第6章 实数（导图+知识梳理+解题策略+九大考向真题讲练）-2023-2024学年人教版数学七年级下册期末复习培优进阶考点精讲练

2023-2024学年人教版数学七年级下册期末复习培优进阶考点精讲练 第6章 实数 （导图+知识梳理+解题策略+十一大考向真题讲练） 同学你好，期末考试在即，本学期主要学习相交线与平行线；实数；平面直角坐标系；二元一次方程；不等式与不等式组；数据的收集、整理与描述等几个章节内容。初步感知了几何与代数综合应用的重要性，也体会了多元方程与不等式在解决各类问题中的灵活便便的解题策略。本学期试题难度上也进一步加深，重难点考点内容逐步增多。非常考验同学们的审题能力，解题技能，做题耐心，答题规范能力，做题细心度等方面能力。 这份讲义就本学期章节重难点内容进行复盘，考点梳理+解题策略+典例精讲+变式训练+真题拔高的排版结构。题目难度1-5星，星级越高，难度越大！深入挖掘重难点考点和题型，梳理解题方法，优选近两年各地名校期末真题，模拟题。帮助同学加深对知识的认识理解和综合运用。希望同学在期末考试中取得考成绩！ 知识梳理： 定义：平方根是一个数，它的平方等于给定的数。例如，4的平方根是2，因为2的平方等于4。 正数有两个平方根：一个正数有两个平方根，一个正的和一个负的。 例如，9的平方根是±3。 负数没有平方根：在实数范围内，负数没有平方根。因为没有一个实数的平方是负数。 零的平方根：零的平方根是零。 符号：我们用来表示a的非负平方根，也称为算术平方根。如果我们要表示a的负平方根，我们会在前面加上负号，即-。 解题策略： 直接开方法：这是最基本的求解平方根的方法。当我们面对的是一个完全平方数时，我们可以直接开方得到结果。例如，= 4。 分解质因数法：当我们要找一个非完全平方数的平方根时，我们可以尝试分解它的质因数。然后，我们可以将相同的质因数进行配对，并开方得到结果。例如，28可以分解为2×2×7，所以 = 2。 与平方数比较法：这种方法可以帮助我们确定一个数的大致范围。我们可以找到离给定数最近的两个完全平方数，然后确定给定数在这两个完全平方数之间。例如，我们可以确定在和之间，即5和6之间。 开平方公式法：这是通过已知的平方根公式来求解平方根的方法。例如，我们知道= 2，那么就可以表示为7×= 7×2 = 14。但注意，这里我们得到的是正平方根，如果需要负平方根，我们需要在结果前加上负号。 近似法：当我们要求解一个无理数的平方根时，可以使用近似法。这种方法通常涉及到迭代计算，逐步逼近目标值。例如，为了求解的近似值，我们可以先猜测它在1和2之间，然后通过计算（如二分法）逐步缩小这个范围。 在解题时，还需要注意以下几点： 理解平方与开平方的互逆关系：平方与开平方是互为逆运算的，这意味着如果我们知道一个数的平方，我们就可以找到它的平方根；反之亦然。 注意算术平方根的定义：算术平方根是非负的，所以当我们说一个数的平方根时，我们通常是指它的算术平方根。 理解平方根的非负性：平方根的结果总是非负的，这是因为负数的平方是正数。 【真题精讲】（难度：✭✭）（2023春•开州区期末）9的平方根为（　　） A．3 B．﹣3 C．±3 D．±81 【变式训练01】（难度：✭✭✭）（2022秋•滨海县期末）已知一个正数的两个平方根分别是3a+2和a+14，则这个正数是　 ． 【变式训练02】（难度：✭✭✭）（2021春•自贡期末）若3﹣a和2a+3都是某正数的平方根，则某数为　 　． 【变式训练03】（难度：✭✭✭）（2021春•浦东新区期末）一个正数x的两个不同的平方根分别是2a﹣1和﹣a+2． （1）求a和x的值； （2）求3x+2a的平方根． 【真题精讲】（难度：✭✭✭）（2023秋•山亭区期末）的平方根是（　　） A．3 B． C． D．±3 【变式训练01】（难度：✭✭✭）（2023春•凉山州期末）若，则的值为（　　） A． B． C．﹣2 D．2 【变式训练02】（难度：✭✭✭）（2022秋•裕华区期末）某市在招商引资期间，把已倒闭的油泵厂出租给外地某投资商，该投资商为减少固定资产投资，将原来400m2的正方形场地改建成315m2的长方形场地，且其长、宽的比为5：3． （1）求原来正方形场地的周长； （2）如果把原来正方形场地的铁栅栏围墙全部利用，围成新场地的长方形围墙，那么这些铁栅栏是否够用？试利用所学知识说明理由． 【变式训练03】（难度：✭✭✭✭）（2023春•良庆区期末）【综合与实践】如图，把两个面积均为18cm2的小正方形纸片分别沿对角线裁剪后拼成一个大的正方形纸片． （1）求大正方形纸片的边长； （2）若沿此大正方形纸片边的方向裁剪出一个长方形纸片，能否使裁剪出的长方形纸片的长宽之比为3：1，且面积为27cm2？若能，求剪出的长方形纸片的长和宽；若不能，试说明理由． 【真题精讲】（难度：✭✭✭）（2023春•闽清县期末）若，则（b﹣a）2023的值是（　　） A．﹣1 B．1 C．52023 D．﹣52023 【变式训练01】（难度：✭✭✭）（2023春•昆明期末）若实数a、b满足等式：，则a﹣b＝　 　． 【变式训练02】（难度：✭✭✭✭）（2023春•忠县期末）为便于夜间航行船只查看长江航道及河床两岸的情况，长江航道管理局在如图所示MN水域地带的两岸M、N处分别安置了一盏可以不断匀速旋转地探照灯．设MN水域地带两岸AB∥CD，点N处探照灯射出的光线自ND开始顺时针旋转，点M处探照灯射出的光线自MB开始顺时针旋转，当两灯射出的光线旋转至各自岸边时立即反向旋转，旋转中常常出现交叉照射，若点N处射出的光线每秒旋转a度，点M处射出的光线每秒旋转b度．且． （1）求a，b的值； （2）如图2，设两灯同时开始旋转，点N处探照灯射出的光线在旋转到NC之前，若两盏探照灯射出的光线在点F处交叉照射，是否存在点F使得过F作FE⊥NF交AB于点E，且∠MFE＝30°，若存在，求∠MNF的度数；若不存在，说明理由； （3）设点M处探照灯先旋转15秒后，点N处探照灯才开始一起旋转，记两盏灯一起旋转的时间为t秒．当点M处探照灯射出的光线首次旋转至MA位置之前，能否出现两盏探照灯射出的光线互相平行，若能，直接写出所有t的值；若不能，说明理由． 【变式训练03】（难度：✭✭✭）（2023春•遵义期末）已知． （1）求x，y的值； （2）求的值． 知识梳理： 立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根。记作∛a，其中a是被开方数，是立方根符号。 立方根的性质： 正数的立方根是正数。 负数的立方根是负数。 0的立方根是0。 任何数（无论正负、大小）都有唯一的立方根。 求立方根的方法： 近似法：根据数的大小和取值范围，使用近似法来估算立方根的值。 简化运算法：利用立方根的运算规律，通过数学运算来求得精确的立方根。 解题策略： 直接开立方法： 当被开方数是一个完全立方数时，我们可以直接开立方得到结果。 估算方法： 当被开方数不是一个完全立方 数时，我们可以使用估算的方法来找到它的立方根。这通常涉及到找到一个比被开方数稍大或稍小的完全立方数，然后确定被开方数的立方根位于这两个完全立方数的立方根之间。 利用立方根的性质： 立方根有一些重要的性质，我们可以利用这些性质来解题。例如： 负数的立方根是负数。 正数的立方根是正数。 零的立方根是零。 利用这些性质，我们可以快速判断一个数的立方根的符号。 利用立方根与平方根的关系： 虽然立方根和平方根在定义和性质上有所不同，但在某些情况下，我们可以利用它们之间的关系来解题。例如，当我们需要求解一个数的立方根时，如果该数是一个平方数的立方，我们可以先求其平方根，然后再求立方根。 利用计算器求解： 对于较复杂的立方根运算，我们可以使用计算器来求解。大多数计算器都提供了立方根运算的功能，我们可以直接输入被开方数并按下相应的按钮来得到结果。 