体育锻炼时使用，共买了2个篮球和6个排球，花570元，并且每个排球比篮球便宜25元． （1）求篮球和排球的单价各是多少； （2）商店里搞活动，有两种套餐，①套餐打折：五个篮球和五个排球为一套餐，套餐打八折；②满减活动：满999减100，满1999减200；两种活动不重复参与，学校打算购买14个篮球，12个排球，请问如何安排更划算？ 【变式训练03】（难度：✭✭✭✭）（2023春•澄迈县期末）为打造南渡江南侧风光带，现有一段长为350米的河边道路整治任务由、两个工程队先后接力完成，工程队每天整治15米，工程队每天整治10米，共用时30天． （1）根据题意，甲、乙两个同学分别列出了尚不完整的方程组如下： 甲：； 乙：； 根据甲、乙两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数，表示的意义，然后在方框中补全甲、乙两名同学所列的方程组： 甲：表示 　 　，表示 　　； 乙：表示 　　， 　　 ； （2）求、两工程队分别整治河道多少米？ 【真题精讲】（难度：✭✭✭）（2023春•临翔区期末）如图所示为两个形状、大小完全一样的小长方形拼接而成的图形．已知，，则此图形的面积为　　 A．6 B．8 C．10 D．12 【变式训练01】（难度：✭✭✭）（2023秋•烈山区期末）在如图所示的长方形中放置了8个形状、大小都相同的小长方形，则图中阴影部分的面积为 ． 【变式训练02】（难度：✭✭✭✭）（2023秋•梅县区期末）李明在某商场购买甲乙两种商品若干次（每次甲，乙两种商品都购买），其中前两次按标价购买，第三次购买时，甲，乙两种商品同时打折，三次购买甲，乙两种商品的数量和费用情况如表所示： 购买甲商品的数量 购买乙商品的数量 购买总费用 第一次 5 5 900 第二次 6 7 1180 第三次 9 8 1064 （1）求甲、乙两种商品的标价各是多少元？ （2）若李明第三次购买时，甲、乙两种商品的折扣相同，则商场是打几折出售这两种商品的？ 【变式训练03】（难度：✭✭✭✭）（2023秋•扶风县期末）随着生活水平的提高，人们越来越重视运动健身．为了满足大众需求，某体育运动品牌店铺推出了，两种运动套装，每套运动套装的成本为120元，每套运动套装的成本为100元，每套运动套装的售价比每套运动套装的售价少40元，卖3套运动套装的利润和卖4套运动套装的利润相同． （1）求每套运动套装和运动套装的售价； （2）为了吸引顾客，该体育运动品牌店铺针对这两种运动套装新推出以下两种促销方案： 方案一：50元购买一张打折优惠券后（限购一张），买这两种运动套装均打七五折； 方案二：每满50元立减10元． 若小明准备购买1套运动套装和1套运动套装，请你算算，哪种方案更划算？ 1．定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程；含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组. 等都是三元一次方程组. 【易错点剖析】理解三元一次方程组的定义时，要注意以下几点： （1）方程组中的每一个方程都是一次方程； （2）如果三个一元一次方程合起来共有三个未知数，它们就能组成一个三元一次方程组. 2．三元一次方程组的解法 解三元一次方程组的基本思想仍是消元，一般的，应利用代入法或加减法消去一个未知数，从而化三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数．解三元一次方程组的一般步骤是： （1）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； （2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； （3）将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程； （4）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； （5）将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起． 【易错点剖析】 （1）有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求比较简单的解法． （2）要检验求得的未知数的值是不是原方程组的解，将所求得的一组未知数的值分别代入原方程组里的每一个方程中，看每个方程的左右两边是否相等，若相等，则是原方程组的解，只要有一个方程的左、右两边不相等就不是原方程组的解． 3. 三元一次方程组的应用 列三元一次方程组解应用题的一般步骤： （1）弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未知数； （2）找出能够表达应用题全部含义的相等关系； （3）根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组； （4）解这个方程组，求出未知数的值； （5）写出答案(包括单位名称)． 【易错点剖析】 (1)解实际应用题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的应该舍去． (2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称，应注意单位是否统一． (3)一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组． 【真题精讲】（难度：✭✭✭）（2023春•丰城市期末）解下列方程组： （1）； （2）． 【变式训练01】（难度：✭✭✭✭）（2023春•德宏州期末）阅读材料： 我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系，系数和常数项经过一系列变形、运算就可以求出方程组的解．因此，在现代数学的高等代数学科将系数和常数项排成一个矩阵的形式，规定：关于，的二元一次方程组可以写成矩阵的形式．例如：可以写成矩阵的形式． 根据以上信息解决下列问题： （1）请求出矩阵对应的方程组的解； （2）若矩阵所对应的方程组的解为，求的值． 【变式训练02】（难度：✭✭✭）（2022春•大石桥市期末）解三元一次方程组． ． 【真题精讲】（难度：✭✭✭）（2023春•五莲县期末）甲、乙、丙三种商品，若购买甲3件、乙2件、丙1件，共需325元钱，购甲1件、乙2件、丙3件共需295元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需 　155　元． 【变式训练01】（难度：✭✭✭）（2023春•西湖区期末）实验室需要购买，，三种型号的盒子存放材料，盒子容量和单价如下表所示： 盒子型号 盒子容量（单位：升） 2 3 4 盒子单价（单位：元） 5 6 9 其中型号盒子做促销活动：购买3个及以上可一次性优惠4元，现有28升材料需要存放，要求每个盒子都要装满且三种盒子都至少买一个． （1）若购买，，三种型号的盒子的个数分别为1，6，2，则购买总费用为 　59　元； （2）若一次性购买所需盒子且购买总费用为58元，则购买，，三种型号的盒子的总数为 　　个． 【变式训练02】（难度：✭✭✭✭）（2023春•浉河区期末）请阅读下面对话，并解答问题： 一天晚饭后小明与隔壁小店老板闲聊，小店老板说：我经销、两种商品．、两种商品的进货单价之和为5元；商品零售价比进货单价多1元，商品零售价比进货单价的2倍少1元，按零售价购买商品3件和商品2件，共19元．你知道、两种商品的进货单价各多少元吗？小明想了想很快回答了小店老板的问题．并给小店老板出了个问题：上次我去逛超市，买甲、乙、丙三样商品，拿了4件甲商品，7件乙商品，1件丙商品，结果售货员告诉我共8元，我没带那么多钱，就改成了买2件甲商品，3件乙商品，1件丙商品，结果售货员告诉我要6元，可我钱还是不够，我算了算，我的钱恰好够买甲、乙、丙商品各一件，你知我那天带了多少钱吗？小店老板晕了，叹道：这我那知呀！后生可畏，后生可畏啊！ 问题： （1）你知小明是怎样求解小店老板的问题的吗？请写出求解过程． （2）小明给老板的问题真的不能解决吗？若能解，请写出求解过程． 【变式训练03】（难度：✭✭✭✭）（2023春•宁波期末）数学活动：探究不定方程 小北，小仑两位同学在学习方程过程中，发现三元一次方程组，虽然解不出，，的具体数值，但可以解出的值． （1）小北的方法：②①，整理可得：　　； ①②，整理可得：　　，． 第5页（共6页） 小仑的方法：①②：　　③；　　得：． （2）已知，试求解的值． （3）学校现准备采购若干英语簿，数学簿以及作文本，已知采购4本英语簿，5本数学簿，2本作文本需要6元；采购4本英语簿，8本数学簿，2本作文本需要7.2元，那么采购200本英语簿，300本数学簿，100本作文本需要多少钱？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年人教版数学七年级下册期末复习培优进阶考点精讲练 第8章 二元一次方程组 （导图+知识梳理+解题策略+十一大考向真题讲练） 同学你好，期末考试在即，本学期主要学习相交线与平行线；实数；平面直角坐标系；二元一次方程；不等式与不等式组；数据的收集、整理与描述等几个章节内容。初步感知了几何与代数综合应用的重要性，也体会了多元方程与不等式在解决各类问题中的灵活多变的解题策略。本学期试题难度上也进一步加深，重难点考点内容逐步增多。非常考验同学们的审题能力，解题技能，做题耐心，答题规范能力，做题细心度等方面能力。 这份讲义就本学期章节重难点内容进行复盘，考点梳理+解题策略+典例精讲+变式训练+真题拔高的排版结构。题目难度1-5星，星级越高，难度越大！深入挖掘重难点考点和题型，梳理解题方法，优选近两年各地名校期末真题，模拟题。帮助同学加深对知识的认识理解和综合运用。希望同学在期末考试中取得考成绩！ 知识点01：二元一次方程的定义 定义：方程中含有两个未知数（一般用和），并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. 【易错点剖析】 （1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数. （2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1. （3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式. 知识点02：二元一次方程的解 定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 【易错点剖析】 二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而不是一个数值，一般要用大括号联立起来，即二元一次方程的解通常表示为 的形式. 知识点03：二元一次方程组的定义 定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数.例如，二元一次方程组. 【易错点剖析】 （1）它的一般形式为（其中，，，不同时为零）． （2）更一般地，如果两个一次方程合起来共有两个未知数，那么它们组成一个二元一次方程组． （3）符号“”表示同时满足，相当于“且”的意思． 解题策略 代入法： 从方程组中选取一个方程，解出其中一个未知数，表示为另一个未知数的函数。 将这个表达式代入另一个方程中，得到一个只含有一个未知数的方程。 解这个一元一次方程，得到其中一个未知数的值。 将这个值代入任何一个原方程中，求出另一个未知数的值。 消元法（加减消元法）： 通过对方程组中的方程进行加减运算，消去一个未知数，得到一个一元一次方程。 解这个一元一次方程，得到其中一个未知数的值。 将这个值代入任何一个原方程中，求出另一个未知数的值。 图像法（适用于简单的方程组）： 分别画出两个二元一次方程的图像（直线）。 找出两直线的交点，该交点即为方程组的解。 参数法（对于某些特殊方程组）： 引入一个参数来表示其中一个未知数，然后代入原方程组中求解另一个未知数。 最后得到两个未知数关于参数的表达式。 注意事项 在使用代入法或消元法时，要注意选择适当的方程和未知数进行消元或代入，以简化计算。 在求解过程中，要仔细核对每一步的计算，确保没有错误。 对于无解或有无穷多解的方程组，要能够正确判断并给出结论。 【真题精讲】（难度：✭✭✭）（2023春•涟源市期末）下列方程中，属于二元一次方程的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据二元一次方程的定义逐个判断即可． 【规范解答】解：．该方程是一元一次方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意； ．该方程含有三个未知数，不是二元一次方程，故本选项不符合题意； ．该方程是二元二次方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意； ．该方程是二元一次方程，故本选项符合题意； 故选：． 