专题07 相交线与平行线压轴题分类训练2(动点求值和探究数量关系）-2023-2024学年七年级数学下册期末复习高频考题专项训练（人教版，重庆专用）

专题07 相交线与平行线压轴题分类训练2 (动点求值和探究数量关系） 目录 【题型1压轴题动点求值】 1 【题型2压轴题探究两角的关系】 8 【题型3压轴题探究三角的关系】 13 【题型1压轴题动点求值】 1．如图，已知，点，分别在直线，上，点是，之间的一个动点．           图1                        图2                           备用图 (1)如图1，当点在线段的左侧时，求证：． (2)如图2，当点在线段的右侧时，，，之间的数量关系为______ (3)若，的平分线交于点，且，求的度数． 2．如图，，定点E，F分别在直线，上，平行线，之间有一动点P． (1)如图1，试问，，满足怎样的数量关系？请直接写出结论； (2)如图2，试问，，满足怎样的数量关系？并说明理由； (3)若，和的角平分线交于点Q，请直接写出的度数． 3．如图，，点为直线上一定点，为直线上的动点，在直线与之间且在线段的右方作点，使得．设（为锐角）．    (1)求与的和； (2)当点在直线上运动时，试说明； (3)当点在直线上运动的过程中，若平分，也恰好平分，请求出此时的值．    4．如图，，平分，点在射线上，，垂足为点，平分，交射线于点，动点从点出发沿射线运动，连接． (1)当平分时，__________； (2)当时，求的度数； (3)当时，求的度数． 5．如图1，已知直线，点C为射线上一动点，过点C作交于点D，点E在线段上，． (1)写出一个与相等的角____________________（写一个即可）； (2)如图2，点F在线段上，，．求的度数； (3)点F是直线上的一点，，，，在点C的运动过程中（点C与点B不重合，点A与点F不重合），求的度数（结果用表示）． 6．如图，直线 ，A、N为直线上的点，过点A的直线交于点B，C在线段的延长线上．D，E为直线上的两个动点，D在B的右侧，E在D的右侧，连接，，满足．点M在上，且在点B的左侧． (1)如图1，若，，则的度数为__________； (2)如图2，射线为的角平分线． ①用等式表示与之间的数量关系，并给出证明； ②当时，的度数为__________． 7．【阅读与思考】 如图，已知 ，．点 是射线 上一动点与点不重合，、 分别平分 和，分别交射线 于点 ，．    【思考与探究】 (1)① 的度数是 ；② ， ；③ 的度数是 ； 【猜想与探究】 (2)当点 运动时， 与 之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由：若变化，请写出变化规律； (3)当点 运动到使 时，的度数是多少 8．【问题背景】 如图，射线分别交直线，于点A，E，． 【探索求证】 （1）求证：； 【问题解决】 （2）如图2，G为射线上一动点，连接，若，探究，，之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，连接，延长交射线于点H，N为线段上一动点．连接，若平分，平分，当时，求的值． 9．如图，直线，点是，之间的一个动点． (1)如图1，求证； (2)小明把一块三角板如图2放置，点，是三角板的边与平行线的交点． ①若，求的度数； ②如图3，点在线段上，连接，当，求的值． 10．如图，已知，平分交于E点，点F是上一动点（点F在的上方）．          (1)如图1，当时，若，求的度数； (2)如图2，当时，判断与数量上有何关系？并说明理由； (3)若，，分别作和的平分线和且交于点G，如图3，求出的度数（用含和的式子表示）． 11．如图，已知，点是射线上一动点与点不重合，，分别平分和，分别交射线于点，．    (1)当时，的度数是 ，的度数是 ． (2)当 时，求的度数用含的式子表示； (3)当点运动到使， 时，求的度数用含的代子表示 12．已知直线，点为直线，间的动点，和的角平分线相交于点． (1)如图1，当，，求的度数； (2)如图1，当时，直接写出的度数；（用含的代数式表示） (3)如图2，点在直线，间运动到某一处，此时恰好，，求的度数． 13．如图，，平分，设为α，点E是射线上的一个动点．    (1)若时，且，求的度数． (2)若点E运动到l1上方，且满足,，求α的值． (3)若，求的度数（用含n和α的代数式表示）． 14．已知直线分别与直线，交于点，，平分交直线于点，且，点是射线上的一个动点（不与点，重合），平分，交直线于点，过点作，交于点，设，．    (1)如图①，求证； (2)如图②，当点H在点F的右侧时，，求的度数． 15．如图，直线，点C是之间（不在直线上）的一个动点．    (1)若与都是锐角，如图甲，请直接写出与之间的数量关系； (2)若把一块三角尺（）按如图乙方式放置，点D，E，F是三角尺的边与平行线的交点，若，求的度数； (3)将图乙中的三角尺进行适当转动，如图丙，直角顶点C始终在两条平行线之间，点G在线段上，连接，且有，求值． 16．已知：如图，，点G、H分别在直线上的定点，点P是直线上的一个动点，且不在直线上，连接． (1)如图1，求证：． (2)如图2，若，，求的度数． (3)若平分．，．且，直接用含的代数式表示的度数为：______ 17．如图①，已知：平分，平分，且． (1)求证：； (2)若射线、分别在、内部，且，如图②，当时，直接写出的值； (3)H是直线上一动点（不与点D重合），平分交直线于点P．设，直接写出的度数（用含x的代数式表示）． 18．如图，直线，点、分别在上，连结平分交于点，动点在线段上（不与点，点重合），连结． (1)填空：______； (2)探索，，三者之间的等量关系，并说明理由； (3)若，且，求的值． 19．如图①，已知：平分，平分，且． (1)求证：； (2)若射线、分别在、内部，且，如图②．当时，直接写出的值； (3)是直线上一动点（不与点重合），平分交直线于点．设，直接写出的度数（用含的代数式表示）． 20．（本题满分10分）综合与实践课上，同学们以“ 一个含 角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．如图，已知两直线a，b，且，三角形是直角三角形，，，． 操作发现： （1）如图1，若，求 的度数； （2）如图 2，创新小组的同学把直线a 向上平移，并把 的位置改变，发现，请说明理由． 实践探究： （3）缜密小组在创新小组发现的结论的基础上，将图 2 中的图形继续变化得到图 3 ， 平分，此时发现与又存在新的数量关系．请写出 与的数量关系并说明理由． 【题型2压轴题探究两角的关系】 21．已知，直线分别与直线相交于点G，H，并且． (1)如图1，求证：； (2)有一点在直线之间且在直线左侧，连接； ①如图2，当，时，求的度数； ②如图3，是的平分线，交于点O，是的平分线，作．设，，求和满足的数量关系． 22．已知E、F分别是、上的动点，P也是平面内的一动点． (1)如图1，若，求证：． (2)如图2，若，求证： (3)如图3，，移动E、F，使，试探索与的数量关系，并说明理由． 23．已知：直线被线段截于A，B两点，且，点C是线段上一定点，D是直线上一动点，连接 ，过点C作交直线于点E． (1)若点D在射线AN上时，如图1所示． ①依题意，补全图形； ②请写出和的数量关系，并证明． (2)若点D在射线上运动时，直接写出和的数量关系，不必证明． 