专题03 函数-【好题汇编】2024年中考数学二模试题分类汇编（全国通用）

专题03 函数 ①一次函数 ②反比例函数 ③二次函数 一次函数 1．（2024·甘肃平凉·二模）如图，一次函数（为常数且）和的图象相交于点，根据图象可知关于的方程的解是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·宁夏吴忠·二模）如图，在平面直角坐标系中，轴，轴，点A在直线上，点B的坐标是，，，，将先向左平移2个单位长度，再向上平移个单位长度，此时点B恰好落在直线上，则的值是 ． 3．（2024·河北·二模）如图，已知抛物线，直线，下列判断中： ①当或时，；    ②当或时，； ③当时随x的增大而增大；     ④使的x的值有3个． 其中正确的个数有（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2024·青海西宁·二模）如图，直线与相交于点，则关于x的不等式的解集是 ． 5．（2024·浙江台州·二模）当时，直线（m为常数，）在直线的上方，则m的取值范围为 ． 6．（2024·辽宁沈阳·二模）某超市的消费卡做促销活动．消费卡售价y（元）与面值x（元）之间满足一次函数关系，其图象经过原点和点A，如图所示，小张购买了该超市的一张面值是1000元的消费卡．使用这张消费卡，在该超市可以购买任意商品． (1)求小张购买这张消费卡实际花费的钱数为多少元； (2)小张使用这张消费卡在该超市购买了某种大米20公斤，超市规定这种大米使用消费卡购买，每公斤在原价的基础上还可以优惠元．设小张购买的大米原价为m元/公斤，小张购买的20公斤大米实际花费的钱数为w元，求w与m的函数关系式． 7．（2024·陕西西安·二模）【情境描述】 古人没有钟表，大多数时候，他们是以香燃烧的时间长短，来计量时刻的．实际上由于环境、风力、香的长短、香料干湿等诸多因素，一炷香的燃烧时间并不完全相同，但一般约为半个时辰，即一个小时．综合实践小组欲探究香燃烧时剩余长度与燃烧时间的关系． 【观察发现】 小组成员准备了一柱长为的香，测量后发现，香燃烧时剩余长度随着燃烧时间的变化而变化，每燃烧一分钟，香的长度就减少． 【建立模型】 （1）若用()表示香燃烧时剩余长度，用(分)表示燃烧时间，请根据上述信息，求关于的函数表达式，并在图中画出部分函数图象； 【解决问题】 （2）请你帮该小组算一算，经过多长时间，这柱香恰好燃烧完？ 8．（2024·云南文山·二模）根据以下素材，探索完成任务． 【素材1】某水果店购进某种橙子，保质期为30天，每箱橙子的售价为100 元． 【素材2】由于橙子需要冷藏保存，因此成本也会逐日增加，设第x天的销售量为m，m与x之间的关系如表： 第x天 销售量 m/箱 15 【素材3】每箱橙子的成本为y元，y与x的函数关系如图所示． (1)求每箱橙子的成本y（元）与x的函数表达式； (2)若每天的销售利润为 W元，求W与x的函数表达式，并求出第几天时当天的销售利润最大？最大销售利润是多少元？ 9．（2024·北京门头沟·二模）对于关于的一次函数，我们称函数为一次函数的级衍生函数（其中为常数）． 例如，的级衍生函数为：当时，；当时，． (1)如果的级衍生函数为， ①当时，______； ②当时，______． (2)如果的级衍生函数为，求双曲线与的图像的交点坐标； (3)如果以点为圆心，为半径的与的级衍生函数的图像有交点，直接写出的取值范围． 反比例函数 10．（2024·河北·二模）已知通过电阻的电流和电阻两端电压满足关系式，如图所示的四个点分别描述甲、乙、丙、丁四个电阻在不同电路中通过该电阻的电流与该电阻阻值的情况，其中描述甲、丙两个电阻的情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，则这四个电阻两端的电压最大的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 11．（2024·宁夏吴忠·二模）一次函数y=ax+b和反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数y=ax2+bx+c的图象大致为（ ） A． B． C． D． 12．（2024·云南文山·二模）如图，在平面直角坐标系中，点 P 在反比例函数的图象上，过点 P 作轴于点A，点 B是 的中点，连接，则的面积为（     ） A．2.5 B．5 C．10 D．15 13．（2024·陕西临潼·二模）若点、在同一个反比例函数的图象上，则n的值为 ． 14．（2024·辽宁沈阳·二模）将点沿轴向右平移个单位，平移后的点恰好在反比例函数的图象上，则常数的值为 ． 15．（2024·广东揭阳·二模）如图，与位于平面直角坐标系中，，，，若，反比例函数恰好经过点C，则 ． 16．（2024·江苏南京·二模）如图，反比例函数y=的图象经过△ABO的顶点A，点D是OA的中点，若反比例函数y=的图象经过点D，则k的值为 ． 17．（2024·宁夏吴忠·二模）如图，正方形OAPB的顶点A，B分别在x轴和y轴上，矩形OCQD的顶点C，D分别在 边OA和y轴上，反比例函数的图像经过P，Q两点，BP，CQ交于点E．若四边形BDQE的面积为4，则点Q的坐标为 ． 18．（2024·青海西宁·二模）如图，△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°，∠ABO＝30°，点A在反比例函数y＝的图象上，若点B在反比例函数y＝的图象上，则k＝ ． 19．（2024·宁夏吴忠·二模）大约在两千四五百年前，如图①墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图②，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y（单位：cm）是物距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：cm）的反比例函数，当时，． (1)求y关于x的函数表达式； (2)若小孔到蜡烛的距离为，求火焰的像高； (3)若火焰的像高不得超过，求小孔到蜡烛的距离至少是多少厘米？ 