期末复习课（五） 第六章 反比例函数 课件 2023-2024学年北师大版数学九年级上册

总复习　期末复习课 期末复习课（五）　（第六章　反比例函数） 数学 九年级上册 BS版 数学 九年级上册 BS版 知识梳理 典例讲练 目录 CONTENTS 数学 九年级上册 BS版 0 1 知识梳理 1. 反比例函数的定义与表示. （1）一般地，形如 （ k 为常数， k ≠0）的函数称为 反比例函数. （2）三种形式： y ＝ （ k ≠0）， （ k ≠0）， （ k ≠0）. y ＝ 　 y ＝ kx－1　 xy ＝ k 　 数学 九年级上册 BS版 返回目录 2. 反比例函数的性质. 反比例 函数 y ＝ （ k ≠0） k 的正负 k ＞0 k ＜0 图象 性质 ① x ， y 的取值范围是 x ≠0， y ≠0； ① x ， y 的取值范围是 x ≠0， y ≠0； 数学 九年级上册 BS版 返回目录 反比例 函数 y ＝ （ k ≠0） k 的正负 k ＞0 k ＜0 性质 ②函数图象的两支曲线 分别位于第一、三象限. 在每个象限内， y 的值随 x 值的增大而减小 ②函数图象的两支曲线分 别位于第二、四象限.在每 个象限内， y 的值随 x 值的 增大而增大 数学 九年级上册 BS版 返回目录 注：（1）反比例函数的图象是双曲线，双曲线是不经过原点、 断开的，两个分支延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐 标轴相交；（2）反比例函数的图象是轴对称图形（对称轴是直 线 y ＝ x 和直线 y ＝－ x ）和中心对称图形（对称中心是坐标原 点）. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 3. 反比例函数中 k 的几何意义. （1）反比例函数 y ＝ （ k ≠0）中比例系数 k 的几何意义是过 双曲线 y ＝ （ k ≠0）上任意一点引 x 轴、 y 轴的垂线，所得矩 形的面积为 ⁠. ｜ k ｜　 数学 九年级上册 BS版 返回目录 （2）反比例函数中常见的三种面积类型 ① S矩形 ONPM ＝ PN · PM ＝｜ x ｜·｜ y ｜ ＝｜ xy ｜＝｜ k ｜； ② S△ OAP ＝ OA · PA ＝ ｜ x ｜·｜ y ｜＝ ； 数学 九年级上册 BS版 返回目录 ③ S△ APP'＝ PA · P ' A ＝ ×2｜ y ｜·2｜ x ｜＝ 2｜ xy ｜＝2｜ k ｜ （点 P ， P '关于原点对称）. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 数学 九年级上册 BS版 0 2 典例讲练 类型一　反比例函数中 k 的几何意义 （2022·黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标 原点，平行四边形 ADOB 的顶点 B 在反比例函数 y ＝ 的图象 上，顶点 A 在反比例函数 y ＝ 的图象上，顶点 D 在 x 轴的负半 轴上.若平行四边形 ADOB 的面积是5，则 k 的值是 ⁠. －2　 数学 九年级上册 BS版 返回目录 【思路导航】连接 OA ，设 AB 交 y 轴于点 C ，根据平行四边形的 性质可得 S△ AOB ＝ S▱ ADOB ＝ ， AB ∥ OD ，再根据反比例函数 中比例系数的几何意义，即可求解. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 【解析】如图，连接 OA ，设 AB 交 y 轴于点 C . ∵四边形 ADOB 是平行四边形，且面积是5，∴ S△ AOB ＝ S▱ ADOB ＝ ， AB ∥ OD ，∴ AB ⊥ y 轴.∵点 B 在反比例函数 y ＝ 的图象上，顶点 A 在反比例函数 y ＝ 的图象上， ∴ S△ COB ＝ ， S△ COA ＝－ . ∴ S△ AOB ＝ S△ COB ＋ S△ COA ＝ － ＝ ， 解得 k ＝－2.故答案为－2. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 【点拨】熟练掌握平行四边形的性质和反比例函数中比例系数 的几何意义是解题的关键. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 1. （2022·怀化）如图，直线 AB 交 x 轴于点 C ，交反比例函数 y ＝ （ a ＞1）的图象于 A ， B 两点，过点 B 作 BD ⊥ y 轴，垂足 为 D . 若 S△ BCD ＝5，则 a 的值为 ⁠. 11　 （第1题图） 数学 九年级上册 BS版 返回目录 2. 如图，点 A 在反比例函数 y ＝ （ x ＞0）的图象上，点 B 在反 比例函数 y ＝ （ x ＜0）的图象上， AB ∥ x 轴，点 C 是 x 轴上一 点，连接 AC ， BC . 若△ ABC 的面积是6，则 k 的值为 ⁠. （第2题图） －10　 数学 九年级上册 BS版 返回目录 类型二　反比例函数与一次函数的综合 如图，已知直线 y ＝ x ＋ b 与双曲线 y ＝ （ k ≠0）交于 A ， B 两点，且点 A 的坐标为（2，3）. （1）求直线与双曲线的函数表达式； （2）求点 B 的坐标； （3）若 x ＋ b ＞ ，直接写出 x 的取值范围. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 【思路导航】（1）把点 A 的坐标代入一次函数与反比例函数的 表达式即可求解；（2）联立一次函数与反比例函数的解析式， 求出方程组的解即可；（3）根据 A ， B 的坐标结合图象即可得 出答案. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 解：（1）把点 A 的坐标（2，3）代入直线的函数表达式，得3 ＝2＋ b ，解得 b ＝1. ∴直线的函数表达式为 y ＝ x ＋1. 把点 A 的坐标（2，3）代入双曲线的函数表达式， 得 k ＝2×3＝6. ∴双曲线的函数表达式为 y ＝ . （2）联立解得或 ∴点 B 的坐标为（－3，－2）. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 （3）由图象可知，若 x ＋ b ＞ ，则 x 的取值范围是－3＜ x ＜0 或 x ＞2. 【点拨】本题主要利用待定系数法求一次函数与反比例函数的 表达式，函数的图形等知识的应用，主要考查学生的计算能力 和观察图形的能力，运用了数形结合思想. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 1. 如图，正比例函数 y ＝2 x 与反比例函数 y ＝ 交于 A ， B 两点. 已知 A （1，2），则点 B 的坐标为 ⁠. （－1，－2）　 数学 九年级上册 BS版 返回目录 2. 如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数 y ＝ x ＋1的图象 与反比例函数 y ＝ 的图象都经过点 A . （1）求 m 的值及反比例函数的表达式； 解：（1）∵一次函数 y ＝ x ＋1的图象经 过点 A ，∴ m ＝1＋1＝2.∴ A . 又∵反比例函数 y ＝ 的图象经过点 A （1，2），∴2＝ .解得 k ＝2. ∴反比例函数的表达式为 y ＝ . 数学 九年级上册 BS版 返回目录 （2）过点 P 作平行于 x 轴的直线 l ，若直线 l 与一次函数 y ＝ x ＋1和反比例函数 y ＝ 的图象分别交于点 C ， D .当 x1＜ x2时，直接写出 n 的取值范围. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 解：（2）如答图，过点 P 作平行 于 x 轴的直线 l ， 易得点 C ， D 的纵坐标都为 n . ∵直线 l 与一次函数 y ＝ x ＋1的图象交于 点 C ，∴ x1＝ n －1. ∵直线 l 与反比例函数 y ＝ 的图 象交于点 D ，∴ x2＝ . ∵ x1＜ x2，∴ n －1＜ . 答图 数学 九年级上册 BS版 返回目录 令一次函数 m ＝ n －1，反比例函数 m ＝ . 当 n －1＝ 时，解得 n1＝2， n2＝－1. 要使 n －1＜ ，即求直线在双曲线下方 的自变量 n 的取值范围. ∴ n 的取值范围为0＜ n ＜2或 n ＜－1. 答图 数学 九年级上册 BS版 返回目录 类型三　反比例函数与几何图形的综合 如图，已知一次函数 y ＝ kx ＋ b 的图象与反比例函数 y ＝ （ x ＞0）的图象交于点 A ，与 x 轴交于点 B （5，0），且 OB ＝ AB ， ＝ . 数学 九年级上册 BS版 返回目录 （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）若点 P 为 x 轴上一点，△ ABP 是以点 B 为顶点的等腰三角 形，求点 P 的坐标. 【思路导航】（1）首先根据题意求出△ OAB 的 OB 边上的高， 求出点 A 的坐标，将点 A 的坐标代入反比例函数表达式求出 m ， 将点 A ， B 的坐标代入一次函数表达式求出 k ， b ；（2）由于△ ABP 是以点 B 为顶点的等腰三角形，则 AB ＝ BP ，分点 P 在点 B 左侧和右侧讨论即可. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 解：（1）如图1，过点 A 作 AD ⊥ x 轴于点 D . 图1 图1 ∵ S△ OAB ＝ ，∴ OB · AD ＝ ×5· AD ＝ . ∴ AD ＝3. ∵ B （5，0），∴ AB ＝ OB ＝5. 在Rt△ ABD 中， BD ＝ ＝ ＝4. ∴ OD ＝5＋4＝9.∴ A （9，3）. ∵反比例函数 y ＝ 的图象经过点 A ， 数学 九年级上册 BS版 返回目录 ∴3＝ .∴ m ＝27. ∴反比例函数的表达式为 y ＝ . ∵一次函数 y ＝ kx ＋ b 的图象经过点 A ， B ， 图1 ∴解得 ∴一次函数的表达式为 y ＝ x － . 数学 九年级上册 BS版 返回目录 （2）由题知， BP ＝ AB ＝5， B （5，0）. 如图2，当点 P 在点 B 左侧时，点 P 的坐标为 P1（0，0）； 当点 P 在点 B 右侧时， 点 P 的坐标为 P2（10，0）. 综上所述， 点 P 的坐标为（0，0）或（10，0）. 图2 数学 九年级上册 BS版 返回目录 图2 【点拨】本题考查反比例函数与几何图形的综合，灵活使用 已知条件“ OB ＝ AB ， S△ OAB ＝ ”求出点 A 的坐标是解题 的关键. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 如图，在平面直角坐标系中，已知点 O 为坐标原点，菱形 OABC 的顶点 A 的坐标为（3，4），求过点 B 的反比例函数 y ＝ （ x ＞0）的表达式. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 解：如答图，过点 A 作 AE ⊥ x 轴，过点 B 作 BF ⊥ x 轴， 垂足分别为 E ， F . ∵ A （3，4），∴ OE ＝3， AE ＝4. ∴ AO ＝ ＝5.∵四边形 OABC 是菱形， ∴ AB ＝ AO ＝5， AB ∥ x 轴， ∴ EF ＝ AB ＝5.