专题02 平行线的判定与性质【六大题型】-【好题汇编】备战2023-2024学年七年级数学下学期期末真题分类汇编（北京专用）

专题02 平行线的判定与性质【六大题型】 【题型1 平行线的判定】 1．（2023•石景山区期末）如图，下列条件中，能判断AD∥BC的是（　　） A．∠3＝∠4 B．∠1＝∠2 C．∠5＝∠C D．∠A+∠ADC＝180° 2．（2023•怀柔区期末）如图，下列判断正确的是（　　） A．若∠1＝∠2，则AB∥CD B．若∠3＝∠4，则AD∥BC C．若∠D＝∠5，则AD∥BC D．若∠B+∠BAD＝180°，则AB∥CD 3．（2023•丰台区期末）如图，只需添加一个条件，即可以证明AB∥CD，这个条件可以是 （写出一个即可）． 4．（2023•通州区校级期末）如图，要得到AE∥BG的结论，需要添加的条件是 　 ． （写出一个正确答案即可） 5．（2023•海淀区校级期末）如图所示，AC平分∠DAB，∠1＝∠2． 填空： ∵AC平分∠DAB， ∴∠1＝　 　． 又∵∠1＝∠2， ∴∠2＝　 　． ∴AB∥　 　． 【题型2 利用平行线的性质求角度】 6．（2023•大兴区期末）如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，若∠2＝45°，则∠1等于（　　） A．125° B．130° C．135° D．145° 7．（2023•顺义区期末）如图，AB∥CD，若∠ABE＝140°，∠CDE＝100°，则∠BED的大小为（　　） A．100° B．120° C．130° D．140° 8．（2023•平谷区期末）如图，点O在直线AB上，AB∥CD，EO⊥OF，若∠BOF＝55°，则∠DEO的度数是（　　） A．145° B．45° C．35° D．135° 9．（2023•东城区期末）如图，AB∥CE，∠ABC＝30°，∠BDE＝45°，则∠DBC＝　 　． 10．（2023•延庆区期末）如图，直线l1，l2，l3交于一点，直线l4∥l1，若∠1＝124°，∠2＝88°，则∠3的度数为　 　． 11．（2023•昌平区期末）某车库的门禁如图所示，点B，C为旋转轴，门禁杆放平位置AB与抬起位置A′B′平行．若∠ACB′＝88°，则∠A′B′C＝　 　°． 【题型3 利用平行线的性质解决三角尺问题】 12．（2023•丰台区期末）如图所示，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝145°，则∠2的大小是（　　） A．60° B．55° C．45° D．35° 13．（2023•门头沟区期末）如图，将三角形的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝65°，则∠2的度数为（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 14．（2022•西城区校级期末）已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图方式放置（∠ABC＝30°），其中A，B两点分别落在直线m，n上，若∠1＝20°，则∠2的度数为（　　） A．20° B．30° C．45° D．50° 15．（2023•东城区期末）如图，将含有60°的直角三角板的两个顶点分别放在直尺的一组对边上，如果∠1＝20°，那么∠2＝　 　°． 16．（2023•海淀区校级期末）如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，AB∥OC，DC与OB交于点E，则∠DEO的度数为　 　． 17．（2023•朝阳区校级期末）如图，m∥n，直角三角板ABC的直角顶点C在两直线之间，两直角边与两直线相交所形成的锐角分别为α、β，则α+β＝　 　． 