期末复习课（四） 第四章　图形的相似 课件 2023-2024学年北师大版数学九年级上册

总复习　期末复习课 期末复习课（四）　（第四章　图形的相似） 数学 九年级上册 BS版 数学 九年级上册 BS版 知识梳理 典例讲练 目录 CONTENTS 数学 九年级上册 BS版 0 1 知识梳理 1. 成比例线段. （1）比例线段. 在四条线段 a ， b ， c ， d 中，如果 a 与 b 的比 c 与 d 的 比，即 ＝ ，那么这四条线段 a ， b ， c ， d 叫做成比例线段， 简称比例线段. （2）比例的性质. ①如果 ＝ ，那么 ；如果 （ a ， b ， c ， d 都不等于0），那么 ＝ . 等于　 ad ＝ bc 　 ad ＝ bc 　 数学 九年级上册 BS版 返回目录 ②合比性质：如果 ＝ （ a ± b ≠0， c ± d ≠0），那么 ＝ ，且 ＝ . ③等比性质：如果 ＝ ＝…＝ （ b ＋ d ＋…＋ n ≠0），那么 ＝ . 注意：在使用等比性质时，一定注意分为 b ＋ d ＋…＋ n ≠0和 b ＋ d ＋…＋ n ＝0两种情况讨论. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 2. 平行线分线段成比例. 基本图形：（“日”型，“A”型，“X”型） 图1 图2 图3 （1）若 AD ∥ BE ∥ CF （如图1），则 ＝ ； （2）若 BE ∥ CF （如图2、图3），则 ＝ . 数学 九年级上册 BS版 返回目录 3. 相似三角形的判定及性质. （1）相似三角形的判定. ①判定一：两角分别相等的两个三角形相似（最常用的判定）. ②判定二：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. ③判定三：三边成比例的两个三角形相似. ④相似多边形的判定：每个角对应相等，每条边对应成比例的 多边形相似. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 （2）相似三角形（多边形）的性质. ①相似三角形对应 的比、对应 ⁠的比和对 应 的比都等于相似比. ②相似三角形（多边形）的周长比等于 ，面积比等 于 ⁠. 高　 角平分线　 中线　 相似比　 相似比的平方　 数学 九年级上册 BS版 返回目录 4. 相似三角形的几种常见模型. 模型 图形 “平行线”型 “斜交”型（∠1＝∠2） “垂直”型 数学 九年级上册 BS版 返回目录 5. 图形的位似. （1）一般地，如果两个相似多边形任意一组对应顶点 P ， P '所 在的直线都经过同一点 O ，且有 OP '＝ k · OP （ k ≠0），那么这 样的两个多边形叫做 ⁠. （2）位似多边形除具有相似多边形的所有性质外，还具有下列 性质：①对应顶点的连线经过 ；②对应边平行或 在同一条直线上；③对应顶点到位似中心的距离之比等于 ⁠ ⁠. 位似多边形　 位似中心　 相 似比　 数学 九年级上册 BS版 返回目录 数学 九年级上册 BS版 0 2 典例讲练 类型一　成比例问题 如图， AD 是△ ABC 的中线，点 E 是 AD 上的一点，且3 AE ＝ AD ， CE 的延长线交 AB 于点 F . 若 AF ＝12 cm，则 AB ＝ ⁠cm. 60　 数学 九年级上册 BS版 返回目录 【思路导航】过点 D 作 FC 的平行线，可由平行线分线段成比例 得到线段的比值，再结合已知条件就可求得线段 AB 的长. 【解析】如图，过点 D 作 FC 的平行线 DG ，与 AB 交于点 G . ∵ AD 是△ ABC 的中线，根据平行线等分 线段定理（或中位线性质），得 BG ＝ FG . 根据平行线分线段成比例定理，得 AF ∶ AG ＝ AE ∶ AD . ∵ AF ＝12 cm，3 AE ＝ AD ， ∴ AG ＝36 cm.∴ FG ＝36－12＝24（cm）.∴ BG ＝ FG ＝24 cm. ∴ AB ＝ AG ＋ BG ＝36＋24＝60（cm）.故答案为60. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 【点拨】遇到线段比值问题时，首先考虑构造平行线，构造出 “A”型、“X”型斜交型或“垂直”型，再根据平行线分线段 成比例求出线段的长.同时，一些特殊位置点，例如中点，是中 考填空题常考内容.我们要学会联想中点在解决几何问题中的两 个重要内容：分线段长（中位线）和面积. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 1. 如图，已知直线 a ， b 被三条互相平行的直线 l1， l2， l3所截， AB ＝3， BC ＝2，则 DE ∶ DF ＝ ⁠. （第1题图） 3 ∶5　 数学 九年级上册 BS版 返回目录 2. 如图，在等腰三角形 ABC 中， AB ＝ AC ，点 P 在 BC 边上的高 AD 上，且2 AP ＝ PD ， BP 的延长线交 AC 于点 E . 若 S△ ABC ＝ 10，则 S△ ABE ＝ ， S△ DEC ＝ ⁠. （第2题图） 2　 4　 数学 九年级上册 BS版 返回目录 【解析】如图，取 EC 的中点 F ，连接 DF . ∵ AB ＝ AC ， AD 为 BC 边上的高，∴点 D 为 BC 的中点.∵点 F 为 EC 的中点，∴ DF ∥ BE ，即 DF ∥ PE . ∴ ＝ ＝ ＝ .∴ ＝ .∴ ＝ ＝ .∴ S△ ABE ＝ S△ ABC ＝ ×10＝2. ∴ S△ BEC ＝ S△ ABC － S△ ABE ＝10－2＝8. 又∵点 D 为 BC 的中点，∴ S△ DEC ＝ S△ BEC ＝ ×8＝4.故答案为2，4. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 类型二　相似三角形的判定与性质 如图，在△ ABC 中， AC ＝12， AB ＝15， BC ＝18，点 D 是 BC 边上一点， AC2＝ BC · CD ，连接 AD ，点 E ， F 分别是 BC ， AB 上的点（点 F 不与点 A ， B 重合），∠ CFE ＝∠ B ， CF 与 AD 相交于点 G . （1）求 AD ， BD 的长； （2）求证：△ BEF ∽△ AFG . 数学 九年级上册 BS版 返回目录 【思路导航】（1）由 AC2＝ BC · CD ，可求得 CD 的长，进而可 求得 BD 的长，再证明△ ABC ∽△ DAC ，由相似三角形的性质 可求出 AD 的长；（2）由（1）可得∠ B ＝∠ BAD ，再根据已知 条件证明∠ BEF ＝∠ AFG ，即可证明△ BEF ∽△ AFG . 数学 九年级上册 BS版 返回目录 （1）解：∵ AC2＝ BC · CD ，∴ ＝ ， CD ＝ . ∵ AC ＝12， BC ＝18，∴ CD ＝ ＝8. ∴ BD ＝ BC － CD ＝18－8＝10. ∵∠ ACB ＝∠ DCA ， ＝ ， ∴△ ABC ∽△ DAC . ∴ ＝ . ∴ ＝ .∴ AD ＝10. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 （2）证明：由（1）可知， AD ＝ BD ＝10. ∴∠ B ＝∠ BAD . ∵∠ BEF ＋∠ B ＝∠ AFG ＋∠ CFE ， ∠ B ＝∠ CFE ，∴∠ BEF ＝∠ AFG . ∴△ BEF ∽△ AFG . 【点拨】在几何解答题中，若题目中出现乘积式，则应该想到 的是相似三角形的性质；若又含有平方，则考虑存在共边，即 子母型相似，再从图形入手. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 1. 如图，在平行四边形 ABCD 中，已知点 E 在 DA 的延长线上， 且 AE ＝ AD ，连接 CE ，交 BD 于点 F ，交 AB 于点 G ，则 S△ BGC ∶ S四边形 AGCD 的值是 ⁠. 　 数学 九年级上册 BS版 返回目录 2. 如图，在Rt△ ABC 中，已知∠ A ＝90°， AB ＝20 cm， AC ＝ 15 cm，在这个直角三角形内有一个内接正方形，正方形的一边 FG 在边 BC 上，另两个顶点 E ， H 分别在边 AB ， AC 上. （1）求△ ABC 的 BC 边上的高； 数学 九年级上册 BS版 返回目录 解：（1）如答图，过点 A 作 AD ⊥ BC 于点 D ，交 EH 于点 O . 在Rt△ ABC 中，∠ A ＝90°， AB ＝20 cm， AC ＝15 cm， ∴ BC ＝ ＝ ＝25（cm）. ∵ S△ ABC ＝ BC · AD ＝ AB · AC ， ∴ AD ＝ ＝ ＝12（cm）， 即△ ABC 的 BC 边上的高为12 cm. 答图 数学 九年级上册 BS版 返回目录 （2）求正方形 EFGH 的边长. 解：（2）设正方形 EFGH 的边长为 x cm. ∵四边形 EFGH 是正方形，∴ EH ∥ BC . ∴∠ AEH ＝∠ B ，∠ AHE ＝∠ C . ∴△ AEH ∽△ ABC . ∴ ＝ ，即 ＝ . 解得 x ＝ ，即正方形 EFGH 的边长为 cm. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 类型三　相似三角形的实际应用 如图，某水平地面上建筑物的高度为 AB ，在点 D 和点 F 处 分别竖立高是2 m的标杆 CD 和 EF ，两标杆相隔8 m，并且建筑 物 AB 、标杆 CD 和 EF 在同一竖直平面内.从标杆 CD 后退2 m到 点 G 处，在点 G 处测得建筑物顶端 A 和标杆顶端 C 在同一条直线 上；从标杆 EF 后退4 m到点 H 处，在点 H 处测得建筑物顶端 A 和标杆顶端 E 在同一条直线上.求建筑物 AB 的高度. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 【思路导航】由已知条件得到 AB ∥ CD ∥ EF ，于是有△ CDG ∽△ ABG ，△ EFH ∽△ ABH ，再利用相似三角形对应边成比例 的性质即可计算出 AB 的长度. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 解：∵ AB ⊥ BH ， CD ⊥ BH ， EF ⊥ BH ， ∴ AB ∥ CD ∥ EF . ∴△ CDG ∽△ ABG ，△ EFH ∽△ ABH . ∴ ＝ ， ＝ . ∵ CD ＝ DG ＝ EF ＝2 m， DF ＝8 m， FH ＝4 m， ∴ ＝ ， ＝ . 数学 九年级上册 BS版 返回目录 ∴ ＝ . ∴ BD ＝8 m. ∴ AB ＝10 m， 即建筑物 AB 的高度是10 m. 【点拨】构造相似三角形，利用其性质解决问题. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 如图，一电线杆 AB 的影子分别落在了地上和墙上.同一时刻， 小明竖起1 m高的直杆 MN ，量得其影长 MF 为0.5 m.量得电线杆 AB 落在地上的影子 BD 长3 m，落在墙上的影子 CD 的高为2 m. 你能利用小明测量的数据计算出电线杆 AB 的高吗？ 数学 九年级上册 BS版 返回目录 解：如答图，过点 C 作 CG ⊥ AB 于点 G ， 则 GC ＝ BD ＝3 m， GB ＝ CD ＝2 m. ∵∠ NMF ＝∠ AGC ＝90°， NF ∥ AC ， ∴∠ NFM ＝∠ ACG . ∴△ NMF ∽△ AGC . ∴ ＝ ，即 ＝ . ∴ AG ＝6 m. ∴ AB ＝ AG ＋ GB ＝6＋2＝8（m）. 答图 故电线杆 AB 的高为8 m. 答图 数学 九年级上册 BS版 返回目录 类型四　图形的位似 如图， 在△ ABC 中， 已知 A ， B 两个顶点在 x 轴的上方， 点 C 的坐标是（1， 0），以点 C 为位似中心，在 x 轴的下方作 △ ABC 的位似图形△ A ' B ' C ，使它与△ ABC 的相似比为2∶1.设 点 B 的横坐标是 a ，则点 B 的对应点 B '的横坐标是 ⁠. －2 a ＋3　 数学 九年级上册 BS版 返回目录 【思路导航】设点 B '的横坐标为 x ，表示出 BC ， B ' C 的水平距 离，再根据相似比列式计算即可. 