第7章 平面直角坐标系（导图+知识梳理+解题策略+六大考向真题讲练）-2023-2024学年人教版数学七年级下册期末复习培优进阶考点精讲练

2023-2024学年人教版数学七年级下册期末复习培优进阶考点精讲练 第7章 平面直角坐标系 （导图+知识梳理+解题策略+六大考向真题讲练） 同学你好，期末考试在即，本学期主要学习相交线与平行线；实数；平面直角坐标系；二元一次方程；不等式与不等式组；数据的收集、整理与描述等几个章节内容。初步感知了几何与代数综合应用的重要性，也体会了多元方程与不等式在解决各类问题中的灵活多变的解题策略。本学期试题难度上也进一步加深，重难点考点内容逐步增多。非常考验同学们的审题能力，解题技能，做题耐心，答题规范能力，做题细心度等方面能力。 这份讲义就本学期章节重难点内容进行复盘，考点梳理+解题策略+典例精讲+变式训练+真题拔高的排版结构。题目难度1-5星，星级越高，难度越大！深入挖掘重难点考点和题型，梳理解题方法，优选近两年各地名校期末真题，模拟题。帮助同学加深对知识的认识理解和综合运用。希望同学在期末考试中取得考成绩！ 知识梳理： 知识点01：平面直角坐标系的基本概念: 定义：平面直角坐标系是由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成的，其中水平方向的数轴称为x轴或横轴，竖直方向的数轴称为y轴或纵轴，它们的公共原点（0,0）称为坐标原点。 坐标轴的正方向：通常规定，x轴的正方向向右，y轴的正方向向上。 知识点02：点的坐标: 点的坐标表示：在平面直角坐标系中，任意一点P的位置都可以由一对有序实数对(x,y)唯一确定，其中 x是点P到y轴的距离（称为横坐标），y是点P到x轴的距离（称为纵坐标）。 特殊点的坐标： 原点O的坐标为(0, 0)，x轴上的点的纵坐标都为0，形如(x, 0)，y轴上的点的横坐标都为0，形如 (0, y) 知识点03：坐标确定位置 坐标与位置的关系：在平面直角坐标系中，每一个点都有一个唯一的坐标与之对应，反之，每一个坐标也对应着平面上的一个唯一点。 坐标的符号与位置的关系： 第一象限：x > 0，y > 0。即点的横坐标和纵坐标都为正。 第二象限：x < 0，y > 0，即点的横坐标为负，纵坐标为正。 第三象限：x < 0，y<0，即点的横坐标和纵坐标都为负。 第四象限：x > 0，y<0，即点的横坐标为正，纵坐标为负。 知识点04：坐标的平移与对称 平移：当点P(x, y)在平面直角坐标系中沿x轴方向平移a个单位长度，沿y轴方向平移b个单位长度后，其新坐标为(x+a,y+b)。 对称：点P(x,y)关于x轴对称的点坐标为(x,−y)；关于y轴对称的点坐标为(−x,y)；关于原点对称的点坐标为(−x,−y)。 解题策略： 知识点01：点的坐标的确定 直接观察法： 在平面直角坐标系中，直接观察点所在的象限或位置，确定其横坐标和纵坐标的符号。 距离法： 如果知道点到坐标轴的距离，可以直接确定其坐标。例如，点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，并且点P位于第一象限，则点P的坐标为(4,3)。 利用图形性质： 如果点位于某个已知图形上（如直线、圆等），可以利用图形的性质来确定点的坐标。 知识点02：坐标确定位置: 直接坐标法： 给定点的坐标(x,y)，直接在平面直角坐标系中画出该点。 象限判断法： 根据坐标的符号判断点所在的象限。例如，坐标(2,−3)中，x>0且y<0，所以点位于第四象限。 对称性质法： 如果知道一个点关于x轴、y轴或原点的对称点的坐标，可以利用对称性质求出原点的坐标。例如，点 P(x,y)关于x轴对称的点坐标为(x,−y)。 解题示例： 知识点01：确定点的坐标： 在平面直角坐标系中，点A到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，且点A位于第二象限，求点A的坐标。 解：由于点A位于第二象限，其横坐标x为负，纵坐标y为正。因此，点A的坐标为(−3,2)。 知识点02：坐标确定位置： 在平面直角坐标系中，点B的坐标为(−4,5)，求点B关于x轴对称的点B的坐标。 解：根据对称性质，点B'的横坐标与点B相同，纵坐标为点B纵坐标的相反数。因此，点B′的坐标为(−4,−5)。 注意事项 在确定点的坐标时，要注意点的位置与坐标符号的关系。 在利用坐标确定位置时，要准确画出坐标系并标出点的位置。 在利用对称性质确定坐标时，要注意对称轴和对称点的关系。 【真题精讲】（难度：✭✭✭）（2023秋•高青县期末）已知点，且有，则点一定不在　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第四象限 D．坐标轴上 【变式训练01】（难度：✭✭✭）（2023春•临邑县期末）已知点，，，则点在　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式训练02】（难度：✭✭✭）（2022秋•沭阳县期末）平面直角坐标系中某点在轴上，则　　． 【变式训练03】（难度：✭✭✭✭）（2023春•海门市期末）在平面直角坐标系中，点，，，，若，则称点与点互为“对角点”，例如：点，点，因为，所以点与点互为“对角点”． （1）若点的坐标是，则在点，，中，点的“对角点”为点 　； （2）若点的坐标是的“对角点” 在坐标轴上，求点的坐标； （3）若点的坐标是与点互为“对角点”，且点在第四象限，求，的取值范围． 【真题精讲】（难度：✭✭✭）（2023秋•河源期末）“歼”是我国自主研制的第五代战斗机，属于单座双发隐形战斗机，具备高隐身性、高态势感知、高机动性的特点．如图，小静将一张“歼”一飞冲天的图片放入网格中，若图片上点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为　　 A． B． C． D． 【变式训练01】（难度：✭✭✭）（2019春•河间市期末）如图所示，围棋盘放置在某个平面直角坐标系中，白棋②的坐标为，黑棋④的坐标为，那么黑棋①的坐标应该是 【变式训练02】（难度：✭✭✭）（2023春•丰宁县期末）如图，货船与港口相距30海里，我们用有序数对（南偏西，30海里）来描述港口相对货船的位置，那么货船相对港口的位置可描述为 　 　． 【变式训练03】（难度：✭✭✭）（2023春•那曲市期末）如图是某校的平面示意图，网格中小正方形的边长为1，且已知楼、楼的坐标分别为，．完成以下问题： （1）请根据题意在图上建立平面直角坐标系； （2）写出图中校门、楼、楼、楼的坐标； （3）在图中用点表示实验楼的位置． 【变式训练04】（难度：✭✭✭）（2023春•云南期末）为了更好地开展景区规划工作，某景区对区内的5个景观利用坐标确定了位置，并且设置了导航路线． （1）在如图所示的正方形网格中建立平面直角坐标系，使得景观、的位置分别表示，； （2）在建立的坐标系中，景观的坐标为 ； （3）在坐标系中标出，的位置，连接、，则与的位置关系是 　　． 知识梳理：点的运动规律 沿坐标轴运动的点：这类问题中，点通常沿着x轴或y轴进行移动。 例如，点从原点出发，先向上移动一个单位，再向右移动一个单位，以此类推。通过观察点的移动路径，我们可以发现点的坐标变化具有周期性，并据此推导出坐标公式。 绕原点运动的点：这类问题中，点通常围绕原点进行“回”字型运动。例如，点从某个起始位置开始，先向右上方移动，然后向左下方移动，形成一个“回”字形状。同样地，我们可以通过观察点的移动路径，找出其坐标变化的规律，并推导出坐标公式。 解题策略：坐标找规律的方法 确定周期性：首先，通过观察点的移动路径，确定其坐标变化的周期性。