24．已知直线，点是直线上的一个动点（不与点重合），平分，交直线于点． (1)如图，当点在点左侧时，若，请直接写出的度数，不必说明理由； (2)若，平分，交直线于点． ①如图，若点在点左侧运动时，的度数是否会发生变化？若不变，求出该度数；若变化，请说明理由； ②与之间存在怎样的数量关系？请写出结论，并说明理由． 25．已知，如图①，图②，． (1)如图①中，，判断图中平行的直线，并给予证明； (2)如图②中，，，请直接写出与的数量关系． 26．如图，已知，点在直线之间． (1)求证：； (2)若平分，将线段沿平移至． ①如图2，若平分，求的度数； ②如图3，若平分，试判断与的数量关系并说明理由． 27．已知：．          图1                       图2 (1)如图1，求证：； (2)如图2，平分平分交直线于点，交于点． ①若，求的度数； ②过点作交的延长线于点平分交的延长线于点，试判断与的数量关系，并说明理由． 28．平行直线与被直线所截．    (1)如图1，点E在 之间的直线上，P、Q分别在直线上，连接，若 ，求 的值； (2)如图2，点E在之间的直线上， P、Q分别在直线上，连接， 平分 ，平分 则 和 之间有什么数量关系，请写出你的结论并说明理由． 29．已知：，一块三角板中，，将三角板如图所示放置，使顶点落在边上，经过点作直线交边于点，且点在点的左侧． (1)如图，若，则______； (2)若的平分线交边于点， ①如图，当，且时，试说明：； ②如图，当保持不变时，试求出与之间的数量关系． 30．（1）如图1，已知直线，且和分别交于两点，点在上，则的等量关系是________．如图2，点A在B处北偏东方向，在C处的北偏西方向，则________． （2）如图3，和的平分线交于交于点，试说明：；并探究与的数量关系． 【题型3压轴题探究三角的关系】 31．【问题初探】（1）课堂上，李老师提出下面问题：如图1，直线，点分别在和上，求证：． 请你利用平行线的知识，给予证明； 【类比拓展】（2）如图2，，若平分平分，两角平分线交于点，探究与的数量关系，并说明理由． 【学以致用】（3）如图3所示，，点、在之间，且位于的异侧，连，若，则三个角之间存在何种数量关系，并说明理由．             32．如图①，，，求的度数．小明的思路是：如图①，过点P作，通过平行线的性质来求的度数．    (1)按小明的思路，易求得的度数为_______；（说明理由） (2)如图②，，点P在线段上运动，记，，问与之间有何数量关系？请说明理由． 33．如图，已知直线，点A、B分别在与上．直线和直线、交于点C和D，在直线上有一点P． (1)如果P点在C、D之间运动时，问有怎样的数量关系？请说明理由． (2)若点P在C、D两点的外侧运动时（P点与点C、D不重合），试探索之间的关系又是如何？ 34．如图1，直线分别交，于点E，F（点F在点E的右侧），若．    (1)求证：； (2)如图2，点，在，之间，且位于的两侧，连接，若，则，，三个角之间存在何种数量关系，并说明理由． 35．如图，， (1)在图1中，写出的数量关系，并说明理由； (2)在图2中，（1）的结论是否成立？若成立，请证明，若不成立，请你探究的数量关系，并写出你探究的结论． 36．如图，平分，将射线沿着方向平移，得到射线，交于点，点在点的右侧． (1)若，求的度数． (2)点是射线上一点（不与点，点重合）．连接． ①若点在射线上，延长交于点，且，求证：． ②试判断与的数量关系，并说明理由． 37．已知：如图，，点，分别在，上． (1)如图1，已知点在线段上， ，则___________； (2)如图2，当动点在线段上运动时（不包括，两点），，与之间有何数量关系？并说明理由 (3)当动点在直线（线段除外）上运动时，（2）中的结论是否仍然成立？如果不成立，请直接写出，与之间满足的数量关系． 38．如图，直线，直线l3与直线、分别交于点C、点D，点A、点B分别是直线、上的点，且在直线的同侧，点P在直线上．    (1)图1，若点P在线段上时，，请说明理由； (2)图2，若点P在的下方时，，，三角有什么关系？请说明理由； (3)图3，若点P在直线的上方时，请直接写出，，三角的关系． 39．已知直线，点A、C在直线上，点B、D在直线上． (1)如图1，若，，且，求的度数； (2)如图2，若，平分，，过D点作交于F，求证：； (3)如图3，若，直线和直线相交于K，点H在直线上，探究、和之间的数量关系，请直接写出结论． 40．已知如图，，点分别在上，平分． (1)若，，分别求的度数； (2)探求与的数量关系（)． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 相交线与平行线压轴题分类训练2 (动点求值和探究数量关系） 目录 【题型1压轴题动点求值】 1 【题型2压轴题探究两角的关系】 42 【题型3压轴题探究三角的关系】 62 【题型1压轴题动点求值】 1．如图，已知，点，分别在直线，上，点是，之间的一个动点．           图1                        图2                           备用图 (1)如图1，当点在线段的左侧时，求证：． (2)如图2，当点在线段的右侧时，，，之间的数量关系为______ (3)若，的平分线交于点，且，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】本题主要考查了平行线的性质，平行公理及推论等知识点：两条直线平行于第三条直线时，两条直线平行：两直线平行，内错角相等，同旁内角互补，作辅助线后能求出各个角的度数，是解此题的关键． （1）点P作直线，根据平行线性质及角度加减即可得到； （2）点P作直线，根据平行线性质及角度加减即可得到； （3）在（1）（2）的基础上作出图形，根据邻补角得到、的和，结合角平分线得到两半角之和，根据（2）的结论即可得到答案． 【详解】（1）证明：过点P作直线， 得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：过点P作直线， 得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：当点P在线段左侧时，如下图所示， ∵，， ∴， ∴； 当点P在线段右侧时，如下图所示， ∵，， ∴， ∴， ∴； ∴的度数为或． 2．如图，，定点E，F分别在直线，上，平行线，之间有一动点P． (1)如图1，试问，，满足怎样的数量关系？请直接写出结论； (2)如图2，试问，，满足怎样的数量关系？并说明理由； (3)若，和的角平分线交于点Q，请直接写出的度数． 【答案】(1)； (2)，理由见解析 (3)或 【分析】本题考查了平行线的性质、平行公理推论、角平分线的定义等知识点，通过作辅助线，构造平行线是解题关键． （1）过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，然后根据平行线的性质可得，最后根据角的和差即可得出结论； （2）当点在的右侧时，画出图形，过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，然后根据平行线的性质可得，最后根据角的和差即可得出结论； （3）分两种情况讨论，①如图，当在的左侧时，如图，当在的右侧时，再结合（1）（2）的结论进一步求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）如图，当点在的右侧时，， 如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）①如图，当在的左侧时， 平分，平分， ， ， 由（1）可知，， ， 由（2）可知，， ， 解得， 如图，当在的右侧时， 平分，平分， ， ， 由（1）可知，， ， 由（2）可知，， ， 解得， 综上：为或． 