2023-2024学年苏科版数学八年级上册第1章全等三角形（手拉手模型+半角模型+一线三等角提升专练）

2023-2024学年苏科版数学八年级上册 第1章全等三角形 （手拉手模型+半角模型+一线三等角提升专练） 【考点导航】 【解题模型一 手拉手模型】 【解题模型二 半角模型】 【解题模型三 一线三等角模型】 【典型例题】 【解题模型一 手拉手模型】 【例1】如图，AB＝AC，AD＝AE，点B、D、E在一条直线上，∠BAC＝∠DAE，∠1＝35°，∠2＝30°，则∠3＝　 　度． 【变式1】 如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，连接AD、BE交于点P，AD、BE与BC、CD分别交于M、N,则下列说法中:①AD=BE；②∠APB=60°；③当A、C、E三点共线时，CM=CN；④点C在∠APE的角平分线上.正确的有(　　) A.①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 【变式2】 如图，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=50°，AD、BE交于点H，连接CH，则∠CHE= ． 【变式3】如图，，，，． 求证：≌； 图中、有怎样的关系？试证明你的结论 【变式4】如图，在和中，，，点三点在同一直线上，连接交于点．(1)求证：； (2)猜想有何特殊位置关系，并说明理由． 【变式5】在中，，点D是射线上一动点（不与点B、C重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． （1）如图1，当点D在线段上，且时，那么______度； （2）设，． ①如图2，当点D在线段上，时，请你探究与之间的数量关系，并证明你的结论； ②如图3，当点D在线段的延长线上，时，请将图3补充完整，并直接写出此时与之间的数量关系． 【解题模型二 半角模型】 【例2】如图，△ABC是边长为α的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°，以 D为顶点作一个 60°角，使其两边分别交 AB于占M，交 AC于点N，连接 MN，则△AMN 的周长是（ ）. A. a B.2a C. 3a D. 不能确定 【变式1】如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜边AC上两点，且∠DAE＝45°，若BE＝4，CD＝3，则AB的长为　　　　． 【变式2】在中，，点在边上，．若，则的长为__________． 【变式3】（1）如图①，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD．请直接写出线段EF，BE，FD之间的数量关系：　 　； （2）如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； 【变式4】探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系： （1）猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，直接写出你的猜想； （2）当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图（2），其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明； 【变式5】问题背景： 如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD．∠BAD＝120°．∠B＝∠ADC＝90°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系． （1）小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 　 　；（直接写结论，不需证明） 探索延伸： （2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADF＝180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中结论是否仍然成立，并说明理由； （3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立? 若成立，请证明；若不成立，请直接写出它们之间的数量关系． 【解题模型三 一线三等角模型】 【例3】 如图，AC＝CE，∠ACE＝90°，AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝6cm，DE＝2cm，则BD等于（　　） A．6cm B．8cm C．10cm D．4cm 【变式1】如下图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D．DE=6cm，AD=9cm，则BE的长是（     ） A．6cm B．1.5cm C．3cm D．4.5cm 【变式2】如图，AE⊥AB，且AE＝AB，BC⊥CD，且BC＝CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是 　 　． 【变式3】如图所示，D，A，E在同一条直线上，BD⊥DE于D，CE⊥DE于E，且△ABD≌△CAE，AD＝2cm，BD＝4cm，求 (1)DE的长； (2) ∠BAC的度数． 【变式4】如图，AD是△ABC的中线，BE⊥AD，垂足为E，CF⊥AD，交AD的延长线于点F，G是DA延长线上一点，连接BG． （1）求证：BE＝CF； （2）若BG＝CA，求证：GA＝2DE． 【变式5】如图甲，已知在中，，，直线MN经过点C，且于D，于E． （1）说明． （2）说明． （3）已知条件不变，将直线绕点C旋转到图乙的位置时，若、，则______． 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $$