专题02 方程（组）与不等式-【好题汇编】2024年中考数学二模试题分类汇编（全国通用）

专题02 方程（组）与不等式 ①一次方程（组） ②一元二次方程 ③分式方程 ④不等式（组） 一次方程（组） 1．（2024·四川南充·二模）方程3x﹣1=0的根是（ ） A．3 B． C．﹣ D．﹣3 2．（2024·广西防城港·二模）下列方程的解是的是（ ） A． B． C． D． 3．（2024·四川南充·二模）我国明朝珠算发明家程大位著作的《直指算法统宗》，是东方古代数学名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法．书中记载了问题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁．”其大意是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，问大、小和尚各有多少人？若设大和尚有x人，据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·陕西临潼·二模）已知关于、的方程组 的解为 则直线 与直线 、 为常数，且的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·甘肃平凉·二模）我国古代经典著作《九章算术》中有一问题：“今有黄金7枚，白银9枚，称之重适等．交易其一，金轻十二两．问金、银一枚各重几何？”，意思是：甲袋中装有黄金7枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银9枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了12两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得（   ） A． B． C． D． 6．（2024·河北·二模）我国古代《孙子算经》记载“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？”意思是说：“每三人共乘一辆车，最终剩余2辆车；每2人共乘一辆车，最终有9人无车可乘，问人和车的数量各是多少？”下面说法正确的是（     ） 嘉嘉：设共有车y辆，根据题意得：； 淇淇：设共有x人，根据题意得：． A．只有嘉嘉正确 B．只有淇淇正确 C．嘉嘉、淇淇都正确 D．嘉嘉、淇淇都不正确 7．（2024·浙江台州·二模）以下是亮亮解方程的解答过程． 解：去分母，得． 移项，得． 合并同类项，得． 亮亮的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程． 8．（2024·河南焦作·二模）为了有效落实河南省教育厅颁布的《关于推进中小学生研学旅行的实施方案》，某中学进行研学活动．在此次活动中，若每位老师带30名学生，则还剩7名学生没有老师带，若每位老师带31名学生，就会有一位老师少带1名学生． 甲型客车 乙型客车 载客量（人/辆） 35 30 租金（元/辆） 400 320 (1)参加此次研学活动的老师和同学各有多少名？ (2)现有甲、乙两种型号客车，它们的载客量和租金如表所示．学校要求每位老师负责一辆车的组织工作，因此需按老师人数租车．甲、乙两种型号的客车各租几辆，学校租车总费用最少？并求出最少的费用． 一元二次方程 9．（2024·甘肃平凉·二模）已知，则m、n的值依次为（    ） A．5，2 B．， C．3， D．， 10．（2023·河南商丘·二模）关于x的方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．无实数根 11．（2024·山东东营·二模）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 12．（2024·甘肃平凉·二模）若关于x的一元二次方程有实数根，则的值可以是 ．（写出一个满足条件的值） 13．（2024·江苏南京·二模）已知x=是关于x的方程的一个根，则m＝ ． 14．（2024·河南焦作·二模）已知为常数，且点在第二象限，则关于的一元二次方程 的根的情况为（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 15．（2024·山东东营·二模）如图，在长为，宽为的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是，则小路的宽是（    ）    A． B． C．或 D． 16．（2024·四川南充·二模）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：此一元二次方程总有实数根； (2)已知两边长a，b分别为该方程的两个实数根，且第三边长，若的周长为偶数，求m的值． 17．（2024·山东东营·二模）某养殖场为了响应党中央的扶贫政策，今年起采用“场内+农户”养殖模式，同时加强对蛋鸡的科学管理，蛋鸡的产蛋率不断提高，三月份和五月份的产蛋量分别是2.5万kg与3.6万kg，现假定该养殖场蛋鸡产蛋量的月增长率相同． （1）求该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率； （2）假定当月产的鸡蛋当月在各销售点全部销售出去，且每个销售点每月平均销售量最多为0.32万kg．如果要完成六月份的鸡蛋销售任务，那么该养殖场在五月份已有的销售点的基础上至少再增加多少个销售点？ 分式方程 18．