例如，在沿坐标轴运动的点的问题中，我们可以发现点的坐标每移动四个单位就重复一次，因此其周期为4。 找相应点：根据周期性，我们可以将所求点的下标除以周期数，得到商和余数。然后，通过找出与所求点下标具有相同余数的点（即相应点），来确定所求点的位置。 找规律：在找出相应点之后，我们需要观察这些点的坐标变化规律。通常，这些规律可以通过观察点的横坐标和纵坐标与下标之间的关系来得出。例如，在某些问题中，我们可能会发现点的横坐标等于下标加1，而纵坐标等于下标的2倍。 写出所求点的坐标：最后，根据找出的规律，我们可以写出所求点的坐标。在这个过程中，我们可能需要将所求点的下标代入到规律公式中，进行计算得到具体的坐标值。 解题示例： 沿坐标轴运动的点的问题：例如，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动一个单位。我们可以通过观察这个点的移动路径，发现其坐标每四个单位就重复一次。因此，我们可以将其坐标变化视为一个周期性的过程，并据此推导出坐标公式。 绕原点运动的点的问题：例如，在平面直角坐标系中，一个点按照某种规律围绕原点进行“回”字型运动。我们可以通过观察这个点的移动路径，找出其坐标变化的规律，并据此推导出坐标公式。在这个过程中，我们可能需要考虑点在不同象限中的坐标符号变化等因素。 知识总结： 平面直角坐标系中点的坐标找规律问题是一个需要细心观察和总结规律的问题。通过掌握这个知识点，我们可以更好地理解平面直角坐标系中的点的坐标变化规律，并在实际问题中灵活运用这些规律来解决问题。 【真题精讲】（难度：✭✭✭）（2022春•延津县期末）如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，，按这样的运动规律，经过第2022次运动后，动点的坐标是　　 A． B． C． D． 【变式训练01】（难度：✭✭✭）（2023春•武穴市期末）如图，长方形的各边分别平行于轴、轴，物体甲和物体乙由点同时出发，沿长方形的边做环绕运动，物体甲按逆时针方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，物体乙按顺时针方向以每秒2个单位长度的速度匀速运动则两个物体运动后的第2023次相遇地点的坐标是　　 A． B． C． D． 【变式训练02】（难度：✭✭✭）（2023秋•大埔县期末）如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，按这样的运动规律，经过第2023次运动后，动点的坐标是 　 ． 【变式训练03】（难度：✭✭✭）（2023春•滨海新区期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，，点，点分别从点，点同时出发，沿长方形的边作环绕运动，点按逆时针方向以每秒2个单位长度的速度匀速运动，点按顺时针方向以每秒3个单位长度的速度匀速运动，则第2023秒，两点相遇地点的坐标是 　 　 ． 【变式训练04】（难度：✭✭✭✭）（2023春•凤台县期末）在直角坐标系中，设一质点自处向上运动1个单位至，然后向左运动2个单位至处，再向下运动3个单位至处，再向右运动4个单位至处，再向上运动5个单位至处，如此继续运动下去，设，，，2，3，． （1）依次写出、、、、、的值； （2）计算的值； （3）计算的值． 知识点01：平面直角坐标系的基础概念 有序数对：用两个数（a, b）来表示一个确定的位置，其中a和b各自表示不同的意义。这种有顺序的两个数组成的数对，称为有序数对。 平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、并且有公共原点的数轴。水平的数轴称为x轴或横轴，向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，向上为正方向。两轴的交点为坐标原点。 知识点02：坐标与点的关系 点的坐标：对于平面内任意一点P，其坐标由其到x轴和y轴的垂线所确定的两个数（a, b）表示，其中a为横坐标，b为纵坐标。 坐标平面内的点与有序实数对一一对应：每一个点都可以由唯一的有序数对表示，反之亦然。 知识点03：坐标与图形性质 坐标轴上的点： x轴上的点的纵坐标为零，即形式为(a, 0)。 y轴上的点的横坐标为零，即形式为(0, b)。 象限内的点： 第一象限的点，横坐标和纵坐标都为正。 第二象限的点，横坐标为负，纵坐标为正。 第三象限的点，横坐标和纵坐标都为负。 第四象限的点，横坐标为正，纵坐标为负。 关于坐标轴的对称性： 关于x轴对称的两点，其横坐标相同，纵坐标互为相反数。 关于y轴对称的两点，其纵坐标相同，横坐标互为相反数。 关于原点的对称性： 关于原点对称的两点，其横坐标和纵坐标都互为相反数。 平行于坐标轴的直线上的点： 平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同。 平行于y轴的直线上的点的横坐标相同。 【真题精讲】（难度：✭✭✭）（2023春•椒江区期末）中国象棋中“马走日字” “马”从两个小方格组成的“日”字的一角走到相对的另一对角，横着走竖着走都可以），如“马”从点出发，可到达，，，，，中任意一点，若“马”从点出发连续走了次“日”字后到达点，则的最小值为　　 A．6 B．7 C．8 D．9 【变式训练01】（难度：✭✭✭）（2023秋•福田区期末）已知轴，，，则点坐标为 　 ． 【变式训练02】（难度：✭✭✭）（2023春•岚山区期末）在平面直角坐标系中，线段轴，，且点的坐标是，则点的坐标是 　　 ． 【变式训练03】（难度：✭✭✭）（2023春•岚皋县校级期末）在平面直角坐标系中，，若轴，且，点在点的右边，则点的坐标是 　　 ． 【变式训练04】（难度：✭✭✭）（2022秋•东阳市期末）如图，在长方形中，为平面直角坐标系的原点，点坐标为，点的坐标为，且、满足，点在第一象限内，点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动 （1）求点的坐标． （2）当点移动4秒时，请求出点的坐标． （3）当点移动到距离轴5个单位长度时，求点移动的时间． 【变式训练05】（难度：✭✭✭✭）（2023春•镇雄县期末）在平面直角坐标系中，对于任意三点，，的“矩面积”给出如下定义：“水平底” ：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高” ：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积” ． 例如：三点的坐标分别为，，，则“水平底” ，“铅垂高” ，“矩面积” ． （1）若，，，则“水平底” 　 　，“铅垂高” 　　，“矩面积” 　　； （2）若，，的“矩面积”为20，求点的坐标． 知识点01：两点间距离公式的定义与推导 两点间距离公式：在平面直角坐标系中，设点A的坐标为（x1, y1），点B的坐标为（x2, y2），则A、B两点间的距离公式为： d = 推导过程：考虑一个直角三角形ABC，其中点A和点B是直角三角形的两个顶点，C是斜边AB上的任意一点。根据勾股定理，直角三角形的斜边长度等于两直角边长度的平方和的平方根。在平面直角坐标系中，点A和点B的横坐标和纵坐标之差分别对应直角三角形ABC的两条直角边。因此，可以利用勾股定理推导出两点间的距离公式。 知识点02：两点间距离公式的应用 在函数图形内求两点之间距离：利用两点间距离公式，可以方便地求出函数图形上任意两点之间的距离。 