20．（2024·北京门头沟·二模）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象过点． (1)求k的值； (2)一次函数的图象过，与的图象交于两点，两函数图象交点之间的部分组成的封闭图形称作图象“”，该图象内横纵坐标均为整数的点称为“区域点”（不含边界）； ①当一次函数图象过时，存在______个“区域点”； ②如果“区域点”的个数为3个，画出示意图，直接写出a的取值范围． 二次函数 21．（2024·青海西宁·二模）要将抛物线y=x2+2x+3平移后得到抛物线y=x2,下列平移方法正确的是(　　) A．向左平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度 B．向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度 C．向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度 D．向右平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度 22．（2024·青海西宁·二模）如图1，在正方形中，，动点M，N分别从点A，B同时出发，沿射线，射线的方向匀速运动，且速度相等，连接．设点M运动的路程为，的面积为S，则S与x之间的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 23．（2024·青海西宁·二模）无论x取何实数时，二次函数的值始终为正数，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 24．（2024·陕西西安·二模）已知抛物线 (n为常数)，当时，其对应的函数值最大为，则n的值为（    ） A．或7 B．1 或7 C．4 D． 或4 25．（2024·浙江台州·二模）已知二次函数（为常数，）的最小值分别为，（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 26．（2024·江苏南京·二模）如图，在水平向右为轴正方向，竖直向上为轴正方向的坐标系中标记了个格点，已知网格的单位长度为，若二次函数的图像经过其中的个格点，则的最大值为(    ) A． B．1 C． D． 27．（2024·辽宁沈阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴的一个交点坐标是，对称轴为直线，则这个二次函数图象与x轴另一个交点的坐标是 ． 28．（2024·北京门头沟·二模）某函数图象满足过点，且当时，y随x的增大而增大，写出一个满足条件的表达式 ． 29．（2024·宁夏吴忠·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于，，与y轴相交于点C，连接．    (1)求抛物线的解析式； (2)这个抛物线的顶点为P，连接，求的面积； (3)点D为第一象限内抛物线上一个动点，过点D作轴交于点E．请求出的最大值及此时点D的坐标． 30．（2024·云南文山·二模）已知抛物线 （a，c为常数，）经过点，顶点为D． (1)当时，求该抛物线的顶点坐标； (2)将点向左平移4个单位得到点 H，连接，若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围． 31．（2024·陕西临潼·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线、为常数．且经过点，交轴于点、在的左侧），其顶点的横坐标为2． (1)求抛物线的函数表达式； (2)将抛物线向左平移2个单位长度后得到抛物线，为抛物线上的动点，点为抛物线的对称轴上的动点，请问是否存在以、、、为顶点且以为边的四边形是平行四边形？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 32．（2024·北京门头沟·二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线的经过点，将点A向左平移4个单位长度，得到点B，点B在抛物线上． (1)求抛物线的对称轴； (2)点B的纵坐标为时，求a的值； (3)已知点，．若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围． 33．（2024·山东东营·二模）如图，已知抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是第四象限内抛物线上的一个动点（与点不重合），过点作轴于点，交直线于点，连接，若，求出点的坐标． (3)为拋物线上一动点，是否存在点，使得以点为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请直接写出两点的坐标；若不存在，请说明理由． 34．（2024·甘肃平凉·二模）如图，抛物线与x轴交于点、两点，与y轴交于点C，点D是x轴负半轴上一点，，连接． (1)求抛物线的函数表达式； (2)请在图1中将线段向右平移至点D与点A重合，平移后对应线段所在直线交抛物线于点E，连接，判断四边形的形状，并说明理由； (3)在（2）的条件下，如图2，连接，交y轴于点P，过点P作于点M，点N从E点向D点运动，连接、，求周长的最小值． 35．（2024·河南焦作·二模）已知抛物线的顶点为D． (1)若抛物线经过原点，求a的值及顶点D的坐标； (2)在（1）的条件下，把时函数的图象记为，将图象绕原点旋转，得到新图象，设图象与图象组合成的图象为． ①图象的解析式 （写出自变量的取值范围）； ②若直线与图象M有3个交点，请直接写出m的取值范围． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 函数 ①一次函数 ②反比例函数 ③二次函数 一次函数 1．（2024·甘肃平凉·二模）如图，一次函数（为常数且）和的图象相交于点，根据图象可知关于的方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数图象的交点问题，一次函数与一元一次方程．根据图象，两直线的交点的纵坐标为4，将其代入得即可． 【详解】解：由图象知，两直线的交点的纵坐标为4，将其代入得． 故选：A． 2．（2024·宁夏吴忠·二模）如图，在平面直角坐标系中，轴，轴，点A在直线上，点B的坐标是，，，，将先向左平移2个单位长度，再向上平移个单位长度，此时点B恰好落在直线上，则的值是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了一次函数解析式，点坐标的平移．熟练掌握一次函数解析式，点坐标的平移是解题的关键． 由题意知，将代入，可求，即，点平移后的点坐标为，将代入得，，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，，即， 将代入得，， 解得，， ∴， 点平移后的点坐标为，即， 将代入得，， 解得，， 故答案为：6． 3．（2024·河北·二模）如图，已知抛物线，直线，下列判断中： ①当或时，；    ②当或时，； ③当时随x的增大而增大；     ④使的x的值有3个． 其中正确的个数有（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由图知：抛物线与直线交于和，由此可判断①正确；求出，将和代入求值即可判断②正确；由，根据二次函数的增减性可判断③错误；由得，则可得或．根据一元二次方程根的判别式即可判断④错误． 【详解】由图知：抛物线与直线交于和， 当或时，； 故①正确； 当时，， 当时， ， 故②正确； ，开口向下，对称轴为， ∴当时随x的增大而减小；    故③错误； 由得， ∴或． 由得， ∵， ∴此方程无解； 由得， ∵， ∴此方程由两个不相等的实数根． ∴使的x的值有2个， 故④错误； 综上，正确的有2个， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了二次函数与一次函数综合以及函数增减性等知识，正确利用数形结合得出是解题关键． 4．（2024·青海西宁·二模）如图，直线与相交于点，则关于x的不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式．利用求得P点的坐标，以两函数图象交点为分界，直线在直线的上方时，． 【详解】解：∵点在直线上， ∴，即， ∴， 根据图象可得：关于x的不等式的解集是：， 故答案为：． 5．（2024·浙江台州·二模）当时，直线（m为常数，）在直线的上方，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，求得一次函数过点1的函数值，再把点代入，求得对应的m的值，再结合一次函数的性质即可求解． 【详解】解：把代入， 把点代入， 求得：， ∵当时，对于x的每一个值函数的值大于一次函数的值， ∴， 故答案为：． 6．（2024·辽宁沈阳·二模）某超市的消费卡做促销活动．消费卡售价y（元）与面值x（元）之间满足一次函数关系，其图象经过原点和点A，如图所示，小张购买了该超市的一张面值是1000元的消费卡．使用这张消费卡，在该超市可以购买任意商品． (1)求小张购买这张消费卡实际花费的钱数为多少元； (2)小张使用这张消费卡在该超市购买了某种大米20公斤，超市规定这种大米使用消费卡购买，每公斤在原价的基础上还可以优惠元．设小张购买的大米原价为m元/公斤，小张购买的20公斤大米实际花费的钱数为w元，求w与m的函数关系式． 【答案】(1)小张购买这张消费卡实际花费的钱数为850元； (2) 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用： （1）设，把代入中，利用待定系数法求出对应的解析式，进而求出当时，y的值即可得到答案； （2）先求出大米实际的单价，再乘以20即可得到答案． 【详解】（1）解：设， 把代入中得：， 解得， ∴， 当时，， 答：小张购买这张消费卡实际花费的钱数为850元； （2）解：由题意得，． 7．（2024·陕西西安·二模）【情境描述】 古人没有钟表，大多数时候，他们是以香燃烧的时间长短，来计量时刻的．实际上由于环境、风力、香的长短、香料干湿等诸多因素，一炷香的燃烧时间并不完全相同，但一般约为半个时辰，即一个小时．综合实践小组欲探究香燃烧时剩余长度与燃烧时间的关系． 【观察发现】 小组成员准备了一柱长为的香，测量后发现，香燃烧时剩余长度随着燃烧时间的变化而变化，每燃烧一分钟，香的长度就减少． 【建立模型】 （1）若用()表示香燃烧时剩余长度，用(分)表示燃烧时间，请根据上述信息，求关于的函数表达式，并在图中画出部分函数图象； 【解决问题】 （2）请你帮该小组算一算，经过多长时间，这柱香恰好燃烧完？ 【答案】（1）；作图见解析；（2）经过分钟这柱香恰好燃烧完． 【分析】本题考查了一次函数的应用问题． （1）其剩余长度与燃烧时间之间是一次函数关系，根据所给数据直接给出答案即可； （2）蜡燃烧完时，即，代入求解即可． 【详解】解：（1）依题意，剩余长度与燃烧时间之间的关系为：， 当时，， 当时，， 如图所示， （2）根据函数的关系式可以看出剩余长度随着燃烧时间的增加而变短， 当时，， ， 所以经过分钟这柱香恰好燃烧完． 8．（2024·云南文山·二模）根据以下素材，探索完成任务． 【素材1】某水果店购进某种橙子，保质期为30天，每箱橙子的售价为100 元． 