（2024·浙江台州·二模）甲、乙两人做某种零件，已知甲每小时比乙多做个零件，甲做个零件所用时间与乙做个所用时间相等，求甲、乙每小时各做零件多少个？如果设乙每小时做个零件，那么列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 19．（2024·山东东营·二模）若关于的分式方程无解，则的值是 ． 20．（2024·甘肃平凉·二模）方程的解为 ． 21．（2024·浙江杭州·二模）解方程． 22．（2024·辽宁沈阳·二模）某汽车租赁公司决定采购型和型两款新能源汽车．已知每辆型汽车的进价是每辆型汽车的进价的倍，若用万元购进型汽车的数量比用万元购进型汽车的数量少辆，求每辆型汽车和每辆型汽车的进价分别为多少万元． 23．（2024·云南文山·二模）2024年3月24日，“大美陇川”户撒花海马拉松在云南省德宏傣族景颇族自治州陇川县户撒阿昌族乡开跑，来自各地的1380名马拉松选手在此踏上汗水与花香交织的征程．李明参加了这次马拉松比赛，全程42千米，李明出发后按原计划的速度跑了一半，后来将平均速度提高到原计划的1.2倍，结果比原计划提前 小时到达终点，求李明原计划的平均速度是多少？ 24．（2024·青海西宁·二模）中华优秀传统文化源远流长，是中华文明的智慧结晶．《孙子算经》、《周髀算经》是我国古代较为普及的算书，许多问题浅显有趣．某书店的《孙子算经》单价是《周髀算经》单价的，用600元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买5本． (1)求这两种图书的单价分别是多少? (2)为筹备“3.14数学节”活动，某校计划到该书店购买这两种图书共80本，且购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半．由于购买量大，书店打折优惠，两种图书均按八折出售．求购买多少本《周髀算经》时总费用最少，此时的总费用是多少元? 不等式（组） 25．（2024·辽宁沈阳·二模）不等式组的解集为 ． 26．（2024·河南焦作·二模）不等式组 的最大整数解是 ． 27．（2024·宁夏吴忠·二模）解不等式组：并写出它的整数解． 28．（2024·陕西临潼·二模）解不等式：，并将它的解集在数轴上表示出来． 29．（2024·四川南充·二模）已知 ，且，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 30．（2024·四川南充·二模）南充古称有“果氏之国”，素有“果城”盛誉，有近年的柑橘种植历史，所产“黄柑”常为古代朝廷贡品．每年月底至第二年月，总会吸引大批游客前来品尝．当地某商家为回馈顾客，将标价为元/千克的某品牌柑橘降价销售天后，第二次降价到元/千克又销售了天，且两次降价的百分率相同．设销售时间为（天）（为正整数），日销量为，日储存及损耗费为（元），与满足函数关系；与满足函数关系．（注：利润销售毛利润储存及损耗费） (1)求此品牌柑橘每次降价的百分率； (2)已知此品牌柑橘进价为元，设销售该柑橘的日利润为（元），求与之间的函数解析式．并求第几天时销售利润最大？最大利润为多少元？ (3)在（）的条件下，求这天中有多少天的利润不低于元？ ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 方程（组）与不等式 ①一次方程（组） ②一元二次方程 ③分式方程 ④不等式（组） 一次方程（组） 1．（2024·四川南充·二模）方程3x﹣1=0的根是（ ） A．3 B． C．﹣ D．﹣3 【答案】B 【详解】试题分析：移项得：3x=1， 化系数为1得：x=， 故选B． 考点：解一元一次方程． 2．（2024·广西防城港·二模）下列方程的解是的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的解：能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值称为一元一次方程的解．将代入验证即可． 【详解】解：A、，故A符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C不符合题意； D、，，故D不符合题意； 故选：A 3．（2024·四川南充·二模）我国明朝珠算发明家程大位著作的《直指算法统宗》，是东方古代数学名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法．书中记载了问题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁．”其大意是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，问大、小和尚各有多少人？若设大和尚有x人，据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，根据题意，找到等量关系是正确列出方程关键． 设大和尚有人，根据有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，列出方程即可． 【详解】解：设大和尚有人，则小和尚有人， 由题意得：． 故选：B． 4．（2024·陕西临潼·二模）已知关于、的方程组 的解为 则直线 与直线 、 为常数，且的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组的关系，将函数和的图象交点问题，转化为函数解析式所组成方程组解得问题即可． 