【真题精讲】（难度：✭✭✭）（2023春•平泉市期末）如果1.333，2.872，那么约等于（　　） A．28.72 B．0.2872 C．13.33 D．0.1333 【变式训练01】（难度：✭✭✭）（2023秋•岳阳期末）已知正数x的两个平方根分别是3a﹣1和a+5，负数y的立方根与它本身相同． （1）求a，x，y的值； （2）求x﹣9y的算术平方根． 【变式训练02】（难度：✭✭✭）（2023春•南开区期末）已知7和3﹣2x是一个正整数a的互不相等的两个平方根． （Ⅰ）求a的值以及x的值； （Ⅱ）求22﹣3a的立方根． 【变式训练03】（难度：✭✭✭）（2023春•赣县区期末）已知5a+b的立方根是2，3a﹣b的算术平方根是4． （1）求a，b的值； （2）求2a﹣3b﹣2的平方根． 知识梳理： 有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分： 实数 按与0的大小关系分： 实数 （1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数． （2）无理数分成三类：①开方开不尽的数，如，等； ②有特殊意义的数，如π； ③有特定结构的数，如0.1010010001… （3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式. （4）实数和数轴上点是一一对应的. 2.实数与数轴上的点一 一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 3.实数的三个非负性及性质： 　　在实数范围内，正数和零统称为非负数。我们已经学习过的非负数有如下三种形式： 　 （1）任何一个实数的绝对值是非负数，即||≥0； 　　（2）任何一个实数的平方是非负数，即≥0； 　　（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即 (). 　　非负数具有以下性质： 　　（1）非负数有最小值零； 　　（2）有限个非负数之和仍是非负数； 　　（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0. 4.实数的运算： 数的相反数是－；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里. 5.实数的大小的比较： 　有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立. 　　法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数 大； 法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小； 　法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法. 解题策略： 判断一个数是否为无理数，通常看其是否能表示为分数形式，或者看其是否由非完全平方数的平方根构成。 实数的解题策略 无需特殊解题方法，理解实数的定义和分类即可。 实数的性质解题策略 实数具有封闭性、有序性和稠密性。 实数满足加、减、乘、除（除数不为0）四则运算的封闭性。 在解题时，利用实数的性质进行推理和计算。 实数与数轴的解题策略 实数与数轴上的点一一对应。 利用数轴表示实数，通过数轴上的点来比较实数的大小。 在数轴上标出实数对应的点，利用点的位置关系进行大小比较。 实数的大小比较 直接比较法：直接根据实数的定义和性质进行比较。 数轴法：在数轴上标出两个实数对应的点，根据点的位置关系进行比较。 对于复杂的实数大小比较，可以先化简或估算其大小，再进行比较。 估算无理数的大小的解题策略 夹逼法：找到两个有理数，使得无理数位于这两个有理数之间，从而估算其大小。 对于复杂的无理数，可以先进行化简或近似处理，再进行估算。 实数的运算解题策略 运算律： 加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律，乘法分配律等。 解题方法： 遵循运算顺序（先乘除后加减，有括号先算括号内的）。 利用运算律简化计算过程。 注意运算中的符号问题，特别是减法和除法运算。 解题技巧： 对于复杂的实数运算，可以先进行化简或分组，再利用运算律进行简化。 在进行除法运算时，注意除数不能为0。 【真题精讲】（难度：✭✭✭）（2023秋•南阳期末）下列各数为无理数的是（　　） A．0.618 B． C． D． 【变式训练01】（难度：✭✭）（2023春•盘山县期末）下列各数中无理数是（　　） A．9 B．﹣1 C． D．0 【变式训练02】（难度：✭✭✭）（2022春•汉阴县期末）下列这些数：，0，0.1011010101，π，，中，无理数有 　 　个． 【变式训练03】（难度：✭✭✭✭）（2022春•思明区校级期末）如图是一个无理数筛选器的工作流程图． （1）当x为9时，y值为 　　； （2）如果输入x值后，没有算术平方根，筛选器的屏幕显示“该操作无法运行”，请写出此时输入的x满足的条件： ； （3）当输出的y值是时，输入x的值并不唯一，请写出两个满足要求的x值：　 　． 【真题精讲】（难度：✭✭✭）（2023春•安顺期末）实数﹣2023.2023，，0，，﹣π，，中，有理数的个数为a，无理数的个数为b，则a﹣b的值是（　　） A．1 B．3 C．5 D．7 【变式训练01】（难度：✭✭）（2023春•讷河市期末）下列说法正确的有（　　） （1）带根号的数都是无理数； （2）立方根等于本身的数是0和1； （3）﹣a一定没有平方根； （4）实数与数轴上的点是一一对应的； （5）两个无理数的差还是无理数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练02】（难度：✭✭✭）（2022春•连平县校级期末）我们规定：相等的实数看作同一个实数．有下列六种说法： ①数轴上有无数多个表示无理数的点； ②带根号的数不一定是无理数； ③每个有理数都可以用数轴上唯一的点来表示； ④数轴上每一个点都表示唯一一个实数； ⑤没有最大的负实数，但有最小的正实数； ⑥没有最大的正整数，但有最小的正整数． 其中说法错误的有 　（注：填写出所有错误说法的编号） 【变式训练03】（难度：✭✭✭）（2021春•肥西县期末）把下列各数分别填入相应的横线上． ﹣5、||、0、﹣3.14、、﹣12、、+1.99、﹣（﹣6）、0.1010010001…（每两个1之间依次多一个0） （1）整数：　 　． （2）分数： 　． （3）无理数： 　． 【真题精讲】（难度：✭✭✭）（2023春•顺平县期末）若x与y互为相反数，且3x﹣4y＝7，则xy的立方根是（　　） A．1 B．﹣2 C．﹣1 D．2 【变式训练01】（难度：✭✭）（2021春•饶平县校级期末）的绝对值是 　． 【变式训练02】（难度：✭✭✭）（2023春•大石桥市期末）81的平方根是 　 　，的绝对值是 ． 【变式训练03】（难度：✭✭✭✭）（2023春•安阳期末）对于结论：当a+b＝0时，a3+b3＝0也成立，若将a看成a3的立方根，b看成是b3的立方根，由此得出这样的结论：“如果两数的立方根互为相反数，那么这两数也互为相反数”． （1）试举一个例子来判断上述结论是否成立； （2）若与的值互为相反数，求的值． 【真题精讲】（难度：✭✭✭）（2023秋•巴中期末）如图，数轴上有M，N，P，Q四点，则这四点中所表示的数最接近的是（　　） A．点M B．点N C．点P D．点Q 【变式训练01】（难度：✭✭✭✭）（2023春•讷河市期末）为了证明数轴上的点可以表示无理数，老师给学生设计了如下材料：如图，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上一点由原点（记为点0）到达点A，点A对应的数是（　　） A．