【素材2】由于橙子需要冷藏保存，因此成本也会逐日增加，设第x天的销售量为m，m与x之间的关系如表： 第x天 销售量 m/箱 15 【素材3】每箱橙子的成本为y元，y与x的函数关系如图所示． (1)求每箱橙子的成本y（元）与x的函数表达式； (2)若每天的销售利润为 W元，求W与x的函数表达式，并求出第几天时当天的销售利润最大？最大销售利润是多少元？ 【答案】(1) (2)第20天时，当天的销售利润最大，最大销售利润是600元． 【分析】本题主要考查一次函数、二次函数与销售，利润的计算问题，掌握一次函数图象，二次函数图象的性质，增减性是解题的关键． （1）根据题意，设与的函数表达式为，运用待定系数法即可求解； （2）分类讨论，当时，根据一次函数图象的性质即可求解；当时，根据二次函数图象的性质即可求解． 【详解】（1）解：设y与x的函数表达式为， 把和分别代入得： ， 解得： ， ∴y与x的函数表达式为． （2）当时， ， ∵， ∴W随x的增大而减小， ∴当时， ， 当时， ， ∵不在范围内，当时，W随x的增大而减小， ∴当时，， ∵， ∴第20天时，当天的销售利润最大，最大销售利润是600元． 9．（2024·北京门头沟·二模）对于关于的一次函数，我们称函数为一次函数的级衍生函数（其中为常数）． 例如，的级衍生函数为：当时，；当时，． (1)如果的级衍生函数为， ①当时，______； ②当时，______． (2)如果的级衍生函数为，求双曲线与的图像的交点坐标； (3)如果以点为圆心，为半径的与的级衍生函数的图像有交点，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①4；② (2)和 (3)或 【分析】（1）根据定义可得，①当时，代入计算即可；②当时，分两种情况分别求解：当时和当时，再根据的取值范围作进一步判断； （2）根据定义可得再分两种情况分别建立联立方程组求解即可： （3）根据题意可得，如图，直线与轴于点，与轴于点，过点作于点，确定，，，，得到，，设沿轴正方向移动，再分两种情况进行讨论：①当时，如图，当点刚好在上时，过点作轴于点，连接；如图，当与直线相切时，设切点为，连接；②时，如图，当点刚好在上时，过点作轴于点，连接；如图，当与直线相切时，设切点为，连接，设直线交轴于点，可得结论． 【详解】（1）解：∵的级衍生函数为， ∴， ①当时，， 故答案为：； ②当时， 当时，得：，解得：， 当时，得：，解得：（舍去）， 故答案为：； （2）∵的级衍生函数为， ∴ 当时， 联立方程组， ∴， ∵， ∴方程无解，即方程组无解， 此时两个函数图像之间没有交点； 当时， 联立方程组， 解得：或， ∴双曲线与的图像的交点坐标是和； （3）∵的级衍生函数为， ∴ 如图，直线与轴于点，与轴于点， 当时，得：；当时，得：；当时，得：， ∴，，， 当时，得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵以点为圆心，为半径的与的级衍生函数的图像有交点， 设沿轴正方向移动， ①当时， 如图，当点刚好在上时，过点作轴于点，连接， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴此时； 如图，当与直线相切时，设切点为，连接， ∴，， 在中，， ∴， ∴此时， ∴的取值范围是； ②时， 如图，当点刚好在上时，过点作轴于点，连接， ∴，，， ∴， ∴， ∴此时； 如图，当与直线相切时，设切点为，连接，设直线交轴于点， ∴，， 对于直线， 当时，得：；当时，得：， ∴，且在直线上， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴此时， ∴的取值范围是； 综上所述，的取值范围是或． 【点睛】本题考查函数的新定义，函数图像上点的坐标特征，一次函数与反比例函数图像的交点，点和圆的位置关系，切线的性质，等边对等角，解直角三角形等知识点，运用了分类讨论的思想．掌握函数图像交点坐标的确定方法，点和圆的位置关系，直线和圆的位置关系，解直角三角形是解题的关键． 反比例函数 10．（2024·河北·二模）已知通过电阻的电流和电阻两端电压满足关系式，如图所示的四个点分别描述甲、乙、丙、丁四个电阻在不同电路中通过该电阻的电流与该电阻阻值的情况，其中描述甲、丙两个电阻的情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，则这四个电阻两端的电压最大的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据反比例函数的几何意义，即可求解． 【详解】解：∵甲、丙两个电阻的情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，设反比例函数为, ∴甲、丙两个电阻的电压相等， 如图所示，设丁所表示的点为，点在反比例数上，则点与甲、丙的电阻的电压相等， 根据反比例函数的几何意义，矩形的面积小于的面积，即丁的电压大于的电压，    故选：D． 11．（2024·宁夏吴忠·二模）一次函数y=ax+b和反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数y=ax2+bx+c的图象大致为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由图可知：，所以，二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下，排除D，由c＞0，排除A，对称轴＞0，所以，排除B， 故选：C． 【点睛】本题考查一次函数、二次函数、反比函数的图象及其性质． 12．（2024·云南文山·二模）如图，在平面直角坐标系中，点 P 在反比例函数的图象上，过点 P 作轴于点A，点 B是 的中点，连接，则的面积为（     ） A．2.5 B．5 C．10 D．15 【答案】A 【分析】此题考查了反比例函数比例系数的几何意义，根据点 P 在反比例函数的图象上， 轴得，利用中线平分三角形面积得到，正确理解反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键 【详解】解：∵点 P 在反比例函数的图象上，过点 P 作 轴于点A， ∴， ∵点 B是 的中点， ∴， 故选：A 13．