【考点评析】本题考查了二元一次方程的定义，能熟记二元一次方程的定义是解此题的关键，只含有两个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1的整式方程叫二元一次方程． 【变式训练01】（难度：✭✭✭）（2023春•南岗区校级期末）下列各式中是二元一次方程的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】利用二元一次方程的定义解答即可得出结论． 【规范解答】解：是二元一次方程，选项符合题意； 是三元一次方程，选项不符合题意； 是分式方程，不是整式方程，不是二元一次方程，选项不符合题意； 是二元二次方程，选项不符合题意． 故选：． 【考点评析】本题主要考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解题的关键． 【变式训练02】（难度：✭✭✭）（2023秋•城关区期末）已知关于，的方程是二元一次方程，则　1　． 【思路点拨】根据二元一次方程的定义可得，且，然后求解即可解答． 【规范解答】解：由题意得：，且，解得． 故答案为：1． 【考点评析】本题主要考查了二元一次方程的定义，含有两个未知数，且两个未知数的次数都为1，这样的整式方程叫二元一次方程． 【真题精讲】（难度：✭✭✭）（2023春•丰台区期末）如果是关于和的二元一次方程的解，那么的值是　　 A． B．1 C．2 D．3 【思路点拨】将，代入二元一次方程即可得出结论． 【规范解答】解：将代入关于和的二元一次方程得：， 解得：． 故选：． 【考点评析】本题考查了二元一次方程的解，明白方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键． 【变式训练01】（难度：✭✭✭）（2023春•辛集市期末）已知是二元一次方程的解，又是下列哪个方程的解？　　 A． B． C． D． 【思路点拨】把、的值代入方程，看看方程两边是否相等即可． 【规范解答】解：、把代入方程，左边右边， 所以不是方程的解，故本选项不符合题意； 、把代入方程，左边右边， 所以是方程的解，故本选项符合题意； 、把代入方程，左边右边， 所以不是方程的解，故本选项不符合题意； 、把代入方程，左边右边， 所以不是方程的解，故本选项不符合题意． 故选：． 【考点评析】本题考查了二元一次方程的解，能理解二元一次方程的解的意义是解此题的关键． 【变式训练02】（难度：✭✭✭）（2023春•海门市期末）定义一种新的运算：☆，例如：3☆．若☆，且关于，的二元一次方程，当，取不同值时，方程都有一个公共解，那么这个公共解为 　　． 【思路点拨】根据“☆，☆”得到，代入方程得到，根据“当，取不同值时，方程都有一个公共解”，得到关于、的方程组，解之即可． 【规范解答】解：☆，☆， ，即， 则方程可转化为， 则， 当，取不同值时，方程都有一个公共解， ， 解得， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了新定义和二元一次方程的解，解题的关键是得到关于、的方程组． 【变式训练03】（难度：✭✭✭）（2023春•白云区期末）已知关于，的二元一次方程，当每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，这个公共解是 　　． 【思路点拨】把原方程整理得：，根据“当每取一个值时就有一个方程，而这些方程有一个公共解”，可知这个公共解与无关，得到关于和的二元一次方程组，解之即可． 【规范解答】解：原方程可整理得： ， 每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解， ， 解得， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了二元一次方程组的解，正确掌握解二元一次方程组是解题的关键． 【真题精讲】（难度：✭✭）（2023春•石狮市期末）把方程改写成用含的式子表示的形式，正确的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】把看作已知数求出即可． 【规范解答】解：方程， 解得：． 故选：． 【考点评析】此题考查了解二元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式训练01】（难度：✭✭✭）（2023春•门头沟区期末）将写成用含的代数式表示的形式，　　． 【思路点拨】把看作已知数求出即可． 【规范解答】解：方程， 解得：， 故答案为： 【考点评析】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将看作已知数求出． 【变式训练02】（难度：✭✭✭）（2023春•潮南区期末）已知二元一次方程，用含有的代数式表示，得　　． 【思路点拨】把看作已知数求出即可． 【规范解答】解：方程， 解得：， 故答案为： 【考点评析】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将看作已知数求出． 【变式训练03】（难度：✭✭✭）．（2023春•芜湖期末）已知． （1）用含的代数式表示的形式为　　； （2）若，求的取值范围． 【思路点拨】（1）把看作已知数求出即可； （2）根据的范围确定出的范围即可． 【规范解答】解：（1）方程， 解得：； 故答案为：； （2），， ． 【考点评析】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将看作已知数求出． 【真题精讲】（难度：✭✭✭）（2022秋•临县校级期末）习题：甲地到乙地全程是，一段上坡、一段平路、一段下坡．如果保持上坡每小时走，平路每小时走，下坡每小时走，那么从甲地到乙地需，从乙地到甲地需．从甲地到乙地时，上坡、平路、下坡的路程各是多少？小红将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，设未知数，，已经列出一个方程，则另一个方程正确的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据小红列出的方程可知，小红设从甲地到乙地上坡为，平路为，下坡为，因此从乙地到甲地上坡为，平路为，则下坡为，根据从乙地到甲地需，列出方程即可． 【规范解答】解：小红列的方程为， 小红是设从甲地到乙地上坡为，平路为，下坡为， 从乙地到甲地上坡为，平路为，则下坡为， 从乙地到甲地需， 可以列方程为：，故正确． 故选：． 【考点评析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意得出、表示的意义，找出等量关系，是解题的关键． 