π B．3.14 C．﹣π D．﹣3.14 【变式训练02】（难度：✭✭✭）（2023春•余干县期末）如图，有一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，若点A表示数，设点B所表示的数为m． （1）实数m的值是 　 ；（2）求|m+1|+|m﹣3|的值． 【变式训练03】（难度：✭✭✭✭）（2021秋•绥宁县期末）如图1，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为64． （1）求出这个魔方的棱长． （2）图中阴影部分是一个正方形ABCD，求出阴影部分的面积及其边长． （3）把正方形ABCD放到数轴上，如图2，使得A与﹣1重合，那么D在数轴上表示的数为　 ． 【真题精讲】（难度：✭✭✭）（2023春•益阳期末）2、、15三个数的大小关系是（　　） A．215 B．15＜2 C．215 D．215 【变式训练01】（难度：✭✭✭）（2023秋•嵊州市期末）比较大小： 　 　3（填：“＞”或“＜”或“＝”） 【变式训练02】（难度：✭✭✭✭）（2023春•莱芜区期末）阅读下面材料： 对于实数a，b，我们定义符号min{a，b}的意义为：当a＜b时，min{a，b}＝a；当a≥b时，min{a，b}＝b，如：min{3，﹣2}＝﹣2，min{4，4）＝4． 根据上面的材料，回答下列问题： （1）min（﹣1，2）＝　 ； （2）当，求x的取值范围． 【变式训练03】（难度：✭✭✭✭）2019春•磁县期末）（1）求出下列各数：①2的算术平方根；②﹣27的立方根；③的平方根． （2）将（1）中求出的每个数准确地表示在数轴上，将这些数按从小到大的顺序排列，并用“＜”连接． 【真题精讲】（难度：✭✭✭）（2023春•呼和浩特期末）已知a、b是表中两个相邻的数，且，则a＝（　　） x 19 19.1 19.2 19.3 19.4 19.5 19.6 19.7 19.8 19.9 20 x2 361 364.81 368.64 372.49 376.36 380.25 384.16 388.09 392.04 396.01 400 A．19.4 B．19.5 C．19.6 D．19.7 【变式训练01】（难度：✭✭✭）（2023秋•桂东县期末）定义[x]为不大于x的最大整数，如[2]＝2，，[4.1]＝4，若满足，则n的最大整数为 　． 【变式训练02】（难度：✭✭✭✭）（2021春•罗山县期末）阅读下面的文字，解答问题． 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用1来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 请解答：已知10x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y的相反数． 【变式训练03】（难度：✭✭✭✭）（2023春•平潭县期末）先阅读下面的文字，然后解答问题． 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 由此我们还可以得到一个真命题： 如果，其中x是整数，且0＜y＜1，那么x＝1，． 请解答下列问题： （1）如果，其中a是整数，且0＜b＜1，那么a＝　3　，b＝　　； （2）已知，其中m是整数，且0＜n＜1，求|m﹣n|的值． 【真题精讲】（难度：✭✭✭）（2023春•吕梁期末）对于实数a、b，定义min{a，b}的含义为：当a＜b时，min{a，b}＝a；当a＞b时，min{a，b}＝b，例如：min{1，﹣2}＝﹣2．已知min{，a}＝a，min{，b}，且a和b为两个连续正整数，则2a﹣b的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练01】（难度：✭✭✭）（2022秋•惠民县期末）计算：　 　． 【变式训练02】（难度：✭✭✭）（2023春•沾化区期末）下列各式是求个位数为5的整数的算术平方根的运算：，，35，45，55，65…，观察这些运算都有规律，试利用该规律直接写出运算的结果为 　 ． 【变式训练03】（难度：✭✭✭）（2022秋•高青县期末）计算： （1） （2）﹣14﹣2×（﹣3）2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年人教版数学七年级下册期末复习培优进阶考点精讲练 第6章 实数 （导图+知识梳理+解题策略+十一大考向真题讲练） 同学你好，期末考试在即，本学期主要学习相交线与平行线；实数；平面直角坐标系；二元一次方程；不等式与不等式组；数据的收集、整理与描述等几个章节内容。初步感知了几何与代数综合应用的重要性，也体会了多元方程与不等式在解决各类问题中的灵活便便的解题策略。本学期试题难度上也进一步加深，重难点考点内容逐步增多。非常考验同学们的审题能力，解题技能，做题耐心，答题规范能力，做题细心度等方面能力。 这份讲义就本学期章节重难点内容进行复盘，考点梳理+解题策略+典例精讲+变式训练+真题拔高的排版结构。题目难度1-5星，星级越高，难度越大！深入挖掘重难点考点和题型，梳理解题方法，优选近两年各地名校期末真题，模拟题。帮助同学加深对知识的认识理解和综合运用。希望同学在期末考试中取得考成绩！ 知识梳理： 定义：平方根是一个数，它的平方等于给定的数。例如，4的平方根是2，因为2的平方等于4。 正数有两个平方根：一个正数有两个平方根，一个正的和一个负的。 例如，9的平方根是±3。 负数没有平方根：在实数范围内，负数没有平方根。因为没有一个实数的平方是负数。 零的平方根：零的平方根是零。 符号：我们用来表示a的非负平方根，也称为算术平方根。如果我们要表示a的负平方根，我们会在前面加上负号，即-。 解题策略： 直接开方法：这是最基本的求解平方根的方法。当我们面对的是一个完全平方数时，我们可以直接开方得到结果。例如，= 4。 分解质因数法：当我们要找一个非完全平方数的平方根时，我们可以尝试分解它的质因数。然后，我们可以将相同的质因数进行配对，并开方得到结果。例如，28可以分解为2×2×7，所以 = 2。 与平方数比较法：这种方法可以帮助我们确定一个数的大致范围。我们可以找到离给定数最近的两个完全平方数，然后确定给定数在这两个完全平方数之间。例如，我们可以确定在和之间，即5和6之间。 开平方公式法：这是通过已知的平方根公式来求解平方根的方法。例如，我们知道= 2，那么就可以表示为7×= 7×2 = 14。但注意，这里我们得到的是正平方根，如果需要负平方根，我们需要在结果前加上负号。 近似法：当我们要求解一个无理数的平方根时，可以使用近似法。这种方法通常涉及到迭代计算，逐步逼近目标值。例如，为了求解的近似值，我们可以先猜测它在1和2之间，然后通过计算（如二分法）逐步缩小这个范围。 在解题时，还需要注意以下几点： 理解平方与开平方的互逆关系：平方与开平方是互为逆运算的，这意味着如果我们知道一个数的平方，我们就可以找到它的平方根；反之亦然。 注意算术平方根的定义：算术平方根是非负的，所以当我们说一个数的平方根时，我们通常是指它的算术平方根。 理解平方根的非负性：平方根的结果总是非负的，这是因为负数的平方是正数。 【真题精讲】（难度：✭✭）（2023春•开州区期末）9的平方根为（　　） A．3 B．﹣3 C．±3 D．±81 试题思路分析：根据平方根的意义求解． 详细规范解答：解：9的平方根为：±3， 故选：C． 考察易错点与重难点：本题考查了平方根的意义，理解平方根的意义是解题的关键． 【变式训练01】（难度：✭✭✭）（2022秋•滨海县期末）已知一个正数的两个平方根分别是3a+2和a+14，则这个正数是　100　． 