求点的坐标：已知直线方程和其中一个点的坐标以及两点之间的距离，可以利用两点间距离公式反求出另一个点的坐标。 知识点03：解题策略 在使用两点间距离公式时，要确保点的坐标值正确无误。 两点间距离公式适用于平面直角坐标系中的任意两点，无论这两点是否在同一象限或同一直线上。 通过掌握平面直角坐标系中两点间的距离公式及其推导过程和应用方法，可以更加深入地理解平面直角坐标系和几何图形的性质，为后续的数学学习打下坚实的基础。 【真题精讲】（难度：✭✭✭）（2020春•新城区校级期末）在平面直角坐标系中，若点与点之间的距离是3，则的值是 　　 ． 【变式训练01】（难度：✭✭✭）（2021春•静安区校级期末）在直角坐标平面内，点和点之间的距离为　　． 【变式训练02】（难度：✭✭✭）（2019春•新余期末）对于平面直角坐标系中的点，若点的坐标为（其中为常数，且，则称点为点的“属派生点”，例如：的“2属派生点”为，即．若点在轴的正半轴上，点的“属派生点”为点，且线段的长度为线段长度的5倍，则的值为　 ． 【变式训练03】（难度：✭✭✭✭）（2023春•鼓楼区校级期末）国际象棋玩过么？国王走一步能够移动到相邻的8个方格中的随意一个，那么国王从格子， 走到格子， 的最少步数就是数学的一种距离，叫“切比雪夫距离”．在平面直角坐标系中，对于任意两点， 与， 的“切比雪夫距离”，给出如下定义：若，则点， 与， 的“切比雪夫距离”为；若，则点， 与， 的“切比雪夫距离”为； （1）已知， ①若的坐标为，则点与的“切比雪夫距离”为 　 　； ②若为轴上的动点，那么点与 “切比雪夫距离”的最小值为 　　； （2）已知，，设点与的“切比雪夫距离”为，若，求（用含的式子表示）． 【变式训练04】（难度：✭✭✭✭）（2020春•官渡区期末）问题情境： 在平面直角坐标系中有不重合的两点，和点，，小明在学习中发现，若，则轴，且线段的长度为；若，则轴，且线段的长度为； 【应用】： （1）若点、，则轴，的长度为 　 　． （2）若点，且轴，且，则点的坐标为 　　． 【拓展】： 我们规定：平面直角坐标系中任意不重合的两点，，，之间的折线距离为；例如：图1中，点与点之间的折线距离为，． 解决下列问题： （1）如图2，已知，若，则　　； （2）如图2，已知，，若，则　　． （3）如图3，已知，点在轴上，且三角形的面积为3，则　　． 知识梳理: 知识点01：平移的规律 点的平移： 在平面直角坐标系中，若点（x，y）向右平移a个单位长度，则其新坐标为（x+a，y）。 若点（x，y）向左平移a个单位长度，则其新坐标为（x-a，y）。 若点（x，y）向上平移b个单位长度，则其新坐标为（x，y+b）。 若点（x，y）向下平移b个单位长度，则其新坐标为（x，y-b）。 图形的平移： 图形的平移可以看作是其上所有点按照同一方向和距离进行的平移。 当一个图形在平面直角坐标系中平移时，其各个顶点的坐标都会按照上述规律发生变化。 知识点02：平移的性质 对应点连线平行且相等：平移前后两个图形中的对应点，其连线段平行（或在同一条直线上）且相等。 对应线段相等：平移前后两个图形中的对应线段长度相等。 对应角相等：平移前后两个图形中的对应角大小相等。 知识点03：平移的应用 描述图形位置变化：通过平移，可以方便地描述图形在平面直角坐标系中的位置变化。 绘制新图形：利用平移的性质，可以在已知图形的基础上绘制出新的图形。 解题策略： 知识点01：掌握平移的规律 点的平移： 点的平移规律是解题的基础。学生需要理解并掌握当一个点沿x轴或y轴平移时，其坐标的变化规律。例如，点(x,y)向右平移a个单位长度后，其新坐标为(x+a,y)；向上平移b个单位长度后，其新坐标为(x,y+b)。 图形的平移： 图形的平移可以看作是其上所有点按照同一方向和距离进行的平移。因此，要平移一个图形，只需将其各个顶点的坐标按照点的平移规律进行变化即可。 知识点02：应用平移规律解题 确定平移方向和距离： 在解题时，首先需要确定平移的方向和距离。这通常可以通过观察题目中给出的图形或文字描述来确定。 计算新坐标： 根据平移的方向和距离，利用平移规律计算平移后图形各个顶点的新坐标。这是解题的关键步骤，需要仔细计算并核对结果。 绘制新图形： 根据计算得到的新坐标，在平面直角坐标系中绘制出平移后的图形。这一步可以通过使用直尺和铅笔等工具来完成，也可以利用计算机软件进行绘制。 知识点03：检查答案 完成解题后，学生需要仔细检查答案是否正确。这包括检查平移的方向和距离是否正确、新坐标的计算是否准确、新图形的绘制是否符合要求等。 知识点04：解题策略总结 理解概念：首先确保对平移的基本概念有清晰的理解。 掌握规律：熟练掌握点的平移规律和图形的平移规律。 确定方向和距离：在解题时，首先要明确平移的方向和距离。 仔细计算：在计算新坐标时，要仔细核对每一步的计算过程，确保结果准确。 绘制图形：根据新坐标绘制平移后的图形时，要注意图形的形状和大小不变，只是位置发生了变化。 检查答案：最后要仔细检查答案是否正确，包括平移的方向和距离、新坐标的计算以及新图形的绘制等方面。 【真题精讲】（难度：✭✭✭）（2023春•硚口区期末）点在轴的上方，将点向上平移4个单位长度，再向左平移1个单位长度后得到点，点到轴的距离大于点到轴的距离，则的取值范围是　　 ． 【变式训练01】（难度：✭✭✭）（2023春•安达市校级期末）如图，，的坐标为，，若将线段平移至，则的值为　 　． 【变式训练02】（难度：✭✭✭）（2018春•兴城市期末）如图，点、的坐标分别为、，将线段平移至时得到、两点的坐标分别是、，则　 　． 【变式训练03】（难度：✭✭✭）（2023春•惠民县期末）在平面直角坐标系中，点的坐标为，线段的位置如图所示，其中点的坐标为，点的坐标为． （1）将线段平移得到线段，其中点的对应点为，点的对应点为． ①点平移到点的过程可以是：先向　 平移　　个单位长度，再向　　平移　　个单位长度； ②点的坐标为　　； （2）在（1）的条件下，若点的坐标为，连接，，求的面积． （3）在轴上是否存在点，使以、、三点为顶点的三角形的面积为3，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式训练04】（难度：✭✭✭）（2023春•天河区期末）如图，在平面直角坐标系中，将先向左平移1个单立长度，再向下平移6个单位长度，得到△． （1）画出△； （2）连接，，求△和△的面积差． 【变式训练05】（难度：✭✭✭）（2023春•商南县校级期末）在平面直角坐标系中，线段平移得到的线段记为线段．其中点的对应点是点，点的对应点是点． （1）若，，，则点的坐标为 　　 ； （2）已知，，，，请写出和之间的数量关系，并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年人教版数学七年级下册期末复习培优进阶考点精讲练 第7章 平面直角坐标系 （导图+知识梳理+解题策略+六大考向真题讲练） 同学你好，期末考试在即，本学期主要学习相交线与平行线；实数；平面直角坐标系；二元一次方程；不等式与不等式组；数据的收集、整理与描述等几个章节内容。初步感知了几何与代数综合应用的重要性，也体会了多元方程与不等式在解决各类问题中的灵活多变的解题策略。本学期试题难度上也进一步加深，重难点考点内容逐步增多。非常考验同学们的审题能力，解题技能，做题耐心，答题规范能力，做题细心度等方面能力。 这份讲义就本学期章节重难点内容进行复盘，考点梳理+解题策略+典例精讲+变式训练+真题拔高的排版结构。题目难度1-5星，星级越高，难度越大！深入挖掘重难点考点和题型，梳理解题方法，优选近两年各地名校期末真题，模拟题。帮助同学加深对知识的认识理解和综合运用。希望同学在期末考试中取得考成绩！ 