2024年陕西中考数学最后一卷

2024年陕西中考最后一卷 数学 注意事项： 1．本试卷共有三个大题，分为单项选择题、填空题、解答题，满分120分，考试时间100分钟。 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效。 一、单选题（共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题意的） 1．下列实数是无理数的是（    ） A． B． C． D． 2．下列几何体放置在水平面上，其中俯视图是圆的几何体为（    ） A． B． C． D． 3．光在不同介质中的传播速度是不同的，因此光从水中射向空气时，要发生折射．已知在水中平行的光线射向空气中时也是平行的．如图，，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．如图，墨迹污染了等式中的运算符号，则污染的是（    ） A．＋ B．－ C．× D．÷ 5．若一次函数的函数值随的增大而减小，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 6．如图，在菱形中，延长至点F，使得，连接交于点E．若，则菱形的周长为（    ） A．12 B．16 C．20 D．24 7．如图，在中，半径，互相垂直，点在劣弧上．若，则(   ) A． B． C． D． 8．已知二次函数，当且时，的最小值为，最大值为，则的值为（    ） A．2 B． C．3 D． 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9．请写出一个比小的正整数 ． 10．分解因式： ． 11．如图，在正五边形ABCDE内，以CD为边作等边，则的数为 ． 12．已知正比例函数图象与反比例函数图象都经过点，那么这两个函数图象必都经过另一个点的坐标为 ． 13．如图，在四边形中，，，，若点M，点N分别在边和边上运动，且，连接，则的最小值为 ． 三、解答题（共13小题，计81分，解答应写出过程） 14．（本题5分）计算：． 15．（本题5分）解方程：． 16．（本题5分）解不等式组： 17．（本题5分）已知：如图，．求作：以为弦的，使到和的距离相等． 18．（本题5分）如图，在矩形中，点E，F在BC上，且，连接．求证：． 19．（本题5分）《九章算术》中有这样一道题：今有米在十斗桶中，不知其数．满中添粟而舂之，得粟七斗，问故米几何？（粟米之法：粟率五十，粝米三十．）大意为：今有米在容量为10斗的桶中，但不知道数量是多少；再向桶加满粟，再舂成米，共得米7斗．问原来有米多少斗？（出米率为）请解答上面问题． 20．（本题5分）甲、乙、丙三人玩捉迷藏游戏，一人为蒙眼人，捉另外两人，捉到一人，记为捉一次；被捉到的人成为新的蒙眼人，接着捉……一直这样玩（每次捉到一人）．请用树状图解决下列问题， (1)若甲为开始蒙眼人，捉两次，求第二次捉到丙的概率； (2)若捉三次，要使第三次捉到甲的概率最小，应该谁为开始蒙眼人？ 21．（本题6分）电子体重秤读数直观又便于携带，为人们带来了方便．某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻，与踏板上人的质量之间的函数关系式为（其中，为常数，，其图象如图1所示；图2的电路中，电源电压恒为8伏，定值电阻的阻值为30欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的读数为，该读数可以换算为人的质量． 温馨提示：①导体两端的电压，导体的电阻，通过导体的电流，满足关系式； ②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压． 图1                             图2 (1)求出与踏板上人的质量之间的函数关系式并写出的取值范围； (2)求出当电压表显示的读数为2伏时，对应测重人的质量为多少千克？ 22．（本题7分）如图，某小区内有和两栋家属楼，竖直的移动支架位于两栋楼之间，且高为，点，，在同一条直线上．当移动支架运动到如图所示的位置时，在点处测得点，的仰角分别为、，点的俯角为，此时测得支架到楼的水平距离为．求两楼的高度差．（结果精确到，参考数据：，）    23．（本题7分）近日，教育部印发的《2023年全国综合防控儿童青少年近视重点工作计划》明确，要指导地方教育行政部门督促和确保落实学生健康体检制度和每学期视力监测制度，及时把视力监测结果记入儿童青少年视力健康电子档案，并按规定上报全国学生体质健康系统．