试题思路分析：根据一个正数有两个平方根，这两个数互为相反数求出a的值，再根据平方根的定义即可求出这个正数． 详细规范解答：解：∵一个正数的两个平方根分别是3a+2和a+14， ∴3a+2+a+14＝0， 解得：a＝﹣4， 3a+2＝﹣10， 则这个正数为100． 故答案为：100． 考察易错点与重难点：本题考查了平方根的应用，注意：一个正数有两个平方根，这两个数互为相反数． 【变式训练02】（难度：✭✭✭）（2021春•自贡期末）若3﹣a和2a+3都是某正数的平方根，则某数为　81或9　． 试题思路分析：根据一个正数的两个平方根互为相反数，可知3﹣a+2a+3＝0，a＝﹣6，或3﹣a＝2a+3，解得a＝0，继而得出答案 详细规范解答：解：∵一个正数的两个平方根互为相反数， ∴3﹣a+2a+3＝0． 解得：a＝﹣6 ∴3﹣（﹣6）＝3+6＝9． ∵92＝81， ∴这个数为81． 或3﹣a＝2a+3，解得a＝0， ∴这个数是9， 故答案为：81或9． 考察易错点与重难点：本题主要考查的是平方根的定义，掌握平方根的定义是解题的关键． 【变式训练03】（难度：✭✭✭）（2021春•浦东新区期末）一个正数x的两个不同的平方根分别是2a﹣1和﹣a+2． （1）求a和x的值； （2）求3x+2a的平方根． 试题思路分析：（1）根据正数的两个平方根互为相反数求解． （2）将（1）中结果代入求解． 详细规范解答：解：（1）∵一个正数的两个平方根互为相反数， ∴2a﹣1+（﹣a+2）＝0， 解得a＝﹣1， ∴x＝（2a﹣1）2＝（﹣3）2＝9． （2）∵3x+2a＝3×9﹣2＝25， ∴25的平方根为±5． 考察易错点与重难点：本题平方根的知识，解题关键是掌握一个正数有两个平方根，且这两个平方根互为相反数． 【真题精讲】（难度：✭✭✭）（2023秋•山亭区期末）的平方根是（　　） A．3 B． C． D．±3 试题思路分析：如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为，如果一个数的平方等于b，这个数就叫做b的平方根，由此即可得到答案． 详细规范解答：解：∵3， ∴的平方根是±． 故选：C． 考察易错点与重难点：本题考查平方根、算术平方根，关键是掌握平方根、算术平方根的定义． 【变式训练01】（难度：✭✭✭）（2023春•凉山州期末）若，则的值为（　　） A． B． C．﹣2 D．2 试题思路分析：根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 详细规范解答：解：由题意得，x﹣2＝0，2y+1＝0， 解得：， ∴． 故答案为：D． 考察易错点与重难点：本题考查了非负数的性质，正确记忆几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0是解题关键． 【变式训练02】（难度：✭✭✭）（2022秋•裕华区期末）某市在招商引资期间，把已倒闭的油泵厂出租给外地某投资商，该投资商为减少固定资产投资，将原来400m2的正方形场地改建成315m2的长方形场地，且其长、宽的比为5：3． （1）求原来正方形场地的周长； （2）如果把原来正方形场地的铁栅栏围墙全部利用，围成新场地的长方形围墙，那么这些铁栅栏是否够用？试利用所学知识说明理由． 试题思路分析：（1）正方形边长＝面积的算术平方根，周长＝边长×4，由此解答即可； （2）长、宽的比为5：3，设这个长方形场地宽为3a m，则长为5a m，计算出长方形的长与宽可知长方形周长，同理可得正方形的周长，比较大小可知是否够用． 详细规范解答：解：（1）20（m），4×20＝80（m）， 答：原来正方形场地的周长为80m． （2）设这个长方形场地宽为3a m，则长为5a m． 由题意有：3a×5a＝315， 解得：a， ∵3a表示长度， ∴a＞0， ∴a， ∴这个长方形场地的周长为 2（3a+5a）＝16a＝16（m）， ∵80＝16×5＝1616， ∴这些铁栅栏够用． 答：这些铁栅栏够用． 考察易错点与重难点：本题主要考查了算术平方根的简单应用，根据题意设出合适未知数是基础，依据相等关系列出方程求出各自周长是解题的关键． 【变式训练03】（难度：✭✭✭✭）（2023春•良庆区期末）【综合与实践】如图，把两个面积均为18cm2的小正方形纸片分别沿对角线裁剪后拼成一个大的正方形纸片． （1）求大正方形纸片的边长； （2）若沿此大正方形纸片边的方向裁剪出一个长方形纸片，能否使裁剪出的长方形纸片的长宽之比为3：1，且面积为27cm2？若能，求剪出的长方形纸片的长和宽；若不能，试说明理由． 试题思路分析：（1）由正方形的面积公式即可求解； （2）设长方形纸片的长和宽分别是3x cm，x cm，得到3x•x＝27，求出x的值，即可解决问题． 详细规范解答：解：（1）由题意得：大正方形的面积＝18×2＝36（cm2）， ∴大正方形纸片的边长6（cm）． （2）沿此大正方形边的方向，不能裁剪出符合要求的长方形纸片，理由如下： ∵长方形纸片的长宽之比为3：1， ∴设长方形纸片的长和宽分别是3x cm，x cm， ∴3x•x＝27， ∴x2＝9， ∵x＞0， ∴x＝3， ∴长方形纸片的长是3x＝9cm， ∵9＞6， ∴沿此大正方形边的方向，不能裁剪出符合要求的长方形纸片． 考察易错点与重难点：本题考查算术平方根，正方形面积公式，关键是由题意求出长方形纸片的长和宽． 【真题精讲】（难度：✭✭✭）（2023春•闽清县期末）若，则（b﹣a）2023的值是（　　） A．﹣1 B．1 C．52023 D．﹣52023 试题思路分析：根据非负数和为0模型，组成方程组解出a、b值，代入所求代数式算出即可． 详细规范解答：解：∵|2a﹣b+1|＝0， ∴， ∴， ∴（b﹣a）2023＝﹣1． 故选：A． 考察易错点与重难点：本题考查了非负数的性质，三类非负数：算术平方根，绝对值，平方． 【变式训练01】（难度：✭✭✭）（2023春•昆明期末）若实数a、b满足等式：，则a﹣b＝　2023　． 试题思路分析：先运用非负数的知识求得a，b的值，再代入计算． 详细规范解答：解：由题意得， ， 解得， ∴a﹣b＝2020﹣（﹣3）＝2023， 故答案为：2023． 考察易错点与重难点：此题考查了非负数的相关计算能力，关键是能准确理解并运用该知识进行计算． 【变式训练02】（难度：✭✭✭✭）（2023春•忠县期末）为便于夜间航行船只查看长江航道及河床两岸的情况，长江航道管理局在如图所示MN水域地带的两岸M、N处分别安置了一盏可以不断匀速旋转地探照灯．设MN水域地带两岸AB∥CD，点N处探照灯射出的光线自ND开始顺时针旋转，点M处探照灯射出的光线自MB开始顺时针旋转，当两灯射出的光线旋转至各自岸边时立即反向旋转，旋转中常常出现交叉照射，若点N处射出的光线每秒旋转a度，点M处射出的光线每秒旋转b度．且． （1）求a，b的值； （2）如图2，设两灯同时开始旋转，点N处探照灯射出的光线在旋转到NC之前，若两盏探照灯射出的光线在点F处交叉照射，是否存在点F使得过F作FE⊥NF交AB于点E，且∠MFE＝30°，若存在，求∠MNF的度数；若不存在，说明理由； （3）设点M处探照灯先旋转15秒后，点N处探照灯才开始一起旋转，记两盏灯一起旋转的时间为t秒．当点M处探照灯射出的光线首次旋转至MA位置之前，能否出现两盏探照灯射出的光线互相平行，若能，直接写出所有t的值；若不能，说明理由． 试题思路分析：（1）根据|2a﹣5b|+（α+b﹣7）2＝0，可得2a﹣5b＝0，且a+b﹣7＝0，进而得出a、b的值， （2）设灯N射线转动时间为t秒，过点F作FG∥AB，可得∠MFG＝2t，∠GFN＝180﹣5t，∠MFN＝180﹣3t，由题意可得方程180﹣3t＝60，求出解即可得出结论， （3）设N灯转动t秒，两灯的光束互相平行，分两种情况进行讨论：①在灯N射线转到NC之前，②在灯N射线转到NC之后，分别求得的值即可． 