知识梳理： 知识点01：平面直角坐标系的基本概念: 定义：平面直角坐标系是由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成的，其中水平方向的数轴称为x轴或横轴，竖直方向的数轴称为y轴或纵轴，它们的公共原点（0,0）称为坐标原点。 坐标轴的正方向：通常规定，x轴的正方向向右，y轴的正方向向上。 知识点02：点的坐标: 点的坐标表示：在平面直角坐标系中，任意一点P的位置都可以由一对有序实数对(x,y)唯一确定，其中 x是点P到y轴的距离（称为横坐标），y是点P到x轴的距离（称为纵坐标）。 特殊点的坐标： 原点O的坐标为(0, 0)，x轴上的点的纵坐标都为0，形如(x, 0)，y轴上的点的横坐标都为0，形如 (0, y) 知识点03：坐标确定位置 坐标与位置的关系：在平面直角坐标系中，每一个点都有一个唯一的坐标与之对应，反之，每一个坐标也对应着平面上的一个唯一点。 坐标的符号与位置的关系： 第一象限：x > 0，y > 0。即点的横坐标和纵坐标都为正。 第二象限：x < 0，y > 0，即点的横坐标为负，纵坐标为正。 第三象限：x < 0，y<0，即点的横坐标和纵坐标都为负。 第四象限：x > 0，y<0，即点的横坐标为正，纵坐标为负。 知识点04：坐标的平移与对称 平移：当点P(x, y)在平面直角坐标系中沿x轴方向平移a个单位长度，沿y轴方向平移b个单位长度后，其新坐标为(x+a,y+b)。 对称：点P(x,y)关于x轴对称的点坐标为(x,−y)；关于y轴对称的点坐标为(−x,y)；关于原点对称的点坐标为(−x,−y)。 解题策略： 知识点01：点的坐标的确定 直接观察法： 在平面直角坐标系中，直接观察点所在的象限或位置，确定其横坐标和纵坐标的符号。 距离法： 如果知道点到坐标轴的距离，可以直接确定其坐标。例如，点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，并且点P位于第一象限，则点P的坐标为(4,3)。 利用图形性质： 如果点位于某个已知图形上（如直线、圆等），可以利用图形的性质来确定点的坐标。 知识点02：坐标确定位置: 直接坐标法： 给定点的坐标(x,y)，直接在平面直角坐标系中画出该点。 象限判断法： 根据坐标的符号判断点所在的象限。例如，坐标(2,−3)中，x>0且y<0，所以点位于第四象限。 对称性质法： 如果知道一个点关于x轴、y轴或原点的对称点的坐标，可以利用对称性质求出原点的坐标。例如，点 P(x,y)关于x轴对称的点坐标为(x,−y)。 解题示例： 知识点01：确定点的坐标： 在平面直角坐标系中，点A到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，且点A位于第二象限，求点A的坐标。 解：由于点A位于第二象限，其横坐标x为负，纵坐标y为正。因此，点A的坐标为(−3,2)。 知识点02：坐标确定位置： 在平面直角坐标系中，点B的坐标为(−4,5)，求点B关于x轴对称的点B的坐标。 解：根据对称性质，点B'的横坐标与点B相同，纵坐标为点B纵坐标的相反数。因此，点B′的坐标为(−4,−5)。 注意事项 在确定点的坐标时，要注意点的位置与坐标符号的关系。 在利用坐标确定位置时，要准确画出坐标系并标出点的位置。 在利用对称性质确定坐标时，要注意对称轴和对称点的关系。 【真题精讲】（难度：✭✭✭）（2023秋•高青县期末）已知点，且有，则点一定不在　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第四象限 D．坐标轴上 【思路点拨】应先判断出所求的点的横、纵坐标的符号，进而判断点所在的位置． 【规范解答】解：根据点，且有， 所以，或，， 所以点一定不在第一象限， 故选：． 【考点评析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限． 【变式训练01】（难度：✭✭✭）（2023春•临邑县期末）已知点，，，则点在　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【思路点拨】根据条件可得：，，进而即可判断点所在的象限． 【规范解答】解：， ，同号， ， ，， 故点在第三象限． 故选：． 【考点评析】本题主要考查平面直角坐标系中，各个象限的点的坐标特征，掌握各个象限的点的坐标特征，是解题的关键． 【变式训练02】（难度：✭✭✭）（2022秋•沭阳县期末）平面直角坐标系中某点在轴上，则　　． 【思路点拨】由轴上点的坐标特征得出，即可得出结果． 【规范解答】解：点在轴上， ， 解得：， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了轴上点的坐标特征；熟记轴上点的纵坐标是解决问题的关键． 【变式训练03】（难度：✭✭✭✭）（2023春•海门市期末）在平面直角坐标系中，点，，，，若，则称点与点互为“对角点”，例如：点，点，因为，所以点与点互为“对角点”． （1）若点的坐标是，则在点，，中，点的“对角点”为点 　，　； （2）若点的坐标是的“对角点” 在坐标轴上，求点的坐标； （3）若点的坐标是与点互为“对角点”，且点在第四象限，求，的取值范围． 【思路点拨】（1）、（2）读懂新定义，根据新定义解题即可； （3）根据新定义和直角坐标系中第四象限、的取值范围确定、的取值范围即可． 【规范解答】解：（1）根据新定义可以得、与点互为“对角点”； 故答案为：，； （2）①当点在轴上时， 设，由题意得， 解得， ． ②当点在轴上时， 设， 由题意得， 解得， ． 综上所述：的“对角点”点的坐标为或． （3）由题意得， ． 点在第四象限， ， ， 解得， 此时， ． 由定义可知：，， 且，且． 故答案为：且，且． 【考点评析】本题考查了直角坐标系中点的坐标的新定义，解题的关键在于读懂新定义，利用新定义给出的公式，找到规律，解决问题． 【真题精讲】（难度：✭✭✭）（2023秋•河源期末）“歼”是我国自主研制的第五代战斗机，属于单座双发隐形战斗机，具备高隐身性、高态势感知、高机动性的特点．如图，小静将一张“歼”一飞冲天的图片放入网格中，若图片上点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据点的坐标为，点的坐标为建立平面直角坐标系，得出点的坐标即可． 【规范解答】解：点的坐标为，点的坐标为， 坐标原点在点左侧两个单位处，建立如图所示的平面直角坐标系， 点的坐标为，故正确． 故选：． 【考点评析】本题主要考查了坐标与图形，解题的关键是根据已知点的坐标，建立平面直角坐标系． 【变式训练01】（难度：✭✭✭）（2019春•河间市期末）如图所示，围棋盘放置在某个平面直角坐标系中，白棋②的坐标为，黑棋④的坐标为，那么黑棋①的坐标应该是　　． 【思路点拨】根据点的平移规律，可得答案． 【规范解答】解：黑棋④的坐标为，右移3个单位，再上移1个单位，得黑棋①的坐标， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了坐标确定位置，利用点的平移规律：右加左减，上加下减是解题关键． 【变式训练02】（难度：✭✭✭）（2023春•丰宁县期末）如图，货船与港口相距30海里，我们用有序数对（南偏西，30海里）来描述港口相对货船的位置，那么货船相对港口的位置可描述为 　（北偏东，30海里）　． 【思路点拨】以点为中心点，来描述点的方向及距离即可． 【规范解答】解：由题意知货船相对港口的位置可描述为：（北偏东，30海里）， 故答案为：（北偏东，30海里）． 