【详解】解：直线与直线的交点，可转化为函数解析式所组成方程组的解， 关于、的方程组 的解为 则直线 与直线、 为常数，且的交点坐标是 故选：C． 5．（2024·甘肃平凉·二模）我国古代经典著作《九章算术》中有一问题：“今有黄金7枚，白银9枚，称之重适等．交易其一，金轻十二两．问金、银一枚各重几何？”，意思是：甲袋中装有黄金7枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银9枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了12两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，根据甲袋中装有黄金7枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银9枚（每枚白银重量相同）称重两袋相等可得方程，根据两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了12两可得方程，据此可得答案． 【详解】解：设每枚黄金重x两，每枚白银重y两， 由题意得，， 故选：A． 6．（2024·河北·二模）我国古代《孙子算经》记载“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？”意思是说：“每三人共乘一辆车，最终剩余2辆车；每2人共乘一辆车，最终有9人无车可乘，问人和车的数量各是多少？”下面说法正确的是（     ） 嘉嘉：设共有车y辆，根据题意得：； 淇淇：设共有x人，根据题意得：． A．只有嘉嘉正确 B．只有淇淇正确 C．嘉嘉、淇淇都正确 D．嘉嘉、淇淇都不正确 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设有个人，由每三人共乘一辆车，最终剩余2辆车；每2人共乘一辆车，最终有9人无车可乘，根据车的数量不变列出方程即可．设共有车辆，根据人数不变得出方程即可． 【详解】解：设有个人，则可列方程：， 设共有车辆，根据题意得：， ∴只有淇淇正确． 故选：B． 7．（2024·浙江台州·二模）以下是亮亮解方程的解答过程． 解：去分母，得． 移项，得． 合并同类项，得． 亮亮的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程． 【答案】亮亮的解答过程有错误，解答过程见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的方法，准确计算；先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为1即可得解． 【详解】解：亮亮的解答过程有错误． 正确的解答过程： 去分母，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：． 8．（2024·河南焦作·二模）为了有效落实河南省教育厅颁布的《关于推进中小学生研学旅行的实施方案》，某中学进行研学活动．在此次活动中，若每位老师带30名学生，则还剩7名学生没有老师带，若每位老师带31名学生，就会有一位老师少带1名学生． 甲型客车 乙型客车 载客量（人/辆） 35 30 租金（元/辆） 400 320 (1)参加此次研学活动的老师和同学各有多少名？ (2)现有甲、乙两种型号客车，它们的载客量和租金如表所示．学校要求每位老师负责一辆车的组织工作，因此需按老师人数租车．甲、乙两种型号的客车各租几辆，学校租车总费用最少？并求出最少的费用． 【答案】(1)参加此次研学活动的老师有8名，学生有247名 (2)租甲型车3辆，乙型车5辆费用最少，最少是2800元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用： （1）设参加此次研学活动的老师有x位，则参加此次研学活动的学生有y名，根据每位老师带30名学生，则还剩7名学生没有老师带，若每位老师带31名学生，就会有一位老师少带1名学生列出方程组求解即可； （2）设租用m辆甲型客车，则租用辆乙型客车，设租车的总费用为 W元，根据载客量之和要大于等于总人数列出不等式求出m的值，再列出W关于m的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设参加此次研学活动的老师有x位，则参加此次研学活动的学生有y名， 根据题得： ， 解得， 答：参加此次研学活动的老师有8名，学生有247名； （2）解：设租用m辆甲型客车，则租用辆乙型客车，设租车的总费用为 W元 根据题意得：， ∴， ∵， ∴W随m的增大而增大， ∴当时， ， ∴租甲型车3辆，乙型车5辆费用最少，最少是2800元． 一元二次方程 9．（2024·甘肃平凉·二模）已知，则m、n的值依次为（    ） A．5，2 B．， C．3， D．， 【答案】C 【分析】本题考查多项式乘以多项式，利用多项式乘以多项式的法则，将等式左边展开，根据对应项相等，求出的值即可． 【详解】解：∵， ∴，； 故选：C． 10．（2023·河南商丘·二模）关于x的方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．无实数根 【答案】A 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，先计算根的判别式的值，然后利用根的判别式的意义判断方程根的情况即可． 【详解】将方程化为一般式为， 该方程有两个相等的实数根， 故选：A． 11．