3．如图，，点为直线上一定点，为直线上的动点，在直线与之间且在线段的右方作点，使得．设（为锐角）．    (1)求与的和； (2)当点在直线上运动时，试说明； (3)当点在直线上运动的过程中，若平分，也恰好平分，请求出此时的值． 【答案】(1)； (2)详见解析 (3)． 【分析】本题主要考查的是平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键． （1）过点作，根据平行的性质可得，，即可得，问题随之得解； （2）由（1）得：，结合，即可得作答； （3）根据角平分线的定义有，，再根据平行的性质可得，即有，在结合（2）的结论即可作答． 【详解】（1）解：如图，过点作，则．    ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）得：， 则． ∵， ∴， ∴． （3）解：若平分，也恰好平分， 则有，，． ∵， ∴， ∴． 由（2）知：， 则， 解得：． 4．如图，，平分，点在射线上，，垂足为点，平分，交射线于点，动点从点出发沿射线运动，连接． (1)当平分时，__________； (2)当时，求的度数； (3)当时，求的度数． 【答案】(1)67.5 (2) (3) 【分析】本题考查了垂线的定义、平行线的性质、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）由垂线的定义可得，由角平分线的定义得出，，再由计算即可； （2）由平行线的性质得出，由垂线的定义得出，最后再由计算即可得出答案； （3）由垂线的定义得出，，由角平分线的定义得出，再由计算即可得出答案． 【详解】（1）解：， ， 平分， ， 平分， ， ， 故答案为：67.5； （2）解：如图，， ， ； ， ， ， ， ； （3）解：如图，， ， ， ， ， 平分， ， ． 5．如图1，已知直线，点C为射线上一动点，过点C作交于点D，点E在线段上，． (1)写出一个与相等的角____________________（写一个即可）； (2)如图2，点F在线段上，，．求的度数； (3)点F是直线上的一点，，，，在点C的运动过程中（点C与点B不重合，点A与点F不重合），求的度数（结果用表示）． 【答案】(1)（或） (2) (3)的度数为或 【分析】本题主要考查了平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等． （1）根据同角的余角相等以及平行线的性质，即可得到与相等的角； （2）根据，可得，再根据，即可得到； （3）分两种情况讨论：当点F在线段上；点F在延长线上，根据平行线的性质，即可得到的度数为或． 【详解】（1）解：与相等的角为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与相等的角为， 故答案为：（或）； （2）解：，， ， 又， ， ； （3）解：有两种情况： 如图，点F在线段上， ， ，， ， 又， ， ， ， ． 如图，点F在延长线上， ， ，， ， 又， ， ， ， 综上所述，的度数为或． 6．如图，直线 ，A、N为直线上的点，过点A的直线交于点B，C在线段的延长线上．D，E为直线上的两个动点，D在B的右侧，E在D的右侧，连接，，满足．点M在上，且在点B的左侧． (1)如图1，若，，则的度数为__________； (2)如图2，射线为的角平分线． ①用等式表示与之间的数量关系，并给出证明； ②当时，的度数为__________． 【答案】(1) (2)①，证明见解析；②或 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，角的等量代换等，灵活运用平行线的性质和角平分线定义等量代换出角的关系是解题的关键． （1）由平行线的性质得到，，再利用角的等量代换换算即可； （2）①设，，利用角平分线的定义和角的等量代换表示出对比即可；②分“当点在点右侧时”、“当点在点左侧，点在点右侧时”、“当点和点在点左侧时”，三种情况分类讨论，运用角的等量代换换算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：①． 证明如下：如图，设在上有一点在点的右侧，设，， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴； ②如图，当点在点右侧时， 由①得：， 又∵， ∴， 又∵， ∴； 如图，当点在点左侧，点在点右侧时， ∵为的角平分线， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； 如图，当点和点在点左侧时，设在上有一点在点的右侧， ∵为的角平分线， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴ ， 又∵， ∴， ∴， 综上所述，的度数为或， 故答案为：或． 7．【阅读与思考】 如图，已知 ，．点 是射线 上一动点与点不重合，、 分别平分 和，分别交射线 于点 ，．    【思考与探究】 (1)① 的度数是 ；② ， ；③ 的度数是 ； 【猜想与探究】 (2)当点 运动时， 与 之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由：若变化，请写出变化规律； (3)当点 运动到使 时，的度数是多少 【答案】(1)①；②；③ (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）①由平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补可直接求出； ②由平行线的性质，两直线平行，内错角相等可直接写出； ③由角平分线的定义可以证明 ，即可求出结果； （2）证，，即可推出结论； （3）可先证明，由（1），可推出，所以，则可求出的度数． 【详解】（1）解：① ，， ， 故答案为：； ② ， ， 故答案为：； ③ ， ， ， ， 平分，平分， ，， ， ； （2），理由如下： ， ，， 平分， ， ； （3） ， ， 当时， 则有， ， ， 由（1）， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质等，解题关键是能熟练运用平行线的性质并能灵活运用角平分线的定义． 8．【问题背景】 如图，射线分别交直线，于点A，E，． 【探索求证】 （1）求证：； 【问题解决】 （2）如图2，G为射线上一动点，连接，若，探究，，之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，连接，延长交射线于点H，N为线段上一动点．连接，若平分，平分，当时，求的值． 