【考点评析】本题考查坐标确定位置，用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西． 【变式训练03】（难度：✭✭✭）（2023春•那曲市期末）如图是某校的平面示意图，网格中小正方形的边长为1，且已知楼、楼的坐标分别为，．完成以下问题： （1）请根据题意在图上建立平面直角坐标系； （2）写出图中校门、楼、楼、楼的坐标； （3）在图中用点表示实验楼的位置． 【思路点拨】（1）根据已知点和点的坐标，找出坐标原点，建立平面直角坐标系即可； （2）根据（1）中建立的坐标系，写出各点的坐标即可； （3）在（1）建立的坐标系中，标出点即可． 【规范解答】解：（1）根据题意在图上建立平面直角坐标系，如图所示： （2）校门坐标为，楼坐标为，楼，楼坐标为； （3）如下图所示： 【考点评析】本题主要考查了利用坐标确定位置，解题关键是根据已知点的坐标，找出坐标原点，建立平面直角坐标系． 【变式训练04】（难度：✭✭✭）（2023春•云南期末）为了更好地开展景区规划工作，某景区对区内的5个景观利用坐标确定了位置，并且设置了导航路线． （1）在如图所示的正方形网格中建立平面直角坐标系，使得景观、的位置分别表示，； （2）在建立的坐标系中，景观的坐标为 　　； （3）在坐标系中标出，的位置，连接、，则与的位置关系是 　　． 【思路点拨】（1）根据，建立坐标系即可； （2）根据坐标系中的位置即可解答； （3）先标出，的位置，然后再根据图形即可解答． 【规范解答】解：（1）如图：平面直角坐标系即为所求． （2）如图：． （3）如图：可得：平行． 故答案为：平行． 【考点评析】本题主要考查了坐标确定位置、平面直角坐标系、平行的概念等知识点，根据、的坐标 建立坐标系是解题的关键． 知识梳理：点的运动规律 沿坐标轴运动的点：这类问题中，点通常沿着x轴或y轴进行移动。 例如，点从原点出发，先向上移动一个单位，再向右移动一个单位，以此类推。通过观察点的移动路径，我们可以发现点的坐标变化具有周期性，并据此推导出坐标公式。 绕原点运动的点：这类问题中，点通常围绕原点进行“回”字型运动。例如，点从某个起始位置开始，先向右上方移动，然后向左下方移动，形成一个“回”字形状。同样地，我们可以通过观察点的移动路径，找出其坐标变化的规律，并推导出坐标公式。 解题策略：坐标找规律的方法 确定周期性：首先，通过观察点的移动路径，确定其坐标变化的周期性。例如，在沿坐标轴运动的点的问题中，我们可以发现点的坐标每移动四个单位就重复一次，因此其周期为4。 找相应点：根据周期性，我们可以将所求点的下标除以周期数，得到商和余数。然后，通过找出与所求点下标具有相同余数的点（即相应点），来确定所求点的位置。 找规律：在找出相应点之后，我们需要观察这些点的坐标变化规律。通常，这些规律可以通过观察点的横坐标和纵坐标与下标之间的关系来得出。例如，在某些问题中，我们可能会发现点的横坐标等于下标加1，而纵坐标等于下标的2倍。 写出所求点的坐标：最后，根据找出的规律，我们可以写出所求点的坐标。在这个过程中，我们可能需要将所求点的下标代入到规律公式中，进行计算得到具体的坐标值。 解题示例： 沿坐标轴运动的点的问题：例如，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动一个单位。我们可以通过观察这个点的移动路径，发现其坐标每四个单位就重复一次。因此，我们可以将其坐标变化视为一个周期性的过程，并据此推导出坐标公式。 绕原点运动的点的问题：例如，在平面直角坐标系中，一个点按照某种规律围绕原点进行“回”字型运动。我们可以通过观察这个点的移动路径，找出其坐标变化的规律，并据此推导出坐标公式。在这个过程中，我们可能需要考虑点在不同象限中的坐标符号变化等因素。 知识总结： 平面直角坐标系中点的坐标找规律问题是一个需要细心观察和总结规律的问题。通过掌握这个知识点，我们可以更好地理解平面直角坐标系中的点的坐标变化规律，并在实际问题中灵活运用这些规律来解决问题。 【真题精讲】（难度：✭✭✭）（2022春•延津县期末）如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，，按这样的运动规律，经过第2022次运动后，动点的坐标是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】观察图形可知：每4次运动为一个循环，并且每一个循环向左运动4个单位，用可判断出第2022次运动时，点在第几个循环第几次运动中，进一步即可计算出坐标． 【规范解答】解：动点的运动规律可以看作每运动四次为一个循环，每个循环向左运动4个单位， ， 第2022次运动时，点在第506次循环的第2次运动上， 横坐标为，纵坐标为0， 此时． 故选：． 【考点评析】本题考查规律型：点坐标，解答时注意探究点的运动规律，又要注意动点的坐标所在象限的符号． 【变式训练01】（难度：✭✭✭）（2023春•武穴市期末）如图，长方形的各边分别平行于轴、轴，物体甲和物体乙由点同时出发，沿长方形的边做环绕运动，物体甲按逆时针方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，物体乙按顺时针方向以每秒2个单位长度的速度匀速运动则两个物体运动后的第2023次相遇地点的坐标是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据两个物体运动速度和矩形周长，得到两个物体的相遇时间间隔，进而得到两个点相遇的位置规律． 【规范解答】解：由图已知，矩形周长为12， 甲、乙速度分别为1单位秒，2单位秒， 则两个物体每次相遇时间间隔为秒， 则两个物体相遇点依次为、、， 两个物体相遇点以、、三次为一个循环， ， 第2023次两个物体相遇位置为， 故选：． 【考点评析】本题为平面直角坐标系中得动点坐标规律问题，解题关键是找到两个物体相遇的位置的变化规律． 【变式训练02】（难度：✭✭✭）（2023秋•大埔县期末）如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，按这样的运动规律，经过第2023次运动后，动点的坐标是 　　． 【思路点拨】根据点的运动规律可得点的纵坐标从第一次运动开始以1、0、2、0循环变化，而横坐标即为运动次数，即可求得点的坐标． 【规范解答】解：通过观察点的运动规律可知： 其纵坐标从第一次运动开始以1、0、2、0循环变化， 而横坐标即为运动次数， 所以 所以点的坐标为：． 故答案为：． 【考点评析】本题考查了规律型点的坐标，解决本题的关键是观察点的运动变化发现规律，总结规律． 【变式训练03】（难度：✭✭✭）（2023春•滨海新区期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，，点，点分别从点，点同时出发，沿长方形的边作环绕运动，点按逆时针方向以每秒2个单位长度的速度匀速运动，点按顺时针方向以每秒3个单位长度的速度匀速运动，则第2023秒，两点相遇地点的坐标是 　　． 【思路点拨】根据点的坐标求出长方形的周长，确定两点相遇所需的时间，找到相遇的点的坐标，抽象出相应规律，即可得出结果． 【规范解答】解：，，，， ，，， 长方形的周长为， 第一次经过1秒时，在相遇， 接下来每两秒相遇一次：次， 点按逆时针方向以每秒2个单位长度的速度匀速运动， 第二次相遇时，点的运动路程为， 第二次相遇在， 第三次相遇在， 第四次相遇在， 第五次相遇在， 第六次相遇在， 第七次相遇在， ． 从第二次开始，每五次相遇点重复一轮， 商202余1， 第2023秒，两点相遇地点的坐标是， 故答案为：． 