【变式训练01】（难度：✭✭✭）（2022春•萝北县期末）某登山队在野外露营，每个帐篷住5人，有3人没地方住，若每个帐篷住7人，则空出一个帐篷，还有一个帐篷不空．那么这个登山队不可能有　　人． A．23 B．28 C．33 D．38 【思路点拨】设有个帐篷，登山队有人，依题意列出关于，的二元一次方程和不等式组，再整理，解出的取值范围即可选择． 【规范解答】解：设有个帐篷，登山队有人， 依题意有：， ，即， 解得：． 选项中只有不符合题意． 故选：． 【考点评析】本题考查二元一次方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用．理解题意，找出数量关系，列出等式或不等式是解题关键． 【变式训练02】（难度：✭✭✭）（2022春•硚口区期末）现有1角，5角，1元硬币各10枚，从中共取出15枚，共值7元．则5角硬币取出了 　7　枚． 【思路点拨】设取出1角的硬币枚，5角的硬币枚，则取出1元的硬币枚，根据这些硬币的总值为7元，即可得出关于，的二元一次方程，结合，，均为非负整数即可求出结论． 【规范解答】解：设取出1角的硬币枚，5角的硬币枚，则取出1元的硬币枚， 依题意，得：， ． ，，均为非负整数， ，， ． 故答案为：7． 【考点评析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 【变式训练03】（难度：✭✭✭）（2023春•通榆县期末）某体育用品商店在“6.18”期间进行优惠促销活动，促销规则是由顾客抽奖决定折扣．小明同学在该商店买了一个篮球，一个排球．请你根据小明和收银员的对话所提供的信息，求两种商品的原价分别为多少元？ 【思路点拨】设篮球的原价为元，排球的原价为元，根据“按九折和八折共付款363元，两种商品原销售价之和为420元”列方程组，求解即可． 【规范解答】解：设篮球的原价为元，排球的原价为元， 根据题意，得， 解得， 答：篮球的原价为270元，排球的原价为150元． 【考点评析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意并根据题意建立方程组是解题的关键． 【真题精讲】（难度：✭✭✭）（2023春•沛县期末）“母亲节”当天，小明去花店为妈妈选购鲜花，若康乃馨每枝2元，百合每枝3元，小明计划用30元购买这两种鲜花（两种都买），则不同的购买方案共有　　 A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【思路点拨】设可以购买支康乃馨，支百合，根据总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数即可得出小明有4种购买方案． 【规范解答】解：设可以购买支康乃馨，支百合， 依题意，得：， ． ，均为正整数， 或或或， 小明有4种购买方案． 故选：． 【考点评析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 【变式训练01】（难度：✭✭✭）（2023春•铁锋区期末）为落实“双减”政策，刘老师把班级里48名学生分成若干小组进行小组互助学习，每个小组只能为4人或6人，则分组方案有　　 A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【思路点拨】设可分成每小组4人的小组组，每小组6人的小组组，利用各组人数之和为48人，列出二元一次方程，求出非负整数解即可． 【规范解答】解：设可分成每小组4人的小组为组，每小组6人的小组为组， 依题意得：， 整理得：， 又、均为非负整数， 或或或或， 共有5种分组方案． 故选：． 【考点评析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 【变式训练02】（难度：✭✭✭）（2022春•黄埔区期末）某电脑公司有型、型、型三种型号的电脑，其中型每台6000元、型台4000元、型每台2500元．某中学现有资金100500元，计划全部用于从这家电脑公司购进36台两种型号的电脑．请你设计几种不同的购买方案供这个学校选选择，并说明理由． 【思路点拨】设购买型电脑台，型台，型台，分情况讨论当购买型、型时，当购买型、型时，当购买型、型时分别建立方程组求出其解即可． 【规范解答】解：设购买型电脑台，型台，型台， （1）若购买型、型时，由题意，得 ， 没有整数解，不符合题意，舍去； （2）若购买型、型，由题意，得 ， 解得：； （3）当购买型、型时，由题意，得 ， 解得：． 故共有两种购买方案：①购买型3台，型33台；②购买型7台，型29台． 【考点评析】本题考查了分类讨论思想在数学实际问题中的运用，二元一次方程组的解法的运用，解答时建立合适的二元一次方程组是关键． 【变式训练03】（难度：✭✭✭✭）（2021春•奉化区校级期末）滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如表： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 1.8元公里 0.3元分钟 0.8元公里 注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算：时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程7公里以内（含7公里）不收远途费，超过7公里的，超出部分每公里加收0.8元． 小明与小亮各自乘坐滴滴快车，到同一地点约见，已知到达约见地点时他们的实际行车里程分别为6公里与8.5公里．设小明乘车时间为分钟，小亮乘车时间为分钟． （1）则小明乘车费为　　元（用含的代数式表示），小亮乘车费为　　元（用含的代数式表示）； （2）若小明比小亮少支付3元钱，问小明与小亮的乘车时间哪个多？多几分钟？ （3）在（2）的条件下，已知乘车时间较少的人先到达约见地点等候，等候时间是他自己乘车时间的一半，且比另一人乘车时间的少2分钟，问他俩谁先出发？先出发多少分钟？ 【思路点拨】（1）根据收费标准列出代数式即可． （2）根据小明比小亮少支付3元钱，构建方程求解即可． （3）由（2）可知：小亮乘车时间为分钟，小明乘车时间为分钟．根据时间关系构建方程求解即可． 【规范解答】解：（1）小明乘车费为元（用含的代数式表示），小亮乘车费为元． 故答案为，． （2）由题意：， ， 小明比小亮的乘车时间多，多9分钟． （3）由（2）可知：小亮乘车时间为分钟，小明乘车时间为分钟． 由题意：， 解得． 