按照国家视力健康标准，学生视力状况分为：视力正常、轻度视力不良、中度视力不良和重度视力不良四个类别，分别用A，B，C，D表示．某校为了解本校学生的视力健康状况，从全校学生中随机抽取部分学生进行视力状况调查，根据调查结果，绘制了如下尚不完整的统计图． (1)此次调查的学生总人数为______；扇形统计图中，______； (2)补全条形统计图． (3)已知重度视力不良的四名学生中，甲、乙为九年级学生，丙、丁分别为七、八年级学生，现学校要从中随机抽取2名学生调查他们对护眼误区和保护视力习惯的了解程度，请用列表法或画树状图法求这2名学生恰好是同年级的概率． 24．（本题8分）如图，是的直径，点在的延长线上，平分，于点． (1)求证：直线是的切线． (2)如果，求线段的长． 25．（本题8分）在山体中修建隧道可以保护生态环境，改善公路技术状态，提高运输效率．某城市道路中一双向行驶隧道（来往方向各一车道，路面用黄色双实线隔开）图片如图所示．隧道的纵截面由一个矩形和一段抛物线构成。隧道内路面的总宽度为，双向行驶车道宽度为（路面两侧各预留给非机动车），隧道顶部最高处距路面，矩形的高为． (1)建立适当的平面直角坐标系，求出该段抛物线的解析式； (2)为了保证安全，交通部门要求行驶车辆的顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少要有．问：通过隧道的车辆应限制高度为多少？ 26．（本题10分）如图，在边长为1的正方形中，点是边上的动点（与、点不重合），将沿翻折，得到，延长交于点，连接、． (1)求证：①；②； (2)若，求的值； (3)当时，探究线段与的位置关系和数量关系，并证明你的结论． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年陕西中考最后一卷 数学解析及参考答案 一、选择题 1．A 【分析】本题考查无理数的概念，掌握无限不循环小数是无理数是解题的关键．根据无理数的概念逐项判断即可． 【详解】解：A、是无限不循环小数，是无理数，故符合题意； B、不是无理数，故不符合题意； C、不是无理数，故不符合题意； D、不是无理数，故不符合题意． 故选∶A． 2．A 【分析】本题考查三视图中的俯视图．根据题意逐项判断即可． 【详解】解：A.俯视图是圆，此选项符合题意； B. 俯视图是长方形，此选项不符合题意； C. 俯视图是三角形，此选项不符合题意； D. 俯视图是正方形，此选项不符合题意． 故选：A． 3．C 【分析】本题考查了平行线的性质的应用，解题的关键在于熟练掌握平行线的性质.根据平行线的性质，两直线平行，同位角相等或同旁内角互补，即可求出答案. 【详解】解：如图所示，，光线在空气中也平行，   ，， ∵， ，. . 故选：C． 4．D 【分析】根据整式的加减乘除计算法则逐一判断可求解． 【详解】解：∵与不是同类项，不能进行加减计算， ∴A、B选项不符合题意； ∵， ∴C选项不符合题意； ∵， ∴D选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查整式的四则运算，掌握相关计算法则是解题的关键． 5．A 【分析】本题考查一次函数的增减性．由随的增大而减小知，，求解即可． 【详解】解：一次函数的函数值随的增大而减小 ． 故选：A． 6．D 【分析】本题考查了菱形的性质以及相似三角形的判定与性质，先由菱形的性质得出，证明，结合，，代入化简，即可作答． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴ 则， 即． ∴菱形的周长为． 故选：D． 7．C 【分析】本题主要考查圆周角定理，连接，根据圆周角定理可求解的度数，再利用圆周角定理结合垂直的定义可求解的度数即可． 【详解】解：连接， 半径，互相垂直， ， ∵， ∴， ∴ ∴， 故选：C． 8．B 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，二次函数的增减性，由题意可得，，则的最小值为为负数，最大值为为正数．最大值为分两种情况：①结合抛物线顶点纵坐标的取值范围，求出，结合图象最小值只能由时求出；②结合抛物线顶点纵坐标的取值范围，图象最大值只能由求出，最小值只能由求出． 【详解】解：二次函数的大致图象如下：    ①当时，当时，取最小值，即， 解得：． 当时，取最大值，即， 解得：或均不合题意，舍去； ②当时，当时，取最小值，即， 解得：． 当时，取最大值，即， 解得：， 或时，取最小值，时，取最大值， ，， ， ， 此种情形不合题意， 所以． 故选：B． 二、填空题 9．