【考点评析】本题考查点的规律探究，解题的关键是确定两点相遇所需时间，以及相遇时点的坐标规律． 【变式训练04】（难度：✭✭✭✭）（2023春•凤台县期末）在直角坐标系中，设一质点自处向上运动1个单位至，然后向左运动2个单位至处，再向下运动3个单位至处，再向右运动4个单位至处，再向上运动5个单位至处，如此继续运动下去，设，，，2，3，． （1）依次写出、、、、、的值； （2）计算的值； （3）计算的值． 【思路点拨】（1）根据图象结合平面坐标系得出各点横坐标即可； （2）根据各点横坐标数据得出规律，进而得出答案即可； （3）经过观察分析可得每4个数的和为2，把2004个数分为501组，即可得到相应结果． 【规范解答】解：（1）根据平面坐标系结合各点横坐标得出： 、、、、、的值分别为：1，，，3，3，； （2）； ； ； （3）； ； ． 【考点评析】此题主要考查了点的坐标特点，解决本题的关键是分析得到4个数相加的规律． 10．（2023春•巴东县期末）综合与实践 问题背景： （1）已知，，，．在平面直角坐标系中描出这几个点，并分别找到线段和中点、，然后写出它们的坐标，则　　，　　． 探究发现： （2）结合上述计算结果，你能发现若线段的两个端点的坐标分别为，，，，则线段的中点坐标为　　． 拓展应用： （3）利用上述规律解决下列问题：已知三点，，，第四个点与点、点、点中的一个点构成的线段的中点与另外两个端点构成的线段的中点重合，求点的坐标． 【思路点拨】（1）根据坐标的确定方法直接描点，：分别读出各点的纵横坐标，即可得到各中点的坐标； （2）根据（1）中的坐标与中点坐标找到规律； （3）利用（2）中的规律进行分类讨论即可答题． 【规范解答】解：（1）如图：，，，．在平面直角坐标系中描出它们如下： 线段和中点、的坐标分别为、 故答案为：、． （2）若线段的两个端点的坐标分别为，，，，则线段的中点坐标为． 故答案为：． （3），，， 、、的中点分别为：、、 ①过中点时，， 解得：，，故； ②过中点时，， 解得：，，故； ③过的中点时，， 解得：，，故． 点的坐标为：，，． 【考点评析】本题考查了坐标与图形性质．通过此题，要熟记平面直角坐标系中线段中点的横坐标为对应线段的两个端点的横坐标的平均数，中点的纵坐标为对应线段的两个端点的纵坐标的平均数． 知识点01：平面直角坐标系的基础概念 有序数对：用两个数（a, b）来表示一个确定的位置，其中a和b各自表示不同的意义。这种有顺序的两个数组成的数对，称为有序数对。 平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、并且有公共原点的数轴。水平的数轴称为x轴或横轴，向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，向上为正方向。两轴的交点为坐标原点。 知识点02：坐标与点的关系 点的坐标：对于平面内任意一点P，其坐标由其到x轴和y轴的垂线所确定的两个数（a, b）表示，其中a为横坐标，b为纵坐标。 坐标平面内的点与有序实数对一一对应：每一个点都可以由唯一的有序数对表示，反之亦然。 知识点03：坐标与图形性质 坐标轴上的点： x轴上的点的纵坐标为零，即形式为(a, 0)。 y轴上的点的横坐标为零，即形式为(0, b)。 象限内的点： 第一象限的点，横坐标和纵坐标都为正。 第二象限的点，横坐标为负，纵坐标为正。 第三象限的点，横坐标和纵坐标都为负。 第四象限的点，横坐标为正，纵坐标为负。 关于坐标轴的对称性： 关于x轴对称的两点，其横坐标相同，纵坐标互为相反数。 关于y轴对称的两点，其纵坐标相同，横坐标互为相反数。 关于原点的对称性： 关于原点对称的两点，其横坐标和纵坐标都互为相反数。 平行于坐标轴的直线上的点： 平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同。 平行于y轴的直线上的点的横坐标相同。 【真题精讲】（难度：✭✭✭）（2023春•椒江区期末）中国象棋中“马走日字” “马”从两个小方格组成的“日”字的一角走到相对的另一对角，横着走竖着走都可以），如“马”从点出发，可到达，，，，，中任意一点，若“马”从点出发连续走了次“日”字后到达点，则的最小值为　　 A．6 B．7 C．8 D．9 【思路点拨】根据题意画出“马”从点出发到点的路线，进而求解即可． 【规范解答】解：如图所示，当点往右上角方向走“日”字时， 有最小值， 由图象可得，的最小值为9． 故选：． 【考点评析】本题考查坐标确定位置，能够将实际问题转化为平面直角坐标系中点的关系是解题的关键． 【变式训练01】（难度：✭✭✭）（2023秋•福田区期末）已知轴，，，则点坐标为 　或　． 【思路点拨】由平行于轴可知，、两点纵坐标相等，再根据线段的长为5，点可能在点的左边或右边，分别求点坐标． 【规范解答】解：轴， 、两点纵坐标相等，都是4， 又的坐标是，线段的长为5， 当点在点左边时，的坐标为， 当点在点右边时，的坐标为． 故答案为：或． 【考点评析】本题考查了与坐标轴平行的平行线上点的坐标特点及分类讨论的解题思想，根据点位置不确定得出两种情况，此题易出现漏解． 【变式训练02】（难度：✭✭✭）（2023春•岚山区期末）在平面直角坐标系中，线段轴，，且点的坐标是，则点的坐标是 　或　． 【思路点拨】根据平行于轴的点的坐标特征可得：点的纵坐标与点相同，因为，的左右位置不确定，所以点可能在点的左边，也可能在点的右边． 【规范解答】解：线段轴， 点的纵坐标与点相同， ， 或． 故答案为：或． 【考点评析】此题考查坐标与图形性质，关键是根据平行轴的坐标特点解答． 【变式训练03】（难度：✭✭✭）（2023春•岚皋县校级期末）在平面直角坐标系中，，若轴，且，点在点的右边，则点的坐标是 　　． 【思路点拨】根据已知条件先求出点的纵坐标，设坐标为，由两点间的距离公式列出方程，求出答案． 【规范解答】解：，若轴， 点的纵坐标和点相同， 设点坐标为， ，点在点的右边， ，， 点坐标为， 故答案为：． 【考点评析】本题主要考查了坐标与图形性质，解题关键是熟练掌握两点间的距离公式． 【变式训练04】（难度：✭✭✭）（2022秋•东阳市期末）如图，在长方形中，为平面直角坐标系的原点，点坐标为，点的坐标为，且、满足，点在第一象限内，点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动 （1）求点的坐标． （2）当点移动4秒时，请求出点的坐标． （3）当点移动到距离轴5个单位长度时，求点移动的时间． 【思路点拨】（1）利用非负数的性质可以求得、的值，根据长方形的性质，可以求得点的坐标； （2）根据题意点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动，可以得到当点移动4秒时，点的位置和点的坐标； （3）由题意可以得到符合要求的有两种情况，分别求出两种情况下点移动的时间即可． 【规范解答】解：（1）、满足， ，， 解得，， 点的坐标是； （2）点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动， 点的路程：， ，， 当点移动4秒时，在线段上，， 即当点移动4秒时，此时点的坐标是； （3）由题意可得，在移动过程中，当点到轴的距离为5个单位长度时，存在两种情况， 第一种情况，当点在上时， 点移动的时间是：（秒， 第二种情况，当点在上时． 点移动的时间是：（秒， 故在移动过程中，当点到轴的距离为5个单位长度时，点移动的时间是4.5秒或7.5秒． 