小明的乘车时间为（分钟）， 小亮等候的时间为（分钟）， 小明比小亮先出发，先出发的时间（分钟）， 答：明比小亮先出发，先出发6分钟． 【考点评析】本题考查了一元一次方程和一元一次方程在实际问题中的应用，根据等量关系列方程是解题的关键． 知识点01： 二元一次方程组的解 定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 【注意】 （1）方程组中每个未知数的值应同时满足两个方程，所以检验是否是方程组的解，应把数值代入两个方程，若两个方程同时成立，才是方程组的解，而方程组中某一个方程的某一组解不一定是方程组的解. （2）方程组的解要用大括号联立； （3）一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组无解，而方程组 的解有无数个. 知识点012 二元一次方程组的解法 1.解二元一次方程组的思想 2.解二元一次方程组的基本方法：代入消元法和加减消元法 （1）用代入消元法解二元一次方程组的一般过程： ①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有（或）的代数式表示（或），即变成（或）的形式； ②将（或）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去（或），得到一个关于（或）的一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出（或）的值； ④把（或）的值代入（或）中，求（或）的值； ⑤用“”联立两个未知数的值，就是方程组的解. 【注意】 (1)用代入法解二元一次方程组时，应先观察各项系数的特点，尽可能选择变形后比较简单或代入后化简比较容易的方程变形； (2)变形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程组中的另一个方程； (3)要善于分析方程的特点，寻找简便的解法.如将某个未知数连同它的系数作为一个整体用含另一个未知数的代数式来表示，代入另一个方程，或直接将某一方程代入另一个方程，这种方法叫做整体代入法.整体代入法是解二元一次方程组常用的方法之一，它的运用可使运算简便，提高运算速度及准确率. （2）用加减消元法解二元一次方程组的一般过程： ①根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式； ②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值； ⑤将两个未知数的值用“”联立在一起即可. 【注意】 当方程组中有一个未知数的系数的绝对值相等或同一个未知数的系数成整数倍时，用加减消元法较简单. 【真题精讲】（难度：✭✭✭）（2022秋•青岛期末）已知关于，的二元一次方程组的解是，则的值是 A． B．1 C． D．3 【思路点拨】将代入二元一次方程组即可解答． 【规范解答】解：将代入二元一次方程组， 得， 解得， 所以， 故选． 【考点评析】本题考查了二元一次方程组的解，熟悉二元一次方程组的解法是解题的关键． 【变式训练01】（难度：✭✭✭）（2023秋•太湖县期末）已知方程组，与的值之和等于2，则的值为 　4　． 【思路点拨】首先解关于的不等式组，求得，的值，然后根据与的和是2，即可得到一个关于的方程，从而求解． 【规范解答】解：解方程组，得：， 则， 解得：． 故答案为：4． 【考点评析】本题考查了方程组的解的定义，能使方程组中每个方程的左右两边相等的未知数的值即是方程组的解．解题的关键是要知道两个方程组之间解的关系． 【变式训练02】（难度：✭✭✭）（2023春•老河口市期末）若关于、的二元一次方程组的解是一对相反数，则实数　　． 【思路点拨】由、互为相反数可得到，从而可求得、的值，于是可得到的值． 【规范解答】解：关于、的二元一次方程组的解是一对相反数， ． 列方程组， 解得：， ． 故答案为：． 【考点评析】本题主要考查的是二元一次方程组的解和解二元一次方程组，求得、的值是解题的关键． 【变式训练03】（难度：✭✭✭）（2023春•铁岭期末）已知关于，的方程组的解也是方程的解，求的值． 【思路点拨】把方程组中的两个方程相减，得到，然后根据同解方程的定义，列出关于的方程，解答即可． 【规范解答】解：， ②①得：， 关于，的方程组的解也是方程的解， ， ． 【考点评析】本题主要考查了求二元一次方程组中的参数，解题关键是理解同解方程的定义． 【真题精讲】（难度：✭✭✭）（2023春•新化县期末）定义一种新运算“※”，规定※，其中、为常数，且1※，2※，则2※　11　． 【思路点拨】由已知条件，根据所给定义可得到关于、的方程组，则可求得、的值，再代入计算即可． 【规范解答】解：根据题意，得：， 解得：， 则※， ※， 故答案为：11． 【考点评析】此题考查了解二元一次方程组，以及有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式训练01】（难度：✭✭✭）（2023春•岳池县期末）用代入消元法解方程组时，消去，得到关于的方程是 　　．（不用化简） 【思路点拨】利用代入消元法是将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一方程实现消元即可解答． 【规范解答】解：， 将②代入①得：， 故答案为：． 【考点评析】本题主要考查了解二元一次方程，熟练掌握代入消元法是解答本题的关键． 【变式训练02】（难度：✭✭✭）（2023秋•薛城区期末）（1）计算：； （2）解方程组：． 【思路点拨】（1）原式利用乘方、算术平方根、立方根定义，以及绝对值的代数意义计算即可求出值； （2）方程组利用加减消元法求出解即可． 【规范解答】解：（1） ； （2）， 由①②得，， 解得， 把代入①中得，， 解得， 则方程组的解为． 【考点评析】此题考查了解二元一次方程组以及实数的运算，熟练掌握运算法则及方程组的解法是解本题的关键． 【变式训练03】（难度：✭✭✭）（2023春•右玉县期末）（1）计算：； （2）解方程组：． 【思路点拨】（1）根据算术平方根、立方根、幂的运算、绝对值的意义计算即可． （2）利用加减消元法求解即可． 【规范解答】解：（1）原式 ． （2）． 由①②得：． 解得：． 将代入①中得：， 解得：． 方程组的解为． 【考点评析】本题考查了幂的运算，绝对值的意义，算术平方根即一个的正的平方根；立方根即若一个数的立方等于，则这个数就叫做的立方根，二元一次方程组的解法，熟练掌握定义和解法是解题的关键． 