22.1一元二次方程课件2023-2024学年人教版九年级数学上册

第二十一章 一元二次方程 第二十一章 一元二次方程 第1课时 一元二次方程 1 一、回顾学过的方程1、一元一次方程：如3x+1=9，-5x=3①一元：______________________②一次：______________________ ③ 方程，即分母 （含/不含）未知数　 含有一个未知数 未知数的最高次数是1 整式 不含 根据过往学习过的方程，请你猜想一下“一元二次方程”所满足的条件： ①一元：______________________②二次：______________________ ③ 方程，即分母 （含/不含）未知数　 含有一个未知数 未知数的最高次数是2 整式 不含 问题：判断下列式子，是否满足以上3个条件？ 4x2=9 ，x2+3x=0 ， 3y2-5y=7 像这样的，等号两边都是_____，只含有_____个未知数，并且未知数的最高次数是的________方程，叫做一元二次方程. 一 2 整式 探究1：一元二次方程的概念 【例1】下列方程是一元二次方程的是( ) A. x+2y=1 B. x2=1 C. x2+=8 D. x(x+3)=x2－1 B 1. 若关于x的方程xm+1-8x-8=0是一元二次方程，则m的值等于( ) A.±1 B. 1 C. -1 D. 0 2、判断下列方程是否为一元二次方程？ 理由是什么？ (1)3x+2=5y-3 (2) x2=4 (3) 3x2- =0 (4) x2-4=(x+2)2 (5) ax2+bx+c=0 B 不是 属于二元一次方程 是 不是 不是整式 不是 化简后是一元一次方程 不是 当a=0时，不是 变式训练 探究2：一元二次方程的一般形式 任何一个一元二次方程都可以化为一般形式： ax2 + bx + c =0 （a≠0） 二次项 二次项系数 一次项 一次项系数 常数项 典型例题 【例2】（人教九上P4练习改编）填空： 一元二次方程 一般形式 二次项 一次项 3x-1=-2x2 ___________________ ________ ________ x（2x-5）=-10 ___________________ ________ ________ （x+2）2=8x ___________________ ________ ________ 2x2+3x-1=0 2x2 3x 2x2-5x+10=0 2x2 -5x x2-4x+4=0 x2 -4x 提醒： （1）确定一元二次方程的项和各项系数时，必须先将一元二次方程化成 ax2+bx+c=0 （a≠0） （2）通常一元二次方程的各项按未知数降幂的顺序排列（3）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号 1.填空： 一元二次方程 二次项系数 一次项系数 常数项 3x-1=-2x2 ________ ________ ________ x（2x-5）=-10 ________ ________ ________ （x+2）2=8x ________ ________ ________ 2 3 -1 2 -5 10 1 -4 4 【变式】 2x2+3x-1=0 2x2-5x+10=0 x2-4x+4=0 2、把下列方程化成一元二次方程一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项： 一元二次方程 3x2=5x-1 (x+2)(x-1)=6 一般形式 二次项 二次项系数 一次项系数 常数项 3x2-8x+1=0 3 -8 1 x2+2x-8=0 1 2 -8 3x2 x2 【例3】下列哪些数是方程x2+2x-8=0的根？ -4，2，3 知识点3：一元二次方程的解（根） 解：∵(-4)2+2×(-4)-8=0，22+2×2-8=0，32+2×3-8=7≠0， ∴-4和2都是方程x2+2x-8=0的根. 探究3：一元二次方程的根（解） 1.有一个根为-2的一元二次方程是（ ） A.x2+2x－x=0 B.x2－x－2=0 C.x2+x+2=0 D.x2+x－2=0 2.下面哪些数是方程x2-x-6=0的解？ -2，2，3 D 【变式】 解：∵(-2)2-(-2)-6=0，22-2-6=-4≠0，32-3-6=0， ∴-2和3都是方程x2+2x-8=0的根. 【例4】若x=1是关于x的方程x2-2x+a=0的一个解，求a的值. 解：把x=1代入方程x2-2x+a=0， 得1-2+a=0. 解得a=1． 探究4：利用一元二次方程的解求字母或式子的值 1.已知x=1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b=0的一个解，求a+2b的值. 解：把x=1代入方程x2+ax+2b=0, 得1+a+2b=0. ∴a+2b=-1. 【变式】 2、关于x的一元二次方程(a-1)x2+x+a2-1=0的一个根为0,则求a的值. 解：把x=0代入方程(a-1)x2+x+a2-1=0, 得a2-1=0. ∴a=±1 又∵a-1≠0即a≠1 ∴a=-1 【例5】方程（2a—4）x2—2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？ 解：若方程为一元二次方程，则（2a—4）≠0 即 a≠2 ∴当a≠2时，(2a—4)x2—2bx+a=0是一元二次方程 若方程为一元一次方程，则2a—4=0且-2b≠0 ∴a=2且b≠0 ∴当a=2且b≠0时，(2a—4)x2—2bx+a=0是一元一次方程 【当堂练习】 1.下列方程是一元二次方程的是（ ） A.x2+=6 B.ax2+bx-3=0 C.x2-2xy-y2=0 D.(x-1)(x+2)=1 D 2.若关于x的方程（m-1）x2+2mx-3=0是一元二次方程，则m的取值范围是（ ） A.任意实数 B.m≠1 C.m≠-1 D.m＞1 B 3.将一元二次方程x（3x-1）=2化为一般形式，正确的是（ ） A.3x2-x+2=0 B.3x2+x-2=0 C.3x2-x=2 D.3x2-x-2=0 4.一元二次方程3x2－5x=－3的二次项系数是________，一次项系数是________，常数项是________． D 3 -5 3 5.已知-2是关于x的一元二次方程x2-3x+c=0的一个根． （1）求c的值； （2）在“-5，0，5”中，哪些数是该方程的根？ 解：（1）把x=-2代入方程x2-3x+c=0， 得（-2）2-3×（-2）+c=0. 解得c=-10. （2）由（1）知，该方程为x2-3x-10=0． ∵52-3×5-10=0, ∴5是该方程的根． 6.已知关于x的一元二次方程(a-1)x2-2x+a2－1=0有一个根为0，则a的值为( ) A.0 B.±1 C.1 D.－1 D 7.已知a是方程2x2+4x-3=0的一个根，则a2+2a-1的值是( ) A.1 B.2 C. D. C 【能力提升】 $$