【题型4 利用平行线的性质解决折叠问题】 18．（2022•东城区期末）如图，纸片的边缘AB，CD互相平行，将纸片沿EF折叠，使得点B，D分别落在点B'，D'处．若∠1＝80°，则∠2的度数是（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 19．（2023•西城区期末）如图，四边形纸片ABCD，AD∥BC，折叠纸片ABCD，使点D落在AB上的点D1处，点C落在点C1处，折痕为EF．若∠EFC＝102°，则∠AED1＝　 　°． 20．（2023•海淀区校级期末）如图，把一个长方形纸条ABCD沿AF折叠，已知∠ADB＝26°，AE∥BD，则∠BAF＝　 　． 21．（2022•昌平区校级期末）如图，将一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点C落在AB边上的点G处，点D落在点H处．若∠1＝62°，则图中∠BEG的度数为　 　． 22．（2023•海淀区校级期末）如图，将一张长方形纸片沿EF折叠后，点D落在BC上的点D'处，点C落在点C'处．若∠DEF＝62°，则∠C'FD'＝　 　°． 【题型5 利用平行线的性质进行计算与证明】 23．（2023•海淀区期末）如图，已知AC∥DE，∠D+∠BAC＝180°． （1）求证：AB∥CD； （2）连接CE，恰好满足CE平分∠ACD．若AB⊥BC，∠CED＝35°，求∠ACB的度数． 24．（2023•密云区期末）如图，点B、C在线段AD异侧，E、F分别是线段AB、CD上的点，EC和BF分别交AD于点G和点H．已知∠AEG＝∠AGE，∠DGC＝∠C，∠BEC+∠BFD＝180°．求证：EC∥BF． 25．（2023•通州区期末）如图，AE∥CD，∠DAE＝∠C． （1）求证：AD∥BC； （2）如果∠CEF＝∠B，∠BAE＝50°，求∠EFD的度数． 26．（2022•海淀区期末）如图，已知∠BAC＝90°，DE⊥AC于点H，∠ABD+∠CED＝180°． （1）求证：BD∥EC； （2）连接BE，若∠BDE＝30°，且∠DBE＝∠ABE+50°，求∠CEB的度数． 【题型6 利用平行线的性质探究角度之间的关系】 27．（2023•东城区期末）已知，直线AB∥CD，点E为直线CD上一定点，射线EK交AB于点F，FG平分∠AFK，∠FED＝α． （1）如图1，当α＝60°时，∠GFK＝　 　°； （2）点P为线段EF上一定点，点M为直线AB上的一动点，连接PM，过点P作PN⊥PM交直线CD于点N． ①如图2，当点M在点F右侧时，求∠BMP与∠PNE的数量关系； ②当点M在直线AB上运动时，∠MPN的一边恰好与射线FG平行，直接写出此时∠PNE的度数（用含α的式子表示）． 28．（2023•怀柔区期末）如图，直线BC与∠MAN的两边交于B，C两点，∠ABC＝α（0°＜α＜90°），点D是AN边上一个动点，连接DB． （1）过点B作BD⊥AM，交射线AN于点D，依题意补全图形， ①直接写出∠CBD的度数（用含α的式子表示）； ②若点E，F在AB，AD的延长线上，并且直线EF∥BC，当DE平分∠AEF时，求∠BDE的度数（用含α的式子表示）；小林在思考这道题时，想到过点D作DH∥BC交射线AB于点H，通过转化角可以求出∠BDE的度数．你可以利用小林的思路解答此题也可以独立思考求出∠BDE的度数． （2）参考小林思考问题的方法，解决问题：若点E，F在AB，AD的延长线上，并且直线EF∥BC，当点D在AN上运动时，直接用含α的等式表示∠BDE，∠DBC，∠BED的数量关系． 29．（2022•丰台区期末）阅读下列材料： 如图1．AB∥CD，E，F分别是AB，CD上的点，点P在AB，CD之间，连接PE，PF，用等式表示∠AEP，∠EPF与∠CFP的数量关系．