（2024·陕西临潼·二模）若点、在同一个反比例函数的图象上，则n的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了反比例函数．根据两个点的横纵坐标的积相等，等于反比例函数的系数解答． 【详解】解：点、在同一个反比例函数的图象上， ， 解得， 故答案为：． 14．（2024·辽宁沈阳·二模）将点沿轴向右平移个单位，平移后的点恰好在反比例函数的图象上，则常数的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的平移，反比例函数图象上点的坐标特征，根据平移的性质求出平移后点的坐标，再把平移后点的坐标代入反比例函数解析式计算即可求解，掌握平移的性质及反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：将点沿轴向右平移个单位，得到的点的坐标为， ∵平移后的点恰好在反比例函数的图象上， ∴， ∴， 故答案为：． 15．（2024·广东揭阳·二模）如图，与位于平面直角坐标系中，，，，若，反比例函数恰好经过点C，则 ． 【答案】 【分析】过点C作轴于点D，由题意易得，然后根据含30度直角三角形的性质可进行求解． 【详解】解：过点C作轴于点D，如图所示：    ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴点， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查反比例函数的图象与性质及含30度直角三角形的性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质及含30度直角三角形的性质是解题的关键． 16．（2024·江苏南京·二模）如图，反比例函数y=的图象经过△ABO的顶点A，点D是OA的中点，若反比例函数y=的图象经过点D，则k的值为 ． 【答案】． 【详解】试题分析：根据题意设点A坐标（x，），由D为斜边OA的中点，可得出D（x，），从而得出过点D的反比例函数的解析式． 试题解析：设点A坐标（x，）， ∵反比例函数y=的图象经过Rt△OAB的顶点A，D为斜边OA的中点， ∴D（x，）， ∴过点D的反比例函数的解析式为y=． ∴k的值为． 考点：反比例函数图象上点的坐标特征． 17．（2024·宁夏吴忠·二模）如图，正方形OAPB的顶点A，B分别在x轴和y轴上，矩形OCQD的顶点C，D分别在 边OA和y轴上，反比例函数的图像经过P，Q两点，BP，CQ交于点E．若四边形BDQE的面积为4，则点Q的坐标为 ． 【答案】Q（3，） 【分析】根据反比例函数k值的几何意义可知OA×OB=OC×OD=16，再根据四边形OAPB是正方形，即可求出OA和OB的长度，最后结合矩形BDQE的面积，求出点Q的横坐标即可解答． 【详解】解：∵反比例函数解析式为：， ∴OA×OB=OC×OD=16， ∵四边形OAPB是正方形， ∴OA=OB=4， ∵四边形BDQE的面积为4， ∴四边形BOCE面积为16-4=12， ∴OC=3，即点Q的横坐标为3， 当x=3时，， ∴Q（3，） 【点睛】本题主要考查了反比例函数k值的几何意义，正方形的性质以及矩形的性质，熟练掌握反比例函数k值的几何意义是解题的关键． 18．（2024·青海西宁·二模）如图，△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°，∠ABO＝30°，点A在反比例函数y＝的图象上，若点B在反比例函数y＝的图象上，则k＝ ． 【答案】-6. 【详解】试题解析：过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，分别于C，D． 设点A的坐标是（m，n），则AC=n，OC=m． ∵∠AOB=90°， ∴∠AOC+∠BOD=90°． ∵∠DBO+∠BOD=90°， ∴∠DBO=∠AOC． ∵∠BDO=∠ACO=90°， ∴△BDO∽△OCA． ∵∠AOB=90°，∠ABO=30°， ∴， ∴， 设A（m，n），则B（-n，m）， ∵点A在反比例函数y=的图象上， ∴mn=2， ∴-n•m=-3×2=-6， ∴k=-6． 19．（2024·宁夏吴忠·二模）大约在两千四五百年前，如图①墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图②，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y（单位：cm）是物距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：cm）的反比例函数，当时，． (1)求y关于x的函数表达式； (2)若小孔到蜡烛的距离为，求火焰的像高； (3)若火焰的像高不得超过，求小孔到蜡烛的距离至少是多少厘米？ 【答案】(1) (2)火焰的像高为 (3)小孔到蜡烛的距离至少是 【分析】本题考查的是反比例函数的应用，掌握待定系数法是解本题的关键； （1）由题意设，再利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）把代入，再计算可得答案； （3）由再建立不等式求解即可． 【详解】（1）解：由题意设：， 把代入，得， 关于x的函数解析式为：； （2）把代入，得， ∴火焰的像高为． （3）时， ， ， ， 答：小孔到蜡烛的距离至少是． 20．（2024·北京门头沟·二模）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象过点． (1)求k的值； (2)一次函数的图象过，与的图象交于两点，两函数图象交点之间的部分组成的封闭图形称作图象“”，该图象内横纵坐标均为整数的点称为“区域点”（不含边界）； ①当一次函数图象过时，存在______个“区域点”； ②如果“区域点”的个数为3个，画出示意图，直接写出a的取值范围． 