知识点01：行程问题： 追击问题：通常涉及到两者在同一直线上的运动，且一个比另一个快，两者之间的距离会随着时间的推移而减小。等量关系式为：两者的行程差 = 开始时两者相距的路程。 相遇问题：两者从两个不同地点出发，相向而行，直到在某点相遇。等量关系式为：双方所走的路程之和 = 总路程。 航行问题：涉及船在静水中的速度、水速、顺水速度和逆水速度等概念。等量关系式如：船在静水中的速度 + 水速 = 船的顺水速度。 知识点02：工程问题： 通常涉及工作效率、工作时间和工作量之间的关系。基本关系式为：工作效率 × 工作时间 = 工作量。 商品销售利润问题： 涉及售价、成本（进价）、利润和利润率等概念。基本关系式如：利润 = 售价 - 成本（进价）。 知识点03：储蓄问题： 涉及本金、利息、利息税、期数和利率等概念。基本关系式如：利息 = 本金 × 利率 × 期数。 解题策略 理解问题背景： 首先要明确问题的实际背景，理解问题中的各个概念和关系。 设定未知数： 根据问题的需要，设定适当的未知数来表示问题中的关键量。 建立方程组： 根据问题中的等量关系，列出包含未知数的二元一次方程组。 解方程组： 使用代入法或消元法解二元一次方程组，得到未知数的值。 检验解： 将得到的解代入原方程组进行检验，确保解的正确性。 解释解： 将解回到问题中，解释其实际意义，并给出问题的答案。 注意事项 单位统一：在建立方程组时，要确保所有量的单位都是统一的。 理解等量关系：要准确理解问题中的等量关系，这是建立正确方程组的关键。 检验解：解出方程组后，一定要进行检验，确保解的正确性。 【真题精讲】（难度：✭✭✭）（2020春•梁山县期末）中国古题《和尚吃馒头》的大意是：大和尚每人吃4个，小和尚4人吃1个．有大小和尚100人，共吃100个馒头．大小和尚各几人？设有大和尚人，小和尚人，根据题意列方程组为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据有100个和尚，可得到；根据大和尚每人吃4个，小和尚4人吃1个，正好分完100个馒头可以得到，然后即可列出相应的方程组． 【规范解答】解：由题意可得，， 故选：． 【考点评析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程组． 【变式训练01】（难度：✭✭✭）（2022春•瑞金市期末）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中方程术是重要的数学成就．书中有一个方程问题：“五只雀，六只燕，共重1斤（等于16两），雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少？”设每只雀有两，每只燕有两，则可列方程组为　　． 【思路点拨】设每只雀有两，每只燕有两，根据五只雀、六只燕，共重1斤（等于16两），雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，列方程组即可． 【规范解答】解：设每只雀有两，每只燕有两， 由题意得，． 故答案为． 【考点评析】本题考查了有实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组． 【变式训练02】（难度：✭✭✭）（2023春•杜尔伯特县期末）某中学七年级（1）班去体育用品商店买一些篮球和排球，供班上同学进行体育锻炼时使用，共买了2个篮球和6个排球，花570元，并且每个排球比篮球便宜25元． （1）求篮球和排球的单价各是多少； （2）商店里搞活动，有两种套餐，①套餐打折：五个篮球和五个排球为一套餐，套餐打八折；②满减活动：满999减100，满1999减200；两种活动不重复参与，学校打算购买14个篮球，12个排球，请问如何安排更划算？ 【思路点拨】（1）设篮球单价为每个元，排球单价为每个元，根据买了2个篮球和6个排球，花570元，并且每个排球比篮球便宜25元，列方程组求解即可得到答案； （2）分别计算两种活动方案费用比较即可得到答案． 【规范解答】解：（1）设篮球单价为每个元，排球单价为每个元， 由题意可得， 解方程组得， 答：篮球每个90元，排球每个65元； （2）若按照①套餐打折购买费用为：（元， 若参加②满减活动购买费用为：（元， 又， 所以（元． 而，所以选择套餐①所花费用比选择套餐②所花费用低． 答：选用套餐①购买更划算． 【考点评析】本题考查二元一次方程组解决实际应用问题及择优方案问题，解题的关键是根据题意找到等量关系式． 【变式训练03】（难度：✭✭✭✭）（2023春•澄迈县期末）为打造南渡江南侧风光带，现有一段长为350米的河边道路整治任务由、两个工程队先后接力完成，工程队每天整治15米，工程队每天整治10米，共用时30天． （1）根据题意，甲、乙两个同学分别列出了尚不完整的方程组如下： 甲：； 乙：； 根据甲、乙两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数，表示的意义，然后在方框中补全甲、乙两名同学所列的方程组： 甲：表示 　工程队工作的天数　，表示 　　； 乙：表示 　　，表示 　　； （2）求、两工程队分别整治河道多少米？ 【思路点拨】（1）根据题意可得甲：表示工程队工作的天数，表示工程队工作的天数；乙：表示工程队整治的河道长度，表示工程队整治的河道长度； （2）解甲的方程组可得，的值，进而可得，两工程队分别整治河道的米数． 【规范解答】解：（1）根据甲、乙两名同学所列的方程组可知， 甲：表示工程队工作的天数，表示工程队工作的天数； 乙：表示工程队整治的河道长度，表示工程队整治的河道长度； 故答案为：工程队工作的天数，工程队工作的天数；工程队整治的河道长度，工程队整治的河道长度； （2）若解甲的方程组， 得：， ，， 答：、两工程队分别整治河道150米和200米． 【考点评析】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组． 【真题精讲】（难度：✭✭✭）（2023春•临翔区期末）如图所示为两个形状、大小完全一样的小长方形拼接而成的图形．已知，，则此图形的面积为　　 A．6 B．8 C．10 D．12 【思路点拨】设小长方形的长为，宽为，根据各边之间的关系，列出二元一次方程组，解之得出、的值，即可解决问题． 【规范解答】解：设小长方形的长为，宽为， 由题意得：， 解得：， ， 即此图形的面积为8， 故选：． 【考点评析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【变式训练01】（难度：✭✭✭）（2023秋•烈山区期末）在如图所示的长方形中放置了8个形状、大小都相同的小长方形，则图中阴影部分的面积为　79　． 