小刚透过观察，实验，提出猜想：∠EPF＝∠AEP+∠CFP．换着他对猜想的结论进行了证明，证明思路是：过点P作PM∥AB，由AB∥CD可得PM∥CD，根据平行线的性质，可得∠1＝∠AEP，∠2＝∠CFP，从而证得∠EPF＝∠AEP+∠CFP． 请你利用小刚得到的结论或解题思路，完成下列问题． 已知AB∥CD，E，F分别是AB，CD上的点，点P在AB，CD之间，连接PE，PF． （1）如图2，若∠AEP＝45°，∠EPF＝80°，则∠PFD的度数为 　 　； （2）如图3，∠AEP与∠CFP的平分线交于点Q，用等式表示∠EPF与∠EQF的数量关系，并证明； （3）如图4，∠AEP与∠CFP的平分线交于点Q，直接用等式表示∠EPF与∠EQF的数量关系． 30．（2022•昌平区期末）如图1．直线MN与直线AB、CD分别交于点E、M、F，∠1+∠2＝180°． （1）请直接写出直线AB与CD的位置关系． （2）如图2，动点P在直线AB，CD之间，且在直线MN左侧．连接EP，FP，探究∠AEP，∠EPF．∠PFC之间的数量关系． 小明经过分析证明的过程如下： 过点P作PH∥AB． ∴∠AEP＝　 　（两直线平行，内错角相等）． ∵AB∥CD（已知）． ∴CD∥PH（平行于同一条直线的两条直线平行）． ∴∠PFC＝∠HPF（两直线平行．内错角相等）． ∵∠EPF＝∠EPH+∠HPF， ∴　 　（等量代换）． 请你补全上述的证明过程． （3）小明进一步探究，分别作出∠PEB和∠PFD的角平分线，若两条角平分线交于点Q，如图3． ①若∠EPF＝90°．则∠EQF＝　 　． ②探究∠EPF与∠EQF的数量关系，小明思路如下： 设∠EPF＝α，进一步可知∠PEB+∠PFD＝　 　．（用含α的式子表示）． 设∠EQF＝β，用等式表示α与β的数量关系 　 　． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 平行线的判定与性质【六大题型】 【题型1 平行线的判定】 1．（2023•石景山区期末）如图，下列条件中，能判断AD∥BC的是（　　） A．∠3＝∠4 B．∠1＝∠2 C．∠5＝∠C D．∠A+∠ADC＝180° 解：A、∠3＝∠4，能判定AD∥BC，故A符合题意； B、C，D中的条件能判定AB∥DC，故B、C、D不符合题意． 答案：A． 2．（2023•怀柔区期末）如图，下列判断正确的是（　　） A．若∠1＝∠2，则AB∥CD B．若∠3＝∠4，则AD∥BC C．若∠D＝∠5，则AD∥BC D．若∠B+∠BAD＝180°，则AB∥CD 解：A、若∠1＝∠2，则AD∥CB，故A不符合题意； B、若∠3＝∠4，则AB∥CD，故B不符合题意； C、若∠D＝∠5，则AD∥BC，正确，故C符合题意； D、若∠B+∠BAD＝180°，则AD∥CB，故D不符合题意． 答案：C． 3．（2023•丰台区期末）如图，只需添加一个条件，即可以证明AB∥CD，这个条件可以是 　∠BAC＝∠ACD（答案不唯一）　（写出一个即可）． 解：这个条件可以是∠BAC＝∠ACD， 理由：∵∠BAC＝∠ACD， ∴AB∥CD， 答案：∠BAC＝∠ACD（答案不唯一）． 4．（2023•通州区校级期末）如图，要得到AE∥BG的结论，需要添加的条件是 　∠EDC＝∠BCD（答案不唯一）　．（写出一个正确答案即可） 解：要得到AE∥BG的结论，则需要角相等的条件是∠EDC＝∠BCD（答案不唯一）． 答案：∠EDC＝∠BCD（答案不唯一）． 5．（2023•海淀区校级期末）如图所示，AC平分∠DAB，∠1＝∠2． 填空： ∵AC平分∠DAB， ∴∠1＝　∠BAC　． 又∵∠1＝∠2， ∴∠2＝　∠BAC　． ∴AB∥　DC　． 解：∵AC平分∠DAB， ∴∠1＝∠BAC． 