（2024·山东东营·二模）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用方程有两个相等的实数根，得到=0，建立关于m的方程，解答即可． 【详解】∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴=0， ∴， 解得，故C正确． 故选：C． 【点睛】此题考查利用一元二次方程的根的情况求参数，一元二次方程的根有三种情况：有两个不等的实数根时>0；当一元二次方程有两个相等的实数根时，=0；当方程没有实数根时，<0，正确掌握此三种情况是正确解题的关键． 12．（2024·甘肃平凉·二模）若关于x的一元二次方程有实数根，则的值可以是 ．（写出一个满足条件的值） 【答案】0（答案不唯一） 【分析】本题考查了一元二次方程根判别式的意义，根据题意可得一元二次方程根的判别式 ，即可求出答案． 【详解】由题意可知： 解得： 故答案为：0（答案不唯一）． 13．（2024·江苏南京·二模）已知x=是关于x的方程的一个根，则m＝ ． 【答案】1 【分析】把x＝代入方程得到关于m的方程，然后解关于m的方程即可． 【详解】解：把x＝代入方程得， 解得m＝1． 故答案为1． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 14．（2024·河南焦作·二模）已知为常数，且点在第二象限，则关于的一元二次方程 的根的情况为（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【答案】B 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．先利用第二象限点的坐标特征得到，则判断，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况． 【详解】在第二象限 一元二次方程有两个不相等的实数根 故选：B． 15．（2024·山东东营·二模）如图，在长为，宽为的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是，则小路的宽是（    ）    A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】设小路宽为，则种植花草部分的面积等于长为，宽为的矩形的面积，根据花草的种植面积为，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【详解】解：设小路宽为，则种植花草部分的面积等于长为，宽为的矩形的面积， 依题意得： 解得：，（不合题意，舍去）， ∴小路宽为． 故选A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 16．（2024·四川南充·二模）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：此一元二次方程总有实数根； (2)已知两边长a，b分别为该方程的两个实数根，且第三边长，若的周长为偶数，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由根的判别式进行求解即可； （2）由根与系数的关系可得：，则的周长为，设，可求，由此时的周长为7，不是偶数，不符合题意，舍去；设，则：，由三角形三边关系得，，，即，，可得，根据的周长为是偶数，求解作答即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴此一元二次方程总有实数根； （2）解：由题意得：， ∴的周长为， 设，则， 解得，， 此时的周长为，不是偶数，不符合题意，舍去； 设，则：， 由三角形三边关系得，，，即，， 解得：， ∵周长m为偶数， ∴． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式的变形，三角形三边关系的应用等知识．熟练掌握一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式的变形，三角形三边关系的应用是解题的关键． 17．（2024·山东东营·二模）某养殖场为了响应党中央的扶贫政策，今年起采用“场内+农户”养殖模式，同时加强对蛋鸡的科学管理，蛋鸡的产蛋率不断提高，三月份和五月份的产蛋量分别是2.5万kg与3.6万kg，现假定该养殖场蛋鸡产蛋量的月增长率相同． （1）求该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率； （2）假定当月产的鸡蛋当月在各销售点全部销售出去，且每个销售点每月平均销售量最多为0.32万kg．如果要完成六月份的鸡蛋销售任务，那么该养殖场在五月份已有的销售点的基础上至少再增加多少个销售点？ 【答案】（1）该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率为20%；（2）至少再增加2个销售点． 【分析】（1）设该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率为x，根据题意列出方程即可进行求解； （2）设至少再增加y个销售点，根据题意列出不等式即可求解. 【详解】（1）设该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率为x， 根据题意得，， 解得：，（不合题意舍去）， 答：该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率为20%； （2）3.6×（1+20%）=4.32万（kg）， 4.32÷0.32=13.5（个），即六月份应至少14个， 3.6÷0.32=11.25（个），即五月份销售点应为12个 则需增加14-12=2（个）， 故至少再增加2个销售点． 