【答案】（1）见解析，（2），（3） 【分析】（1）根据对顶角相等结合已知求出，根据平行线的判定得出结论； （2）根据平行线的性质，得到，结合可得答案； （3）根据平行线的性质和角平分线定义求出，，由平行线的性质得到，再求出，进而可计算的值， 本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， （3）由（1）知， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 9．如图，直线，点是，之间的一个动点． (1)如图1，求证； (2)小明把一块三角板如图2放置，点，是三角板的边与平行线的交点． ①若，求的度数； ②如图3，点在线段上，连接，当，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）过点作，则，由平行线的性质可得，，即可得证； （2）①由（1）中的关系可得，求出，即可得解；②设，则，由（1）中的关系可得，从而得出，代入计算即可得解． 【详解】（1）证明：如图1，过点作， ， ， ，， ． （2）①解：， ， 由（1）可得，， ， ；                          ②解：设，则， 由（1）可得， ， ， ． 10．如图，已知，平分交于E点，点F是上一动点（点F在的上方）．          (1)如图1，当时，若，求的度数； (2)如图2，当时，判断与数量上有何关系？并说明理由； (3)若，，分别作和的平分线和且交于点G，如图3，求出的度数（用含和的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是角平分线的定义，平行公理的应用，平行线的性质，熟记平行线的性质是解本题的关键； （1）先证明，，再结合平行线的性质建立方程可得答案； （2）过F点作，则，设，可得，证明，可得，，结合角平分线证明，从而可得结论； （3）过F点作，过G点作，证明，，，证明，再结合角平分线的性质可得，再进一步可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∵，CE平分， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下： 如图，过F点作，则， 即 设， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （3）如图，过F点作，过G点作， ∴ ， ∵，， ∴，，， ∵， ∴，，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴ ∴ ∵平分， ∴ 又∵，，， ∴， ∴； 11．如图，已知，点是射线上一动点与点不重合，，分别平分和，分别交射线于点，．    (1)当时，的度数是 ，的度数是 ． (2)当 时，求的度数用含的式子表示； (3)当点运动到使， 时，求的度数用含的代子表示 【答案】(1)，； (2) (3) 【分析】（1）由平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补可直接求出；由角平分线的定义可以证明 ，即可求出结果； （2）同（1）的方法，即可求解； （3）可先证明，由（）得， ，所以 ，则可求出的度数． 【详解】（1）解： ，， ， ； 平分，平分， ，， ， ， 故答案为：，； （2）解： ， ， ； 平分，平分， ，， ， ， ； （3）解： ， ， 当时， 则有， ， ， 的度数为， 由（），， ， ， ． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质等，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 12．已知直线，点为直线，间的动点，和的角平分线相交于点． (1)如图1，当，，求的度数； (2)如图1，当时，直接写出的度数；（用含的代数式表示） (3)如图2，点在直线，间运动到某一处，此时恰好，，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）如图所示，过点F作，则，由平行线的性质得到，由平角的定义求出，，再根据角平分线的定义求出，由此求出的度数即可求出的度数； （2）如图所示，过点C作，则，由平行线的性质得到，进而得到，再仿照（1）求出，则； （3）根据平行线的性质推出，再由（2）的结论得到方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，过点F作， ∵，， ∴． ∴， ∵，， ∴，， ∵和的角平分线相交于点， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图所示，过点C作， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 由（1）可知， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴， 由（2）可得， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟知角平分线的性质，添加平行线探究角的关系是解题的关键． 13．如图，，平分，设为α，点E是射线上的一个动点．    (1)若时，且，求的度数． (2)若点E运动到l1上方，且满足,，求α的值． (3)若，求的度数（用含n和α的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线的定义求解即可； （2）先根据已知求得，再根据平行线的性质和角平分线的定义求得即可求解； （3）分点E运动到上方和点E运动到和之间两种情况，利用平行线的性质和角平分线的定义分别求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图1，点E运动到l1上方，    ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （3）解：当点E运动到上方时，如图1， ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 当点E运动到和之间时，如图2，      同理可得， ∵， ∴， ∴； 综上，的度数为或． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义、角的运算，熟练掌握平行线的性质和角度之间的运算是解答的关键． 14．已知直线分别与直线，交于点，，平分交直线于点，且，点是射线上的一个动点（不与点，重合），平分，交直线于点，过点作，交于点，设，．    (1)如图①，求证； (2)如图②，当点H在点F的右侧时，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据角平分线的定义可得，再利用等量代换可得，然后利用内错角相等，两直线平行可得，即可解答； （2）根据平行线的性质可得，从而利用平角定义可得，再根据角平分线的定义可得，，从而可得，然后利用平行线的性质可得，即可解答． 【详解】（1）解：证明：平分， ， ， ， ； （2）， ， ， 平分，平分， ，， ， ， ， 的度数为． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 15．如图，直线，点C是之间（不在直线上）的一个动点．    (1)若与都是锐角，如图甲，请直接写出与之间的数量关系； (2)若把一块三角尺（）按如图乙方式放置，点D，E，F是三角尺的边与平行线的交点，若，求的度数； (3)将图乙中的三角尺进行适当转动，如图丙，直角顶点C始终在两条平行线之间，点G在线段上，连接，且有，求值． 【答案】(1) (2) (3)2 【分析】（1）过C作，根据平行线的性质证明即可； （2）根据（1）的结论可得，再结合平行线性质即可求解； （3）设，则，结合（1）中结论即可求出． 【详解】（1）解：； 理由：如图，过C作，    ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴ ， ∴ 由（1）可得，， ∴， ∴； （3）解：设，则， 由（1）可得，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，正确作出辅助线是关键． 16．已知：如图，，点G、H分别在直线上的定点，点P是直线上的一个动点，且不在直线上，连接． (1)如图1，求证：． (2)如图2，若，，求的度数． (3)若平分．，．且，直接用含的代数式表示的度数为：______ 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)或 【分析】（1）根据平行线的性质得到，由此即可证明结论； （2）根据平行线的性质求出，则，再由平行线的性质即可得到； （3）分图3-1和图3-2两种情况，利用平行线的性质和角平分线的定义进行求解即可． 【详解】（1）证明：如图1所示，∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图2所示，∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图3-1所示， 同理可证， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 如图3-2所示，同理可得， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟知平行线的性质是解题的关键． 17．如图①，已知：平分，平分，且． (1)求证：； (2)若射线、分别在、内部，且，如图②，当时，直接写出的值； (3)H是直线上一动点（不与点D重合），平分交直线于点P．设，直接写出的度数（用含x的代数式表示）． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)或 【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠ABD＝2∠EBD，∠BDC＝2∠BDE，然后求出∠ABD+∠BDC＝180°，再根据同旁内角互补，两直线平行证明； （2）作，可得，，然后根据平行线的性质解答即可； （3）根据角平分线的定义可得，然后分点H在点D的左边和右边两种情况，表示出和，从而得解． 【详解】（1）∵平分，平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， （2）如图3，作， 又∵， ∴，， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）∵平分， ∴， ∵平分， ∴， 如图1，点H在点D的左边时， ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图2，点H在点D的右边时， ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上所述，或． 【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟记平行线的性质、分类讨论是解题的关键． 18．如图，直线，点、分别在上，连结平分交于点，动点在线段上（不与点，点重合），连结． (1)填空：______； (2)探索，，三者之间的等量关系，并说明理由； (3)若，且，求的值． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据角平分线的定义得出，根据，得出，则； （2）过点P作，则．，得出，进而即可求解； （3）根据已知可得，，由（）知，．可得，进而得出，即可求解． 【详解】（1）解： ，理由如下： 平分， ， ， ． ， 故答案为：． （2）三者之间的等量关系是， 理由如下：过点P作，则． ， ， ， ； （3） ，且， ，， ， ，， 平分， ， ， ， 由（）知，． ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 19．如图①，已知：平分，平分，且． (1)求证：； (2)若射线、分别在、内部，且，如图②．当时，直接写出的值； (3)是直线上一动点（不与点重合），平分交直线于点．设，直接写出的度数（用含的代数式表示）． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】（1）根据角平分线的定义可得， ，然后求出，再根据同旁内角互补，两直线平行证明； （2）作，，根据平行线的判定和性质解答即可； （3）根据角平分线的定义可得，，然后分点在点的左边和右边两种情况，表示出和，从而得解． 【详解】（1）证明：∵平分，平分， ， ， ， ； （2）作，如图所示， 又∵ ∴， ∴ ∴， ， ∵， ， ∴， ， ； （3）∵平分，平分， ∴， 如图，当在的左边时， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 如图，当在的右边时， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 综上所述或． 【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，几何图形中角度的计算，数形结合，掌握平行线的性质与判定是解题的关键． 20．（本题满分10分）综合与实践课上，同学们以“ 一个含 角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．如图，已知两直线a，b，且，三角形是直角三角形，，，． 操作发现： （1）如图1，若，求 的度数； （2）如图 2，创新小组的同学把直线a 向上平移，并把 的位置改变，发现，请说明理由． 实践探究： （3）缜密小组在创新小组发现的结论的基础上，将图 2 中的图形继续变化得到图 3 ， 平分，此时发现与又存在新的数量关系．请写出 与的数量关系并说明理由． 【答案】（1）；（2）见分析；（3），理由见分析． 【分析】本题考查的是角平分线定义、平行线的性质与判定，解题的关键是掌握平行线的性质定理． （1）根据、及的和为可求出，根据平行线的性质解答； （2）过点B作，根据平行线的性质得到，，结合图形计算，证明结论； （3）过点作，根据角平分线的定义、平行线的性质计算即可． 【详解】（1）解：如答图1， ，， ， ， ； （2）解：理由如下： 如答图2，过点B作， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：，理由如下： 如答图3，过点C作， ， 平分，， ， ， ，， ， ， ， ， ． 【题型2压轴题探究两角的关系】 21．