（答案不唯一） 【分析】本题考查了无理数的估算，因为，故可得出答案，掌握无理数的估算方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴比小的正整数有：， 故答案为：（答案不唯一）． 10． 【分析】本题考查了因式分解，平方差公式，先提取公因子，然后利用平方差公式即可． 【详解】解： 故答案为：． 11．66°/66度 【分析】根据等边三角形的性质和多边形的内角和解答即可； 【详解】解：因为△CDF是等边三角形， 所以∠CDF=60°， 因为∠BCD=（5-2）×180°÷5=108°， 所以∠BCF=108°-60°=48°， 因为BC=CF， 所以∠BFC=（180°-48°）÷2=66°． 故答案为：66． 【点睛】此题考查了等边三角形和多边形的内角和，解题的关键是明确等边三角形的每个内角都是60°和多边形的内角和公式． 12． 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，根据反比例函数的图象与正比例函数图象的两个交点一定关于原点对称即可求解． 【详解】解：∵正比例函数图象与反比例函数图象都经过点， ∴由对称性可得这两个函数图象必都经过另一个点的坐标为， 故答案为：． 13．/ 【分析】作的平分线交于点O，连接，交于点F.通过证明三角形全等、相似，利用全等三角形、相似三角形的性质及勾股定理，最后得结果. 【详解】解：如图：作的平分线交于点O，连接，交于点F.     则， 在和中， ，     ， ， 在和中， ，， ， ，    ， ，     在和中 ， ，，， ， ，， ， ， 又， ， ， ， 过点O作于E， 则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当取最小值时的值最小， 点O为定点， 当时的值最小， ， 的最小值为的值， ， 的最小值为， 故答案为： . 三、解答题 14．0 【分析】本题考查的是实数的混合运算，先计算立方根，绝对值，乘方运算，再合并即可． 【详解】．解； ； 15． 【分析】本题考查了分式方程的求解，方程两边同时乘以，将分式方程化为整式方程，求解后进行检验即可． 【详解】解：方程两边同时乘以得： ， 解得： 检验：当时，， ∴原方程的解为：． 16． 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：， 由得：， 由得：， 则不等式组的解集为． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 17．见解析 【分析】本题考查尺规作图：角平分线与线段的垂直平分线，圆的相关性质，．根据题意，先作的平分线和线段的垂直平分线，相交于点，再以点为圆心，的长为半径画圆即可． 【详解】解：作的平分线和线段的垂直平分线，相交于点，再以点为圆心，的长为半径画圆，则即为所求． 理由：平分 到和的距离相等 垂直平分 是半径 即为的弦． 故即为所求． 18．证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定．利用证明即可． 【详解】证明：∵四边形是矩形， ∴，． 在和中， ∵， ∴． 19．原来有米2.5斗． 【分析】设原来有米斗，再向桶加粟斗，由出米率为，可知增加米斗，根据“米共7斗；米和后增加的粟共10斗”，即可得出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】设原来有米斗，再向桶加粟斗， 由题意得：， 解得：， 答：原来有米2.5斗． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 20．(1) (2)甲 【分析】（1）用树状图法列举出甲为开始蒙眼人，捉两次所有可能出现的情况，进而求出捉2次，捉到丙的概率； （2）用树状图法列举出甲为开始蒙眼人，捉三次所有可能出现的情况，通过甲、乙、丙被捉到的次数得出结论． 【详解】（1）解：如图1，甲为开始蒙眼人，捉两次，所有可能出现的结果如下：    共有4种可能出现的结果，其中第2次捉到丙的只有1种， 所以甲为开始蒙眼人，捉两次，第二次捉到丙的概率为． （2）如图2，若甲为开始蒙眼人，捉三次，所有可能出现的结果情况如下：    共有8种可能出现的结果，其中第3次提到甲的有2种，捉到乙的有3种，捉到丙的有3种， 根据所有结果出现的可能性都是相等的，所以要使第三次捉到甲的概率最小，应该甲为开始蒙眼人． 【点睛】本题考查用树状图法求随机事件发生的概率．列举出所有可能出现的结果是正确解答的关键． 21．(1) (2)当电压表显示的读数为2伏时，对应测重人的质量为75千克． 