【解析】设点 B '的横坐标为 x ，则点 B ， C 间的水平距离为 a － 1， 点 B '， C 间的水平距离为－ x ＋1.∵△ A ' B ' C 与△ ABC 的相 似比为2∶1，∴2（ a －1）＝－ x ＋1.解得 x ＝－2 a ＋3.故答案 为－2 a ＋3. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 【点拨】在位似变换与坐标问题中，关键在于熟练运用数形结 合法，会在数与图之间转换.如此题中，将相似比为2∶1转化为 B ' C ＝2 BC ，又转化为点 B '， C 的水平距离为点 B ， C 水平距离 的2倍，最后转化为坐标之间的关系（等式）. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格图中，已 知点 O 及△ ABC 的顶点均为网格线的交点. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 （1）在给定网格中，以点 O 为位似中心，将△ ABC 放大，得到 △ A ' B ' C '，使 A ' C '＝3 AC . 请画出△ A ' B ' C '； （1） 解：如图，△ A ' B ' C '即为 所求. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 （2） B ' C '的长度为 ，△ A ' B ' C '的面积为 ⁠. （2）【解析】如图， B ' C '＝ ＝3 .∵ A ' C '＝3， A ' B '＝ 6，∴△ A ' B ' C '的面积为 ×3×6＝ 9.故答案为3 ，9. 3 　 9　 数学 九年级上册 BS版 返回目录 类型五　相似三角形中的等积式 如图，已知四边形 ABCD 是平行四边形， AE ⊥ BC 于点 E ， AF ⊥ CD 于点 F . 求证： （1）△ ABE ∽△ ADF ； （2） CD · EF ＝ AC · AE . 数学 九年级上册 BS版 返回目录 【思路导航】（1）由平行四边形对角相等及 AE ⊥ BC ， AF ⊥ CD 即可证明；（2）要证 CD · EF ＝ AC · AE ，即证 ＝ ，转 化为证△ ABC ∽△ EAF ，可根据“两边成比例且夹角相等”来 证明，由（1）△ ABE ∽△ ADF ，可得对应边成比例，从而在 △ ABC 和△ EAF 中证明结论. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 证明：（1）∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴∠ B ＝∠ D . ∵ AE ⊥ BC ， AF ⊥ CD ， ∴∠ AEB ＝∠ AFD ＝90°. ∴△ ABE ∽△ ADF . 数学 九年级上册 BS版 返回目录 （2）∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ BC ＝ AD ， AB ＝ CD ， AB ∥ CD . ∴∠ BAF ＝∠ AFD ＝90°.由（1）可知， △ ABE ∽△ ADF ，∴ ＝ .∴ ＝ ， 即 ＝ .∵∠ BAE ＋∠ B ＝90°， ∠ BAE ＋∠ EAF ＝∠ BAF ＝90°，∴∠ B ＝∠ EAF . ∴△ ABC ∽△ EAF . ∴ ＝ . ∴ ＝ .∴ CD · EF ＝ AC · AE . 数学 九年级上册 BS版 返回目录 【点拨】证明等积式时，先将等积式化为比例式，再根据比例 式“横看”或“竖看”找到要证明的两个相似三角形.有时根据 比例式不能直接找到相似三角形，可能需要等线段替换或等比 替换，这需要多次尝试. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 如图，在▱ ABCD 中，已知对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，点 E 是 DB 延长线上的一点，且 EA ＝ EC ，分别延长 AD ， EC 交于点 F . （1）求证：四边形 ABCD 是菱形； 证明：（1）∵四边形 ABCD 是平行四边 形，∴ OA ＝ OC . 