又∵∠1＝∠2， ∴∠2＝∠BAC． ∴AB∥CD． 答案：∠BAC，∠BAC，CD． 【题型2 利用平行线的性质求角度】 6．（2023•大兴区期末）如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，若∠2＝45°，则∠1等于（　　） A．125° B．130° C．135° D．145° 解：如图， ∵a∥b，∠2＝45°， ∴∠3＝∠2＝45°， ∴∠1＝180°﹣∠3＝135°， 答案：C． 7．（2023•顺义区期末）如图，AB∥CD，若∠ABE＝140°，∠CDE＝100°，则∠BED的大小为（　　） A．100° B．120° C．130° D．140° 解：过点E作EF∥AB，如图： ∴EF∥AB∥CD， ∴∠ABE+∠BEF＝180°，∠FED+∠CDE＝180°， ∴∠ABE+∠BED+∠CDE＝360°， ∴∠BED＝120°． 答案：B． 8．（2023•平谷区期末）如图，点O在直线AB上，AB∥CD，EO⊥OF，若∠BOF＝55°，则∠DEO的度数是（　　） A．145° B．45° C．35° D．135° 解：∵EO⊥OF， ∴∠EOF＝90°， 又∠BOF＝55°， ∴∠EOB＝∠EOF﹣∠BOF＝90°﹣55°＝35°， ∵AB∥CD， ∴∠DEO+∠EOB＝180°， ∴∠DEO＝180°﹣∠EOB＝145°． 答案：A． 9．（2023•东城区期末）如图，AB∥CE，∠ABC＝30°，∠BDE＝45°，则∠DBC＝　15°　． 解：∵AB∥CE，∠ABC＝30°， ∴∠ABC＝∠BCE＝30°， ∵∠BDE＝45°， ∴∠DBC＝∠BDE﹣∠BCE＝45°﹣30°＝15°， 答案：15°． 10．（2023•延庆区期末）如图，直线l1，l2，l3交于一点，直线l4∥l1，若∠1＝124°，∠2＝88°，则∠3的度数为　36°　． 解：如图，∵直线l4∥l1， ∴∠1+∠AOB＝180°，而∠1＝124°， ∴∠AOB＝56°， ∴∠3＝180°﹣∠2﹣∠AOB ＝180°﹣88°﹣56° ＝36°， 答案：36°． 11．（2023•昌平区期末）某车库的门禁如图所示，点B，C为旋转轴，门禁杆放平位置AB与抬起位置A′B′平行．若∠ACB′＝88°，则∠A′B′C＝　92　°． 解：∵AB∥A′B′， ∴∠ACB′+∠A′B′C＝180°， 又∵∠ACB′＝88°， ∴∠A′B′C＝180°﹣∠ACB′＝180°﹣88°＝92°． 答案：92． 【题型3 利用平行线的性质解决三角尺问题】 12．（2023•丰台区期末）如图所示，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝145°，则∠2的大小是（　　） A．60° B．55° C．45° D．35° 解：如图， ∠3＝360°﹣∠1﹣90°＝360°﹣145°﹣90°＝125°， ∵直尺的对边互相平行， ∴∠2+∠3＝180°， ∴∠2＝180°﹣125°＝55°． 答案：B． 13．（2023•门头沟区期末）如图，将三角形的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝65°，则∠2的度数为（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 解：∵AB∥CD， ∴∠3＝∠1＝65°， ∴∠2＝180°﹣∠3﹣90°＝180°﹣65°﹣90°＝25°． 答案：D． 14．（2022•西城区校级期末）已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图方式放置（∠ABC＝30°），其中A，B两点分别落在直线m，n上，若∠1＝20°，则∠2的度数为（　　） A．