详细规范解答：解：（1）由题意得：， 解得a＝5，b＝2， （2）如图（2）所示： 假设存在点F满足题目要求，设此时的旋转时间为t秒， 则必有 5t＜180，即t＜36，且∠EMF＝2t，∠FNC＝180﹣5t， 过点F作FG∥AB，由题意得FG∥CD， ∴∠MFG＝2t，∠GFN＝180﹣5t， 即∠MFN＝180﹣3t， ∵FE⊥NF，∠MFE＝30°， ∴∠MFN＝60°， 即 180﹣3t＝60，解得t＝40， 但40＞36，不合乎要求， 所以这样的点F不存在， （3）设N灯转动t秒，两灯的光束互相平行， 依题意得0＜t＜87， ①当0＜t＜18时，5t＝15×2+2t，解得：t＝10， ②当18＜t＜72时，5t﹣180+（15×2+2t）＝180，解得：t， ③当72＜t＜87时，5t﹣360＝2t+15×2，解得：t＝130＞87（不合题意，舍去）， 综上所述，当t＝10秒或秒时，两灯的光束互相平行． 考察易错点与重难点：本题主要考查了平行线的性质，非负数的性质，角的和差关系的运用及解方程等知识的运用，解决问题时运用分类思想进行求解，解题时注意：若两个非负数的和为0，则这两个非负数均等于0，同时熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【变式训练03】（难度：✭✭✭）（2023春•遵义期末）已知． （1）求x，y的值； （2）求的值． 试题思路分析：（1）根据非负数的性质，几个非负数的和是0，则每个数是0，即可求得x，y值； （2）将（1）中的x和y的值代入求值即可． 详细规范解答：解：（1）由题意得：2y+x﹣2＝0，x+2＝0， ∴x＝﹣2，y＝2； （2）当x＝﹣2，y＝2时， 原式（）2033 ＝2﹣1 ＝1． 考察易错点与重难点：本题考查了算术平方根和绝对值的非负数的和，有理数的乘方，掌握几个非负数的和是0，则每个数是0是解本题的关键． 知识梳理： 立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根。记作∛a，其中a是被开方数，是立方根符号。 立方根的性质： 正数的立方根是正数。 负数的立方根是负数。 0的立方根是0。 任何数（无论正负、大小）都有唯一的立方根。 求立方根的方法： 近似法：根据数的大小和取值范围，使用近似法来估算立方根的值。 简化运算法：利用立方根的运算规律，通过数学运算来求得精确的立方根。 解题策略： 直接开立方法： 当被开方数是一个完全立方数时，我们可以直接开立方得到结果。 估算方法： 当被开方数不是一个完全立方 数时，我们可以使用估算的方法来找到它的立方根。这通常涉及到找到一个比被开方数稍大或稍小的完全立方数，然后确定被开方数的立方根位于这两个完全立方数的立方根之间。 利用立方根的性质： 立方根有一些重要的性质，我们可以利用这些性质来解题。例如： 负数的立方根是负数。 正数的立方根是正数。 零的立方根是零。 利用这些性质，我们可以快速判断一个数的立方根的符号。 利用立方根与平方根的关系： 虽然立方根和平方根在定义和性质上有所不同，但在某些情况下，我们可以利用它们之间的关系来解题。例如，当我们需要求解一个数的立方根时，如果该数是一个平方数的立方，我们可以先求其平方根，然后再求立方根。 利用计算器求解： 对于较复杂的立方根运算，我们可以使用计算器来求解。大多数计算器都提供了立方根运算的功能，我们可以直接输入被开方数并按下相应的按钮来得到结果。 【真题精讲】（难度：✭✭✭）（2023春•平泉市期末）如果1.333，2.872，那么约等于（　　） A．28.72 B．0.2872 C．13.33 D．0.1333 试题思路分析：根据立方根，即可解答． 详细规范解答：解：∵1.333， ∴1.333×10＝13.33． 故选：C． 考察易错点与重难点：本题考查了立方根，解决本题的关键是熟记立方根的定义． 【变式训练01】（难度：✭✭✭）（2023秋•岳阳期末）已知正数x的两个平方根分别是3a﹣1和a+5，负数y的立方根与它本身相同． （1）求a，x，y的值； （2）求x﹣9y的算术平方根． 试题思路分析：（1）根据平方根和立方根的定义进行求解即可； （2）先求出代数式的值，然后怎根据算术平方根的定义进行求解即可． 详细规范解答：解：（1）依题意，得3a﹣1+a+5＝0， 解得a＝﹣1， ∴3a﹣1＝﹣4，a+5＝4， ∴x＝42＝16． ∵负数y的立方根与它本身相同， ∴y＝﹣1； （2）当x＝16，y＝﹣1时，x﹣9y＝16﹣9×（﹣1）＝25， ∴x﹣9y的算术平方根为5． 考察易错点与重难点：本题考查平方根和立方根．熟练掌握一个正数的两个平方根互为相反数，是解题的关键． 【变式训练02】（难度：✭✭✭）（2023春•南开区期末）已知7和3﹣2x是一个正整数a的互不相等的两个平方根． （Ⅰ）求a的值以及x的值； （Ⅱ）求22﹣3a的立方根． 试题思路分析：（1）由平方根的定义得到3﹣2x＝﹣7，a＝72＝49，即可求出a，x的值； （2）求出22﹣3a的值，由立方根的定义，即可求出22﹣3a的立方根． 详细规范解答：解：（Ⅰ）∵7和3﹣2x是一个正整数a的互不相等的两个平方根， ∴3﹣2x＝﹣7，a＝72＝49， ∴x＝5； （2）22﹣3a ＝22﹣3×49 ＝22﹣147 ＝﹣125， ∴22﹣3a的立方根是﹣5． 考察易错点与重难点：本题考查平方根，立方根，关键是掌握平方根，立方根的定义． 【变式训练03】（难度：✭✭✭）（2023春•赣县区期末）已知5a+b的立方根是2，3a﹣b的算术平方根是4． （1）求a，b的值； （2）求2a﹣3b﹣2的平方根． 试题思路分析：（1）直接根据题意列方程组求解即可； （2）直接将a＝3，b＝﹣7；代入2a﹣3b﹣2计算，再求平方根即可． 详细规范解答：解：（1）∵5a+b的立方根是2，3a﹣b的算术平方根是4， ∴，， ∴， 解得 解得a＝3，b＝﹣7； （2）∵a＝3，b＝﹣7， ∴2a﹣3b﹣2＝6+21﹣2＝25． ∴2a﹣3b﹣2的平方根为±5． 考察易错点与重难点：本题考查了算术平方根和立方根的定义、解二元一次方程组及代数式求值，熟练掌握算术平方根和立方根的定义是解题的关键． 知识梳理： 有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分： 实数 按与0的大小关系分： 实数 （1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数． （2）无理数分成三类：①开方开不尽的数，如，等； ②有特殊意义的数，如π； ③有特定结构的数，如0.1010010001… （3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式. （4）实数和数轴上点是一一对应的. 2.实数与数轴上的点一 一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 3.实数的三个非负性及性质： 　　在实数范围内，正数和零统称为非负数。我们已经学习过的非负数有如下三种形式： 　 （1）任何一个实数的绝对值是非负数，即||≥0； 　　（2）任何一个实数的平方是非负数，即≥0； 　　（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即 (). 　　非负数具有以下性质： 　　（1）非负数有最小值零； 　　（2）有限个非负数之和仍是非负数； 　　（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0. 4.