【思路点拨】设小长方形的长为，宽为，根据长方形的长为17，宽的两种不同表达方式列出方程组求出小长方形的长和宽，进一步求出图中阴影部分的面积． 【规范解答】解：设小长方形的长为，宽为，根据题意得 ， 解得， ． 故答案为：79． 【考点评析】考查了二元一次方程组的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 【变式训练02】（难度：✭✭✭✭）（2023秋•梅县区期末）李明在某商场购买甲乙两种商品若干次（每次甲，乙两种商品都购买），其中前两次按标价购买，第三次购买时，甲，乙两种商品同时打折，三次购买甲，乙两种商品的数量和费用情况如表所示： 购买甲商品的数量 购买乙商品的数量 购买总费用 第一次 5 5 900 第二次 6 7 1180 第三次 9 8 1064 （1）求甲、乙两种商品的标价各是多少元？ （2）若李明第三次购买时，甲、乙两种商品的折扣相同，则商场是打几折出售这两种商品的？ 【思路点拨】（1）设甲商品的标价是元，乙商品的标价是元，利用总价单价数量，结合前两次购买的数量及总费用，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设商场是打折出售这两种商品的，利用总价单价数量，列出一元一次方程，解方程即可． 【规范解答】解：（1）设甲商品的标价是元，乙商品的标价是元， 依题意得：， 解得：， 答：甲商品的标价是80元，乙商品的标价是100元； （2）设商场是打折出售这两种商品的， 依题意得：， 解得：， 答：商场是打7折出售这两种商品的． 【考点评析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 【变式训练03】（难度：✭✭✭✭）（2023秋•扶风县期末）随着生活水平的提高，人们越来越重视运动健身．为了满足大众需求，某体育运动品牌店铺推出了，两种运动套装，每套运动套装的成本为120元，每套运动套装的成本为100元，每套运动套装的售价比每套运动套装的售价少40元，卖3套运动套装的利润和卖4套运动套装的利润相同． （1）求每套运动套装和运动套装的售价； （2）为了吸引顾客，该体育运动品牌店铺针对这两种运动套装新推出以下两种促销方案： 方案一：50元购买一张打折优惠券后（限购一张），买这两种运动套装均打七五折； 方案二：每满50元立减10元． 若小明准备购买1套运动套装和1套运动套装，请你算算，哪种方案更划算？ 【思路点拨】（1）根据“卖3套运动套装的利润和卖4套运动套装的利润相同”列方程求解； （2）先算每种方案所需要的钱数，再比较大小． 【规范解答】解：（1）设每套运动套装的售价为元，则每套运动套装的售价为元， 由题意得：， 解得：， ， 答：每套运动套装的售价为200元，则每套运动套装的售价为160元； （2）按照方案一：（元， 按照方案二：，（元， ， 选择方案二更划算． 【考点评析】本题考查了方程的应用，找到相等关系是解题的关键． 1．定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程；含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组. 等都是三元一次方程组. 【易错点剖析】理解三元一次方程组的定义时，要注意以下几点： （1）方程组中的每一个方程都是一次方程； （2）如果三个一元一次方程合起来共有三个未知数，它们就能组成一个三元一次方程组. 2．三元一次方程组的解法 解三元一次方程组的基本思想仍是消元，一般的，应利用代入法或加减法消去一个未知数，从而化三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数．解三元一次方程组的一般步骤是： （1）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； （2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； （3）将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程； （4）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； （5）将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起． 【易错点剖析】 （1）有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求比较简单的解法． （2）要检验求得的未知数的值是不是原方程组的解，将所求得的一组未知数的值分别代入原方程组里的每一个方程中，看每个方程的左右两边是否相等，若相等，则是原方程组的解，只要有一个方程的左、右两边不相等就不是原方程组的解． 3. 三元一次方程组的应用 列三元一次方程组解应用题的一般步骤： （1）弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未知数； （2）找出能够表达应用题全部含义的相等关系； （3）根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组； （4）解这个方程组，求出未知数的值； （5）写出答案(包括单位名称)． 【易错点剖析】 (1)解实际应用题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的应该舍去． (2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称，应注意单位是否统一． (3)一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组． 【真题精讲】（难度：✭✭✭）（2023春•丰城市期末）解下列方程组： （1）； （2）． 【思路点拨】（1）直接利用代入消元法解方程组即可； （2）根据三元一次方程组的解法解方程组即可． 【规范解答】解：（1）， ②代入①，可得， 解得，， 将代入②，可得， 故方程组的解为． （2）， ①②，得④， ②③，得⑤， ④⑤，得， 解得． 把代入④，得， 解得． 把，代入③，得， 解得． 所以原方程组的解为． 【考点评析】本题考查了解三元一次方程组：利用加减消元法或代入消元法把解三元一次方程组的问题转化为解二元一次方程组的问题是解题关键． 