专题04 三角形与解三角形-【好题汇编】2024年中考数学二模试题分类汇编（全国通用）

专题04 三角形与解三角形 ①三角形内角和与三线 ②全等三角形 ③三角形相似 ④解直角三角形 三角形内角和与三线 1．（2024·宁夏吴忠·二模）现有4条线段，长度依次是2、4、6、7，从中任选三条，能组成三角形的概率是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·宁夏吴忠·二模）如图，摆放的一副学生用直角三角板，，，与相交于点G，当时，的度数是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·辽宁沈阳·二模）如图，在中，，，点D在边上，，连接，在上截取，使，分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点G，作射线，交边于点H，则的长为（    ） A．2 B． C．1 D． 4．（2024·河北·二模）已知，，；用尺规在边上求作一点P．使，如图是甲、乙两位同学的作图，下列判断正确的是（    ） A．甲、乙的作图均正确 B．甲、乙的作图均不正确 C．只有甲的作图正确 D．只有乙的作图正确 5．（2024·山东济宁·二模）“做数学”可以帮助我们积累数学活动经验．如图，已知三角形纸片，第1次折叠使点落在的点处，折痕交点，第2次折叠使点落在点处，折痕交于点．若， ． 6．（2024·广西防城港·二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝76°． （1）用直尺和圆规作∠ABC的平分线BD交AC于点D（保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）在（1）中作出∠ABC的平分线BD后，求∠BDC的度数． 7．（2024·江苏南京·二模）将图形特殊化是发现结论和探索方法的重要途径． 如图，在中，是中线，是边上一点，，作的垂直平分线分别交于点，探究下列问题． 【特殊化】 （1）当点与点重合时， ①在图中，画出此特殊情形的图； ②此情形下，点与点 重合，此时与满足的数量关系为 ． （2）当点与点重合时，在图中，用尺规作出点的位置；（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 【一般化】 （3）当点中，任意两点不重合时，如图，判断（1）问中与所满足的数量关系在此情形下是否仍然成立？说明理由． 8．（2024·浙江台州·二模）图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，小正方形的顶点称为格点，点，，，均在格点上，用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图． (1)如图，在上找一点，连接，使； (2)如图，在上找一点，连接，使．（此小题保留作图痕迹） 全等三角形 9．（2024·云南文山·二模）如图，已知B、E、F、D在同一直线上，，求证：． 10．（2024·宁夏吴忠·二模）动手操作 利用旋转开展数学活动，探究图形变换中蕴含的数学思想方法． 如图1，将等腰直角三角形的边绕点B顺时针旋转得到线段，，，连接，过点做交CB延长线于点H． （1）在图1中：易知，则 ； 思考探索 如图2，若为任意直角三角形，、、、分别用a、b、c表示．边绕点B顺时针旋转，得到，过点作，交BC延长线于点． （2）在图2中：的面积为 ； 拓展延伸 （3）如图3，在中，，，，，，连接． ①求的面积； ②在中，在BC边的高上找一点D，使的值最小，求AD的长和的最小值． 11．（2024·北京门头沟·二模）在中，，，于点D，点E，F分别在上，且，交于点N． (1)如图1，当点E与点A重合时，______； (2)如图2，当点E在边上时， ①依题意补全图2； ②的值是否发生变化，请说明理由． 12．（2024·陕西西安·二模）问题探究 （1）如图1，在中，，于点O，过点C作于点D，，，则的长为 ； （2）如图2，在正方形中，点P在对角线上，点M、N分别在边、上，且，求证：； 问题解决 （3）如图3，某地有一块形如正方形的景区，AC是景区内的一条小路，点E、N分别在、上，管理部门欲沿修建一条笔直的观光小路，在与的交汇处P修建休息亭，并沿再修建一条笔直的观光小路，且，设计人员经测算发现只要再满足就可以实现要求．请判断设计人员的方法是否可行（当且时，）？并证明你的结论． 13．（2024·辽宁沈阳·二模）【问题初探】 （）在数学活动课上，张老师给出如下问题：如图，在中，，，点是边上一点，连接，在右侧作，使，，连接，求证：； 小创同学从与均为等腰直角三角形这个条件出发给出如下解题思路：通过证明，将转化为； 小新同学从结论的角度出发给出另一种解题思路：如图，在线段上截取，连接，通过证明，将转化为；请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （）张老师发现之前两名同学都运用了转化思想，为了帮助学生更好地感悟转化思想，张老师将图进行变换并提出了下面问题，请你解答． 