【考点评析】本题考查矩形的性质，坐标与图形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题． 【变式训练05】（难度：✭✭✭✭）（2023春•镇雄县期末）在平面直角坐标系中，对于任意三点，，的“矩面积”给出如下定义：“水平底” ：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高” ：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积” ． 例如：三点的坐标分别为，，，则“水平底” ，“铅垂高” ，“矩面积” ． （1）若，，，则“水平底” 　6　，“铅垂高” 　　，“矩面积” 　　； （2）若，，的“矩面积”为20，求点的坐标． 【思路点拨】（1）根据题目中的新定义可以求得相应的，和“矩面积”； （2）首先由题意得：，然后分别从①当时，，当时，，列等式求解即可求得答案； 【规范解答】解：（1），，， ，， ， 故答案为：6，4，24； （2）由题意：， ①当时，， 则，可得，故点的坐标为； ②当时，， 则，可得，故点的坐标为； 综上，点的坐标为或． 【考点评析】本题是新定义：“水平底”，“铅垂高”，“矩面积”的学习，考查坐标与图形的性质及学生的理解分析能力的培养，解答本题的关键是明确题目中的新定义，利用新定义解答问题． 知识点01：两点间距离公式的定义与推导 两点间距离公式：在平面直角坐标系中，设点A的坐标为（x1, y1），点B的坐标为（x2, y2），则A、B两点间的距离公式为： d = 推导过程：考虑一个直角三角形ABC，其中点A和点B是直角三角形的两个顶点，C是斜边AB上的任意一点。根据勾股定理，直角三角形的斜边长度等于两直角边长度的平方和的平方根。在平面直角坐标系中，点A和点B的横坐标和纵坐标之差分别对应直角三角形ABC的两条直角边。因此，可以利用勾股定理推导出两点间的距离公式。 知识点02：两点间距离公式的应用 在函数图形内求两点之间距离：利用两点间距离公式，可以方便地求出函数图形上任意两点之间的距离。 求点的坐标：已知直线方程和其中一个点的坐标以及两点之间的距离，可以利用两点间距离公式反求出另一个点的坐标。 知识点03：解题策略 在使用两点间距离公式时，要确保点的坐标值正确无误。 两点间距离公式适用于平面直角坐标系中的任意两点，无论这两点是否在同一象限或同一直线上。 通过掌握平面直角坐标系中两点间的距离公式及其推导过程和应用方法，可以更加深入地理解平面直角坐标系和几何图形的性质，为后续的数学学习打下坚实的基础。 【真题精讲】（难度：✭✭✭）（2020春•新城区校级期末）在平面直角坐标系中，若点与点之间的距离是3，则的值是 　或5　． 【思路点拨】根据点与点之间的距离是3，可以得到，从而可以求得的值． 【规范解答】解：点与点之间的距离是3， ， 解得，或， 故答案为：或5． 【考点评析】本题考查两点间的距离，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 【变式训练01】（难度：✭✭✭）（2021春•静安区校级期末）在直角坐标平面内，点和点之间的距离为　8　． 【思路点拨】利用两点间的距离公式计算即可求出． 【规范解答】解：在直角坐标平面内，点，点 ， 故答案为：8 【考点评析】此题考查了两点间的距离公式，熟练掌握两点间的距离公式是解本题的关键． 【变式训练02】（难度：✭✭✭）（2019春•新余期末）对于平面直角坐标系中的点，若点的坐标为（其中为常数，且，则称点为点的“属派生点”，例如：的“2属派生点”为，即．若点在轴的正半轴上，点的“属派生点”为点，且线段的长度为线段长度的5倍，则的值为　　． 【思路点拨】设，，由题意：，根据，构建方程即可解决问题． 【规范解答】解：设，，由题意：， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【考点评析】本题考查两点间的距离公式，坐标与图形的性质、“属派生点”的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 【变式训练03】（难度：✭✭✭✭）（2023春•鼓楼区校级期末）国际象棋玩过么？国王走一步能够移动到相邻的8个方格中的随意一个，那么国王从格子， 走到格子， 的最少步数就是数学的一种距离，叫“切比雪夫距离”．在平面直角坐标系中，对于任意两点， 与， 的“切比雪夫距离”，给出如下定义：若，则点， 与， 的“切比雪夫距离”为；若，则点， 与， 的“切比雪夫距离”为； （1）已知， ①若的坐标为，则点与的“切比雪夫距离”为 　3　； ②若为轴上的动点，那么点与 “切比雪夫距离”的最小值为 　　； （2）已知，，设点与的“切比雪夫距离”为，若，求（用含的式子表示）． 【思路点拨】（1）①结合题意，根据“切比雪夫距离”的定义求解即可；②设点，分和两种情况讨论，即可获得答案； （2）结合已知条件，分两种情况讨论：当时，由，，可确定此时点与的“切比雪夫距离”；当时，易得，，令，解得，即当时，点与的“切比雪夫距离” ；当时，可有，此时点与的“切比雪夫距离” ．即可获得答案． 【规范解答】解：（1）①，， 又，， ， 根据“切比雪夫距离”的定义，点与的“切比雪夫距离”为3． ②若为轴上的动点，则可设点， 当时，， 又， ， 此时点与 “切比雪夫距离”的值为； 当时，， 又， ， 此时点与 “切比雪夫距离”的值为2． 综上所述，若为轴上的动点，那么点与 “切比雪夫距离”的最小值为2． （2）根据已知条件，，， 则当时， ， ， 此时点与的“切比雪夫距离” ； 当时， 可有，， 令，解得， 即当时，可有，此时点与的“切比雪夫距离” ， 当时，可有，此时点与的“切比雪夫距离” ． 综上所述，点与的“切比雪夫距离” ． 【考点评析】本题主要考查了新定义“切比雪夫距离”、平面直角坐标系中点的坐标特征、化简绝对值以及一元一次不等式的应用等知识，理解题意，灵活运用相关知识是解题关键． 【变式训练04】（难度：✭✭✭✭）（2020春•官渡区期末）问题情境： 在平面直角坐标系中有不重合的两点，和点，，小明在学习中发现，若，则轴，且线段的长度为；若，则轴，且线段的长度为； 【应用】： （1）若点、，则轴，的长度为 　3　． （2）若点，且轴，且，则点的坐标为 　　． 【拓展】： 我们规定：平面直角坐标系中任意不重合的两点，，，之间的折线距离为；例如：图1中，点与点之间的折线距离为，． 解决下列问题： （1）如图2，已知，若，则　　； （2）如图2，已知，，若，则　　． （3）如图3，已知，点在轴上，且三角形的面积为3，则　　． 【思路点拨】【应用】：（1）根据若，则轴，且线段的长度为，代入数据即可得出结论； （2）由轴，可设点的坐标为，根据即可得出，解之即可得出结论； 【拓展】：（1）根据两点之间的折线距离公式，代入数据即可得出结论； （2）根据两点之间的折线距离公式结合，即可得出关于的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）由点在轴上，可设点的坐标为，根据三角形的面积公式结合三角形的面积为3即可求出的值，再利用两点之间的折线距离公式即可得出结论． 【规范解答】解：【应用】： （1）的长度为． 故答案为：3． （2）由轴，可设点的坐标为， ， ，解得：， 点的坐标为或． 故答案为：或． 【拓展】： （1），． 故答案为：． （2），，， ，解得：． 故答案为：2或． （3）由点在轴上，可设点的坐标为， 三角形的面积为3， ，解得：． 当点的坐标为时，； 当点的坐标为时，，． 故答案为：4或8． 【考点评析】本题考查了两点间的距离公式，读懂题意并熟练运用两点间的距离及两点之间的折线距离公式是解题的关键． 