已知，直线分别与直线相交于点G，H，并且． (1)如图1，求证：； (2)有一点在直线之间且在直线左侧，连接； ①如图2，当，时，求的度数； ②如图3，是的平分线，交于点O，是的平分线，作．设，，求和满足的数量关系． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；② 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义： （1）根据对顶角线段和已知条件可证明，即可证明； （2）①如图所示，过点M作，则，由平行线的性质得到，，则；②由（2）①可知，角平分的定义得到，则由平行线的性质可得；再由角平分线的定义和平角的定义得到，即可得到，即. 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）解；①如图所示，过点M作， ∵， ∴， ∴，， ∴； ②由（2）①可知， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ∵，是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴. 22．已知E、F分别是、上的动点，P也是平面内的一动点． (1)如图1，若，求证：． (2)如图2，若，求证： (3)如图3，，移动E、F，使，试探索与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定定理与性质、三角形外角的性质是解答此题的关键． （1）过作，由，得到，利用两直线平行内错角相等得到两对角相等，再由，等量代换就可得证； （2）过作，得到，然后推导，由此可得出结论； （3）由（1）中的结论，则有，利用平角定义表示出，即可得到结论． 【详解】（1）证明：过作， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）证明：过作， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴； （3），理由为： 过点作， 由（1）可得：，即， ∵， ∴． 23．已知：直线被线段截于A，B两点，且，点C是线段上一定点，D是直线上一动点，连接 ，过点C作交直线于点E． (1)若点D在射线AN上时，如图1所示． ①依题意，补全图形； ②请写出和的数量关系，并证明． (2)若点D在射线上运动时，直接写出和的数量关系，不必证明． 【答案】(1)①见解析；②，证明见解析 (2)或或 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂线的定义： （1）①根据题意作图即可；②过点C作．则，由平行线的性质得到，，由垂直的定义得到，则，即； （2）分解析图中三种情况，根据平行线的性质和垂直的定义讨论求解即可． 【详解】（1）解：①如图所示，即为所求； ②，证明如下： 过点C作． ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即； （2）解：如图所示，当点E在点B右边时， 同（1）②可得 如图所示，当点E在点B左侧时，过点C作，则 ∴， ∵， ∴， ∴； 如图所示，当点E在点B右侧时， 同理可得， ∵， ∴， ∴． 综上所述，或或． 24．已知直线，点是直线上的一个动点（不与点重合），平分，交直线于点． (1)如图，当点在点左侧时，若，请直接写出的度数，不必说明理由； (2)若，平分，交直线于点． ①如图，若点在点左侧运动时，的度数是否会发生变化？若不变，求出该度数；若变化，请说明理由； ②与之间存在怎样的数量关系？请写出结论，并说明理由． 【答案】(1) (2)①的度数不发生变化，，理由见解答过程；②或，理由见解答过程 【分析】（1）延长到点，根据平行线性质及角平分线定义即可求解； （2）①延长到点，设，根据平行线性质及角平分线定义分别表示、、，由即可得到； ②分两种情况讨论：当点在点左侧运动时、当点在点右侧运动时，设，根据平行线性质及角平分线定义即可得解． 【详解】（1）解：延长到，如图所示： ，， ， ， 平分， ， ， ． （2）①点在点左侧运动时，的度数不发生变化，，理由如下： 延长到，如图所示： 设， 平分， ，， ，， ， ， ， 平分， ， ， ②与之间的数量关系是：或，理由如下： 当点在点的左侧时，延长到，如图所示： 设， 平分， ，， ，， ， ， ， ， 平分， ， ， ； 当点在点的右侧时，延长到，如图所示： 设， 平分， ，， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， 平分， ， ， ． 综上所述：与之间的数量关系是：或． 【点睛】本题考查的知识点是平分线的性质、角平分线的定义，解题关键是熟练掌握平行线的性质． 25．已知，如图①，图②，． (1)如图①中，，判断图中平行的直线，并给予证明； (2)如图②中，，，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定： （1）延长交于G，先证明得到，则，进一步证明，即可证明； （2）过点P作，同理可得，则，可得，，则，同理可得，再证明，即可得到． 【详解】（1）解：，证明如下： 如图所示，延长交于G， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图所示，过点P作， 同理可得， ∴， ∴，， ∴， 同理可得， ∵，， ∴， ∴． 26．如图，已知，点在直线之间． (1)求证：； (2)若平分，将线段沿平移至． ①如图2，若平分，求的度数； ②如图3，若平分，试判断与的数量关系并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①；②，理由见解析 【分析】此题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定定理和性质定理作出辅助线是解本题的关键． （1）过点E作直线，得到，根据两直线平行内错角相等推出，即可； （2）①平分，设，根据平行线的性质可以得到的度数； ②设，，根据角平分线的性质以及平行线的性质即可得到与的数量关系． 【详解】（1）证明：如图1，过点E作直线， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）解：∵平分， ∴， ①∵平分，设， 又， ∴， 又，， ∴， 如图2，过点H作， ∴； ②，理由如下： 设，， ∵平分， ∴， 由（1）知， 如图3，过点H作， 同理， 即，， ∴． 27．已知：．          图1                       图2 (1)如图1，求证：； (2)如图2，平分平分交直线于点，交于点． ①若，求的度数； ②过点作交的延长线于点平分交的延长线于点，试判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①；②，理由见解析 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质、角平分线的性质以及角度的和差关系， 根据平行线的性质得，结合已知得，即可判定； ①由已知得，结合角平分的性质得，，进一步得到，由平行得，则；②设，由①得，过点作，，进一步得，由角平分线得，则，结合，即可求得． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ． （2）①， ， ， ， 平分， ， 平分， ， ， ， ， ． ②．