实数的运算： 数的相反数是－；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里. 5.实数的大小的比较： 　有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立. 　　法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数 大； 法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小； 　法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法. 解题策略： 判断一个数是否为无理数，通常看其是否能表示为分数形式，或者看其是否由非完全平方数的平方根构成。 实数的解题策略 无需特殊解题方法，理解实数的定义和分类即可。 实数的性质解题策略 实数具有封闭性、有序性和稠密性。 实数满足加、减、乘、除（除数不为0）四则运算的封闭性。 在解题时，利用实数的性质进行推理和计算。 实数与数轴的解题策略 实数与数轴上的点一一对应。 利用数轴表示实数，通过数轴上的点来比较实数的大小。 在数轴上标出实数对应的点，利用点的位置关系进行大小比较。 实数的大小比较 直接比较法：直接根据实数的定义和性质进行比较。 数轴法：在数轴上标出两个实数对应的点，根据点的位置关系进行比较。 对于复杂的实数大小比较，可以先化简或估算其大小，再进行比较。 估算无理数的大小的解题策略 夹逼法：找到两个有理数，使得无理数位于这两个有理数之间，从而估算其大小。 对于复杂的无理数，可以先进行化简或近似处理，再进行估算。 实数的运算解题策略 运算律： 加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律，乘法分配律等。 解题方法： 遵循运算顺序（先乘除后加减，有括号先算括号内的）。 利用运算律简化计算过程。 注意运算中的符号问题，特别是减法和除法运算。 解题技巧： 对于复杂的实数运算，可以先进行化简或分组，再利用运算律进行简化。 在进行除法运算时，注意除数不能为0。 【真题精讲】（难度：✭✭✭）（2023秋•南阳期末）下列各数为无理数的是（　　） A．0.618 B． C． D． 试题思路分析：明确无理数是无限不循环小数；有理数分为整数和分数． 详细规范解答：解：∵3， ∴0.618；；均为有理数，是无理数． 故选：C． 考察易错点与重难点：本题考查实数的分类，明确无理数是无限不循环小数；有理数分为整数和分数．题目难度较小，多为考卷中第一题． 【变式训练01】（难度：✭✭）（2023春•盘山县期末）下列各数中无理数是（　　） A．9 B．﹣1 C． D．0 试题思路分析：无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 详细规范解答：解：A、9是整数，属于有理数，故本选项不合题意； B、﹣1是整数，属于有理数，故本选项不合题意； C、是无理数，故本选项符合题意； D、0是整数，属于有理数，故本选项不合题意； 故选：C． 考察易错点与重难点：此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.2020020002……（相邻两个2中间依次多1个0），等有这样规律的数． 【变式训练02】（难度：✭✭✭）（2022春•汉阴县期末）下列这些数：，0，0.1011010101，π，，中，无理数有 　2　个． 试题思路分析：分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项． 详细规范解答：解：，0.1010010001是分数，属于有理数； 0，2，是整数，属于有理数； 无理数有π，，共2个． 故答案为：2． 考察易错点与重难点：此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式． 【变式训练03】（难度：✭✭✭✭）（2022春•思明区校级期末）如图是一个无理数筛选器的工作流程图． （1）当x为9时，y值为 　　； （2）如果输入x值后，没有算术平方根，筛选器的屏幕显示“该操作无法运行”，请写出此时输入的x满足的条件：　x＜0　； （3）当输出的y值是时，输入x的值并不唯一，请写出两个满足要求的x值：　x＝2或x＝4　． 试题思路分析：（1）根据运算规则即可求解； （2）根据算术平方根的概念，即可判断x＜0； （3）根据运算法则，进行逆运算即可求得无数个满足条件的数． 详细规范解答：解：（1）当x为9时，3，3为有理数，再取3的算术平方根是，为无理数， 故答案为：． （2）根据负数没有算术平方根，即可判断x＜0， 故答案为：x＜0． （3）x的值不唯一．当x＝2时，是无理数， 当x＝4时，2，再取2的算术平方根是，为无理数， 故答案为：x＝2或x＝4． 考察易错点与重难点：本题考查了无理数以及算术平方根，正确理解给出的运算方法是关键． 【真题精讲】（难度：✭✭✭）（2023春•安顺期末）实数﹣2023.2023，，0，，﹣π，，中，有理数的个数为a，无理数的个数为b，则a﹣b的值是（　　） A．1 B．3 C．5 D．7 试题思路分析：根据实数的分类可得a＝5，b＝2，即可求解． 详细规范解答：解：， 有理数有﹣2023.2023，0，，，，有5个， 无理数有，﹣π，有2个， 即a＝5，b＝2， ∴a﹣b＝3． 故选：B． 考察易错点与重难点：本题主要考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类方法是解题的关键． 【变式训练01】（难度：✭✭）（2023春•讷河市期末）下列说法正确的有（　　） （1）带根号的数都是无理数； （2）立方根等于本身的数是0和1； （3）﹣a一定没有平方根； （4）实数与数轴上的点是一一对应的； （5）两个无理数的差还是无理数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 试题思路分析：根据无理数的意义，实数与数轴的关系，立方根的意义，可得答案． 详细规范解答：解：（1）无限不循环小数都是无理数，故（1）不符合题意； （2）立方根等于本身的数是0和1、﹣1故（2）不符合题意； （3）﹣a可能有平方根，故（3）不符合题意； （4）实数与数轴上的点是一一对应的，故（4）符合题意； （5）两个无理数的差可能是无理数、可能是有理数，故（5）不符合题意； 故选：A． 考察易错点与重难点：本题考查了实数，无理数的意义，实数与数轴的关系，立方根的意义是解题关键． 【变式训练02】（难度：✭✭✭）（2022春•连平县校级期末）我们规定：相等的实数看作同一个实数．有下列六种说法： ①数轴上有无数多个表示无理数的点； ②带根号的数不一定是无理数； ③每个有理数都可以用数轴上唯一的点来表示； ④数轴上每一个点都表示唯一一个实数； ⑤没有最大的负实数，但有最小的正实数； ⑥没有最大的正整数，但有最小的正整数． 其中说法错误的有　⑤　（注：填写出所有错误说法的编号） 试题思路分析：根据实数的定义，实数与数轴上的点一一对应，可得答案． 详细规范解答：解：①数轴上有无数多个表示无理数的点是正确的； ②带根号的数不一定是无理数是正确的，如2； ③每个有理数都可以用数轴上唯一的点来表示是正确的； ④数轴上每一个点都表示唯一一个实数是正确的； ⑤没有最大的负实数，也没有最小的正实数，原来的说法错误； ⑥没有最大的正整数，有最小的正整数，原来的说法正确． 故答案为：⑤． 考察易错点与重难点：此题主要考查了实数的有关概念，正确把握相关定义是解题关键． 