如图，在中，，点是边上一点，连接，在右侧作，使，，连接，过点作交于点，探究与的数量关系； （）如图，在（）的条件下，当时，若，，求的长． 三角形相似 14．（2024·陕西西安·二模）如图，在中，分别为的中点，连接为的中点，过点H作，交于点D，连接，则与相似（不含）的三角形个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 15．（2024·云南文山·二模）如图，在中，于D，下列条件中，不能使的是（     ） A． B． C． D． 16．（2024·江苏南京·二模）已知，△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的面积之比为1：2，当BC=1，对应边EF的长是（ ） A． B．2 C．3 D．4 17．（2024·河北·二模）手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的，图1中小狗手影就是我们小时候常玩的游戏．在一次游戏中，小明距离墙壁2米，爸爸拿着的光源与小明的距离为4米，如图2所示，若在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度增加一倍，则光源与小明的距离应（    ） A．增加1米 B．减少1米 C．增加2米 D．减少2米 18．（2024·广西防城港·二模）如图，是内一点，连结于各顶点，各顶点分别在边、、、上，且．若的面积为27，则与的面积和为 ． 19．（2024·河南焦作·二模）如图，把沿着直线向右平移至处，连接，若 ，则点 到的距离是 ． 20．（2024·江苏南京·二模）在中，，、分别是、的点，且． (1)求证：； (2)求证：． 21．（2024·青海西宁·二模）如图，在矩形中，延长到，延长到，使，，交于点． (1)求证：； (2)过点E作，垂足为点E，交的延长线于点H，若，，求的长． 解直角三角形 22．（2024·云南文山·二模）如图，在离地面高度为1.5米的A 处放风筝，风筝线长8米，用测倾仪测得风筝线与水平面的夹角为θ，则风筝线一端的高度 为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 23．（2024·北京门头沟·二模）如图所示的网格是正方形网格，点，，是网格线交点，则 ． 24．（2024·甘肃平凉·二模）如图，在中，，是的中点，连接，过点作交于点，若，，则的长为 ． 25．（2024·浙江台州·二模）如图，在中，，，则的值为 26．（2024·江苏南京·二模）如图，在中，是边上一点，若，则的长为 ． 27．（2024·山东东营·二模）如图，我国航母由西向东航行，到达处时，测得小岛位于它的北偏东方向，且与航母相距海里，再航行一段时间后到达处，测得小岛位于它的西北方向，求此时航母与小岛的距离的长． 28．（2024·辽宁沈阳·二模）某校“综合与实践”活动小组的同学要测量与地面垂直的两栋楼与的高度之差，他们借助无人机设计了如下测量方案：如图，无人机悬停在，两楼之间上方的点O处，此时测出到楼顶部点A处的俯角为，，测出到楼顶部点C处的俯角为，已知两栋楼之间的距离（点A，B，C，D，O在同一平面内）． (1)求点O到楼的距离的长； (2)求两栋楼与的高度之差.（结果精确到） （参考数据：，，，） 29．（2024·陕西西安·二模）小林想利用无人机测量某塔（图1）的高度．阳光明媚的一天，该塔倒映在平静的河水中，如图2所示，当无人机飞到点C处时，点C到水平面的高度米，在点C处测得该塔顶端的仰角为．该塔顶端A在水中倒影的俯角为．已知，三点共线，，求该塔的高度．（光线的折射忽略不计．） 30．（2024·陕西榆林·二模）某数学兴趣小组测量一栋居民楼高度的活动报告如下： 活动目的 测量居民楼的高度 测量工具 皮尺、测角仪 测量示意图及说明    说明：测量仪、居民棱．点B、E在水平地面上．A、B、C、D、E、F均在同一平面内 测量过程及数据 测量小组在距离居民楼（）处的斜坡上的点D处放置测角仪，测得居民楼楼顶A的仰角为，斜坡的坡度，， 参考数据 ，， 备注 测量过程注意安全 请你根据该兴趣小组的测量结果求出该居民楼的高度． 31．（2024·青海西宁·二模）【探究发现】 （1）如图①，在等边三角形内部有一点P，若．求证：． 请将下列证明过程补充完整： 证明：将绕A点逆时针旋转，得到，连接， ∴__________， ∴，_______， 又∵，∴是等边三角形（_______） ∴，， 又∵，∴， 在中， ___________，即． 【类比延伸】 （2）如图②，在中，，，三角形内部有一点P，若． 求证： （提示：将绕A点逆时针旋转90°，得到，连接） 【联想拓展】 （3）如图③，在中，，，点P在直线上方，且，满足（其中）． 将绕A点顺时针旋转__________°，得到，连接，过点A作，垂足为H，则_________． 32．（2024·广西防城港·二模）如图，小开家所在居民楼，楼底C点的左侧30米处有一个山坡，坡角为，E点处有一个图书馆，山坡坡底到图书馆的距离为40米，在图书馆E点处测得小开家的窗户B点的仰角为，居民楼与山坡的剖面在同一平面内． (1)求的高度；（结果精确到个位，参考数据：≈1．