理由如下： 设，由①同理可得． 过点作，如图， ， ， ， ， ， 平分． ． ， ， ， ， ． 28．平行直线与被直线所截．    (1)如图1，点E在 之间的直线上，P、Q分别在直线上，连接，若 ，求 的值； (2)如图2，点E在之间的直线上， P、Q分别在直线上，连接， 平分 ，平分 则 和 之间有什么数量关系，请写出你的结论并说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义等知识．熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）由，可得如图1，过点E作，则，由，可得，则，根据，计算求解即可； （2）如图2，作，，同理（1）可得，，，由角平分线可得，则，，然后作答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 如图1，过点E作，           图1 ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下； 如图2，作，， 同理（1）可得，，， ∵平分 ，平分 ， ∴， ∴，即， ∵，， ∴，即． 29．已知：，一块三角板中，，将三角板如图所示放置，使顶点落在边上，经过点作直线交边于点，且点在点的左侧． (1)如图，若，则______； (2)若的平分线交边于点， ①如图，当，且时，试说明：； ②如图，当保持不变时，试求出与之间的数量关系． 【答案】(1)45 (2)①见解析；②． 【分析】本题考查了平行线的性质与判定、角平分线的定义，解题关键是熟练运用平行线的性质与判定，确定角之间的关系． （1）过点E作，求出，利用平行线的性质得出即可； （2）①根据，可得，再根据角平分线性质得出，利用内错角相等证明平行即可；②根据平行线的性质得出，再根据角平分线的性质和平行线的性质得出，即可求出与α之间的数量关系． 【详解】（1）解：如图，过点E作， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 则， 故答案为：45； （2）解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在直角三角形中，， ∴， ∴， ∵， ∴； ②∵当保持不变时，总有， 在直角三角形中， ， ∴， ∵， ∴，且， ∵平分， ∴， ∴． 30．（1）如图1，已知直线，且和分别交于两点，点在上，则的等量关系是________．如图2，点A在B处北偏东方向，在C处的北偏西方向，则________． （2）如图3，和的平分线交于交于点，试说明：；并探究与的数量关系． 【答案】（1）；（2）；(3)证明见解析，． 【分析】此题主要考查了角平分线的性质以及平行线的判定，正确添加辅助线是解决问题的关键． （1）在图1中，作，利用平行线的判定和性质即可证明； （2）作即可得到，代入求得的度数． （3）和的平分线交于，且，可得，可得，得到，将等角代换，即可得出． 【详解】解：（1）如图1中，作，则 ∵， ∴， ∴， 故答案为：； 作，则， ∵点A在B处北偏东方向，在C处的北偏西方向， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵平分， ∴， ∵∠ ∴， ∴； ∴， ∴， ∴． 【题型3压轴题探究三角的关系】 31．【问题初探】（1）课堂上，李老师提出下面问题：如图1，直线，点分别在和上，求证：． 请你利用平行线的知识，给予证明； 【类比拓展】（2）如图2，，若平分平分，两角平分线交于点，探究与的数量关系，并说明理由． 【学以致用】（3）如图3所示，，点、在之间，且位于的异侧，连，若，则三个角之间存在何种数量关系，并说明理由．    【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3），见解析 【分析】本题考查了平行线的性质、平行公理推论、角平分线的定义等知识点: （1）过点G作，根据平行线的性质可得；； （2）根据（1）可得，进一步得出； （3）设，根据平行线的性质可得α=x﹣y，即可得出 【详解】解：（1）证明：过点G作，    ∵， ∴， ∴， ∴ （2）根据（1）得：， 而：， ∴， 即    （3）设，    过M作，过N作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ； 32．如图①，，，求的度数．小明的思路是：如图①，过点P作，通过平行线的性质来求的度数．    (1)按小明的思路，易求得的度数为_______；（说明理由） (2)如图②，，点P在线段上运动，记，，问与之间有何数量关系？请说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目是一道比较典型的题目． （1）过作，通过平行线性质求即可； （2）过作交于，推出，根据平行线的性质得出 ，即可得出答案． 【详解】（1）解：过点作， 故答案为：110． （2）， 理由是：过作交于，    33．如图，已知直线，点A、B分别在与上．直线和直线、交于点C和D，在直线上有一点P． (1)如果P点在C、D之间运动时，问有怎样的数量关系？请说明理由． (2)若点P在C、D两点的外侧运动时（P点与点C、D不重合），试探索之间的关系又是如何？ 【答案】(1)，见解析 (2)或 【分析】本题考查了平行线的判定与性质．熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）如图1，作，则，由，可得，则，； （2）由题意知，分点在点上方，在点下方两种情况求解；①当点在点上方，如图2，作， 过程同（1）；②当点在点下方，如图3，作，过程同①． 【详解】（1）解：，理由如下； 如图1，作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即； （2）解：由题意知，分点在点上方，在点下方两种情况求解； ①当点在点上方，如图2，作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即； ②当点在点下方，如图3，作， 同理①，∴，， ∴，即； 综上所述，或． 34．如图1，直线分别交，于点E，F（点F在点E的右侧），若．    (1)求证：； (2)如图2，点，在，之间，且位于的两侧，连接，若，则，，三个角之间存在何种数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)，理由见解析． 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，邻补角定义等知识，解题的关键是掌握平行线的判定与性质． （1）根据平行线的判定定理即可得到结论； （2）设，，，，可得即可求解． 【详解】（1）解：，，， ∴， ∴． （2）解：过作，过作，如图    设，，，， ，，， ， ，， ， ， ， ． 35．如图，， (1)在图1中，写出的数量关系，并说明理由； (2)在图2中，（1）的结论是否成立？若成立，请证明，若不成立，请你探究的数量关系，并写出你探究的结论． 【答案】(1)，理由见解析； (2)不成立，，理由见解析． 