又∵ EA ＝ EC ， ∴ EO ⊥ AC ，即 BD ⊥ AC . ∴▱ ABCD 是菱形. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 （2）若∠ AEC ＝2∠ BAC ，求证： CE · CF ＝ AF · AD . 证明：（2）∵ EA ＝ EC ， EO ⊥ AC ， ∴∠ AEB ＝∠ CEB ＝ ∠ AEC . ∵四边形 ABCD 是菱形， ∠ AEC ＝2∠ BAC ， ∴∠ AEB ＝∠ CEB ＝∠ BAC ＝∠ BCA ＝∠DAC ＝∠ DCA . ∴∠ CDF ＝∠ DAC ＋∠ DCA ＝∠ AEF . 又∵∠ F ＝∠ F ， 数学 九年级上册 BS版 返回目录 ∴△ FCD ∽△ FAE . ∴ ＝ . ∵ CD ＝ AD ， AE ＝ CE ， ∴ ＝ ，即 CE · CF ＝ AF · AD . 数学 九年级上册 BS版 返回目录 类型六　相似三角形中的动点问题 如图，已知正方形 ABCD 的边长是1，点 P 是 CD 的中点，点 Q 是线段 BC 上一动点.当 BQ 的长度为多少时，以点 A ， D ， P 为顶点的三角形与以点 Q ， C ， P 为顶点的三角形相似？ 数学 九年级上册 BS版 返回目录 【思路导航】只知点 D 和点 C 是对应点，应分 DP 与 PC 是对应 边和 DP 与 CQ 是对应边进行讨论，分别求出 CQ 的长度，进而 求出 BQ 的长度. 解：∵正方形 ABCD 的边长是1，点 P 是 CD 的中点， ∴ PD ＝ PC ＝ . ①当 DP 与 PC 是对应边时， ＝ ，即 ＝ .解得 CQ ＝1. ∴ BQ ＝ BC － CQ ＝1－1＝0. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 ②当 DP 与 CQ 是对应边时， ＝ ，即 ＝ . 解得 CQ ＝ . ∴ BQ ＝ BC － CQ ＝1－ ＝ . 综上所述，当 BQ 的长度是0或 时，以点 A ， D ， P 为顶点的三 角形与以点 Q ， C ， P 为顶点的三角形相似. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 【点拨】（1）解决相似三角形中的动点问题，主要用到“对应 边成比例”，则设合适的未知数，得到比例方程是关键；（2） 若相似三角形没有明确给出相似符号“∽”，则需要分类讨 论，做到不重不漏；（3）若涉及分式方程，最后要检验是否为 增根，方程的解是否符合题意，这是易错点. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 如图，在△ ABC 中， AB ＝6 cm， AC ＝12 cm，动点 M 从点 A 出 发，以1 cm/s的速度向点 B 运动，动点 N 从点 C 出发，以2 cm/s 的速度向点 A 运动.若两点同时运动，是否存在某一时刻 t （s），使得以点 A ， M ， N 为顶点的三角形与△ ABC 相似？若 存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 解：存在. 设经过 t s时，△ AMN 与△ ABC 相似，此时， AM ＝ t cm， CN ＝ 2 t cm， AN ＝（12－2 t ）cm（0≤ t ≤6）. ①当∠ AMN ＝∠ B 时，△ AMN ∽△ ABC . 则 ＝ ，即 ＝ .解得 t ＝3； 数学 九年级上册 BS版 返回目录 ②当∠ AMN ＝∠ C 时，△ ANM ∽△ ABC . 则 ＝ ，即 ＝ .解得 t ＝4.8. 综上所述，当 t ＝3或4.8时，以点 A ， M ， N 为顶点的三角形与 △ ABC 相似. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 演示完毕 谢谢观看 数学 九年级上册 BS版 $$