【答案】(1) (2)①2个；②见解析， 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题等知识点， （1）把代入中可得k的值； （2）①将代入可得：直线解析式为，画图可得结论；②画图计算边界时a的值，即可得解； 熟练掌握整点的定义，并利用数形结合的思想是解决此题的关键． 【详解】（1）∵反比例函数的图象过点， ∴； ∴k的值为1； （2）①一次函数的图象过，， ∴，解得， ∴直线l的解析式为， 画出图形，如图所示， 区域G内的整点有和共两个； 故存在2个“G区域点”； 故答案为：2； ②如图，直线l：过时，， 解得， 直线l：过时，， 解得， 观察图象可知：“G区域点”的个数为3个时，a的取值范围是． 二次函数 21．（2024·青海西宁·二模）要将抛物线y=x2+2x+3平移后得到抛物线y=x2,下列平移方法正确的是(　　) A．向左平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度 B．向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度 C．向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度 D．向右平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度 【答案】D 【分析】原抛物线顶点坐标为（-1，2），平移后抛物线顶点坐标为（0，0），由此确定平移规律． 【详解】y=x2+2x+3=（x+1）2+2，该抛物线的顶点坐标是（-1，2），抛物线y=x2的顶点坐标是（0，0）， 则平移的方法可以是：将抛物线y=x2+2x+3向右移1个单位，再向下平移2个单位． 故选D． 【点睛】本题考查抛物线的平移，熟记抛物线平移的规律是解题的关键. 22．（2024·青海西宁·二模）如图1，在正方形中，，动点M，N分别从点A，B同时出发，沿射线，射线的方向匀速运动，且速度相等，连接．设点M运动的路程为，的面积为S，则S与x之间的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，二次函数的图象与性质．先根据，求出S与x之间函数关系式，再判断即可得出结论． 【详解】解：由题意得，则， ∴， ， ∴ ， ∵， ∴S与x之间的函数图象为开口向上的抛物线的一段， 当时，有最小值，最小值为6， 观察四个选项，选项A符合题意， 故选：A． 23．（2024·青海西宁·二模）无论x取何实数时，二次函数的值始终为正数，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数图象与性质，二次函数值始终为正数，则其开口向上且与x轴没有交点，据此可解决问题． 【详解】解：由题知，因为二次函数的值始终为正数，且， 所以， 解得，． 故选：D． 24．（2024·陕西西安·二模）已知抛物线 (n为常数)，当时，其对应的函数值最大为，则n的值为（    ） A．或7 B．1 或7 C．4 D． 或4 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质．熟练掌握二次函数的增减性，是解题的关键．分，和三种情况，结合二次函数的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵，，对称轴为直线， ∴抛物线的开口向下，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小； 当时，则时，函数值y有最大值， 故， 解得：（舍去）； 当时，的最大值为，不符合题意； 当时，则时，函数值y有最大值， 故， 解得：（舍去），． 综上所述：n的值为或7． 故选：A． 25．（2024·浙江台州·二模）已知二次函数（为常数，）的最小值分别为，（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟练掌握二次函数的对称轴及二次函数最大（小值的求法．根据对称轴公式求出和的对称轴，再依据二次函数的图象和性质得出，存在最小值，进而得出，，结合条件得出，列出方程求解即可． 【详解】解：由两函数表达式可知， 函数的对称轴 为， 函数的对称轴为，且两函数图象均开口向上， 即，否则不存在最小值，两函数均在对称轴上取到最小值， 则有，， 若，则有， 解得：或（舍去）， 将代入，得：， 故选：A． 26．（2024·江苏南京·二模）如图，在水平向右为轴正方向，竖直向上为轴正方向的坐标系中标记了个格点，已知网格的单位长度为，若二次函数的图像经过其中的个格点，则的最大值为(    ) A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数图象的性质，不共线三点确定抛物线解析式，根据开口向上，开口越小越大，进而建立坐标系，求解析式求得的值，即可求解． 【详解】解：如图所示，建立平面直角坐标系， 依题意，经过点时，抛物线开口向上，的值最大， ∵， 设抛物线解析式为，将代入得， 解得： 故选：D． 27．（2024·辽宁沈阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴的一个交点坐标是，对称轴为直线，则这个二次函数图象与x轴另一个交点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质以及对称性，因为与x轴的一个交点坐标是，对称轴为直线，则，解出，即可作答． 【详解】解：依题意，设这个二次函数图象与x轴另一个交点的横坐标为， ∵二次函数的图象与x轴的一个交点坐标是，对称轴为直线， ∴， 解饿， 则这个二次函数图象与x轴另一个交点的坐标是， 故答案为：， 28．