73） (2)某天，小开到家后发现有资料落在图书馆，此时离图书馆闭馆仅剩5分钟，若小开在平地的速度为6m/s，上坡速度为4m/s，电梯速度为1．25m/s，等候电梯及上、下乘客所耽误时间共3分钟，请问小开能否在闭馆前赶到图书馆？ ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 三角形与解三角形 ①三角形内角和与三线 ②全等三角形 ③三角形相似 ④解直角三角形 三角形内角和与三线 1．（2024·宁夏吴忠·二模）现有4条线段，长度依次是2、4、6、7，从中任选三条，能组成三角形的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】从四条线段中任意选取三条，找出所有的可能，以及能构成三角形的情况数，即可求出所求的概率． 【详解】解：从长度分别为2、4、6、7的四条线段中任选三条有如下4种情况：2、4、6；2、4、7； 2、6、7；4、6、7； 其中能构成三角形的有2、6、7；4、6、7这两种情况， 所以能构成三角形的概率是， 故选：B． 【点睛】本题考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．构成三角形的基本要求为两小边之和大于最大边． 2．（2024·宁夏吴忠·二模）如图，摆放的一副学生用直角三角板，，，与相交于点G，当时，的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，内错角相等，正确作出辅助线是解本题的关键．过点作，则有，，又由，，有即可得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， 过点作，    ∵， ， ，， ∵，， 故选：B． 3．（2024·辽宁沈阳·二模）如图，在中，，，点D在边上，，连接，在上截取，使，分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点G，作射线，交边于点H，则的长为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，角平分线的尺规作图，平行线的性质与判定，先证明是等边三角形推出，由作图方法可知，平分，则，证明，进而证明，再利用相似三角形的性质列出比例式求解即可． 【详解】解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 由作图方法可知，平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 故选：B． 4．（2024·河北·二模）已知，，；用尺规在边上求作一点P．使，如图是甲、乙两位同学的作图，下列判断正确的是（    ） A．甲、乙的作图均正确 B．甲、乙的作图均不正确 C．只有甲的作图正确 D．只有乙的作图正确 【答案】C 【分析】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键． 对于甲同学的作图，利用作图痕迹得，则可计算出，于是可判断甲同学的作图正确；对于乙同学的作图，利用作图痕迹得平分，由于，所以，所以，从而可判断乙同学的作图不正确． 【详解】解：对于甲同学的作图： 由作图痕迹得， ， ， ， ∴甲同学的作图正确； 对于乙同学的作图：由作图痕迹得平分， ， ， ， ， ， ∴乙同学的作图不正确． 故选：C． 5．（2024·山东济宁·二模）“做数学”可以帮助我们积累数学活动经验．如图，已知三角形纸片，第1次折叠使点落在的点处，折痕交点，第2次折叠使点落在点处，折痕交于点．若， ． 【答案】7 【分析】先把图补全，由折叠得：，，，证明是的中位线，得，即可得到答案． 【详解】解：把图补全如图所示： 由折叠得：，，， ， ， 是的中位线， ， ， ， 故答案为：7． 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，折叠的性质，把图形补全证明是的中位线是解本题的关键． 6．（2024·广西防城港·二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝76°． （1）用直尺和圆规作∠ABC的平分线BD交AC于点D（保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）在（1）中作出∠ABC的平分线BD后，求∠BDC的度数． 【答案】（1）见解析；（2）66° 【分析】（1）直接利用角平分线的作法得出答案； （2）直接利用角平分线的定义分析得出答案． 【详解】解：（1）如图所示：BD即为所求； （2）∵AB＝AC，∠ABC＝76°， ∴∠C＝76°， ∵∠ABC的平分线BD， ∴∠DBC＝×76°＝38°， ∴∠BDC＝180°﹣76°﹣38°＝66°． 【点睛】本题主要考查了基本作图以及三角形内角和定理，正确掌握角平分线的定义是解题关键． 7．（2024·江苏南京·二模）将图形特殊化是发现结论和探索方法的重要途径． 