【分析】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． （1）过点作，利用平行线的性质即可得出； （2）过点作，利用平行线的性质即可得出． 【详解】（1）解：如图：过点作， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴． （2）解：不成立，理由如下： 如图：过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴． 36．如图，平分，将射线沿着方向平移，得到射线，交于点，点在点的右侧． (1)若，求的度数． (2)点是射线上一点（不与点，点重合）．连接． ①若点在射线上，延长交于点，且，求证：． ②试判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)①见解析；②当点在射线上时，；当点在线段上时，，理由见解析 【分析】此题考查了平行线的性质，角平分线的概念， （1）首先根据角平分线的概念得到，然后得到，进而求解即可； （2）①法一：过点作，根据平行线的性质和角平分线的概念求解即可； 法二：过点作，根据平行线的性质和角平分线的概念求解即可； ②根据题意分两种情况：点在射线上和点在线段上，分别根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵平分， ∴ ∵是由平移得到的 ∴ ∴； （2）①法一：如图，过点作 ∴， ∵ ∴ ∵平分 ∴ ∴ 即 ∵ ∴ 即 ∴ ∴； 法二：如图，过点作， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵平分 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ 即 ∴； ②当点在射线上时，如备用图1，过点作 备用图1 ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 当点在线段上时，如备用图2，过点作 备用图2 ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴综上所述：当点在射线上时， 当点在线段上时， 37．已知：如图，，点，分别在，上． (1)如图1，已知点在线段上， ，则___________； (2)如图2，当动点在线段上运动时（不包括，两点），，与之间有何数量关系？并说明理由 (3)当动点在直线（线段除外）上运动时，（2）中的结论是否仍然成立？如果不成立，请直接写出，与之间满足的数量关系． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)不成立，当点在射线的延长线上运动时，新关系为：；当点在射线的延长线上运动时，新关系为： 【分析】本题考查平行线的知识，解题的关键是掌握平行线的性质，即可． （1）过点作，推出，根据平行线的性质，则，，即可； （2）过点作，推出，根据平行线的性质，则，，即可； （3）根据点的运动轨迹，分类讨论：当点在射线上时；当点在射线上时；根据平行线的性质，即可． 【详解】（1）过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴． （3）当点在射线的延长线上运动时，（2）中的结论不成立，新关系为： 理由如下： 过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 当点在射线的延长线上运动时，（2）中的结论不成立，新关系为： 理由，如下： 设与相交于点，作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 38．如图，直线，直线l3与直线、分别交于点C、点D，点A、点B分别是直线、上的点，且在直线的同侧，点P在直线上．    (1)图1，若点P在线段上时，，请说明理由； (2)图2，若点P在的下方时，，，三角有什么关系？请说明理由； (3)图3，若点P在直线的上方时，请直接写出，，三角的关系． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）过点P作，根据平行线的性质得，，再根据证得结论； （2）仿照（1）的过程求解即可； （3）仿照（1）的过程求解即可． 【详解】（1）过点P作    ∴   又∵ ∴ ∴ ∵ ∴ （2），理由：    过点P作 ∴ 又∵ ∴ ∴      ∵ ∴ （3），理由：      过点P作 ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，熟记性质并灵活运用是解题的关键，两直线平行，同位角相等，同旁内角互补，内错角相等． 39．已知直线，点A、C在直线上，点B、D在直线上． (1)如图1，若，，且，求的度数； (2)如图2，若，平分，，过D点作交于F，求证：； (3)如图3，若，直线和直线相交于K，点H在直线上，探究、和之间的数量关系，请直接写出结论． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)当点H在点K上方时，；当点H在之间时，；当点H在点D下方时， 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂直的定义，角平分线的定义： （1）由垂直的定义先求出，再根据平行线的性质即可得到； （2）设，则，由角平分线的定义得到，则，同理可得，再由垂直的定义得到，则； （3）分当点H在点K上方时，当点H在之间时，当点H在点D下方时， 三种情况画出图形，根据角之间的关系求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）证明：设， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 同理可得， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图所示，当点H在点K上方时，过点H作，则， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当点H在之间时，过点H作，则， ∴，， ∴， ∴， ∴，即； 如图所示，当点H在之间时，过点H作，则， ∴，， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当点H在点D下方时，过点H作，则， ∴，， ∴， ∴； 综上所述，当点H在点K上方时，；当点H在之间时，；当点H在点D下方时，． 40．已知如图，，点分别在上，平分． (1)若，，分别求的度数； (2)探求与的数量关系（)． 【答案】(1)的度数分别为； (2)． 【分析】（）由，根据两直线平行，内错角相等得到，，则，又平分，可计算出，然后计算即可； （）由（）得，再根据角平分线的定义得到，而，然后经过角的代换即可得到与的数量关系； 本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，角的和差，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，   ∴，， ∴， ∵平分， ∴ ， ∴， ∴的度数分别为； （2）解：由（）得，   ∴ ， ∴ ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$