【变式训练03】（难度：✭✭✭）（2021春•肥西县期末）把下列各数分别填入相应的横线上． ﹣5、||、0、﹣3.14、、﹣12、、+1.99、﹣（﹣6）、0.1010010001…（每两个1之间依次多一个0） （1）整数：　﹣5、0、﹣12、﹣（﹣6）　． （2）分数：　||、﹣3.14、、+1.99　． （3）无理数：　、0.1010010001…（每两个1之间依次多一个0）　． 试题思路分析：根据整数、分数、无理数的定义进行判断． 详细规范解答：解：（1）整数包括正整数、负整数和0．所以属于整数的有：﹣5、0、﹣12、﹣（﹣6）． （2）分数还包括有限小数和循环小数，所以属于分数的有：||、﹣3.14、、+1.99． （3）无限不循环小数是无理数，所以属于无理数的有：、0.1010010001…（每两个1之间依次多一个0）． 答案为：（1）﹣5、0、﹣12、﹣（﹣6）， （2）||、﹣3.14、、+1.99， （3）、0.1010010001…（每两个1之间依次多一个0）． 考察易错点与重难点：此题考查实数的分类，解答此题要从概念出发，并要深刻理解．有理数和无理数统称实数，分数和整数统称有理数，无限不循环小数是无理数． 【真题精讲】（难度：✭✭✭）（2023春•顺平县期末）若x与y互为相反数，且3x﹣4y＝7，则xy的立方根是（　　） A．1 B．﹣2 C．﹣1 D．2 试题思路分析：由题意得y＝﹣x，根据等式的性质，加上3y再减去3y，消去x，得出y的值，再得出x的值，进行求解． 详细规范解答：解：由题意得y＝﹣x， ∴3x﹣4y＝7， 3x+3y﹣3y﹣4y＝7， 3（x+y）﹣7y＝7， ﹣7y＝7， y＝﹣1， ∴x＝1， ∴xy＝﹣1， ∴xy的立方根是﹣1． 故选：C． 考察易错点与重难点：此题考查了有理数的相反数和有理数乘法的运用能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行正确地计算． 【变式训练01】（难度：✭✭）（2021春•饶平县校级期末）的绝对值是 　　． 试题思路分析：根据绝对值的意义，求解即可．注意正数的绝对值是本身，0的绝对值为0，负数的绝对值是其相反数 详细规范解答：解：∵的绝对值等于其相反数， ∴的绝对值是． 故答案为． 考察易错点与重难点：此题考查了绝对值的知识．题目比较简单，解题要细心． 【变式训练02】（难度：✭✭✭）（2023春•大石桥市期末）81的平方根是 　±9　，的绝对值是 　　． 试题思路分析：先根据平方根的定义求出谁的平方等于81，再根据绝对值的性质求出答案． 详细规范解答：解：∵（±9）2＝81， ∴81的平方根是±9， ∵，16＞15， ∴， ∴||， 故答案为：±9，． 考察易错点与重难点：本题主要考查了实数的有关概念和性质，解题关键是熟练掌握平方根的定义和绝对值的性质． 【变式训练03】（难度：✭✭✭✭）（2023春•安阳期末）对于结论：当a+b＝0时，a3+b3＝0也成立，若将a看成a3的立方根，b看成是b3的立方根，由此得出这样的结论：“如果两数的立方根互为相反数，那么这两数也互为相反数”． （1）试举一个例子来判断上述结论是否成立； （2）若与的值互为相反数，求的值． 试题思路分析：（1）这个结论很简单，可选择0，则2与﹣2互为相反数进行说明； （2）利用（1）的结论，列出方程（5x﹣7）+（3﹣4x）＝0，从而解出x的值，代入可得出答案． 详细规范解答：解：（1）答案不唯一．如0，则2与﹣2互为相反数； （2）由已知，得（5x﹣7）+（3﹣4x）＝0， 解得x＝4， ∴1+2×4＝9． 考察易错点与重难点：本题考查立方根的知识，注意一个数的立方根有一个，它和这个数正负一致，本题的结论同学们可以记住，以后可直接运用． 【真题精讲】（难度：✭✭✭）（2023秋•巴中期末）如图，数轴上有M，N，P，Q四点，则这四点中所表示的数最接近的是（　　） A．点M B．点N C．点P D．点Q 试题思路分析：利用“夹逼法”求得的取值范围，可得答案． 详细规范解答：解：因为9＜10＜16， 所以34． 所以﹣43． 所以，这四点中所表示的数最接近的是点N． 故选：B． 考察易错点与重难点：本题主要考查了实数与数轴，解题时，利用了“夹逼法”求得无理数的取值范围． 【变式训练01】（难度：✭✭✭✭）（2023春•讷河市期末）为了证明数轴上的点可以表示无理数，老师给学生设计了如下材料：如图，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上一点由原点（记为点0）到达点A，点A对应的数是（　　） A．π B．3.14 C．﹣π D．﹣3.14 试题思路分析：由圆的周长等于线段OA的长度，从而可得答案． 详细规范解答：解：∵直径为1个单位长度的圆的周长为， ∴点A对应的数是π， 故选：A． 考察易错点与重难点：本题考查的是实数与数轴，无理数在数轴上的表示，理解实数与数轴上的点一一对应是解本题的关键． 【变式训练02】（难度：✭✭✭）（2023春•余干县期末）如图，有一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，若点A表示数，设点B所表示的数为m． （1）实数m的值是 　2　；（2）求|m+1|+|m﹣3|的值． 试题思路分析：（1）根据正负数的意义计算； （2）根据绝对值的意义和实数的混合运算法则计算． 详细规范解答：解：（1）由题意A点和B点的距离为2， A点表示的数为， 因此点B所表示的数m＝2， 故答案为：2； （2）∵m＝2， ∴m+1＞0，m﹣3＜0， ∴原式＝m+1+3﹣m＝4． 考察易错点与重难点：本题考查了数轴、绝对值和实数的混合运算，熟练掌握数轴的意义和实数的运算法则是解题的关键． 【变式训练03】（难度：✭✭✭✭）（2021秋•绥宁县期末）如图1，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为64． （1）求出这个魔方的棱长． （2）图中阴影部分是一个正方形ABCD，求出阴影部分的面积及其边长． （3）把正方形ABCD放到数轴上，如图2，使得A与﹣1重合，那么D在数轴上表示的数为　﹣1﹣2　． 试题思路分析：（1）根据正方体的体积公式可求这个魔方的棱长． （2）根据魔方的棱长为4，所以小立方体的棱长为2，阴影部分由4个直角三角形组成，算出一个直角三角形的面积乘以4即可得到阴影部分的面积，开平方即可求出边长． （3）根据两点间的距离公式可得D在数轴上表示的数． 详细规范解答：解：（1）． 答：这个魔方的棱长为4． （2）∵魔方的棱长为4， ∴小立方体的棱长为2， ∴阴影部分面积为：2×2×4＝8， 边长为：2． 答：阴影部分的面积是8，边长是2． （3）D在数轴上表示的数为﹣1﹣2． 故答案为：﹣1﹣2． 考察易错点与重难点：本题考查的是立方根在实际生活中的运用，解答此题的关键是根据立方根求出魔方的棱长． 【真题精讲】（难度：✭✭✭）（2023春•益阳期末）2、、15三个数的大小关系是（　　） A．215 B．15＜2 C．215 D．215 试题思路分析：把2、、15三个数都变成算术平方根的形式，再比较被开方数的大小． 详细规范解答：解：2，15， ∵56＜225＜226， ∴， ∴215． 故选：A． 考察易错点与重难点：本题考查了实数比较大小，关键是统一成算术平方根的形式． 【变式训练01】（难度：✭✭✭）（2023秋•嵊州市期末）比较大小： 　＜　3（填：“＞”或“＜”或“＝”） 试题思路分析：依据被开放数越大对应的算术平方根越大可估算出的大小，故此可求得问题的答案． 详细规范解答：解：∵6＜9， ∴3． 故答案为：＜． 考察易错点与重难点：本题主要考查的是比较实数的大小，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【变式训练02】（难度：✭✭✭✭）（2023春•莱芜区期末）阅读下面材料： 对于实数a，b，我们定义符号min{a，b}的意义为：当a＜b时，min{a，b}＝a；当a≥b时，min{a，b}＝b，如：min{3，﹣2}＝﹣2，min{4，4）＝4． 