如图，在中，是中线，是边上一点，，作的垂直平分线分别交于点，探究下列问题． 【特殊化】 （1）当点与点重合时， ①在图中，画出此特殊情形的图； ②此情形下，点与点 重合，此时与满足的数量关系为 ． （2）当点与点重合时，在图中，用尺规作出点的位置；（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 【一般化】 （3）当点中，任意两点不重合时，如图，判断（1）问中与所满足的数量关系在此情形下是否仍然成立？说明理由． 【答案】（1）①图见解析；②； （2）作图见解析 （3）成立，理由见解析 【分析】（1）①根据题意，当点与点重合时，由等腰直角三角形判定与性质即可作出图形即可；②由①中所在图形及等腰直角三角形的判定与性质即可得到答案； （2）根据题意，利用基本尺规作图-垂直平分线作出图形即可得到答案； （3）取中点，连接，过点作，垂足为，如图所示，由三角形中位线的判定与性质得到，，进而判断是等腰直角三角形，再由三角形相似的判定与性质利用相似比代值求解即可得到答案． 【详解】解：（1）①点与点重合，在中，是中线，， ，，则， 是等腰直角三角形， 如图所示： ②当点与点重合时， 与重合， 点与点重合， 由①可知，是等腰直角三角形，是中线、高线和顶角平分线， 是等腰直角三角形，且，则， ， 与满足的数量关系为； 故答案为：；； （2）作、的垂直平分线，在两条垂直平分线上,以、中点为圆心,为半径画弧，在两条垂直平分线上的交点分别为,再分别以为圆心，为半径作圆，再以圆和垂直平分线的交点为圆心为半径作圆，交圆于，如图所示： 点即为所求； （3）成立． 证明如下：取中点，连接，过点作，垂足为，如图所示： ∵分别是的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵是的中点， ，则， ∴，即， ∴，即． 【点睛】本题考查作图，涉及等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形性质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线的判定与性质、尺规作图-中垂线、作圆等知识，熟练掌握基本尺规作图准确作出图形是解决问题的关键． 8．（2024·浙江台州·二模）图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，小正方形的顶点称为格点，点，，，均在格点上，用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图． (1)如图，在上找一点，连接，使； (2)如图，在上找一点，连接，使．（此小题保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查的知识点是中位线性质、无刻度直尺作图，解题关键是熟练掌握无刻度直尺作图的方法． （1）根据中位线性质即可得到； （2）用无刻度直尺作垂线即可得到． 【详解】（1）解：如图，点即为所求． 依题得：点是中点， 取中点，连接， 此时是中位线， ， ． （2）解：如图，过中点作的垂线交于点，点即为所求． 此时， 即， 又中，， ． ． 全等三角形 9．（2024·云南文山·二模）如图，已知B、E、F、D在同一直线上，，求证：． 【答案】见解析 【分析】题目主要考查全等三角形的判定，根据题意得出，再由全等三角形的判定定理即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 10．（2024·宁夏吴忠·二模）动手操作 利用旋转开展数学活动，探究图形变换中蕴含的数学思想方法． 如图1，将等腰直角三角形的边绕点B顺时针旋转得到线段，，，连接，过点做交CB延长线于点H． （1）在图1中：易知，则 ； 思考探索 如图2，若为任意直角三角形，、、、分别用a、b、c表示．边绕点B顺时针旋转，得到，过点作，交BC延长线于点． （2）在图2中：的面积为 ； 拓展延伸 （3）如图3，在中，，，，，，连接． ①求的面积； ②在中，在BC边的高上找一点D，使的值最小，求AD的长和的最小值． 【答案】（1）；（2）；（3）①18；②最小值为， 【分析】（1）利用AAS证明，求出，则，问题随之得解； （2）同（1），利用AAS证明，可得，再根据面积公式即可作答； （3）①过点A作AE⊥BC于点E，由勾股定理求出AE的长度，过点作交延长线于点，再证明，可得，，问题随之得解；②由点C是点B关于AE的对称点可知的最小值为线段的长，由勾股定理求出的长，由比例线段求出DE的长，即可得到答案． 【详解】解：（1）由旋转的性质，则，， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． （2）∵， ∴， 又∵， ∵， ∴， 在和中， ∴ ； ∴， ， ， 故答案为：； （3）①过点A作AE⊥BC于点E，如图 ∵，，， ∴， ∴， 过点作交延长线于点， 与（1）（2）同理，可证， ∵， ∴， ∴， 即， 解得，， ∴， 故答案为：； ②∵，， ∴， 在等腰中，，， ∴垂直平分， ∴点C是点B关于的对称点，则， 设与的交点为点D，则此时有最小值，如图： 即的最小值为线段的长度， ； ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴当时，有最小值． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，最短路径问题等知识，是几何变换综合题，证明是解题的关键． 11．（2024·北京门头沟·二模）在中，，，于点D，点E，F分别在上，且，交于点N． (1)如图1，当点E与点A重合时，______； (2)如图2，当点E在边上时， ①依题意补全图2； ②的值是否发生变化，请说明理由． 【答案】(1)2 (2)①见解析；②的值不变，理由见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定： （1）先由三线合一定理得到，再证明是等腰直角三角形，，得到，进而证明，得到，即，据此可得答案； （2）①根据题意作图即可；②如图所示，过点E作，分别交与G、M，证明，得到，，则，再证明，同（1）可证明，则 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：2； （2）解：①补全图形如下所示： ②的值不变，理由如下； 如图所示，过点E作，分别交与G、M， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 同（1）可证明， ∴． 12．（2024·陕西西安·二模）问题探究 （1）如图1，在中，，于点O，过点C作于点D，，，则的长为 ； （2）如图2，在正方形中，点P在对角线上，点M、N分别在边、上，且，求证：； 问题解决 （3）如图3，某地有一块形如正方形的景区，AC是景区内的一条小路，点E、N分别在、上，管理部门欲沿修建一条笔直的观光小路，在与的交汇处P修建休息亭，并沿再修建一条笔直的观光小路，且，设计人员经测算发现只要再满足就可以实现要求．请判断设计人员的方法是否可行（当且时，）？并证明你的结论． 【答案】（1）2；（2）见解析；（3）可行，证明见解析 【分析】（1）利用证明，得到，利用勾股定理求得，据此求解即可； （2）在上去取点Q使得，，利用等腰三角形的判定和性质证明，利用相似三角形的性质即可求解； （3）延长交延长线于点F，，由（2）知，再证明，据此即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 同理，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：2； （2）证明：在上去取点Q使得，如图： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）可行， 证明：延长交延长线于点F，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， ∴． 13．（2024·辽宁沈阳·二模）【问题初探】 （）在数学活动课上，张老师给出如下问题：如图，在中，，，点是边上一点，连接，在右侧作，使，，连接，求证：； 小创同学从与均为等腰直角三角形这个条件出发给出如下解题思路：通过证明，将转化为； 小新同学从结论的角度出发给出另一种解题思路：如图，在线段上截取，连接，通过证明，将转化为；请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （）张老师发现之前两名同学都运用了转化思想，为了帮助学生更好地感悟转化思想，张老师将图进行变换并提出了下面问题，请你解答． 如图，在中，，点是边上一点，连接，在右侧作，使，，连接，过点作交于点，探究与的数量关系； （）如图，在（）的条件下，当时，若，，求的长． 【答案】（）证明见解析；（）；（）． 【分析】（）选择小创同学的解题思路：由等腰直角三角形的性质可得，，，，进而得到，，即可得到，得到，即可求证； 选择小新同学的解题思路：在线段上截取，连接，可得，又根据等腰直角三角形的性质可得，进而得，，由得，得到，即可证明，得到； （）同理（）小新同学的解题思路解答即可求解； （）延长，相交于点，过点作的延长线于点，过点作于，在在线段上截取，连接，过点作于，则，，由得，，，解直角三角形得，，由可得，得到，由得到，得，，设，则，，由得，得，即得，，由（）知，可证，得到，解直角三角形求出，得到，即可求解． 【详解】解：（）选择小创同学的解题思路： ∵，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 选择小新同学的解题思路： 如图，在线段上截取，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即； （）如图，在线段上截取，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， 即； （）如图，延长，相交于点，过点作的延长线于点，过点作于，在线段上截取，连接，过点作于，则，， ∵， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴，， 又由（）知， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又由（）知，， ∴． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形的外角性质和内角和定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，解直角三角形，正确作出辅助线是解题的关键． 三角形相似 14．（2024·陕西西安·二模）如图，在中，分别为的中点，连接为的中点，过点H作，交于点D，连接，则与相似（不含）的三角形个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 由三角形中位线定理可得，可得，由有两组角对应相等的两个三角形相似可证，可得结论． 【详解】解：∵、分别为、的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故选：B． 15．（2024·云南文山·二模）如图，在中，于D，下列条件中，不能使的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查锐角三角函数定义及相似三角形的判定，根据相似三角形的判定方法逐一判断即可． 【详解】解：，， ， ， ， ，故A不符合题意； ，， ， ， ，故B不符合题意； 不能使，故C符合题意； ， ， ， ，故D不符合题意； 故选：C． 16．（2024·江苏南京·二模）已知，△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的面积之比为1：2，当BC=1，对应边EF的长是（ ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方列出比例式，代入数值计算即可得解． 【详解】解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的面积之比为1：2， ∴， 解得BC：EF=1：， ∵BC=1， ∴EF=． 故选A． 17．（2024·河北·二模）手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的，图1中小狗手影就是我们小时候常玩的游戏．在一次游戏中，小明距离墙壁2米，爸爸拿着的光源与小明的距离为4米，如图2所示，若在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度增加一倍，则光源与小明的距离应（    ） A．增加1米 B．减少1米 C．增加2米 D．减少2米 【答案】D 【分析】此题考查了中心投影，相似三角形的判定与性质，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解答问题．根据题意作出图形，然后利用相似三角形的性质构建方程求解即可． 【详解】解：如图，点为光源，表示小明的手，表示小狗手影，则，过点作，延长交于，则，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∵米，米，则米， ∴， ，， ∵在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度增加一倍，如图， 即，，， ∴， 则米， ∴光源与小明的距离减少（米）， 故选：D． 18．（2024·广西防城港·二模）如图，是内一点，连结于各顶点，各顶点分别在边、、、上，且．若的面积为27，则与的面积和为 ． 【答案】. 【分析】根据平行四边形的性质和平行线的性质推出，根据相似三角形的性质得到，同理，，于是得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形与四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理：， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理，， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 19．（2024·河南焦作·二模）如图，把沿着直线向右平移至处，连接，若 ，则点 到的距离是 ． 【答案】 【分析】该题主要考查了平移的性质和相似三角形的性质和判定，解题的关键是证明三角形相似． 根据平移以及算出，证明，根据相似三角形的性质即可求解； 【详解】，， 根据平移可得，， ∴，， ， 作 于点P， 作 于点Q， ， ∴， ∴， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 20．（2024·江苏南京·二模）在中，，、分别是、的点，且． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定； （1）先证明，，即可得证； （2）根据（1）的结论得出，设，，则．