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的应用，理解题意，利用待定系数法求出一次函数的解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求出与踏板上人的质量之间的函数关系式； （2）根据题意先求出，再代入（1）中的函数解析式即可求出的值． 【详解】（1）解：将、代入， ， 解得， ； （2）解：由题意得可变电阻两端的电压伏， ，可变电阻和定值电阻的电流大小相等， ， 解得， ， 解得， 当电压表显示的读数为2伏时，对应测重人的质量为75千克． 22．两楼的高度差为 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，过点作，分别交于点，于点，由题意可知，，，，，．解，求出，解，求出，解，求出，最后即可求出两楼的高度差． 【详解】解：过点作，分别交于点，于点，    由题意可知，，，，，． 在中，由， 得． 在中，由 得． 在中，由， 得． 所以． 答：两楼的高度差为． 23．(1)80，45 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率，条形统计图，扇形统计图等知识 （1）由A类别人数及其所占百分比可得总人数，C类别人数除以总人数可得m的值； （2）根据四个类别人数之和等于总人数求出B类人数画出统计图即可； （3）画树状图列出所有等可能结果，并从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解： ，即， 故答案为：80，45． （2）B类人数为：人 补全条形统计图如图所示： （3）画树状图如下： 可知共有12种等可能的情况，其中这2名学生恰好是同年级的情况有2种， 故这2名学生恰好是同年级的概率为． 24．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据等边对等角，角平分线的性质可得，根据可得，结合切线的判定方法即可求证； （2）根据题意，设，则，由勾股定理可求出半径，再根据平行可得，根据相似三角形的判定和性质即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线； （2）解：如图1，连接，，， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，且，， ∴， ∴． 25．(1) (2)通过隧道的车辆应限制高度为 【分析】本题考查了二次函数的应用； （1）根据题意建立平面直角坐标系，待定系数法求解析式，即可求解； （2）将代入解析式，求得的值，根据交通部门要求行驶车辆的顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少要有，结合函数图象，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， 隧道顶部最高处距路面6m，矩形的高为2m． ∴顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 将点代入，得， ， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：依题意，当时，， ∵交通部门要求行驶车辆的顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少要有． ∴通过隧道的车辆应限制高度为， 答：通过隧道的车辆应限制高度为 26．(1)①见解析；②见解析 (2) (3)位置关系：；数量关系：，证明见解析 【分析】（1）①理由证明即可；②利用全等三角形的性质即可解决问题； （2）只要证明，是等腰直角三角形，根据，求出即可解决问题； （3）位置关系：；数量关系：．如图1中，连接．只要证明，即可解决问题； 【详解】（1）证明：①四边形是正方形， ，． 由翻折：， ，． ，． 又， ． ②由，， ，， ． （2）解：如图， ，，， ， ， ， ， ， 则垂直平分， ， 是的垂直平分线， 在正方形中，，， ． （3）位置关系：；数量关系：． 证明：如图1中，连接． ，， ，． 设，则，， 在中，根据勾股定理，得 ，即， 解得，，即． ， ， 是直角三角形，，即． ，， 则点A、Q分别在的垂直平分线上， 是的垂直平分线． ， ， 在中，， ， ． ． 在中，， ． ， 即． 【点睛】本题考查四边形综合题、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$