（2024·北京门头沟·二模）某函数图象满足过点，且当时，y随x的增大而增大，写出一个满足条件的表达式 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次函数的图象性质以及解析式，根据当时，y随x的增大而增大且过点，则开口向上，对称轴为，据此写出表达式，即可作答． 【详解】解：∵某函数图象满足过点，且当时，y随x的增大而增大 ∴ 故答案为：（答案不唯一） 29．（2024·宁夏吴忠·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于，，与y轴相交于点C，连接．    (1)求抛物线的解析式； (2)这个抛物线的顶点为P，连接，求的面积； (3)点D为第一象限内抛物线上一个动点，过点D作轴交于点E．请求出的最大值及此时点D的坐标． 【答案】(1) (2)12 (3)最大值为，点D坐标为 【分析】本题属于二次函数图像的动点问题，涉及到待定系数法求解析式、二次函数的图像与性质、配方法等内容， （1）用待定系数法求解即可； （2）先求出抛物线顶点，作轴于点F，用梯形面积减去两个三角形面积即可求出； （3）先求直线表达式，延长交x轴于点M，设点D坐标为，则，表示出并求出二次函数最值即可解决． 【详解】（1）解：把，代入抛物线表达式， ， 解得：， 抛物线表达式为； （2）解：抛物线表达式为， 抛物线的顶点为， 作轴于点F，    ， ， 抛物线当时，， ， ； （3）设直线表达式为， 把，，代入， ， 解得：， 直线表达式为， 延长交x轴于点M，   轴， ， ， ， ， 在中，， 设点D坐标为， 则， ，， ， ， 当时，有最大值为， 此时把代入抛物线表达式，得， ． 30．（2024·云南文山·二模）已知抛物线 （a，c为常数，）经过点，顶点为D． (1)当时，求该抛物线的顶点坐标； (2)将点向左平移4个单位得到点 H，连接，若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的图像与性质等知识，熟练掌握二次函数的图像与性质，利用数形结合、分类讨论的思想分析问题是解题关键． （1）将、 代入，即可求解； （2）分两种情况讨论：当时，函数经过点H时，，解得，可知当时，抛物线与线段恰好有一个公共点；当时，若，可有，再由，解得，此时抛物线与线段恰好有一个公共点． 【详解】（1）解：当时，有， ∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴该抛物线的顶点D坐标为； （2）∵点向左平移4个单位长度， ∴点， 如图，当时， 函数经过点H时，， 解得 ， ∴当 时，抛物线与线段恰好有一个公共点； 如图，当时， 若，则 ， ， 令 ， 解得，此时抛物线与线段 恰好有一个公共点． 综上所述，当 或时，抛物线与线段 恰好有一个公共点． 31．（2024·陕西临潼·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线、为常数．且经过点，交轴于点、在的左侧），其顶点的横坐标为2． (1)求抛物线的函数表达式； (2)将抛物线向左平移2个单位长度后得到抛物线，为抛物线上的动点，点为抛物线的对称轴上的动点，请问是否存在以、、、为顶点且以为边的四边形是平行四边形？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在，的坐标为或． 【分析】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，平行四边形性质及应用，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度． （1）用待定系数法可得抛物线的函数表达式为； （2）求出，抛物线的解析式为，设，，以为边的四边形是平行四边形分两种情况：①以，为对角线，则，中点重合，，②以，为对角线，，解方程组可得答案． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得， 抛物线的函数表达式为； （2）解：存在以、、、为顶点且以为边的四边形是平行四边形，理由如下： 在中，令得， 解得或， ， 把抛物线向左平移2个单位长度后得到抛物线的解析式为； 由抛物线顶点的横坐标为2知其对称轴为直线， 设，， 又， ①以，为对角线，则，中点重合， ， 解得， ； ②以，为对角线，则，的中点重合， ， 解得， ； 综上所述，的坐标为或． 32．（2024·北京门头沟·二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线的经过点，将点A向左平移4个单位长度，得到点B，点B在抛物线上． (1)求抛物线的对称轴； (2)点B的纵坐标为时，求a的值； (3)已知点，．若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)且 【分析】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征，数形结合讨论交点是解题的关键． （1）根据平移先得出，根据、的纵坐标相等，即可得抛物线对称轴； （2）将的纵坐标为代入求出即可； （3）根据，，三个点的纵坐标都为，可知点必定在抛物线“U型”的 内部，再根据，的横坐标相同，可得点在点的正上方或者正下方，分当时和当时两种情况讨论，画出图象，数形结合即可作答． 【详解】（1）解：∵将抛物线上点向左平移4个单位长度，得到点B， ， ∵点在抛物线上， ∴抛物线对称轴为：． （2）点的纵坐标为， ， ． （3）由题意得：抛物线的对称轴为直线， ∵，，三个点的纵坐标都为， ∴可知点必定在抛物线“U型”的 内部， 又∵，的横坐标相同， ∴点在点的正上方或者正下方， 分情况讨论： 当时，，此时点在第二象限， ∵在第三象限，点必定在抛物线“U型”的内部， ∴点N在点B的正下方， 如图， 结合图象有：抛物线与线段恰有一个公共点， 则符合要求； 当时，，此时点在第三象限， 又∵在第三象限，如图， 由图可知：当点与点重合或者在点的正上方时，抛物线与线段恰有一个公共点， ∴， 解得：， 即：时，抛物线与线段恰有一个公共点， 综上所述，的取值范围为且． 