得出，即可得证． 【详解】（1）)证明： ， ． ，， ． ． （2） ， ，即．     设，，则． ． ，即． 21．（2024·青海西宁·二模）如图，在矩形中，延长到，延长到，使，，交于点． (1)求证：； (2)过点E作，垂足为点E，交的延长线于点H，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质等知识；熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由矩形的性质得出，，证出，证明，即可得出结论； （2）证明，根据相似三角形的性质即可求出． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ，， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ； （2）解：四边形是矩形， ，，， ， ∴， ， ， ， ，， ， ． 解直角三角形 22．（2024·云南文山·二模）如图，在离地面高度为1.5米的A 处放风筝，风筝线长8米，用测倾仪测得风筝线与水平面的夹角为θ，则风筝线一端的高度 为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用（仰角俯角问题），根据题意作出辅助线，构造直角三角形是解题关键． 过A作，垂足为E，先利用矩形性质得的长，再利用三角函数的定义求出的长度，利用即可得答案． 【详解】解：过A作，垂足为E， 则四边形为矩形， ∴米， 在中，， ∴， ∴米， 故选：A． 23．（2024·北京门头沟·二模）如图所示的网格是正方形网格，点，，是网格线交点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，求正弦，连接，根据勾股定理的逆定理证明是等腰直角三角形，进而即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ 故答案为：． 24．（2024·甘肃平凉·二模）如图，在中，，是的中点，连接，过点作交于点，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，根据勾股定理可知，再根据直角三角形的中线的性质即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴在中，， ∵，， ∴， ∵是的中点， ∴在中，，， ∴的长为， 故答案为：． 25．（2024·浙江台州·二模）如图，在中，，，则的值为 【答案】/ 【分析】本题考查解直角三角形，过点作边的垂线构造出合适的直角三角形是解题的关键． 过点作边的垂线，构造出直角三角形即可解决问题． 【详解】解：过点作边的垂线，垂足为， 在中， ， ， ， ． 在中， ， ． 故答案为：． 26．（2024·江苏南京·二模）如图，在中，是边上一点，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理求线段长，设，在中，由勾股定理得到，过作，如图所示，根据等腰直角三角形的判定与性质，结合勾股定理求出，再由等面积法求出线段，在中由勾股定理列方程求解即可得到答案，设出未知数，灵活运用勾股定理求解是解决问题的关键． 【详解】解：设， 在中，，则， 过作，如图所示： ，， ，则， 设， 在中，，即， 解得，则， ，则，解得， 在中，，即， 即， 解得， 则（负值舍去）， ， 故答案为：． 27．（2024·山东东营·二模）如图，我国航母由西向东航行，到达处时，测得小岛位于它的北偏东方向，且与航母相距海里，再航行一段时间后到达处，测得小岛位于它的西北方向，求此时航母与小岛的距离的长． 【答案】的距离是海里 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—方位角．熟练掌握解三角函数的定义是解题的关键． 如图，过点作于点，由题意得，，在Rt中，，在Rt中，，计算求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点， 由题意得，， 在Rt中，， 在Rt中，， ∴的距离是海里． 28．（2024·辽宁沈阳·二模）某校“综合与实践”活动小组的同学要测量与地面垂直的两栋楼与的高度之差，他们借助无人机设计了如下测量方案：如图，无人机悬停在，两楼之间上方的点O处，此时测出到楼顶部点A处的俯角为，，测出到楼顶部点C处的俯角为，已知两栋楼之间的距离（点A，B，C，D，O在同一平面内）． (1)求点O到楼的距离的长； (2)求两栋楼与的高度之差.（结果精确到） （参考数据：，，，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，等腰三角形的判定： （1）根据直角三角形的性质求得； （2）过C作于H，根据矩形的性质得到，解直角三角形即可得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 答：点O到楼的距离的长为； （2）解：过C作于H，则四边形是矩形， ∴， 在中，∵， ∴， 在中，， ∴两栋楼与的高度之差为． 