20° B．30° C．45° D．50° 解：∵直线m∥n， ∴∠2＝∠ABC+∠1＝30°+20°＝50°， 答案：D． 15．（2023•东城区期末）如图，将含有60°的直角三角板的两个顶点分别放在直尺的一组对边上，如果∠1＝20°，那么∠2＝　40　°． 解：根据题意可知，两直线平行，内错角相等， ∵∠1＝20°，∠1+∠3＝60°， ∴∠3＝40°， ∵∠2＝∠3， ∴∠2＝40°． 答案：40． 16．（2023•海淀区校级期末）如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，AB∥OC，DC与OB交于点E，则∠DEO的度数为　75°　． 解：∵AB∥OC，∠A＝60°， ∴∠A+∠AOC＝180°， ∴∠AOC＝120°， ∴∠BOC＝120°﹣90°＝30°， ∴∠DEO＝∠C+∠BOC＝45°+30°＝75°． 答案：75°． 17．（2023•朝阳区校级期末）如图，m∥n，直角三角板ABC的直角顶点C在两直线之间，两直角边与两直线相交所形成的锐角分别为α、β，则α+β＝　90°　． 解：过C作CE∥m， ∵m∥n， ∴CE∥n， ∴∠1＝∠α，∠2＝∠β， ∵∠1+∠2＝90°， ∴∠α+∠β＝90°， 答案：90°． 【题型4 利用平行线的性质解决折叠问题】 18．（2022•东城区期末）如图，纸片的边缘AB，CD互相平行，将纸片沿EF折叠，使得点B，D分别落在点B'，D'处．若∠1＝80°，则∠2的度数是（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 解：∵AB∥CD， ∴∠1＝∠AEB′＝80°， ∴∠BEB′＝180°﹣∠AEB′＝100°， 由折叠得： ∠2＝∠FEB′∠BEB′＝50°， 答案：A． 19．（2023•西城区期末）如图，四边形纸片ABCD，AD∥BC，折叠纸片ABCD，使点D落在AB上的点D1处，点C落在点C1处，折痕为EF．若∠EFC＝102°，则∠AED1＝　24　°． 解：∵AD∥BC， ∴∠EFC+∠DEF＝180°， ∵∠EFC＝102°， ∴∠DEF＝78°， 由折叠性质可得∠D1EF＝∠DEF＝78°， ∴∠DED1＝78°+78°＝156°， ∴∠AED1＝180°﹣156°＝24°， 答案：24． 20．（2023•海淀区校级期末）如图，把一个长方形纸条ABCD沿AF折叠，已知∠ADB＝26°，AE∥BD，则∠BAF＝　58°　． 解：∵四边形ABCD是矩形， ∵∠BAD＝90°． ∵∠ADB＝26°， ∴∠ABD＝90°﹣26°＝64°． ∵AE∥BD， ∴∠BAE＝180°﹣64°＝116°， ∴∠BAF∠BAE＝58°． 答案：58°． 21．（2022•昌平区校级期末）如图，将一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点C落在AB边上的点G处，点D落在点H处．若∠1＝62°，则图中∠BEG的度数为　56°　． 解：∵AD∥BC， ∴∠1＝∠FEC＝62°， 由翻折可得：∠FEG＝∠FEC＝62°， ∴∠BEG＝180°﹣62°﹣62°＝56°， 答案：56° 22．（2023•海淀区校级期末）如图，将一张长方形纸片沿EF折叠后，点D落在BC上的点D'处，点C落在点C'处．若∠DEF＝62°，则∠C'FD'＝　56　°． 解：∵AD∥BC， ∴∠DEF+∠EFC＝180°，∠DEF＝∠EFB＝62°， ∴∠EFC＝118°， 由翻折可得：∠EFC′＝∠EFC＝118°， ∴∠C'FD'＝118°﹣62°＝56°， 答案：56． 【题型5 利用平行线的性质进行计算与证明】 23．（2023•海淀区期末）如图，已知AC∥DE，∠D+∠BAC＝180°． （1）求证：AB∥CD； （2）连接CE，恰好满足CE平分∠ACD．