【变式训练01】（难度：✭✭✭✭）（2023春•德宏州期末）阅读材料： 我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系，系数和常数项经过一系列变形、运算就可以求出方程组的解．因此，在现代数学的高等代数学科将系数和常数项排成一个矩阵的形式，规定：关于，的二元一次方程组可以写成矩阵的形式．例如：可以写成矩阵的形式． 根据以上信息解决下列问题： （1）请求出矩阵对应的方程组的解； （2）若矩阵所对应的方程组的解为，求的值． 【思路点拨】（1）由题意得：矩阵对应的方程组为，计算求解即可； （2）由矩阵所对应的方程组的解为，可得，①②③得，． 【规范解答】解：（1）由题意得：矩阵对应的方程组为， 解得：， 矩阵对应的方程组的解为； （2）矩阵所对应的方程组的解为， 将代入， 得， ①②③得，． 【考点评析】本题考查了新定义下的实数运算，解二元一次方程组，三元一次方程组的解．解题的关键在于理解题意并正确的运算． 【变式训练02】（难度：✭✭✭）（2022春•大石桥市期末）解三元一次方程组． ． 【思路点拨】利用加减消元法求解即可． 【规范解答】解： ②①得，即， ③②得，即④， 把代入④得， ， 把，代入①得，， ， ． 【考点评析】本题考查了解三元一次方程组的应用，解此题的关键是能正确消元，即把三元一次方程组转化成二元一次方程组． 【真题精讲】（难度：✭✭✭）（2023春•五莲县期末）甲、乙、丙三种商品，若购买甲3件、乙2件、丙1件，共需325元钱，购甲1件、乙2件、丙3件共需295元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需 　155　元． 【思路点拨】设甲的单价为元，乙的单价为元，丙的单价为元，根据题意列出关于、、的方程组，求出的值即可． 【规范解答】解：设甲的单价为元，乙的单价为元，丙的单价为元， 由题意得：， ①②得：， 即， 故答案为：155． 【考点评析】本题考查了列三元一次方程组的应用问题，关键是根据方程组特点整体求出的和． 【变式训练01】（难度：✭✭✭）（2023春•西湖区期末）实验室需要购买，，三种型号的盒子存放材料，盒子容量和单价如下表所示： 盒子型号 盒子容量（单位：升） 2 3 4 盒子单价（单位：元） 5 6 9 其中型号盒子做促销活动：购买3个及以上可一次性优惠4元，现有28升材料需要存放，要求每个盒子都要装满且三种盒子都至少买一个． （1）若购买，，三种型号的盒子的个数分别为1，6，2，则购买总费用为 　59　元； （2）若一次性购买所需盒子且购买总费用为58元，则购买，，三种型号的盒子的总数为 　　个． 【思路点拨】（1）根据盒子的个数乘以盒子的单价即可得购买费用； （2）设购买种型号盒子个，购买种型号盒子个，购买种盒子型号个，根据题意列出方程组，然后求正整数解即可． 【规范解答】解：（1）购买费用为：（元， 故答案为：59； （2）设购买种型号盒子个，购买种型号盒子个，购买种盒子型号个， 根据题意得：， ①当时，， ，，都为正整数， 方程组无解； ②当时，， ，，都为正整数， 时，，， 综合所述，购买，，三种型号的盒子的个数分别4，4，2， ， 故答案为：10． 【考点评析】本题考查了三元一次方程组的应用，分类讨论思想及列出方程求整数解是解题的关键． 【变式训练02】（难度：✭✭✭✭）（2023春•浉河区期末）请阅读下面对话，并解答问题： 一天晚饭后小明与隔壁小店老板闲聊，小店老板说：我经销、两种商品．、两种商品的进货单价之和为5元；商品零售价比进货单价多1元，商品零售价比进货单价的2倍少1元，按零售价购买商品3件和商品2件，共19元．你知道、两种商品的进货单价各多少元吗？小明想了想很快回答了小店老板的问题．并给小店老板出了个问题：上次我去逛超市，买甲、乙、丙三样商品，拿了4件甲商品，7件乙商品，1件丙商品，结果售货员告诉我共8元，我没带那么多钱，就改成了买2件甲商品，3件乙商品，1件丙商品，结果售货员告诉我要6元，可我钱还是不够，我算了算，我的钱恰好够买甲、乙、丙商品各一件，你知我那天带了多少钱吗？小店老板晕了，叹道：这我那知呀！后生可畏，后生可畏啊！ 问题： （1）你知小明是怎样求解小店老板的问题的吗？请写出求解过程． （2）小明给老板的问题真的不能解决吗？若能解，请写出求解过程． 【思路点拨】（1）设商品进货价元，商品进货价元，则商品零售价为元，商品零售价为元，利用、两种商品的进货单价之和为5元得到；利用零售价购买商品3件和商品2件，共19元得，然后组成二元一次方程组，再解方程组即可； （2）设甲商品售价为元，乙商品售价为元，丙商品售价为元，利用题意列方程组，然后利用加减法计算的值即可． 【规范解答】解：（1）设商品进货价元，商品进货价元， 根据题意得， 解得． 答：、两种商品的进货单价分别为2元，3元； （2）设甲商品售价为元，乙商品售价为元，丙商品售价为元， 根据题意得， ①②得，则③， ②③得． 答：小明那天带了5元钱． 【考点评析】本题考查了三元一次方程组：在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，设几个未知数，就要找到几个等量关系列几个方程． 【变式训练03】（难度：✭✭✭✭）（2023春•宁波期末）数学活动：探究不定方程 小北，小仑两位同学在学习方程过程中，发现三元一次方程组，虽然解不出，，的具体数值，但可以解出的值． （1）小北的方法：②①，整理可得：　　； ①②，整理可得：　　，． 第5页（共6页） 小仑的方法：①②：　　③；　　得：． （2）已知，试求解的值． （3）学校现准备采购若干英语簿，数学簿以及作文本，已知采购4本英语簿，5本数学簿，2本作文本需要6元；采购4本英语簿，8本数学簿，2本作文本需要7.2元，那么采购200本英语簿，300本数学簿，100本作文本需要多少钱？ 【思路点拨】（1）依据题意，根据三元一次方程组的解法进行计算可以得解； （2）依据题意，仿照（1）进行消元可以得解； （3）依据题意，设1本英语簿元，1本数学簿元，1本作文本元，从而，变形可得，进而可得，故可得解． 【规范解答】解：（1）由题意，小北的方法：②①，整理可得：； ①②，整理可得：， ． 小仑的方法：①②：③； ③得：． 故答案为：；；；③． （2）由题意，， ①②，整理得：； ①②，整理得，， ． （3）由题意，设1本英语簿元，1本数学簿元，1本作文本元， 可得方程组， ②①得，， ． 又①②，整理得，． ． ． 答：采购200本英语簿，300本数学簿，100本作文本需要320元． 【考点评析】本题主要考查了三元一次方程组的应用，解题时需要熟练掌握并能灵活运用． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$