【点睛】此题主要考查一元二次方程与不等式的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系与不等关系. 分式方程 18．（2024·浙江台州·二模）甲、乙两人做某种零件，已知甲每小时比乙多做个零件，甲做个零件所用时间与乙做个所用时间相等，求甲、乙每小时各做零件多少个？如果设乙每小时做个零件，那么列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式方程的知识，解题的关键是根据题意，设乙每小时做个零件，则甲每小时做个零件，再根据甲做个零件盒乙做个零件的时间相等，列出分式方程，即可． 【详解】设乙每小时做个零件， ∴甲每小时做个零件， ∵甲做个零件所用的时间与乙做哥零件所用的时间相等， ∴， 故选：B． 19．（2024·山东东营·二模）若关于的分式方程无解，则的值是 ． 【答案】1 【分析】此题考查了分式方程的无解问题，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．先把分式方程去分母变为整式方程，然后把代入计算，即可求出的值． 【详解】解：∵， 去分母，得：， ∵分式方程无解， ∴， 解得：， 把代入，则 ， 解得：； 故答案为：． 20．（2024·甘肃平凉·二模）方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式方程求解．先整理成同分母的分式，再去分母，去括号，移项、合并同类项，系数化为1即可求出结果，最后再进行检验． 【详解】解：整理：， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得， 经检验，是原分式方程的解，故原分式方程的解为． 故答案为：． 21．（2024·浙江杭州·二模）解方程． 【答案】 【分析】方程两边都乘以最简公分母（x＋1）（x−1）化为整式方程，然后解方程即可，最后进行检验． 【详解】解：方程两边乘，得. 解得. 检验：当时，. 所以，原分式方程的解为. 【点睛】本题考查了分式方程的求解，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根． 22．（2024·辽宁沈阳·二模）某汽车租赁公司决定采购型和型两款新能源汽车．已知每辆型汽车的进价是每辆型汽车的进价的倍，若用万元购进型汽车的数量比用万元购进型汽车的数量少辆，求每辆型汽车和每辆型汽车的进价分别为多少万元． 【答案】每辆型汽车的进价为万元，每辆型汽车的进价为万元 【分析】本题考查了分式方程的应用，设每辆型汽车的进价为万元，则每辆型汽车的进价为万元，根据题意，列出方程解答即可求解，根据题意，找到等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 【详解】解：设每辆型汽车的进价为万元，则每辆型汽车的进价为万元， 依题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：每辆型汽车的进价为万元，每辆型汽车的进价为万元． 23．（2024·云南文山·二模）2024年3月24日，“大美陇川”户撒花海马拉松在云南省德宏傣族景颇族自治州陇川县户撒阿昌族乡开跑，来自各地的1380名马拉松选手在此踏上汗水与花香交织的征程．李明参加了这次马拉松比赛，全程42千米，李明出发后按原计划的速度跑了一半，后来将平均速度提高到原计划的1.2倍，结果比原计划提前 小时到达终点，求李明原计划的平均速度是多少？ 【答案】10.5千米/小时 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，根据题意设原计划的速度，进而表示提速后的速度，再根据后一半路程原计划所用时间减去提速后所用时间等于列出方程，求出解即可． 【详解】解：设李明原计划的平均速度为x千米/小时，提速后的平均速度为千米/小时， 根据题意得：， 解方程得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 答：李明原计划的平均速度是10.5千米/小时． 24．（2024·青海西宁·二模）中华优秀传统文化源远流长，是中华文明的智慧结晶．《孙子算经》、《周髀算经》是我国古代较为普及的算书，许多问题浅显有趣．某书店的《孙子算经》单价是《周髀算经》单价的，用600元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买5本． (1)求这两种图书的单价分别是多少? (2)为筹备“3.14数学节”活动，某校计划到该书店购买这两种图书共80本，且购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半．由于购买量大，书店打折优惠，两种图书均按八折出售．求购买多少本《周髀算经》时总费用最少，此时的总费用是多少元? 【答案】(1)《孙子算经》的单价是30元，《周髀算经》的单价是40元； (2)当购买27本《周髀算经》时，总费用最少为2136元． 