根据上面的材料，回答下列问题： （1）min（﹣1，2）＝　﹣1　； （2）当，求x的取值范围． 试题思路分析：（1）比较大小，即可得出答案； （2）根据题意判断出，解不等式即可判断x的取值范围． 详细规范解答：解：（1）由题意得min（﹣1，2）＝﹣1 故答案为：﹣1； （2）∵min， ∴， 解得：x≤5． 考察易错点与重难点：本题考查的是一元一次不等式的应用，根据题意理解新定义的计算公式是解题的关键． 【变式训练03】（难度：✭✭✭✭）2019春•磁县期末）（1）求出下列各数：①2的算术平方根；②﹣27的立方根；③的平方根． （2）将（1）中求出的每个数准确地表示在数轴上，将这些数按从小到大的顺序排列，并用“＜”连接． 试题思路分析：（1）利用算术平方根、平方根、立方根定义计算即可求出； （2）将各数表示在数轴上，按照从小到大顺序排列即可． 详细规范解答：解（1）①2的算术平方根是； ②﹣27的立方根是﹣3； ③4，4的平方根是±2． （2）将（1）中求出的每个数表示在数轴上如下： 用“＜”连接为：﹣3＜﹣22． 考察易错点与重难点：此题考查了实数大小比较，以及实数与数轴，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【真题精讲】（难度：✭✭✭）（2023春•呼和浩特期末）已知a、b是表中两个相邻的数，且，则a＝（　　） x 19 19.1 19.2 19.3 19.4 19.5 19.6 19.7 19.8 19.9 20 x2 361 364.81 368.64 372.49 376.36 380.25 384.16 388.09 392.04 396.01 400 A．19.4 B．19.5 C．19.6 D．19.7 试题思路分析：根据表格找一个数的平方最接近380的两个数，一个比380小的，另一个比380大的，即可解答． 详细规范解答：解：∵19.42＝376.3，19.52＝380.2， ∴376.3＜380＜380.2， ∴， ∴， ∴a＝19.4， 故选：A． 考察易错点与重难点：本题考查了无理数的估算，熟练掌握夹逼法是解题的关键． 【变式训练01】（难度：✭✭✭）（2023秋•桂东县期末）定义[x]为不大于x的最大整数，如[2]＝2，，[4.1]＝4，若满足，则n的最大整数为 　35　． 试题思路分析：由题意得：56，然后利用平方运算，进行计算即可解答． 详细规范解答：解：由题意得： ∵56， ∴25≤n＜36， ∴n的最大整数为35． 故答案为：35． 考察易错点与重难点：本题考查了无理数的估算，掌握夹逼法，用有理数夹逼无理数是关键． 【变式训练02】（难度：✭✭✭✭）（2021春•罗山县期末）阅读下面的文字，解答问题． 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用1来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 请解答：已知10x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y的相反数． 试题思路分析：根据题意的方法，估计的大小，易得10的范围，进而可得x﹣y的值；再由相反数的求法，易得答案． 详细规范解答：解：∵12， ∴1+10＜102+10， ∴11＜1012， ∴x＝11， y＝10111， x﹣y＝11﹣（1）＝12， ∴x﹣y的相反数12． 考察易错点与重难点：此题主要考查了无理数的估算能力，解题关键是估算无理数的整数部分和小数部分，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法． 【变式训练03】（难度：✭✭✭✭）（2023春•平潭县期末）先阅读下面的文字，然后解答问题． 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 由此我们还可以得到一个真命题： 如果，其中x是整数，且0＜y＜1，那么x＝1，． 请解答下列问题： （1）如果，其中a是整数，且0＜b＜1，那么a＝　3　，b＝　　； （2）已知，其中m是整数，且0＜n＜1，求|m﹣n|的值． 试题思路分析：（1）估算出，依此即可确定出a，b的值的取值范围，进而得出答案； （2）根据题意确定出m与n的值，代入求出|m﹣n|即可． 详细规范解答：解：（1）∵，其中a是整数，且0＜b＜1， 又∵9＜10＜16， ∴， ∴a＝3，． 故答案为3；； （2）∵，其中m是整数，且0＜n＜1， ∴m＝5，， ∴． ∴|m﹣n|的值为． 考察易错点与重难点：此题考查了估算无理数的大小，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题． 【真题精讲】（难度：✭✭✭）（2023春•吕梁期末）对于实数a、b，定义min{a，b}的含义为：当a＜b时，min{a，b}＝a；当a＞b时，min{a，b}＝b，例如：min{1，﹣2}＝﹣2．已知min{，a}＝a，min{，b}，且a和b为两个连续正整数，则2a﹣b的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 试题思路分析：根据a，b的范围，然后再代入求出2a﹣b的值即可． 详细规范解答：解：∵min{，a}＝a，min{，b}． ∴a，b． ∵a，b是两个连续的正整数． ∴a＝5，b＝6． ∴2a﹣b＝2×5﹣6＝4． 故选：D． 考察易错点与重难点：本题主要考查用新定义解决数学问题及实数的运算，正确理解新定义是求解本题的关键． 【变式训练01】（难度：✭✭✭）（2022秋•惠民县期末）计算：　3　． 试题思路分析：原式利用平方根，立方根定义计算即可求出值． 详细规范解答：解：原式＝9﹣3﹣3＝3， 故答案为：3 考察易错点与重难点：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式训练02】（难度：✭✭✭）（2023春•沾化区期末）下列各式是求个位数为5的整数的算术平方根的运算：，，35，45，55，65…，观察这些运算都有规律，试利用该规律直接写出运算的结果为 　9995　． 试题思路分析：观察已知等式可知：被开方数的后两位都是25，开方数的最后一位都是5，被开方数除后两位外其它数位上的数都可以写成两个相邻正整数的积，由此可得规律，求出答案． 详细规范解答：解：∵，，35，45，55，65…， 2＝1×2，6＝2×3，12＝3×4，20＝4×5，30＝5×6， ∴开方数的个位数字都是5，被开方数的最后两位数是25，其它数位上的数字组成的数都可以写成两个相邻正整数的积，其中较小正整数乘10加5就是所求的开方数， ∵999000＝999×1000， ∴999×10+5＝9995， ∴， 故答案为：9995． 考察易错点与重难点：本题主要考查了实数的计算，解题关键是观察所给等式，找出规律． 【变式训练03】（难度：✭✭✭）（2022秋•高青县期末）计算： （1） （2）﹣14﹣2×（﹣3）2 试题思路分析：（1）原式利用平方根、立方根定义计算即可求出值； （2）原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可求出值． 详细规范解答：解：（1）原式＝2﹣2 ； （2）原式＝﹣1﹣2×9+（﹣3）×（﹣3） ＝﹣1﹣18+9 ＝﹣10． 考察易错点与重难点：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$