若AB⊥BC，∠CED＝35°，求∠ACB的度数． （1）证明：∵AC∥DE， ∴∠D+∠ACD＝180°， 又∵∠D+∠BAC＝180°， ∴∠ACD＝∠BAC， ∴AB∥CD． （2）解：连接CE， ∵AC∥DE，∠CED＝35°， ∴∠ACE＝∠CED＝35°， ∵CE平分∠ACD， ∴∠ACD＝2∠ACE＝70°， 由（1）知：AB∥CD， ∴∠BAC＝∠ACD＝70°， 又∵AB⊥BC， ∴∠B＝90°， ∴∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣90°﹣70°＝20°． 24．（2023•密云区期末）如图，点B、C在线段AD异侧，E、F分别是线段AB、CD上的点，EC和BF分别交AD于点G和点H．已知∠AEG＝∠AGE，∠DGC＝∠C，∠BEC+∠BFD＝180°．求证：EC∥BF． 证明：∵∠AEG＝∠AGE，∠C＝∠DGC，∠AGE＝∠DGC， ∴∠AEG＝∠C， ∴AB∥CD； ∴∠B＝∠BFD， ∵∠BEC+∠BFD＝180°， ∴∠B+∠BEC＝180°， ∴BF∥CE． 25．（2023•通州区期末）如图，AE∥CD，∠DAE＝∠C． （1）求证：AD∥BC； （2）如果∠CEF＝∠B，∠BAE＝50°，求∠EFD的度数． （1）证明：∵AE∥CD， ∴∠AEB＝∠C， ∵∠DAE＝∠C， ∴∠AEB＝∠DAE， ∴AD∥BC； （2）解：∵∠CEF＝∠B， ∴AB∥FE， ∴∠BAE＝∠AEF＝50°， ∵AE∥DC， ∴∠EFD＝180°﹣∠AEF＝130°， ∴∠EFD的度数为130°． 26．（2022•海淀区期末）如图，已知∠BAC＝90°，DE⊥AC于点H，∠ABD+∠CED＝180°． （1）求证：BD∥EC； （2）连接BE，若∠BDE＝30°，且∠DBE＝∠ABE+50°，求∠CEB的度数． （1）证明：∵DE⊥AC， ∴∠AHE＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAC＝∠AHE＝90°， ∴BA∥DE， ∴∠ABD+∠BDE＝180°， ∵∠ABD+∠CED＝180°， ∴∠BDE＝∠CED， ∴BD∥EC； （2）解：如图， 由（1）可得，∠ABD+∠BDE＝180°， ∵∠BDE＝30°， ∴∠ABD＝180°﹣∠BDE＝180°﹣30°＝150°， ∵∠DBE＝∠ABE+50°， ∴∠ABD＝∠ABE+∠DBE＝∠ABE+∠ABE+50°＝2∠ABE+50°＝150°， ∴∠ABE＝50°， ∴∠DBE＝∠ABE+50°＝50°+50°＝100°， ∵BD∥EC， ∴∠DBE+∠CEB＝180°， ∴∠CEB＝180°﹣∠DBE＝180°﹣100°＝80°． 【题型6 利用平行线的性质探究角度之间的关系】 27．（2023•东城区期末）已知，直线AB∥CD，点E为直线CD上一定点，射线EK交AB于点F，FG平分∠AFK，∠FED＝α． （1）如图1，当α＝60°时，∠GFK＝　60　°； （2）点P为线段EF上一定点，点M为直线AB上的一动点，连接PM，过点P作PN⊥PM交直线CD于点N． ①如图2，当点M在点F右侧时，求∠BMP与∠PNE的数量关系； ②当点M在直线AB上运动时，∠MPN的一边恰好与射线FG平行，直接写出此时∠PNE的度数（用含α的式子表示）． 解：（1）∵AB∥CD， ∴∠KFB＝∠FED＝α， ∵∠AFK+∠KFB＝180°， ∴∠AFK＝180°﹣∠KFB＝180°﹣α， ∵FG平分∠AFK， ∴ ∵α＝60°， ∴． （2）①∠BMP与∠PNE的数量关系是：∠BMP﹣∠PNE＝90°． 