33．（2024·山东东营·二模）如图，已知抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是第四象限内抛物线上的一个动点（与点不重合），过点作轴于点，交直线于点，连接，若，求出点的坐标． (3)为拋物线上一动点，是否存在点，使得以点为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请直接写出两点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)点的坐标为； (3)存在，或、． 【分析】（）利用交点式假设出抛物线的解析式为 ，把代入计算即可求解； （）利用待定系数法求出直线的解析式，设，则，，求出，，由得，即，解之即可求解； （）设与的交点为，由菱形的性质得点为和的中点，，设，由勾股定理得，即有，解得或，设点的坐标为，再利用中点坐标公式即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：设抛物线为 经过两点， ， 把代入得，， ∴， 抛物线的解析式为， 即； （2）解：设直线的解析式为， 把、代入得， ， 解得， 直线的解析式为， 设，则，， ∴，， ， ， ， 解得(不合，舍去)，， 点的坐标为； （3）解：存在点，使得以点为顶点的四边形是以为对角线的菱形． 如图，设与的交点为， ∵四边形为菱形， ∴点为和的中点，， ∵，， ∴， ∵点为拋物线上一动点， ∴设， ∵， ∴， ∴， ∴， 整理得，， ∴或， ∴或， 设点的坐标为， 当点的坐标为时，有，， ∴，， ∴； 当点的坐标为时，有，， ∴，， ∴； 综上，存在或、，使得以点为顶点的四边形是以为对角线的菱形． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的几何应用，菱形的性质，平面直角坐标系两点间距离公式，勾股定理，掌握二次函数的性质是解题的关键． 34．（2024·甘肃平凉·二模）如图，抛物线与x轴交于点、两点，与y轴交于点C，点D是x轴负半轴上一点，，连接． (1)求抛物线的函数表达式； (2)请在图1中将线段向右平移至点D与点A重合，平移后对应线段所在直线交抛物线于点E，连接，判断四边形的形状，并说明理由； (3)在（2）的条件下，如图2，连接，交y轴于点P，过点P作于点M，点N从E点向D点运动，连接、，求周长的最小值． 【答案】(1) (2)四边形是菱形，理由见解析 (3)6 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，菱形的判定和性质，三角形边长关系，勾股定理，正确画出图形，作出辅助线是解题的关键． （1）将点、代入函数解析式，即可解答； （2）根据平移的特征求得直线的解析式，可得点的坐标，求得的长，即可求解； （3）连接，，，证明，可得，观察图形，可得当点A、M、N三点共线时，最小，最小值为，再证明，得到结论点A、P、M在同一条直线上，则，利用勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：将，代入， 得， 解得， 抛物线的函数表达式为； （2）解：四边形是菱形. 理由：根据题意画出图形，令，得，则点C的坐标为， . ，点D是x轴负半轴上一点，， 点D的坐标为，则， . 由，易得所在直线的表达式为， 可设所在直线的表达式为，将代入，得， 解得， 直线的表达式为. 令， 解得，， 当时，， 则点E的坐标为， ，， ， 四边形是菱形. （3）解：如图，连接，，， 由（2）知四边形是菱形， . 在和中， ，，， ， ，， 则， 的周长， 当最小时，的周长最小， 四边形是菱形， 点A、C关于对称， 则，， . 由图可得， 当点A、M、N三点共线时，最小，最小值为， 在和中， ，，， ， ， 点A、P、M在同一条直线上，则， ， 周长的最小值． 35．（2024·河南焦作·二模）已知抛物线的顶点为D． (1)若抛物线经过原点，求a的值及顶点D的坐标； (2)在（1）的条件下，把时函数的图象记为，将图象绕原点旋转，得到新图象，设图象与图象组合成的图象为． ①图象的解析式 （写出自变量的取值范围）； ②若直线与图象M有3个交点，请直接写出m的取值范围． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】（1）将原点代入抛物线方程即可求出值，再利用抛物线性质即可求出顶点坐标； （2）①根据自变量的取值范围，结合图象性质及中心对称性质判断出图象上的特殊点即可求出解析式； ②再利用数形结合，分类讨论直线与曲线交点问题即可求出m的取值范围． 【详解】（1）解：∵抛物线经过原点， 当时，，代入抛物线得：， ， ∴抛物线的方程为：． ∴抛物线的对称轴方程为：， 把代入，得， ∴点坐标为． （2）解：在（1）中抛物线的方程为：， ①当时函数的图象记为， ∴对应的函数解析式为：，且图象经过和原点， 将图象绕原点旋转，得到新图象，新图象与原图象成中心对称， ∴新图象对应函数的自变量的范围为：，且新图象经过点和原点， ∴图象的解析式为：． ②直线与图象有3个交点，分两种情况， 当直线与有2个交点且与有1个交点时，， ， 令，得， 结合图象可得：， 同理，当直线与有1个交点且与有2个交点时，， ， 令，得， 结合图象可得：． ∴． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，图形的旋转，直线与曲线相交等问题，解题过程还涉及数形结合，分类讨论等数学思想，难度较大． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$