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设《周髀算经》的单价是元，则《孙子算经》的单价是元，利用数量总价单价，结合用600元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买5本，可得出关于的分式方程，解之经检验后，可得出《周髀算经》的单价，再将其代入中，即可求出《孙子算经》的单价； （2）设购买本《孙子算经》，则购买本《周髀算经》，根据购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半，可得出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，设购买这两种图书共花费元，利用总费用单价数量，可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设《周髀算经》的单价是元，则《孙子算经》的单价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ． 答：《孙子算经》的单价是30元，《周髀算经》的单价是40元； （2）解：设购买本《孙子算经》，则购买本《周髀算经》， 根据题意得：， 解得：． 设购买这两种图书共花费元，则， ， ， 随的增大而减小， 又，且为正整数， 当时，取得最小值，此时． （元）． 答：当购买27本《周髀算经》时，总费用最少为2136元 不等式（组） 25．（2024·辽宁沈阳·二模）不等式组的解集为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了求不等式组的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到，即可确定不等式组的解集，掌握求不等式组解集的口诀是解题的关键． 【详解】解：由不等式组可得，不等式组的解集为， 故答案为：． 26．（2024·河南焦作·二模）不等式组 的最大整数解是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了求不等式组的解集及其最大整数解，正确求出不等式组的解集是解题的关键．分别求出两个不等式的解集，然后再求出不等式组的解集，最后求出最大整数解即可． 【详解】解：由，得：； 由，得：， 不等式组的解集为：； 最大整数解是2； 故答案为：2 27．（2024·宁夏吴忠·二模）解不等式组：并写出它的整数解． 【答案】解集为﹣1＜x＜3，不等式组的整数解为0、1、2． 【详解】试题分析：分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 试题解析：解不等式3x﹣1＜x+5，得：x＜3， 解不等式＜x﹣1，得：x＞﹣1， 则不等式组的解集为﹣1＜x＜3， ∴不等式组的整数解为0、1、2． 28．（2024·陕西临潼·二模）解不等式：，并将它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴表示见解析 【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 表示在数轴上如下： 【点睛】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为可得． 29．（2024·四川南充·二模）已知 ，且，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次不等式．熟练掌握解一元一次不等式是解题的关键． 由，可得，由，可得，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得，， 故选：D． 30．（2024·四川南充·二模）南充古称有“果氏之国”，素有“果城”盛誉，有近年的柑橘种植历史，所产“黄柑”常为古代朝廷贡品．每年月底至第二年月，总会吸引大批游客前来品尝．当地某商家为回馈顾客，将标价为元/千克的某品牌柑橘降价销售天后，第二次降价到元/千克又销售了天，且两次降价的百分率相同．设销售时间为（天）（为正整数），日销量为，日储存及损耗费为（元），与满足函数关系；与满足函数关系．（注：利润销售毛利润储存及损耗费） (1)求此品牌柑橘每次降价的百分率； (2)已知此品牌柑橘进价为元，设销售该柑橘的日利润为（元），求与之间的函数解析式．并求第几天时销售利润最大？最大利润为多少元？ (3)在（）的条件下，求这天中有多少天的利润不低于元？ 【答案】(1)； (2)当时，即第天利润最大，最大利润为元； (3)天． 【分析】（）依据题意，设每次降价的百分率为，从而可得，解方程即可判断得解； （）依据题意，第一次降价后的价格为元，从而可得当时，，当时，，进而分类讨论分析即可得解； （）依据题意，由当时当时两种情形分别进行计算分析进而可以判断得解． 【详解】（1）解：设由题意，设每次降价的百分率为，据题意可得 ∴，（不符合题意，舍去）； 答：此品牌柑橘每次降价的百分率为； （2）由题意，第一次降价后的价格为元， 当时， 当时， 当时，， ∵，随的增大而减小， ∴当时，（元）， 当时，， ∵， ∴当时，最大值为（元） 综上可知：， ∴当时，即第天利润最大，最大利润为元； （3）由题意，当时，， ∴解得：， ∴， 又为正整数， ∴，故此时为天利润不低于元， 当时，， ∴解得：， ∴当时，有，此时， 故此时有天利润不低于元． 又（天）， 综上可知，共有天利润不低于元． 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，一次函数和二次函数的实际应用，一元一次不等式和一元二次不等式的实际应用，理解题意，找出等量关系，列出等式和不等式是解题的关键． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$