理由如下： 延长MP交CD于点Q， ∵AB∥CD， ∴∠BMP+∠PQN＝180°， ∵PN⊥PM， ∴∠MPN＝90°， ∴∠PQN+∠PNE＝∠MPN＝90°， ∴∠PQN＝90°﹣∠PNE， ∴∠BMP+90°﹣∠PNE＝180°， ∴∠BMP﹣∠PNE＝90°． ②∠PNE的度数为：或． 理由如下： ∵∠MPN的一边恰好与射线FG平行， ∴有以下两种情况， （ⅰ）当PN与射线FG平行时，设∠PNE＝θ， 延长NP∠AB于点H， ∵AB∥CD， ∴∠PHF＝∠PNE＝θ，∠PFH＝∠FED＝α， ∵PN∥FG， ∴∠HPF＝∠GFK， 由（1）可知：， ∴， ∵∠PHF+∠PFH+∠HPF＝180°， ∴， ∴， ∴， （ⅱ）当PM与射线FG平行时， ∵PM∥FG， ∴， ∵PN⊥PM， ∴∠MPN＝90°， ∴∠MPF+∠NPE＝90°， ∴， ∵∠FPD＝∠NPE+∠PNE， ∴． 28．（2023•怀柔区期末）如图，直线BC与∠MAN的两边交于B，C两点，∠ABC＝α（0°＜α＜90°），点D是AN边上一个动点，连接DB． （1）过点B作BD⊥AM，交射线AN于点D，依题意补全图形， ①直接写出∠CBD的度数（用含α的式子表示）； ②若点E，F在AB，AD的延长线上，并且直线EF∥BC，当DE平分∠AEF时，求∠BDE的度数（用含α的式子表示）；小林在思考这道题时，想到过点D作DH∥BC交射线AB于点H，通过转化角可以求出∠BDE的度数．你可以利用小林的思路解答此题也可以独立思考求出∠BDE的度数． （2）参考小林思考问题的方法，解决问题：若点E，F在AB，AD的延长线上，并且直线EF∥BC，当点D在AN上运动时，直接用含α的等式表示∠BDE，∠DBC，∠BED的数量关系． 解：（1）如图，过点B作BD⊥AM，交射线AN于点D． ①∵∠ABD＝∠ABC+∠CBD＝α+∠CBD＝90°， ∴∠CBD＝90°﹣α． ②∵EF∥BC， ∴∠AEF＝∠ABC＝α． 又∵DE平分∠AEF， ∴∠AED， ∴∠BDE＝180°﹣∠EBD﹣∠AED＝180°﹣90°90°． （2）当点D在AC（不含点A、C）上时：过点D作DH∥BC，交AM于点H，连接BD、DE． ∵DH∥BC， ∴∠BDH＝∠DBC， ∴∠HDE＝∠BDH+∠BDE＝∠DBC+∠BDE， ∴∠HDE+∠BED＝∠AHD， ∴∠DBC+∠BDE+∠BED＝∠AHD， ∵DH∥BC， ∴∠AHD＝∠ABC＝α， ∴∠BDE+∠DBC+∠BED＝α； 当点D在CF（不含点C）上时：过点D作DH∥BC，交AM于点H，连接BD、DE． ∵DH∥BC， ∴∠BDH＝∠DBC， ∵EF∥BC， ∴∠AEF＝∠ABC＝α， ∴∠HDE＝∠DEF＝∠AEF﹣∠BED＝α﹣∠BED， ∴∠BDE＝∠BDH+∠HDE＝∠DBC+α﹣∠BED， ∴∠BDE﹣∠DBC+∠BED＝α； 当点D在AF的延长线上时：过点D作DH∥BC，交AM于点H，连接BD、DE． ∵DH∥BC， ∴∠BDH＝∠DBC， ∴∠EDH＝∠BDH﹣∠BDE＝∠DBC﹣∠BDE， ∵DH∥BC，EF∥BC， ∴DH∥EF， ∴∠DEF＝∠EDH＝∠DBC﹣∠BDE， ∴∠AEF＝∠BED﹣∠DEF＝∠BED﹣（∠DBC﹣∠BDE）， ∵EF∥BC， ∴∠AEF＝∠ABC＝α， ∴∠BED﹣（∠DBC﹣∠BDE）＝α， ∴∠BDE﹣∠DBC+∠BED＝α． 综上，∠BDE，∠DBC，∠BED的数量关系为∠BDE+∠DBC+∠BED＝α或∠BDE﹣∠DBC+∠BED＝α． 29．（2022•丰台区期末）阅读下列材料： 如图1．AB∥CD，E，F分别是AB，CD上的点，点P在AB，CD之间，连接PE，PF，用等式表示∠AEP，∠EPF与∠CFP的数量关系．小刚透过观察，实验，提出猜想：∠EPF＝∠AEP+∠CFP．