知识梳理: 知识点01：平移的规律 点的平移： 在平面直角坐标系中，若点（x，y）向右平移a个单位长度，则其新坐标为（x+a，y）。 若点（x，y）向左平移a个单位长度，则其新坐标为（x-a，y）。 若点（x，y）向上平移b个单位长度，则其新坐标为（x，y+b）。 若点（x，y）向下平移b个单位长度，则其新坐标为（x，y-b）。 图形的平移： 图形的平移可以看作是其上所有点按照同一方向和距离进行的平移。 当一个图形在平面直角坐标系中平移时，其各个顶点的坐标都会按照上述规律发生变化。 知识点02：平移的性质 对应点连线平行且相等：平移前后两个图形中的对应点，其连线段平行（或在同一条直线上）且相等。 对应线段相等：平移前后两个图形中的对应线段长度相等。 对应角相等：平移前后两个图形中的对应角大小相等。 知识点03：平移的应用 描述图形位置变化：通过平移，可以方便地描述图形在平面直角坐标系中的位置变化。 绘制新图形：利用平移的性质，可以在已知图形的基础上绘制出新的图形。 解题策略： 知识点01：掌握平移的规律 点的平移： 点的平移规律是解题的基础。学生需要理解并掌握当一个点沿x轴或y轴平移时，其坐标的变化规律。例如，点(x,y)向右平移a个单位长度后，其新坐标为(x+a,y)；向上平移b个单位长度后，其新坐标为(x,y+b)。 图形的平移： 图形的平移可以看作是其上所有点按照同一方向和距离进行的平移。因此，要平移一个图形，只需将其各个顶点的坐标按照点的平移规律进行变化即可。 知识点02：应用平移规律解题 确定平移方向和距离： 在解题时，首先需要确定平移的方向和距离。这通常可以通过观察题目中给出的图形或文字描述来确定。 计算新坐标： 根据平移的方向和距离，利用平移规律计算平移后图形各个顶点的新坐标。这是解题的关键步骤，需要仔细计算并核对结果。 绘制新图形： 根据计算得到的新坐标，在平面直角坐标系中绘制出平移后的图形。这一步可以通过使用直尺和铅笔等工具来完成，也可以利用计算机软件进行绘制。 知识点03：检查答案 完成解题后，学生需要仔细检查答案是否正确。这包括检查平移的方向和距离是否正确、新坐标的计算是否准确、新图形的绘制是否符合要求等。 知识点04：解题策略总结 理解概念：首先确保对平移的基本概念有清晰的理解。 掌握规律：熟练掌握点的平移规律和图形的平移规律。 确定方向和距离：在解题时，首先要明确平移的方向和距离。 仔细计算：在计算新坐标时，要仔细核对每一步的计算过程，确保结果准确。 绘制图形：根据新坐标绘制平移后的图形时，要注意图形的形状和大小不变，只是位置发生了变化。 检查答案：最后要仔细检查答案是否正确，包括平移的方向和距离、新坐标的计算以及新图形的绘制等方面。 【真题精讲】（难度：✭✭✭）（2023春•硚口区期末）点在轴的上方，将点向上平移4个单位长度，再向左平移1个单位长度后得到点，点到轴的距离大于点到轴的距离，则的取值范围是　　． 【思路点拨】根据点在轴的上方即可求得，由向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加求得点的坐标，然后根据点到轴的距离大于点到轴的距离，得到关于的不等式，进一步求得． 【规范解答】解：点在轴的上方， ， ， 将点向上平移4个单位长度，再向左平移1个单位长度后得到点，则点的坐标为，即， 点到轴的距离大于点到轴的距离， ， 解得． ， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了坐标与图形变化平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 【变式训练01】（难度：✭✭✭）（2023春•安达市校级期末）如图，，的坐标为，，若将线段平移至，则的值为　0　． 【思路点拨】直接利用平移中点的变化规律求解即可． 【规范解答】解：由点平移前后的纵坐标分别为2、4，可得点向上平移了2个单位， 由点平移前后的横坐标分别是为1、3，可得点向右平移了2个单位， 由此得线段的平移的过程是：向上平移2个单位，再向右平移2个单位， 所以点、均按此规律平移， 由此可得，， ， 故答案为：0． 【考点评析】本题考查了坐标系中点、线段的平移规律，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 【变式训练02】（难度：✭✭✭）（2018春•兴城市期末）如图，点、的坐标分别为、，将线段平移至时得到、两点的坐标分别是、，则　4　． 【思路点拨】根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得线段向右平移2个单位，向上平移2个单位，进而可得、的值． 【规范解答】解：、两点的坐标分别为、，平移后，， 线段向右平移2个单位，向上平移2个单位， ，， 故答案为4 【考点评析】此题主要考查了坐标与图形的变化平移，关键是掌握点的坐标的变化规律． 【变式训练03】（难度：✭✭✭）（2023春•惠民县期末）在平面直角坐标系中，点的坐标为，线段的位置如图所示，其中点的坐标为，点的坐标为． （1）将线段平移得到线段，其中点的对应点为，点的对应点为． ①点平移到点的过程可以是：先向　右　平移　　个单位长度，再向　　平移　　个单位长度； ②点的坐标为　　； （2）在（1）的条件下，若点的坐标为，连接，，求的面积． （3）在轴上是否存在点，使以、、三点为顶点的三角形的面积为3，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】（1）①根据平移的性质解决问题即可． ②根据点的位置即可解决问题． （2）利用分割法求三角形的面积即可． （3）设，利用三角形的面积公式构建方程即可解决问题． 【规范解答】解：（1）如图， ①点平移到点的过程可以是：先向右平移3单位长度，再向上平移5个单位长度； 故答案为：右、3、上、5． ②， 故答案为． （2）如图， （3）存在．设，由题意， 解得或5， 点坐标为或． 【考点评析】本题考查坐标与图形变化平移变换，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质，属于中考常考题型． 【变式训练04】（难度：✭✭✭）（2023春•天河区期末）如图，在平面直角坐标系中，将先向左平移1个单立长度，再向下平移6个单位长度，得到△． （1）画出△； （2）连接，，求△和△的面积差． 【思路点拨】（1）根据平移的性质作图即可； （2）利用三角形的面积公式计算即可． 【规范解答】解：（1）如图， △即为所求； （2）△的面积为，△的面积为， △和△的面积差为． 【考点评析】本题主要考查坐标与图形变化平移，熟练掌握平移变换的定义和性质及三角形面积公式是解题的关键． 【变式训练05】（难度：✭✭✭）（2023春•商南县校级期末）在平面直角坐标系中，线段平移得到的线段记为线段．其中点的对应点是点，点的对应点是点． （1）若，，，则点的坐标为 　　； （2）已知，，，，请写出和之间的数量关系，并说明理由． 【思路点拨】（1）设点的坐标为，，根据平移的性质列出方程组，解方程组即可； （2）根据平移的特点得出，整理即可得出答案． 【规范解答】解：（1）设点的坐标为，，根据题意得： ， 解得：， 点的坐标为． 故答案为：． （2）；理由如下： 线段平移得到的线段记为线段，其中点的对应点是点，点的对应点是点， ， 整理得：． 【考点评析】本题主要考查了坐标平移的特点，解题的关键是熟练掌握坐标平移的性质，列出相应的等式 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$