29．（2024·陕西西安·二模）小林想利用无人机测量某塔（图1）的高度．阳光明媚的一天，该塔倒映在平静的河水中，如图2所示，当无人机飞到点C处时，点C到水平面的高度米，在点C处测得该塔顶端的仰角为．该塔顶端A在水中倒影的俯角为．已知，三点共线，，求该塔的高度．（光线的折射忽略不计．） 【答案】99米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点作，垂足为，根据题意可得：米，，然后设米，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，最后根据，列出关于的方程进行计算，即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为， 由题意得：米，， 设米， 在中，， ∴（米）， 在中，， ∴(米)， ∵， ∴， ， 解得：， (米)， (米)， ∴该塔的高度约为99米． 30．（2024·陕西榆林·二模）某数学兴趣小组测量一栋居民楼高度的活动报告如下： 活动目的 测量居民楼的高度 测量工具 皮尺、测角仪 测量示意图及说明    说明：测量仪、居民棱．点B、E在水平地面上．A、B、C、D、E、F均在同一平面内 测量过程及数据 测量小组在距离居民楼（）处的斜坡上的点D处放置测角仪，测得居民楼楼顶A的仰角为，斜坡的坡度，， 参考数据 ，， 备注 测量过程注意安全 请你根据该兴趣小组的测量结果求出该居民楼的高度． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用．延长交的延长线于点G，过点C作于点H． 则四边形是矩形，根据斜坡的坡度，可得，，从而得到．在中，根据锐角三角函数可得，即可求解． 【详解】解：延长交的延长线于点G，过点C作于点H． 则四边形是矩形，    ，． ∵，坡度， ∴，， ． ， ． 在中，， 即 ，则， ， 该居民楼的高度为． 31．（2024·青海西宁·二模）【探究发现】 （1）如图①，在等边三角形内部有一点P，若．求证：． 请将下列证明过程补充完整： 证明：将绕A点逆时针旋转，得到，连接， ∴__________， ∴，_______， 又∵，∴是等边三角形（_______） ∴，， 又∵，∴， 在中， ___________，即． 【类比延伸】 （2）如图②，在中，，，三角形内部有一点P，若． 求证： （提示：将绕A点逆时针旋转90°，得到，连接） 【联想拓展】 （3）如图③，在中，，，点P在直线上方，且，满足（其中）． 将绕A点顺时针旋转__________°，得到，连接，过点A作，垂足为H，则_________． 【答案】（1）；；有一个角是的等腰三角形是等边三角形；；（2）见解析；（3）； 【分析】（1）根据旋转的性质和勾股定理直接写出即可； （2）将绕点逆时针旋转，得到，连接，论证，再根据勾股定理代换即可； （3）将绕点顺时针旋转得到，连接，过点作，论证，再根据勾股定理代换即可． 【详解】（1）证明：将绕A点逆时针旋转，得到，连接， ∴， ∴，， 又∵，∴是等边三角形（有一个角是的等腰三角形是等边三角形） ∴，， 又∵，∴， 在中， ___________，即． 故答案为：；；有一个角是的等腰三角形是等边三角形；； （2）证明：如图2：将绕A点逆时针旋转，得到，连接， 则为等腰直角三角形， ，，， ， ， ， ； （3）解：如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，过点作于， 可得，，， ， ， ， ， ． 故答案为：；． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题． 32．（2024·广西防城港·二模）如图，小开家所在居民楼，楼底C点的左侧30米处有一个山坡，坡角为，E点处有一个图书馆，山坡坡底到图书馆的距离为40米，在图书馆E点处测得小开家的窗户B点的仰角为，居民楼与山坡的剖面在同一平面内． (1)求的高度；（结果精确到个位，参考数据：≈1．73） (2)某天，小开到家后发现有资料落在图书馆，此时离图书馆闭馆仅剩5分钟，若小开在平地的速度为6m/s，上坡速度为4m/s，电梯速度为1．25m/s，等候电梯及上、下乘客所耽误时间共3分钟，请问小开能否在闭馆前赶到图书馆？ 【答案】(1)的高度约为85米 (2)小开能在闭馆前赶到图书馆 【分析】（1）如图，作于F，作，解直角三角形即可； （2）根据题意，列算式计算出小开到图书馆所用时间即可． 【详解】（1）如图，作于F，作，交延长线于点G， 得矩形， ∴， 根据题意可知：米，，米，， ∴米， ∴（米）， ∴米， ∴米， ∴（米）， 答：BC的高度约为85米； （2）根据题意得：（秒）， ∵， ∴小开能在闭馆前赶到图书馆． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，通过添加辅助线，构造直角三角形是解题的关键． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$