换着他对猜想的结论进行了证明，证明思路是：过点P作PM∥AB，由AB∥CD可得PM∥CD，根据平行线的性质，可得∠1＝∠AEP，∠2＝∠CFP，从而证得∠EPF＝∠AEP+∠CFP． 请你利用小刚得到的结论或解题思路，完成下列问题． 已知AB∥CD，E，F分别是AB，CD上的点，点P在AB，CD之间，连接PE，PF． （1）如图2，若∠AEP＝45°，∠EPF＝80°，则∠PFD的度数为 　145°　； （2）如图3，∠AEP与∠CFP的平分线交于点Q，用等式表示∠EPF与∠EQF的数量关系，并证明； （3）如图4，∠AEP与∠CFP的平分线交于点Q，直接用等式表示∠EPF与∠EQF的数量关系． 解：（1）∵∠EPF＝∠AEP+∠CFP， ∴∠CFP＝80°﹣45°＝35°， ∴∠PFD＝145°． 答案：145°． （2）由已知结论得∠EPF＝∠AEP+∠CFP，∠EQF＝∠AEQ+∠CFQ， ∵EQ，FQ分别平分∠AEP，∠CFP， ∴∠AEP＝2∠AEQ，∠CFP＝2∠CFQ， ∴∠EPF＝2∠EQF． （3）∵EQ，FQ分别平分∠AEP，∠CFP， ∴∠AEQ＝∠PEQ，∠CFQ＝∠PFQ， ∵∠EQF＝∠AEQ+∠CFQ， ∴∠EQF＝∠PEQ+∠PFQ， ∵∠EQF+∠PEQ+∠PFQ+∠EPF＝360°， ∴2∠EQF+∠EPF＝360°． 30．（2022•昌平区期末）如图1．直线MN与直线AB、CD分别交于点E、M、F，∠1+∠2＝180°． （1）请直接写出直线AB与CD的位置关系． （2）如图2，动点P在直线AB，CD之间，且在直线MN左侧．连接EP，FP，探究∠AEP，∠EPF．∠PFC之间的数量关系． 小明经过分析证明的过程如下： 过点P作PH∥AB． ∴∠AEP＝　∠EPH　（两直线平行，内错角相等）． ∵AB∥CD（已知）． ∴CD∥PH（平行于同一条直线的两条直线平行）． ∴∠PFC＝∠HPF（两直线平行．内错角相等）． ∵∠EPF＝∠EPH+∠HPF， ∴　∠EPF＝∠AEP+∠PFC　（等量代换）． 请你补全上述的证明过程． （3）小明进一步探究，分别作出∠PEB和∠PFD的角平分线，若两条角平分线交于点Q，如图3． ①若∠EPF＝90°．则∠EQF＝　135°　． ②探究∠EPF与∠EQF的数量关系，小明思路如下： 设∠EPF＝α，进一步可知∠PEB+∠PFD＝　360°﹣α　．（用含α的式子表示）． 设∠EQF＝β，用等式表示α与β的数量关系 　β＝180°　． 解：（1）AB∥CD，理由如下： ∵∠BEF＝∠1，∠DFE＝∠2，∠1+∠2＝180° ∴∠BEF+∠DFE＝∠1+∠2＝180°， ∴AB∥CD； （2）过点P作PH∥AB． ∴∠AEP＝∠EPH（两直线平行，内错角相等）． ∵AB∥CD（已知）． ∴CD∥PH（平行于同一条直线的两条直线2F平行）． ∴∠PFC＝∠HPF（两直线平行．内错角相等）． ∵∠EPF＝∠EPH+∠HPF， ∴∠EPF＝∠AEP+∠PFC（等量代换）． 答案：∠EPH；∠EPF＝∠AEP+∠PFC； （3）①由（2）得：∠EPF＝∠AEP+∠PFC， ∵∠EPF＝90°， ∴∠AEP+∠PFC＝90°， ∵∠PEB＝180°﹣∠AEP，∠PFD＝180°﹣∠PFC， ∴∠PEB+∠PFD＝360°﹣（∠AEP+∠PFC）＝270°， ∵EQ平分∠PEB，FQ平分∠PFD， ∴∠PEQ∠PEB，∠PFQ∠PFD， ∴∠PEQ+∠PFQ（∠PEB+∠PFD）＝135°， ∴∠EQF＝360°﹣∠EPF﹣（∠PEQ+∠PFQ）＝135°； 答案：135°； ②设∠EPF＝α， 由①可得：∠PEB+∠PFD＝360°﹣α， 设∠EQF＝β， 由①得：180°． 答案：360°﹣α，β＝180°． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$