∴ OF ＝ OE ＋ EF ＝3＋5＝8. ∴ B （8，4）.将点 B （8，4）代入 y ＝ ， 得 k ＝32. ∴反比例函数的表达式为 y ＝ . 答图 数学 九年级上册 BS版 返回目录 类型四　反比例函数的实际应用 通过实验研究发现，初中生在数学课上听课注意力指标随 上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一 段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散.学生注意力 指标 y 随时间 x （min）变化的函数图象如图所示，当0≤ x ＜10 和10≤ x ＜20时，图象是线段；当20≤ x ≤45时，图象是双曲线 的一部分. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 （1）求点 A 对应的指标值. （2）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要17 min，他能 否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力 指标都不低于36？请说明理由. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 【思路导航】（1）设反比例函数的表达式为 y ＝ ，由 C （20，45）求出 k ，进而可得点 D 的坐标，从而求出点 A 对应的 指标值；（2）求出线段 AB 所在直线的函数表达式，分别求出 一次函数和反比例函数的函数值 y ≥36时， x 的取值范围，得到 注意力指标不低于36的时间，即可得出结果. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 解：（1）当20≤ x ≤45时，设反比例函数的表达式为 y ＝ .将 C （20，45）代入，得45＝ .解得 k ＝900. ∴反比例函数的表达式为 y ＝ . 当 x ＝45时， y ＝20.∴ D （45，20）. 结合图可知， A （0，20）， 即点 A 对应的指标值为20. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 （2）当0≤ x ＜10时， 设线段 AB 所在直线的函数表达式为 y ＝ mx ＋ n . 将 A （0，20）， B （10，45）分别代入， 得解得 ∴线段 AB 所在直线的函数表达式为 y ＝ x ＋20. 当 y ＝ x ＋20≥36时，解得 x ≥ ； 数学 九年级上册 BS版 返回目录 由（1），得反比例函数的表达式为 y ＝ .当 y ＝ ≥36时，解得 x ≤25. ∴当 ≤ x ≤25时， 注意力指标都不低于36. 又∵25－ ＝ ＞17，∴张老师能经过适当的安排， 使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 【点拨】此题要从实际意义中找到对应的变量的值，一次函数 需要找两个点，反比例函数需要找到一个点，利用待定系数法 求出函数表达式，再根据函数值求对应的自变量的值. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 环保局对某企业排污情况进行检测，结果显示所排污水中硫化 物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0 mg/L. 环保 局要求该企业立即整改，在15天以内（含15天）排污达标.在整 改过程中，所排污水中硫化物的浓度 y （mg/L）与时间 x （天）的变化规律 如图所示，其中线段 AB 表示前3天的 变化规律，其中第3天时硫化物的浓度 降为4 mg/L. 从第3天起，所排污水中硫 化物的浓度 y 与时间 x 满足下面表格中的关系： 数学 九年级上册 BS版 返回目录 时间 x /天 3 4 5 6 8 … 硫化物的浓度 y /（mg/L） 4 3 2.4 2 1.5 … （1）在整改过程中，当0≤ x ＜3时，求硫化物的浓度 y 与时间 x 之间的函数表达式； 数学 九年级上册 BS版 返回目录 解：（1）∵前3天的函数图象是线段 AB ， ∴可设线段 AB 所在直线的函数表达式为 y ＝ kx ＋ b . 把（0，10），（3，4）分别代入函数表达 式，得 解得 ∴当0≤ x ＜3时，硫化物的浓度 y 与时间 x 之 间的函数表达式为 y ＝－2 x ＋10. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 （2）在整改过程中，当 x ≥3时，求硫化物的浓度 y 与时间 x 之 间的函数表达式； 解：（2）当 x ≥3时，由表可知，3×4＝ 4×3＝5×2.4＝6×2＝8×1.5＝12， ∴当 x ≥3时， y 与 x 成反比例，且 xy ＝12， 即 y ＝ . ∴当 x ≥3时，硫化物的浓度 y 与时间 x 之间 的函数表达式为 y ＝ . 数学 九年级上册 BS版 返回目录 （3）该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天以内（含15 天）不超过最高允许的1.0 mg/L？为什么？ 解：（3）能.理由如下： 当 y ＝1时， x ＝ ＝12. ∵12＜15， ∴该企业所排污水中硫化物的浓度能在15天 以内（含15天）不超过最高允许的1.0 mg/L. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 演示完毕 谢谢观看 数学 九年级上册 BS版 $$